3
Ⅱ-3. 여러 가지 방정식 53 @ x=2y를 ㉡에 대입하면
4y@+2y@-3y@=3, y@=1 / y=-1 또는 y=1 x=2y이므로
y=-1일 때 x=-2, y=1일 때 x=2 !, @에 의하여 주어진 연립방정식의 해는 -x=-2j3i
y=j3i 또는 -x=2j3i y=-j3i 또는 -x=-2
y=-1 또는 -x=2 y=1 02-2 답 {-2, -2}, {2, 2}
㉠의 좌변을 인수분해하면 {x+2y}{x-y}=0 / x=-2y 또는 x=y
! x=-2y를 ㉡에 대입하면 4y@-4y@-y@=8, y@=-8 / y=-2j2i 또는 y=2j2i x=-2y이므로
y=-2j2i일 때 x=4j2i, y=2j2i일 때 x=-4j2i @ x=y를 ㉡에 대입하면
y@+2y@-y@=8, y@=4 / y=-2 또는 y=2
x=y이므로 y=-2일 때 x=-2, y=2일 때 x=2 !, @에 의하여 실수 x, y의 순서쌍 {x, y}는 {-2, -2}, {2, 2}
02-3 답 -3
㉠의 좌변을 인수분해하면 {x-y}{x-2y}=0 / x=y 또는 x=2y
! x=y를 ㉡에 대입하면
y@+y@+3y+1=0, 2y@+3y+1=0
{y+1}{2y+1}=0 / y=-1 또는 y=-1 2 x=y이므로
y=-1일 때 x=-1, y=-1
2 일 때 x=-1 2 / x+y=-2 또는 x+y=-1
@ x=2y를 ㉡에 대입하면
4y@+y@+6y+1=0, 5y@+6y+1=0
{y+1}{5y+1}=0 / y=-1 또는 y=-1 5 x=2y이므로
y=-1일 때 x=-2, y=-1
5 일 때 x=-2 5 / x+y=-3 또는 x+y=-3
5 !, @에 의하여 x+y의 최솟값은 -3이다.
03-1 답 -x=1-2iy=1+2i 또는 -x=1+2iy=1-2i
주어진 연립방정식에서 x+y=u, xy=v로 놓으면 -u+v=7
3u-v=1
이를 연립하여 풀면 u=2, v=5 / x+y=2, xy=5
x, y는 이차방정식 t@-2t+5=0의 두 근이다.
/ t=1-2i 또는 t=1+2i 따라서 주어진 연립방정식의 해는 -x=1-2i
y=1+2i 또는 -x=1+2i y=1-2i
03-2 답 -x=2y=3 또는 -x=3y=2
주어진 연립방정식에서 x+y=u, xy=v로 놓으면 x@+y@={x+y}@-2xy=u@-2v이므로
-v+u=11 u@-2v=13 yy ㉡yy ㉠ ㉠에서 v=11-u를 ㉡에 대입하면 u@-2{11-u}=13, u@+2u-35=0 {u+7}{u-5}=0 / u=-7 또는 u=5 이를 각각 v=11-u에 대입하면
u=-7일 때 v=18, u=5일 때 v=6
! u=-7, v=18, 즉 x+y=-7, xy=18일 때 x, y는 이차방정식 t@+7t+18=0의 두 근이므로 t=-7-j23ki
2
그런데 x, y는 정수이므로 해가 없다.
@ u=5, v=6, 즉 x+y=5, xy=6일 때 x, y는 이차방정식 t@-5t+6=0의 두 근이므로 {t-2}{t-3}=0 / t=2 또는 t=3 / x=2, y=3 또는 x=3, y=2
!, @에 의하여 주어진 연립방정식의 정수인 해는 -x=2
y=3 또는 -x=3 y=2 04-1 답 2
㉠을 ㉡에 대입하면 x@+{x+a}@=a 2x@+2ax+a@-a=0 yy ㉢
연립방정식이 오직 한 쌍의 해를 가지려면 이차방정식 ㉢ 이 중근을 가져야 하므로 ㉢의 판별식을 D라 하면 D
4=a@-2{a@-a}=0, a@-2a=0 a{a-2}=0 / a=0 또는 a=2 따라서 모든 실수 a의 값의 합은 2이다.
