조건(smooth- pasting condition)이라고 부르는데, 실물옵션관점에서 본 Jorgenson의 투자최적조건의 변형으로서 투자의 한계편익과 한계비용이 일치하는 조건을 나타 낸다.2) 아래에서는 이들 조건을 이용하여 어떻게 자원의 최적 개발시점을 도출할 수 있는지를 구체적으로 살펴본다.
간분산율을 나타내는데, 오염스톡 증가의 불확실성이 반영된다. 위너과정에서는 var (dz ) = dt이므로 시간이 흐를수록 분산이 증가하는 경향이 있다. 따라서 현 재의 시점보다 먼 시점에서는 더 큰 불확실성이 존재한다고 해석된다. (6) 우변의 첫 번째 항은 오염스톡의 증가율로서 자원의 발굴에 따라 오염스톡이 확산되는 것을 표현하나, 위너과정에 의해 조정된다. 이는 발굴자원의 기술진보를 암묵적으 로 반영한다고 볼 수 있다.
두 대체자원을 비교하기 위하여 λ1= 0 < λ2라고 하자. 즉, 자원2는 자원1보다 발굴비용도 높을 뿐만 아니라 오염피해도 유발하기 때문에 비용측면에서 불리한 자원이다. 자원1을 발굴하면 (6)을 아래의 (6a)와 같이 표현할 수 있다.
dM (t ) =− µM (t )dt + σM (t )dz (6a)
(6a)는 브라우니안 운동 중에서도 특히 기하학적 브라우니안 운동(geometric Brownian motion)에 해당한다. M의 기대증가율인 µ와 순간분산율 σ는 시간에 걸쳐서 불변인(time invariant) 상수이다. dz의 분산이 시간의 증가분으로 표시되 기 때문에 M에 대한 불확실성 역시 시간이 지남에 따라 증가한다. 즉, 만일 초기 값이 M (0 ) = M0이면 오염스톡의 경로는M(t ) = M0e(αt + σz2− 1/2 σ2t)와 같다. 여 기서 σ = 0이면 불확실성이 배제된 경우에 해당하는데 이 때 M(t ) = M0eαt는 지수적으로 증가한다. 하지만, σ > 0이면 M (t )의 경로는 σ2t 에 의해 시간이 흐 를수록 분산율의 지배를 크게 받게 된다. 만일 q1대신 q2를 발굴하면 오염이 발생 되고 (6)은 (6b)로 표현된다.
dM (t ) = (λ2q2−µM(t ))dt + σM(t )dz (6b)
아래에서 보겠지만, (6a)와 같은 기하학적 브라우니안 운동의 경우 Hamilton-Jacobi- Bellman(HJB) 기본방정식의 해를 구체적으로 구할 수 있다. 하지만, (6b)의 경우에는 분석해를 구하는 것이 불가능하므로 수치해석에 의존하게 된다. 따라서 우선 자원1
의 최적발굴 옵션행사 임계점을 구한 후, 자원2는 수치해석기법 중 유한차분법 (finite difference method)을 사용하여 구하도록 한다. 고갈자원의 발굴에 의해 자 원스톡의 변화율은 dRi=−qidt과 같으며,3) 자원 한 단위의 가격이 pi일 때 이윤 극대화 문제는 아래처럼 표현된다.
Vi= Et
: t
∞
e−rt((pi− ci)qi− gM dt, i = 1, 2) (7)
Et는 기대연산자(expectation operator)이며, g는 오염스톡 M이 각 기간 t에 발 생하는 경제적 한계손실을 나타낸다. 자원의 시장가격 pi는 완전경쟁시장에서 확 정적으로 주어진다. q1과 관련된 최적화문제는 (6a)을 제약조건으로 하여 (7)을 극 대화하는 방식으로 푸는데, Ito's lemma를 통해 HJB 방정식을 전개하면 아래와 같다.
rV1= (p1−c1)q1−gM−q1VR11 −µMVM1+ (1/2 )σ2M2VMM1 (8)
HJB 방정식 (8) 좌변은 자원 q1의 이용으로부터 발생하는 순간수익율을 나타낸 다. 우변의 첫 번째와 두 번째 항은 발굴된 자원의 사회적 순이익, 즉 생산이윤에 서 오염비용을 제한 가치를 나타내며, 세 번째와 네 번째 항은 각기 자원스톡과 오염스톡의 변화에 따른 사회적 한계기회비용을 나타낸다. 우변의 마지막 항은 HJB 방정식에서의 확률 구성요소(stochastic component)인데, 확정적 Bellman 방 정식에는 이와 같은 항이 나타나지 않는다.
