옵션附MBB의 가치결정

(1) 옵션附MBB의 개념 및 특성

옵션附MBB란 기초 MBB의 현금흐름을 변경시키는 옵션이 부착된 MBB를 의미한다. 가장 전형적인 유형은 MBB의 발행기관에게 일정기간(period of call

protection) 경과 이후 만기전이라도 MBB의 원금을 상환할 수 있는 권한이 주어 진 콜옵션附MBB(callable MBB)이다.

MBB의 발행기관이 만기전에 MBB를 매입할 수 있는 콜옵션이 부착된 옵션 附부MBB의 경우, 옵션부채권과 마찬가지로 투자자는 다음 두 가지의 불리한 점 을 지닌다. 첫째, 시장이자율이 하락하는 경우 발행기관이 콜옵션을 행사하여 MBB를 중도에 상환하면 투자자는 재투자위험(reinvestment risk)에 직면하게 된다. 둘째, 이자율이 하락하는 국면에서는 당장 MBB의 발행기관이 콜옵션을 행사하지 않더라도 콜옵션을 행사할 가능성이 높아짐에 따라 가격압력(price compression)이 작용하여 채권가격이 하락한다. 이러한 점을 고려하여 옵션附 MBB에는 무옵션MBB에 비하여 높은 수익률이 주어진다.

무옵션MBB와 옵션부MBB의 가격-수익률 관계를 살펴보면, 우선 무옵션 MBB의 경우 가격-수익률 관계를 나타내는 곡선은 채권의 경우와 마찬가지로 제2장의 <그림 2-1>에서 본 바와 같이 원점에 대하여 볼록한 형태(positive convexity)를 나타낸다. 반면, 옵션부MBB의 경우 가격-수익률 관계를 나타내는

<그림 3- 1> 옵션부MBB와 무옵션MBB의 가치

옵션부MBB

수익률 MBB

가격 a '

a 무옵션MBB

b C^P MBB^*

y *

곡선은 가격압력이 작용하는 수익률( y ^*) 이하의 수준에서 원점에 대하여 오목

한 형태(negative convexity)를 나타낸다. <그림 3-1>에서 aa＇곡선은 무옵션MBB 의 가격-수익률곡선을 나타내며, ab곡선은 옵션부MBB의 가격-수익률곡선을 나 타낸다.

(2) 옵션부MBB의 가치구성

콜옵션부채권의 경우와 마찬가지로 콜옵션부MBB는 투자자가 다른 조건이 동 일한 무옵션MBB를 매입하고, 발행자에게 만기전상환 권리(call option)를 파는 두 가지의 합성된 거래를 한 것과 동일하다. 앞의 <그림 3-1>에서 만기전상환 콜옵션의 가격( C_p)은 aa＇- ab 로 측정할 수 있으며, 제2장의 식 (2.16)에 의하 여 MBB에 부착된 콜옵션의 가격은 식 (3.2)와 같이 나타낼 수 있다.

M B B _cop= MB B _{n on}- C_p C_p= MB B _{n on}- MB B _{c op} (3.2) M B B _cop : 콜옵션부MBB의 가격, C_p : 콜옵션의 가격

(3) 옵션부MBB의 가치결정모형

(가) 이항이자율구조 모형의 적용

제2장에서 채권가치를 결정하기 위해서 살펴본 이항이자율구조 모형(binomial interest-rate tree model)은 MBB의 가치결정을 위해서도 사용되어질 수 있다. 앞 에서 언급한 바와 같이 옵션부MBB는 합성거래의 성격을 가지므로 다음에서는 합성거래의 개념을 이용하여 콜옵션부MBB의 가치결정 모형을 살펴보고자 한 다.²⁴⁾MBB의 가치는 MBB로부터 발생하는 미래 현금흐름의 현재가치이며, 현재 가치 산정시 할인율은 이론적 현물이자율 또는 선도이자율을 사용한다.

이제 이자율변동성(interest-rate volatility)을 고려하여 이항이자율구조에 의 해 MBB의 가치를 결정하는 과정을 살펴보자. 우선 <그림 3-2>에서 각 결절점

24) Andrew J. Kalotay, George O. William, and Frank J. Fabozzi. 1993. "A Model for the Valuation of Bonds and Embedded Options". Finacial Analysts Journal. pp35-46.