54 정답과 해설 | 개념편 |
04-2 답 0
㉠에서 y=1-x를 ㉡에 대입하면
x@+2x{1-x}+a=2, x@-2x-a+2=0 yy ㉢ 연립방정식이 오직 한 쌍의 해를 가지려면 이차방정식 ㉢
이 중근을 가져야 하므로 ㉢의 판별식을 D라 하면 D
4=1-{-a+2}=0, a-1=0 / a=1 이를 ㉢에 대입하면 x@-2x+1=0, {x-1}@=0 / x=1 / a=1
x=1을 y=1-x에 대입하면 y=0 / b=0 / ab=0
04-3 답 - 12
㉠에서 y=x-2를 ㉡에 대입하면
x@+x{x-2}-a=0, 2x@-2x-a=0 yy ㉢ 연립방정식이 실근을 가지려면 이차방정식 ㉢이 실근을
가져야 하므로 ㉢의 판별식을 D라 하면 D
4=1+2a>0 / a>-1 2 따라서 실수 a의 최솟값은 -1
2 이다.
05-1 답 27
처음 자연수의 십의 자리 숫자를 x, 일의 자리 숫자를 y라 하면 각 자리의 숫자의 제곱의 합이 53이므로
x@+y@=53 yy ㉠
각 자리의 숫자의 순서를 바꾼 자연수와 처음 자연수의 합 이 99이므로 {10x+y}+{10y+x}=99
/ y=9-x yy ㉡ ㉡을 ㉠에 대입하면
x@+{9-x}@=53, x@-9x+14=0 {x-2}{x-7}=0 / x=2 또는 x=7 이를 각각 ㉡에 대입하면
x=2일 때 y=7, x=7일 때 y=2 그런데 x<y이므로 처음 자연수는 27이다.
05-2 답 10 m
긴 철사의 길이를 x m, 짧은 철사의 길이를 y m라 하면 두 철사의 길이의 차가 12 m이므로
x-y=12 / x=y+12 yy ㉠ 각 철사로 만든 정사각형에서 그 넓이의 차가 24 m@이므로 [x
4 ]@-[y
4 ]@=24 / x@-y@=384 yy ㉡ ㉠을 ㉡에 대입하면 {y+12}@-y@=384
24y=240 / y=10
따라서 짧은 철사의 길이는 10 m이다.
1 답 {4, 3}
3x+4y=24에서 x=24-4y 3
x, y는 자연수이므로 y=3일 때, x=4 따라서 자연수 x, y의 순서쌍 {x, y}는 {4, 3}
2 답 {-2, 0},``{0, 2},``{2, -4},``{4, -2}
x, y는 정수이므로 x-1, y+1도 정수이다.
따라서 {x-1}{y+1}=-3인 경우는 ! x-1=-3, y+1=1일 때
x=-2, y=0
@ x-1=-1, y+1=3일 때 x=0, y=2
# x-1=1, y+1=-3일 때 x=2, y=-4
$ x-1=3, y+1=-1일 때 x=4, y=-2
!~$에 의하여 정수 x, y의 순서쌍 {x, y}는 {-2, 0}, {0, 2}, {2, -4}, {4, -2}
3 답 x=-2,``y=3
{x+2}@+{y-3}@=0에서 x, y는 실수이므로 x+2=0, y-3=0
/ x=-2, y=3
140쪽
부정방정식
06-1 답 ⑴ 10 ⑵ -4 또는 -2 ⑴ xy-3x-3y+6=0에서 x{y-3}-3{y-3}-3=0 / {x-3}{y-3}=3
x, y가 자연수이므로 x-3, y-3은 x-3>-2, y-3>-2인 정수이다.
따라서 {x-3}{y-3}=3인 경우는 ! x-3=1, y-3=3일 때
x=4, y=6
@ x-3=3, y-3=1일 때 x=6, y=4
!, @에 의하여 x+y=10
141~142쪽
Ⅱ-3. 여러 가지 방정식 55 x가 실수이므로 x에 대한 이차방정식 ㉠의 판별식을
D라 하면
D
4=4y@-{5y@-6y+9}>0 y@-6y+9<0 / {y-3}@<0 y도 실수이므로 y=3
y=3을 ㉠에 대입하면 x@-12x+36=0 {x-6}@=0 / x=6
⑵ 좌변을 x에 대하여 내림차순으로 정리하면 x@-2{y+1}x+2y@+6y+5=0 yy ㉠ x가 실수이므로 x에 대한 이차방정식 ㉠의 판별식을
D라 하면 D
4={y+1}@-{2y@+6y+5}>0 y@+4y+4<0 / {y+2}@<0 y도 실수이므로 y=-2
y=-2를 ㉠에 대입하면 x@+2x+1=0 {x+1}@=0 / x=-1
⑵ 정수인 두 근을 a, b {a<b}라 하면 근과 계수의 관계 에 의하여
a+b=m+1 yy ㉠ ab=-m-4 yy ㉡
㉠에서 m=a+b-1을 ㉡에 대입하면
ab=-{a+b-1}-4, a{b+1}+{b+1}=-2 / {a+1}{b+1}=-2
a, b가 정수이므로 a+1, b+1도 정수이다.