자원2의 경우에도 유사하게 Ito's lemma를 통해 HJB 방정식을 얻을 수 있다.
rV2= (p2−c2)q2−gM−q2VR22 + (λ2q2−µM )VM2+ (1/2 )σ2M2VMM2 (9)
3) 자원스톡의 크기, 즉 자원의 매장량에 관해서는 불확실성이 존재하지 않는다고 가정한다.
옵션가치를 본격적으로 평가하기에 앞서 위와 같은 옵션모형 하에서도 이른 바 호텔링 규칙(Hotelling's rule)이 성립하는지 확인하는 것은 나름대로의 의의가 있 다. 호텔링 규칙은 자원의 수익변화율이 할인율 r과 균형수준을 맞추도록 고갈자 원이 개발되는 것이 최적임을 주장한다. 일찍이 Pindyck (1980)과 Gaudet and Khadr (1991)은 각기 가격불확실성과 매장량의 불확실성 하에서도 호텔링 규칙이 성립함을 증명하였다. 호텔링 규칙이 옵션환경 하에서도 여전히 성립한다면 이후 옵션가치를 평가할 때에 보다 직관적인 해석이 제공가능하다. 자원의 최적발굴계 획을 발견하고자 우선 (8)를 q1에 대해 미분하여 1계 조건을 구한다.
p1−c1= VR11 (10)
다음 (8)를 R1에 대해 미분을 취하여 rVR11 = (1/dt )Etd (VR11)을 얻는다. 여기 서 (1/dt )Etd ( )는 Ito 미분연산자(Ito's differential operator)를 나타낸다. 그러면 식 (10)으로부터 (1/dt )Etd (p1−c1) = (1/dt )Etd (VR11 )가 나오며, 이를 rVR11 = (1/dt )Etd (VR11 )과 결합하여 아래와 같은 확률옵션모형 하에서의 호텔 링 규칙을 최종적으로 얻게 된다.
1 p1− c1
1
dtEtd (p1− c1) = r (11)
위 식을 따르면 자원 q1은 매기간마다 할인율 r이 순이익의 기대변화율과 일치 하는 조건을 만족시키는 가운데 발굴되어야 하는데, 이는 확률오염 대신 확률가 격을 분석한 Gaudet and Khadr (1991)와도 일치하는 결론이다. 동일한 방법으로 자원 q2의 개발과 관련한 호텔링 규칙을 도출할 수 있다. q2에 대한 (9)의 1계조 건을 취하면 p2−c2−VR22 −λ2VM2= 0이다. Ito 미분연산자를 1계조건에 적용하 면, (1/dt )Etd (p2−c2) = (1/dt )Etd (VR22 ) + λ2 (1/dt )Etd (VM2)을 얻는다. (10) 에서 구한 rVR22 = (1/dt )Etd (V 2R2)이며, rVM2=−g + (1/dt ) d (VM2)를 위의 미
분연산자 1계 조건과 결합해서 재정리하면 아래 (12)와 같은 호텔링 규칙이 도출된 다. q2는 자원사용의 순이익뿐만 아니라, 오염의 순간비용 λ2g도 고려해서 자원이 발굴되어야 함을 반영하고 있다.
1
dtEtd (p2−c2) = r (p2−c2)−λ2g (12)
따라서 (11)과 (12)에서 보이는 바와 같이 자원 q1 및 q2의 순사용가치 기대변 화율의 상대적 크기는 자원의 발굴비용 및 환경요인에 따라 달라진다. 예를 들어, λ2와 g가 충분히 큰 값을 가지는 경우에는 비록 c2<c1일지라도 자원 q2를 이용 할 때의 이득증가율은 q1의 그것보다 적을 수 있다. 즉, 높은 비용으로 발굴되는 q1의 이득이 낮은 비용으로 발굴되는 q2의 이득보다 더욱 빠른 속도로 증가할 수 있음을 시사한다. 이러한 결과는 각 자원의 이용옵션가치를 아래에서 구체적으로 구해서 검토해 볼 때에도 여전히 성립한다.
HJB 방정식이 q1과 q2에 대해 미분가능하며 선형이기 때문에 모형에서의 최적 발굴은 이른 바 bang-bang 해를 따른다. 따라서 자원 q1, q2의 최대가능산출량 (maximum allowable instantaneous output)을 q1, q2로 표기한다.
