브라우니안 과정보다는 평균회귀(mean-reversion) 브라우니안 과정이 분석에 더욱 적합할 것이다. 하지만 본고에서는 분석의 편의상 전력가격은 기하학적 브라우니 안 과정으로 가정해서 분석하고, 다음 절에서 평균회귀 과정을 따르는 연료가격 을 분석하도록 한다. Amram and Kulatilaka (1999)와 Dixit and Pindyck (1994) 에 의하면 평균회귀 브라우니안과 기하학적 브라우니안 과정을 사용하였을 때의 모형의 정성적 결과는 변하지 않는 것으로 평가된다. 앞 장과 유사하게 Ito's lemma을 사용하여 최적기본방정식을 표현하면 다음과 같다.
rVi(p ) = pyi− ciyi2+ αpVpi(p ) + (1/2 )σ2p2Vppi (p ) (21)
위 Bellman 방정식의 1계 조건을 구하면 yi*= p/ (2ci)을 얻는다.6) 1계 조건을 (21)에 대입해 제약화된 최적화방정식(constrained fundamental equation of optimality)을 구한다.
rVi(p ) = p2/4ci+ αpVpi(p ) + (1/2 )σ2p2Vppi (p )
확률미분방정식인 이 방정식의 해를 구하면 다음과 같이 활동영역(active regime)에서의 발전가치를 얻는다.
Vi(p ) = p2
4ci(r−2α−σ2) (22)
위에서 (22)의 값이 (+)이 되도록 하기 위해서는 r−2α−σ2이 (+)의 값을 가 져야 함에 유의하자. 즉, 위험조정된 할인율(risk-adjusted discount rate)이 전력가 격의 순간증가율과 분산율보다 충분히 큰 값을 가져야 한다.
다음 단계로 전력가격의 하락에 따른 발전기의 일시정지 옵션(suspension
6) 발전용량이 y i로 제한되기 때문에 yi*는 yi를 초과할 수 없다.
option)을 구한다. 앞 장과 동일한 단계로 옵션가치인 Fi(p )를 결정할 수 있기 때문에 도출과정을 생략하고 결과만 제시하면 다음과 같다.
Fi(p ) = Ap − (23)
A는 옵션가치의 상수항이며 −는 해당 특성방정식의 근으로서 0보다 작다. 이는 p가 증가하면 발전소를 일시 정지할 옵션가치가 지수적으로 감소하기 때문이다. 옵 션행사의 최적임계점은 비용편익일치조건인 Ap −= p2/ (4ci(r−2α−σ2))−Si 과 한계비용편익일치조건인 ( −)Ap −= p2/ (2ci(r−2α−σ2))을 풀어서 구한다.
pi*= 2
√
Si(r−2α−σ2)ci −( −−2 ) (24)
r−2α−σ2>0이며 −<0이므로 pi*>0가 항상 성립한다. ∂pi*/∂Si>0이 므로 재가동비용 Si가 증가하면 발전임계점이 증가함을 알 수 있다. 만일 p > pi* 이면 발전소 i가 재가동되어 최적발전량인 yi= p/2ci를 생산한다. p가 모든 pi* 보다 크면 발전소 i = 1, 2 모두 가동된다. 이러한 결과는 두 종류의 에너지가 사 용되되 각기 이질적인 수요를 만족시키고자 사용되는 Chakravorty and Krulce (1994)와 비교되는 결과이다. 즉, 동일한 종류의 수요를 만족시키기 위해 다른 두 종류의 연료가 동시적으로 사용될 수도 있음을 보여준다.
Ⅳ-2. 연료가격의 불확실성
앞 절과 달리 불확실성의 발생원인이 전력가격이 아니라 사용하는 연료의 가격 에 있다고 하자. 최근 우리가 경험적으로 관찰하고 있는 유가의 급격한 변동이나, 석탄 등 원자재의 공급난이 이와 같은 연료가격의 불확실성을 초래할 것이다.
