기대효용 이론은 의사결정의 논리적 근거로서 결정된 대안들(alternatives)의 효용 서 열을 나타낼 수 있는 효용함수가 존재한다는 데 그 근거를 삼고 있는 것으로 von Neumann and Morgenstein(1947) 기대효용함수라고도 불린다.
이 이론은 선호(preference)에 대한 odering, trasitivity, continuity and independence 의 가정들을 하고 있다. 여기서 ordering은 선택 대안들간의 선호가 있다는 것이고(즉, A1이 A2보다 더 좋다든지, A2가 A1보다 더 좋다든지, 아니면 똑같이 좋다 등), transitivity는 A1이 A2보다 선호되고 A2가 A3보다 선호되면 A1이 A3보다 선호된다는 것이며, continuity는 transitivity가 이루어지는 환경에서 A1과 A3의 결합 중에 A2보 다 선호되는 결합(mixture)도 있고 A2보다 덜 U(y)선호되는 즉, A2가 더 선호되는 결 합도 있다는 것이고(집합으로 표시하면 두 사건이 일어날 각각의 집합이 모두 닫혀있다 (closed)는 것), independence는 A1이 A2보다 선호되면 A1과 A3의 결합은 A1과 A2의 결합보다 선호된다는 것을 의미한다.
기대효용이론은 다음과 같이 간단히 살펴볼 수 있는데, 우선
Aj : j 번째 선택 또는 선택대안
c
i : i 번째 나타날 가능성이 있는 위험 pi : P(ci)로c
i가 나타날 확률yij : ci가 일어났을 때 Aj의 결과라고 할 때
효용함수 U(y)에 대해서, A1이 A2보다 선호되면 U(A 1) ⋎ U( A2)로 서열이 매 겨지고,
U( A
j) = E iU(y
i j) =∑
i
p
iU(y
i j)가 성립한다.이제 기대효용이론에 따르면 최적해(optimal act) A *j 는 기대효용을 극대화하는 문 제가 남는데,(Anderson, Dillon and Hardaker, 1977) 즉,
EU( A
*j) = Max U( Aj) =Max
j ∑
i
p
iU(y
i j) 가 성립한다.여기서 효용함수 U(y)는 단일변수 y로 표시된 부(wealth, 소득이나 수입 등)에 의 해 결정되는 것으로 가정되어 있으며 효용함수를 도출하는 것은 이 연구과제에서 수행 하고자 하는 위험관리 모형을 구축하는 데 큰 역할을 담당하게 되다.
의사결정을 하는 주체의 효용은 부가 많을수록 커지므로 효용함수 U( y)는 부(y)에 대하여 단조증가함수(monotonically increasing, U '(y) > 0 )이고, 위험회피에 대한 가 정으로 효용함수의 2계 도함수 U ''(y) < 0 로 오목함수(concave function)로 나타난 다. 아래 그림1과 같이 효용함수의 모양(concave fuction)에서 알 수 있듯이 위험보다는 확실한 것을 선호하는 것이 위험회피자의 의사결정 형태이므로 수식으로는
U [ E( y)] > E [ U( y)]가 성립한다.
그림 2-1 위험회피 효용곡선
U(w2) UE(w) U(wce)
U(w1)
w1 wce E(w) w2
U(W)
W ρ
위 그림에서 CE는 두 효용(U(Y1), U(Y2))의 기대치인 EU(Y)를 효용함수의 단일변 수인 부(wealth, y)로 나타낸 상당치(certainty equivalent)로 위험프리미엄(risk premium)을 구하는데 이용된다. 즉, U[E(Y)- ρ] =E[U(Y)] ( ρ는 위험프리미엄)으로 CE와 E(Y)간의 간격이 위험프리미엄이다.