앞서 언급되었지만 자원2의 옵션가치는 분석적으로 도출될 수 없고 수치해석에 의존해야 하기 때문에 우선 자원1의 옵션가치를 도출하도록 한다. 콜 옵션으로서 의 투자옵션가치는 SDE인 (8)을 풀어서 구할 수 있으며, 옵션행사의 최적임계점 은 경계조건 (4)와 (5)를 연립으로 풀어서 구할 수 있다. 우선 (8)의 비동차방정식 (non-homogeneous equation)의 해를 구하면 다음과 같다.4)
V1= p1− c1
r q1− gM
r + µ + e−rR1/q1
r + µ + 1 (13)
4) 본고에서는 해의 자세한 도출과정은 생략한다. Mason (2000)은 추측확인법(guess-and-verify method)에 의해 (9)와 유사한 SDE의 해를 제시한다. 본 모형에서는 자원스톡 Ri를 고정시 킨 가운데, 오염스톡 M만 변수로 취급하였다.
(13)의 우변 마지막 항에서 R1/q 1= T1은 현재부터 계속해서 최대가능산출량 으로 발굴을 할 때 지금 매장량이 완전고갈하기까지 걸리는 시간을 의미한다.
(13)의 첫 번째 및 두 번째 항은 투자사업의 근원적 가치(fundamental component of value of the project)를 나타내는데, 이는 다음의 전환식에서 쉽게 확인할 수 있다. (14)는 순이익을 할인율 r로 현재가치화한 값이며, (15)는 환경오염피해비용 을 r + µ로 할인한 값이다.
: 0
∞
(p1−c1)q 1e− rtdt = p1−c1
r q 1 (14)
: 0
∞
gMe−(r + µ )tdt = gM
r + µ (15)
다음 단계로 SDE의 동차방정식을 푼다. Dixit and Pindyck (1994)가 보여주는 바와 같이 동차방정식의 해는 다름 아닌 투자의 옵션가치가 되는데, 자세한 도출 과정은 생략하고 그 결과만 구해보면 F1(M) = A+M ++ A−M −와 같다. 여기 서 A+와 A−는 비용편익일치조건 및 한계비용편익일치조건을 통해 구해야 할 옵 션의 상수항이며, +와 −는 특성방정식인 (1/2 )σ2 ( −1 )−µ −r = 0의 근으로서 아래 식과 같이 주어지며, +>1, −<0이 항상 성립한다.
= 1 2 + µ
σ2
√
1 2 + µ
σ2
2
+ 2r
σ2 (16)
오염스톡이 증가함에 따라 자원1의 투자옵션가치가 증가해야 하기 때문에 F1(M ) 의 두 번째 항이 소거되고, 최종적으로 투자의 옵션가치는 F1(M) = A+M +으로 정리된다. 따라서 자원 q1을 발굴하기 위한 초기고정투자비용이 I1일 때, (4)와 (5)로 부터 구한 두 경계조건인 F1(M*) = V1(M*)−I과 F1M(M*) = VM1(M*)을 풀
면 자원1의 최적임계점 M1*가 구해진다.
M1*=
I1− (p1−c1)q˜ 1
r − e
− rT1
r + µ + 1
r + µ
g
+
1− + (19)
만일 M < M*이면 환경오염을 발생하지 않는 자원 q1을 높은 단위당 발굴비 용인 c1을 지불하면서까지 발굴할 필요가 없다. 하지만, M이 임계점 M*을 상회 하면 높은 수준의 오염피해비용을 저감하기 위해서 환경친화적인 자원 q1을 사용 하는 것이 최적이다.
다음 단위당 발굴비용 c2(≥ c1)이며, 동시에 오염피해를 유발시키는 자원2의 옵션가치를 평가해보자. 앞에서 언급된 것처럼 자원2의 SDE인 (10)은 (9)와 유사 하지만 단 한 개의 항이 추가됨으로써 분석해를 도출할 수 없어 수치해석에 의존 해야 한다.
옵션가격결정에 활용되는 수치해석기법은 유한차분법(finite difference method), 유한요소법(finite element method), 이항격자법(binomial lattice method), 몬테 카 를로 기법 등 매우 다양하다.5) 본 장에서는 유한차분법을 이용하고자 한다.