따라서 {a+1}{b+1}=-2인 경우는 ! a+1=-2, b+1=1일 때, a=-3, b=0 @ a+1=-1, b+1=2일 때, a=-2, b=1 ㉠에서 m=a+b-1이므로
m=-4 또는 m=-2
06-2 답 3 1
x+1 y=1
2 에서 x+y
xy =1 2
xy-2x-2y=0, x{y-2}-2{y-2}=4 / {x-2}{y-2}=4
x, y가 자연수이므로 x-2, y-2는 x-2>-1, y-2>-1인 정수이다.
따라서 {x-2}{y-2}=4인 경우는 ! x-2=1, y-2=4일 때, x=3, y=6 @ x-2=2, y-2=2일 때, x=4, y=4 # x-2=4, y-2=1일 때, x=6, y=3
!, @, #에 의하여 자연수 x, y의 순서쌍 {x, y}는 {3, 6}, {4, 4}, {6, 3}의 3개이다.
07-1 답 ⑴ x=6, y=3 ⑵ x=-1, y=-2 ⑴ x@+5y@-4xy-6y+9=0에서
{x@-4xy+4y@}+{y@-6y+9}=0 / {x-2y}@+{y-3}@=0
x, y가 실수이므로 x-2y=0, y-3=0 / x=6, y=3
⑵ x@-2xy+2y@-2x+6y+5=0에서
9x@-2x{y+1}+y@+2y+10+{y@+4y+4}=0 9x@-2x{y+1}+{y+1}@0+{y@+4y+4}=0 / {x-y-1}@+{y+2}@=0
x, y가 실수이므로 x-y-1=0, y+2=0 / x=-1, y=-2
다른 풀이
⑴ 좌변을 x에 대하여 내림차순으로 정리하면 x@-4xy+5y@-6y+9=0 yy ㉠
1 ㉠에서 x=y+4를 ㉡에 대입하면 {y+4}@+2{y+4}y+y@=4 y@+4y+3=0, {y+3}{y+1}=0 / y=-3 또는 y=-1
이를 각각 x=y+4에 대입하면
y=-3일 때 x=1, y=-1일 때 x=3 / xy=-3
2 두 연립방정식의 해가 일치하므로 그 해는 연립방정식 - 2x+2y=1 x@-y@=-1 yy ㉡yy ㉠의 해와 같다.
㉠에서 y=1
2-x를 ㉡에 대입하면 x @-[1
2-x]@=-1 / x=-3 4 이를 y=1
2-x에 대입하면 y=5 4 x=-3
4 , y=5
4 를 3x+y=a, x-y=b에 각각 대입하면 -9
4+5
4=a, -3 4-5
4=b / a=-1, b=-2 / ab=2
143~144쪽
1 ③ 2 ② 3 3j2 4 ⑤ 5 ①
6 ① 7 5 8 ④ 9 ③ 10 1
11 ②
56 정답과 해설 | 개념편 |
6 ㉠에서 y=k-x를 ㉡에 대입하면 x@+2x+{k-x}=1
x@+x+k-1=0 yy ㉢
주어진 연립방정식이 오직 한 쌍의 해를 가지려면 이차방 정식 ㉢이 중근을 가져야 하므로 ㉢의 판별식을 D라 하면 D=1-4{k-1}=0 / k=5
4 이를 ㉢에 대입하면 x@+x+1
4=0 [x+1
2 ]@=0 / x=-1
2 / a=-1 2 k=5
4 , x=-1
2 을 y=k-x에 대입하면 y=5
4-[-1 2 ]=7
4 / b=7 4 / k+a-b=5
4+[-1 2 ]-7
4=-1
7 오른쪽 그림과 같이 A의 한 변 의 길이를 x, D의 한 변의 길이 를 y라 하면 B의 한 변의 길이 는 8-x, C의 한 변의 길이는 8-x-y이다. B와 C의 한 변
의 길이의 합이 A의 한 변의 길이와 같으므로 {8-x}+{8-x-y}=x
/ y=16-3x yy ㉠ A, D의 넓이의 차가 24이므로 x@-y@=24 yy ㉡
㉠을 ㉡에 대입하여 풀면
x@-{16-3x}@=24, x@-12x+35=0 {x-5}{x-7}=0
/ x=5 또는 x=7 그런데 0<x<16
3 이므로 x=5
따라서 정사각형 A의 한 변의 길이는 5이다.