위험에 대한 의사결정자의 태도를 알아보는데 있어 위험프리미엄의 부호를 파악하면 알 수 있는데, ρ>0이면 위험회피(risk averse), ρ<0이면 위험선호(risk loving), ρ=0이 면 위험중립(risk neutral)을 나타내고 효용함수의 구체적인 형태를 안다면 ρ의 크기도 구할 수 있다.(물론 y에 대한 함수형태, ρ = π (y)로 풀림).
테일러시리즈 2계근사(Taylor series second approximation)로 풀면 위험프리미엄은
ρ = - 1 2
U ''(y
*)U '( y
*) σ2y= 12
A σ
2y 이고, 여기서 y*= E(y)이며A = - U ''(y
*)U '( y
*) 인데 이것은 Arrow-Pratt의 절대위험회피도(measure of absolute risk averse)를 나타낸다. 위험프리미엄은 개인의 효용형태(효용함수)와 분포(distribution, 분산으로 나타남)에 의해 영향을 받는다.
Arrow-Pratt의 절대위험회피도(measure of absolute risk aversion)와 함께 위험에 대한 태도를 알아보는데 많이 사용되는 것은 위험프리미엄을 평균소득으로 나눈 식에 나타나는 상대위험회피도(measure of relative risk aversion)로 R = - U ''(y*) y*
U '( y
*) 이다.Arrow-Pratt의 절대위험회피도 A와 상대위험회피도 R은 모두 y의 함수인 A(y)와 R(y)로 소득이 변함에 따라 이들 위험도는 어떻게 되는지에 대한 관계를 알 수 있다.
효용함수의 형태를 알면 가능하므로 채소농가의 위험태도를 알기 위해서는 이들의 효 용함수형태를 추정해 내는 것이 아주 중요하다
Arrow-Pratt의 절대위험회피도(measure of absolute risk aversion) 와 상대위험회피 도(measure of relative risk aversion)를 이용해 부(wealth)의 규모에 따라 위험자산 (risky asset)에 투자하는 정도가 어떠한가에 대한 연구가 이루어져 있는데, 그 결과들 은 다음과 같다.
M ax
α
E [ U w + α ( z - 1 ) ]
여기서 w는 초기 부(initial wealth), α는 위험 있는 자산에 투자된 금액, z는 예상수 익으로 ⌠
⌡z dF( z) > 1이 성립하는 것으로 가정하고, w+α( z-1)는 위험자산에 α만 큼을 투자했을 경우의 최종 부(final wealth)로 위의 극대화 문제를 풀어서 나오는 해인 α = α( w)로 w에 대한 함수식이다. 이에 대한 1계 도함수, α '( w)는 부의 규모에 따 른 위험자산 투자규모의 정도를 의미한다.
절대위험회피도인 A(y)와 상대위험회피도 R(y)과 α '( w)의 관계는
A'( w)
≤＞ 0 이면 α'( w) ≥
＜ 0, R'( w) ≤
＞ 0 이면
d(
αw
)d w
≥
＜ 0 이다.
위의 첫 번째 부등관계식은 부(소득)가 많을수록 위험을 회피하려는 정도(절대위험회
피도)가 낮아지면 부(소득)가 많을수록 위험자산에 투자하는 규모는 증가하고, 그렇지 않은 경우는 반대로 적용된다. 두 번째에 나타나 있는 부등관계식은 부(소득)가 많을수 록 상대적으로 위험을 회피하려는 정도(상대위험회피도)가 낮아지면 초기 부(initial wealth) 중에서 위험자산에 투자하는 금액의 비중은 부(소득)의 규모가 클수록 높아진 다는 것이다.
물론 위의 전체식은 위험자산의 예상수익률이 위험 없는 자산의 수익률보다 더 크다 ( ⌠⌡z dF( z) > 1)는 전제하에 위험자산을 구입(위험자산에 투자)을 했을 경우 그 결과 인 최종 부(또는 수입)에 따른 기대효용을 극대화한다는 의사결정 문제를 풀어 도출한 것이다.