Bellman 방정식인 (10)을 유한차분법에 의한 1계 상향차분식을 사용하여 일반적 으로 다음과 같이 표현할 수 있다.
rVi, j2=− bi, j+
△M (Vi, j1− Vi, j − 11 )− bi, j−
△M (Vi, j + 11 − Vi, j1) + O (△R ) + O (△M )
위에서 bi, j= µM, bi,j+= (1/2 )(bi,j+|bi,j| ), bi,j−= (1/2 )(bi,j−|bi,j| )를 나타내며, O ( )는 R과 M에 대한 고계항(higher order terms)을 나타낸다. 하첨 자 i와 j는 R과 M의 이산구분을 의미한다. bi,j+= 0의 전방차분(forward
5) Trigeorgis (1996)는 다양한 수치해석기법을 세부적으로 소개하고 있다. Duffie (1992)는 Cox-Ingersoll-Ross 모형을 풀기 위한 C 언어코드를 제공하고 있으며, Chandler (1999) 는 유한차분법으로 확률동학 프로그래밍을 푸는 기법을 소개하고 있다.
difference)과 bi,j−= 0의 후방차분(backward difference)을 결합함으로써 차분오차 를 수정한다. 위 차분공식을 이용하여 M만 이산변화시킴으로써 V2를 조정하다.
Vi + 12 = rVi2+ g M + µMVi2−Vi2−1
△ M + σ2M2 2
2Vi2−Vi2−1
△ M2
2△ M2
σ2M2
두 자원의 옵션은 상호간에 영향을 끼칠 수 있다. Trigeorgis (1996, chapter 7) 는 두 개의 투자옵션간에 상관관계가 (+)이거나 (-)인 경우를 검토하였다. (-)의 상 관관계가 존재할 경우에는 다른 한 편의 옵션을 무시하고 나머지 하나의 옵션만 평가해도 오차가 크지 않음을 부여 주었다. 따라서 본 고에서 이 결론을 받아들 여 두 개의 옵션을 각기 독립적으로 평가하여 각 옵션에서의 최적투자 임계점을 구하도록 한다.
<표 1> 시뮬레이션 이용 수치
자원 q1 (i = 1) 자원 q2 (i = 2) 산출물가격 pi
단위당 발굴비용 ci
오염발생증가율 λi
자원스톡 Ri
최대산출량 q˜ i
$10/톤
$2/톤 0.0ppm/톤
50백만톤 2만톤
$10/톤
$2, 4, 6/톤 0.1ppm/톤 50백만톤
2만톤
할인율 r
분산율 σ2
오염정화율 µ
오염피해비용 g
0.03 0.2 0.02ppm/연
$1/ppm
시뮬레이션에서 활용되는 가상적인 수치는 <표 1>과 같다. 환경요인을 고려한 최소비용원칙에 초점을 두기 위해 ci와 λi를 제외한 다른 모든 파라미터는 자원 1과 자원 2간에 동일하게 설정하였다. 초기투자비용은 i = 1, 2에 대해 I = 25 104 이며, M = 0일 때 두 개의 초기값이 필요하므로 i = 0일때 V2= 53 104,
i =− 1일 때 V2= 64 104으로 가정한다. M의 초기값 900에서부터 시작하여
△M = 100의 동일한 간격으로 증분한다. <그림 1>에서 보는 바와 같이 자원 2의 가치인 V2는 낮은 수준의 오염스톡에서 (+)의 값을 가지지만, 오염스톡이 증가함에 따라 가치가 감소한다.
단위당 발굴비용이 톤당 $2, $4, $6일 때 자원 2의 최적임계점인 M2*을 구해보 면, 각각 5.6 103, 7.6 103, 12.2 103이 계산되는데 즉, 단위당 비용이 증 가할수록 임계점이 증가하는 것을 알 수 있다. 한편 (19)를 이용하여 자원 1의 최 적임계점을 구하면 M1*= 870 103로서 M2*보다 매우 높게 나타났다. 즉, 자원 1의 가변비용이 톤당 $2로서 자원 2보다 상대적으로 낮지만, 환경친화적인 자원 1은 오염스톡이 충분히 높은 수준까지 증가할 때까지 이용하지 않는다. 반면 오 염스톡이 낮은 수준일 경우 자원 2를 먼저 사용한다. 이러한 결과가 나오는 것은 환경오염으로 말미암은 피해는 비가역적인 손실을 끼칠 수 있기 때문이다. 비가 역적인 오염피해와 비가역적인 투자비용이 환경오염방지 투자동기에 미치는 영향 을 분석해보면, 후자의 투자동기감소효과가 전자의 투자동기제고효과에 의해 감 소한다는 Arrow and Fisher (1974), Pindyck (2002), Saphores (2000)등과 일치하 는 결론을 보여준다.
<그림 1> V2 시뮬레이션 결과 V2
c2= 6
c2= 2 c2= 4