위험관리에 있어서 효율적인 결정들의 포트폴리오들(대안들의 집합)을 구하는 효율 성분석에 대해서 살펴보면, 의사결정의 대안들은 그 자체로 효용을 반영하고 있다고 가 정하고 그 중에서 효율적인 결정을 선택하여 내는 것이 일반적인 원리이다.
일반적으로 위험효율성분석(risk efficiency analysis)은 선택집합(a choice set)의 효 용함수나 확률분포에 조건 내지 제약을 가해서 필요로 하는 가장 효율적인 대안들을 찾 아내는 것인 만큼 조건 내지 제약의 정도에 의해 대안의 수는 현저히 줄어들 수 있다.
이러한 효율성분석의 대표적인 경우로 평균분산분석(Mean-Variance analysis), 확률적 우위성(Stochastic Dominace), 지니평균차분석(Mean-Gini analysis) 등이 있다.
평균분산분석(Mean-Variance analysis)은 가장 널리, 또한 쉽게 이용되어온 것인데, 그 원리는 두 가능성의 확률분포가 동일한 평균을 가질 경우, 위험회피자는 분산이 작 은 경우를 선택한다는 것이다. 즉 두 경우의 평균과 분산 중에 평균은 μA≥ μB, 분산 은 σ2A≤ σ2B 로 적어도 한 번은 부등호가 성립하면 B보다는 A를 선택하는 것이 효율
적인 의사결정이 되는 것이다. 결국, 평균-분산(mean-variance) 공간에 선택대안들을 올려 놓았을 때 주어진 분산하에서 평균을 최대로 하거나, 주어진 평균하에 분산을 최 소로 하는 대안들을 선택하면 되는 것이다. 그러나 이 방법은 수익의 정규분포 가정의 비현실성으로 논란이 있으며 또한 이 평균-분산 효율성 기준은 위험이 전체 부에 있어 상대적으로 작을 때에 가능한 것으로 주장하는 학자도 있다.(levy and Markowitz,1979;
Tsiang,1972,1974)
확률적 우위성(Stochastic Dominace)분석은 수많은 위험효율성분석 중에 가장 공통 적으로 흔히 볼 수 있는 분석기법이 되었는데, 이는 특정 효용함수의 선택대안들 중에 기대효용함수(expected utility function)를 극대화하는 대안들을 선정하는 방법을 제시 하는 것으로 2개의 확률적 우위성기준이 있는데, 1계 확률적 우위성 기준(first degree stochastic dominance, FSD) 과 2계 확률적 우위성 기준(second degree stochastic dominance, SSD)이 그것이다.
FSD는 효용함수(단조증가함수) 상의 선호집합에 대해서 절대위험회피도, A(y)는 - ∞≤A( y)≤∞ 인 효용함수를 가진다고 가정한다. 두 대안(여기서는 F, G)의 누적확 률분포(cumulative frequency distribution) F(y)와 G(y) 사이에 F(y) ≤ G(y), for all y 가 성립하면, 그리고 적어도 한 번은 부등식이 성립하면 두 대안 중 F가 G보다 우위에 있는 것으로 간주하게 된다.
SSD는 위의 FSD보다 더 제약을 두는데, 이는 효용곡선의 오목성(concavity)을 가정 해 의사결정자가 위험회피자임을 전제하고(U'(y)>0, U''(y)<0), 절대위험회피도 A(y)
는 0≤A(y)≤∞인 효용함수를 가지는 경우로 ⌠⌡
y
0
F(t) dt ≤ ⌠
⌡y
0
G(t) dt 가 성립하면
두 대안 중 F가 G보다 우위에 있다고 간주하는 것이다. 이 확률적 우위성(stochastic dominance)분석은 효용함수에 대한 제약이 그렇게 많지 않으며, 특히 확률분포 (probability distribution)에 제약을 전혀 주지 않으므로 평균-분산 분석보다 더 우월한 분석기법이라고 할 수 있다.
지니평균차 분석(Mean-Gini analysis)은 Yitzhaki(1982)에 의해 개발되었는데, 평균
소득과 소득의 분산(dispersion) 정도를 나타내는 Gini의 평균 차의 절대치(mean absolute difference)를 이용한 것이다. 평균-분산 기법의 간편성을 지니고 있으나 위험 을 분산(variance)과 동일시하지 않는다는 점에서 다르며, 의사결정방식도 위의 확률적 우위성기법 중 SSD를 따르고 있다. 지니의 평균 차의 절대치(mean absolute difference)는 확률분포 F(y) 상의 확률변수쌍(random variable pair)간의 차의 절대치 로 다음과 같다.
G
d= E[ | y - x|] = ⌠⌡∞ - ∞
⌠⌡
∞
- ∞| y - x| dF( y) dF( x)
위의 값 Gd는 평균과 같은 일정한 값으로부터의 편차가 아닌 확률변수 값들 간의 분 산(dispersion) 정도에 의해 좌우된다. 이를 통해 Yitzhaki(1982)는 확률적 우위성 기준 인 FSD와 SSD를 통해 F1이 F2보다 우위라는 것을 다음과 같이 나타낸다.
μ 1≥ μ 2 이고 μ 1- Γ 1≥ μ 2- Γ 2 , 적어도 한 번은 부등식이 성립한다.
여기서 Γ i= 1 2
⌠⌡
∞ - ∞
⌠⌡
∞
- ∞| y - x| dFi (y) dFi (x)으로 Gini의 반평균차(half mean difference)이다.
지니평균차 기법에 의한 효율성 집합을 구하려면 평균과 Gini의 반평균차를 구해야 하는데, 지니평균차 기법을 적용하려면 확률적 우위성 기준인 SSD가 필요하게 되므로 결과적으로 제약 정도는 지니평균차가 더 커지게 되고 선별력(discriminatory power)이 높아지게 된다. 물론 지니평균차 기법은 평균도 크고 분산(variance)도 큰 대안이 유리 하도록 되어 있다. 따라서 일반적으로 변동성이 크더라도 평균수익성이 높은 것이 우위 적인 대안이 되는데, 지니평균차 기법은 농업 특히 채소경영과 같이 변동성이 큰 경우 에 적용할 수 있는 기법이라고 할 수 있다.