(node : ) 사이는 기간(예를 들면 1년)을 나타내며, 1기 후 이자율이 상승할 경

를 알기 위해서는 바로 우측 두 개 결절점에서의 MBB의 가치를 알아야 한다.

즉, 결절점 N _H에서의 MBB의 가치를 알기 위해서는 N _{H H}와 N _{H L} 결절점 에서의 MBB의 가치를 알아야 한다. 각 결절점에서의 미래 현금흐름은 1기후 MBB의 가격과 1기후 액면이자(coupon payment)에 달려 있다. 1기후 액면이자 는 알려져 있으나, 1기후 MBB의 가격은 1기 선도이자율이 상승할 것인지 하락할 것인지에 달려 있다. 따라서 각 결절점에서의 현금흐름은 ① 1기 선도이자율이 상승했을 때의 MBB가치 + 액면이자이거나 ② 1기 선도이자율이 하락했을 때의 MBB가치 + 액면이자이다. 예를 들어, 결절점 N _H에서의 미래 현금흐름은 N _{H H}에서의 MBB가치 + 액면이자 또는 N _{H L}에서의 MBB가치 + 액면이자인 것이다.

또한, 각 결절점에서의 MBB의 가치를 구하기 위해서는 미래 기대되는 현금 흐름을 적절한 할인율로 할인하여야 한다. 일반적으로 1기 선도이자율이 할인율 로 사용된다. 각 결절점에서의 미래 기대되는 현금흐름은 1기 선도이자율이 높을 때와 낮을 때 두 가지 경우에 따라 각각 구하며, 그 확률은 1/ 2로 가정하여 N 결절점에서 MBB의 가치는 식 (3.4)와 같이 결정된다.

M B B ^{( n )} = 1

2

[

]

M B B ^{( n )} : N 결절점에서 MBB의 가치 V_H : 높은 1기 선도이자율에서 MBB의 가치 V_L : 낮은 1기 선도이자율에서의 MBB의 가치 I : 액면이자, r_* : N 결절점에서의 선도이자율

이상과 같이 각 결절점에서 MBB의 가치를 결정한 다음, 각 결절점에서의 MBB의 가치가 만기전 상환 콜옵션의 행사가격(K)을 초과할 수 없다는 조건을 붙이면, n 결절점에서 콜옵션부MBB의 가치, M B B ^{( n )}_cop가 산출된다.

MB B ^{( n )}cop = M in [ M B B ^{( n )}, K ] (3.5)

(나) Black의 모형 적용

다음으로 Black(1976)에 의해 제시된 옵션가격결정이론에 따라, 제2장의 식 (2.19)는 MBB에 대한 유러피언 콜옵션의 가치를 결정하기 위한 식으로 사용될 수 있다. 이 경우 식 (2.19)의 변수 F는 식 (2.21)에 의하여 현재의 MBB 가격으로 부터 식 (3.6)과 같이 산출될 수 있다.

F = ( MB B _{n on}- I_{p v}) e ^{r T} (3.6)

Ip v : 옵션의 만기까지 기간동안 지불되는 이자의 현재가치²⁶⁾

남은 문제는 MBB 가격의 변동성(volatility)을 어떻게 측정하느냐는 것이다.

채권의 위험도를 측정하는 방법으로 쓰이는 수정듀레이션을 이용하면 MBB 가 격 변동성의 근사값을 추정할 수 있다. 옵션의 만기에 MBB의 수익률변화와 MBB 가격 변화율 사이의 관계는 식 (3.7)과 같다.

M B B _{n on}

MB B _{n on} - D _{m od} y = - D _{m od} y y

y (3.7)

식 (3.7)은 MBB 가격의 변동성 측정치인 의 근사값은 MBB 수익률 변동성 측정치인 _y로부터 구할 수 있다는 것을 의미한다. 즉, 식 (3.7)로부터 식 (3.8) 을 도출할 수 있다.

= D m od y y (3.8)

26) I_{p v}는 옵션 만기까지 이자지급액을 각 이자지급기간동안 적용되는 무위험이자율로 할인한 값이다.