확률과정을 따르는 두 종류의 연료1과 연료2가 있다고 하자. 이들의 가격 c1과
c2를 동시에 고려하는 문제는 이들간의 비율인 θ = c1/c2의 확률과정만 살펴보는 것과 동일할 뿐만 아니라, 확률공간의 차원을 단순화시킴으로써 분석을 대폭 간 편하게 만들 수 있다. 연료의 상대가격비율은 아래와 같이 평균회귀 과정인 Ornstein-Uhlenbeck 과정을 따른다고 하자.
dθ = η (θ−θ )dt + σθdz (25)
앞 절에서와 마찬가지로 위너과정에서는 var (dz ) = dt이므로 시간이 지남에 따라 분산이 증가한다. 따라서 현재의 시점보다 먼 시점에서는 더 큰 불확실성이 존재한다고 해석된다. η는 θ의 장기평균수준인 θ로 회귀하는 조정속도를 나타내 는데, 이 수치가 클수록 조정속도가 빠르다. 임계점은 확률과정에 의해 지배받는 상태변수로 표시되므로, 연료간 전환의 최적임계점을 θ*로 표기하자. θ < θ*이면 연료1의 상대가격비율이 낮으므로 연료1을 사용한다. 만일 θ가 θ*을 상회하면 연 료1의 상대가격비율이 임계점을 초과함으로써 연료2로 전환하게 된다.
평균회귀과정의 확률모형에서 해를 명시적으로 도출하는 것은 난해하므로 수치해석에 의존하는데, 본 절에서는 격자탐색(grid search)방식의 동학프로그램으로 푼다.7) 우선 연속 과정을 이산과정으로 전환하기 위해서 (25)를 △θ (t ) ∼ N (η (θ −θ (t ))△t, σ2△t )로 이산화(discretize)한다. 즉, △θ (t )는 정규분포를 따르는데, 상태변수의 확률과정은 전환 확률행렬(transition probability matrix)에 의해 정의된다. 따라서 θi(t−1 )가 θj(t )로 바 뀔 확률은 다음과 같다 (Kulatilaka, 1993).
Prob(θj(t )|θi(t−1 )) = Φ η(θ−θi) △t + (j−i + 1/2 ) △θ σθi√
△t
−Φ η(θ−θi) △t + (j−i−1/2 ) △θ σ θi√
△t
(26)
7) 격자탐색방식에 관해서는 Trigeorgis (1996)을 참조하기 바란다.
연료1의 사용모드가 m1, 연료2의 사용모드가 m2이고 현재 연료1을 사용하고 있다고 하자. 이 경우 m1에서 m2로 전환하는 최적의사결정은 아래와 같은 Bellman 식을 풂으로써 구한다.
F (θ (t ), m1, t ) = max [ Π (θ (t ), m2, t ) − c12+ rEt(F (θ (t + 1 ), m2, t + 1 ))]
(26)의 확률전환식을 이용하여 임의의 확률행렬을 작성하고, Bellman식에 백워 드 프로그램으로 풀면 연료의 최적전환 임계점을 구할 수 있다. 예를 들어, θ = 1.854이고, η = 0.1, σ = 0.5, r = 0.05일 경우, θ*= 1.579이다.8) 즉, θ > θ*이면 연료1의 상대가격이 너무 올라갔으므로 m1에서 m2로의 연료전환옵 션을 행사하게 된다. 조정속도 η에 대한 임계점의 민감도 분석을 해보면 <그림 2>와 같은데, 상태변수가 장기평균으로 이동하는 조정속도가 느릴수록 연료의 전 환임계점이 높다.
<그림 2> 최적임계점 θ*의 η에 대한 민감도 분석
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9
0.0223 0.0315 0.041 0.0506 0.06048 0.07058 0.0809 0.09151 0.1
8) 실증분석에서 Ornstein-Uhlenbeck 과정은 흔히 AR(1)를 이용하여 추정한다.
xt−xt−1= a + bxt− 1+ t를 회귀분석하여 aˆ, bˆ를 먼저 추정한 후 θ =− aˆ/bˆ, η =−log (1 + bˆ), σ = σ
√
log (1 +bˆ)/ ((1 +bˆ)2−1 )를 구하면 된다.
θ*
η