8 xy+2x+2y+3=0에서 x{y+2}+2{y+2}-1=0 / {x+2}{y+2}=1
x, y가 정수이므로 x+2, y+2도 정수이다.
따라서 {x+2}{y+2}=1인 경우는
! x+2=-1, y+2=-1일 때 x=-3, y=-3
@ x+2=1, y+2=1일 때 x=-1, y=-1
!, @에 의하여 x-y=0
8-x-y
8-x x 8-x
y y A
B C D
3 ㉠의 좌변을 인수분해하면 {x-2y}{2x-y}=0 / x=2y 또는 y=2x
! x=2y를 ㉡에 대입하면 4y@-6y@+2y@=6, 0\y@=6 그런데 y는 실수이므로 해는 없다.
@ y=2x를 ㉡에 대입하면 x@-6x@+8x@=6, x@=2 / x=-j2 또는 x=j2 그런데 x>0, y>0이므로 x=j2, y=2j2
!, @에 의하여 x+y=j2+2j2=3j2
4 ㉠의 좌변을 인수분해하면 {x-y}{x-4y}=0 / x=y 또는 x=4y
! x=y를 ㉡에 대입하면 y@+2y@=18, y@=6 / y=-j6 또는 y=j6
그런데 y는 정수이므로 해는 없다.
@ x=4y를 ㉡에 대입하면 16y@+2y@=18, y@=1 / y=-1 또는 y=1 x=4y이므로
y=-1일 때 x=-4, y=1일 때 x=4 / xy=4
!, @에 의하여 xy의 값은 4이다.
5 주어진 연립방정식에서 x+y=u, xy=v로 놓으면 x @y+xy@=xy{x+y}이므로
-u-v=1`uv=6 yy ㉠yy ㉡
㉠에서 u=v+1을 ㉡에 대입하면 {v+1}v=6, v@+v-6=0 {v+3}{v-2}=0 / v=-3 또는 v=2 그런데 v는 양수이므로 v=2 이를 u=v+1에 대입하면 u=3 / x+y=3, xy=2
x, y는 이차방정식 t@-3t+2=0의 두 근이므로 {t-1}{t-2}=0 / t=1 또는 t=2 / x=1, y=2 또는 x=2, y=1 그런데 x>y이므로
x-y=2-1=1 1
Ⅱ-4. 여러 가지 부등식 57 01-1 답
( -9
a>4일 때, x<2 a=4일 때, 모든 실수 a<4일 때, x>2
ax-2a<4x-8에서 {a-4}x<2{a-4)
! a-4>0, 즉 a>4일 때 x<2
@ a-4=0, 즉 a=4일 때
0\x<0이므로 해는 모든 실수이다.
# a-4<0, 즉 a<4일 때 x>2
따라서 부등식의 해는
( -9
a>4일 때, x<2 a=4일 때, 모든 실수 a<4일 때, x>2
01-2 답 -5
ax+1>a@-x에서 {a+1}x>a@-1 / {a+1}x>{a+1}{a-1) yy ㉠ 이 부등식의 해가 x<-6이므로
a+1<0
㉠의 양변을 a+1로 나누면 x<a-1
따라서 a-1=-6이므로 a=-5
147쪽
1 답 ㄱ, ㄷ, ㄹ
ㄱ. a>b의 양변에 1을 더하면 a+1>b+1
ㄴ. a>b의 양변에서 3을 빼면 a-3>b-3
ㄷ. a>0이므로 a>b의 양변에 a를 곱하면 a@>ab
ㄹ. b<0이므로 a>b의 양변을 b로 나누면 a
b<1
따라서 보기 중 옳은 것은 ㄱ, ㄷ, ㄹ이다.
146쪽
일차부등식