수학적으로 벡터 장의 발산은 단순히 벡터 편미분 연산자 ∇과 그 벡터의 내적으로 정의된다. 따라서 속도 벡터에 대해서 발산은 다음과 같이 표현 된다.
(7.2)
물리적 의미로 발산은 단위 부피당 공기의 시간적 감소율을 나타내고 있다.
그림 7.2는 공기가 서쪽에서 동쪽으로 어떤 부피를 지나는 단순한 경우를 보이고 있다. 여기서 바람의 와 성분은 0이다. 바람의 성분이 동쪽으 로 갈수록 증가하므로 는 양이다. 이것은 공기가 상자를 들어가는 것 보다 더 빠르게 상자를 떠나고 있다는 것을 의미한다. 따라서 상자 속의 공 기가 감소하게 되는데, “상자로부터 공기의 발산이 존재한다.”고 말한다.
만일 가 음이면, 공기는 이 상자 안에 쌓이게 된다. 이 같은 음의 발산 상태를수렴이라 한다.
속도 발산 ∇ ∙
[그림 7.2]속도 벡터의 성분 때문에 생기는 발산을 보여 주는 대기의 부피
기상학에서는 흔히 수평 바람 성분인 와 로 생기는 발산에 관심이 있다.
수평 발산은 다음과 같이 표현된다.
(7.3)
사실 수평 바람 성분만을 포함한다는 말을 명확히 하지 않아도 발산이란 용어는 보통 수평 발산을 의미한다.
연직 속도와 수평 운동 사이를 직접 연결시키기 위하여 이 수평 발산 표현 은 연속방정식(방정식 (7.1))에 대입하여 다음과 같이 나타낼 수 있다.
수평발산 ∇∙
7.4 바람장의 발산
(7.4)
방정식 (7.4)는 수평 발산이나 수렴이 연직 운동에 의해 보상되어야 함을 말하고 있다. 다른 말로 하면, 대기의 한 점에서 질량은 감소될 수도 없고 증가할 수도 없다. 그림 7.2에서 보인 부피를 고려하라. 순수한 의미에서 볼 때 수평 바람 흐름은 상자로부터 공기가 제거되고 있다. 그러므로 이 공 기의 손실을 보충하기 위하여 연직 운동이 일어나야 한다.
수평 발산과 균형을 이루는 연직 운동의 부호에 대해서 이 방정식은 아무 것도 말하지 않고 있다. 연속성은 하강이나 상승에 관계없이 똑 같이 만족 될 것이다. 그림 7.3은 연속성을 만족하나 반대 방향의 연직 속도를 갖게 되는 두 가지 경우를 보여 주고 있다.
수평발산 ∇∙
[그림 7.3]연속방정식을 만족하는 수평 발산에 대한 두 가지 반대 방향의 반응
7.4.2절에서 단순화한 대기 모델을 다루게 되는데, 그 모델은 수평 발산을 결정함으로써 연직 운동의 부호를 알 수 있게 한다.
7.4.1 발산측정
연직 속도는 구름과 강수의 형성과 소멸을 이끌고 대기 안정도와 지상 기 압을 변화시키기 때문에, 이 연직 속도는 날씨 예보하는데 중요한 파라미터 이다. 연직 속도는 직접 측정하기가 어려워서 방정식 (7.4)를 이용하여 수 평 발산을 계산함으로써 연직 속도를 추론할 수 있다.
가장 간단한 바람장은 기압장이나 고도장으로부터 지균풍을 계산함으로써 얻을 수 있다. 지균풍 방정식은 다음과 같다.
이 식을 방정식 (7.3)에 대입하면 다음 식을 얻는다.
이와 같이 를 상수로 가정하면 지균풍은 비발산적이고, 발산이나 수렴을 이끄는 것은 오직 지균적이 아닌 바람 성분임을 알 수 있다. 흐름이 지균 균
7.4 바람장의 발산
∇∙
이끄는 것은 오직 지균적이 아닌 바람 성분임을 알 수 있다. 흐름이 지균 균 형으로부터 떨어져 있는 경우는 이미 앞에서 취급하였다. 마찰의 영향을 받 는 흐름과 곡선 궤적을 그리는 흐름은 지균적이지 않다. 따라서 이와 같은 유형의 흐름은 발산과 연관되어 있다고 기대하게 된다. 이 장의 뒤 부분에 서 비교적 작은 비지균 바람 성분을 고립시켜 집중 토의할 것이다.
발산의 단위는 이다. 이것은 회전의 척도인 각속도와 같은 단위이다. 소용돌이도에 대한 장에서 우리는 발산이 대기의 회전에 밀접하 게 관련되어 있기 때문에 이들 단위가 서로 부합됨을 볼 것이다.
대기의 발산을 직접 측정하는 것은 불가능하다. 따라서 측정된 수평 바람장 으로부터 발산을 계산하는 것이 논리적인 듯하다. 그러나 와 항 의 크기는 작지 않고 거의 같지만 부호가 서로 반대이므로 발산은 보통 작 은 나머지 항에 불과하다. 따라서 와 의 관측에서 발생하는 작은 오차는 발산 계산 과정에서 큰 오차를 초래하게 될 것이다.
그림 7.4는 제트 출구에서 와 가 서로 상쇄되는 등고선 형태를 보여 주고 있다.
7.4 바람장의 발산
[그림 7.4]제트 출구에서 발산적일 수도 있고 수렴적일 수도 있는 분류 형태
7.4.2 다인스(Dines)의 대류권 2층 모델
수평 바람장의 발산, 연직 운동 및 기압 변화 사이의 관계는 영국 기상학자 다인스(W. H. Dines, 1855-1927)에 의해 처음 추론되었다. 그가 일할 당 시에는 기상 관측에서 지상 관측만 가능한 시기였다. 따라서 대기의 3차원 구조는 거의 알려지지 않았다. 다인스는 저기압 주위에서 관측한 지상 바람 장으로부터 수렴을 계산하였다. 그리고 그는 이 수렴이 저기압 중심 상공의 대류권 전체 공기 기둥을 대표한다고 가정하였다. 그는 연속방정식을 적분 대류권 전체 공기 기둥을 대표한다고 가정하였다. 그는 연속방정식을 적분 하였고 이 수렴값을 이용하여 지상 기압 변화율을 계산하였다. 그가 계산한 값은 기압이 시간당 36hPa씩 상승해야 한다는 것이었다. 이것은 명백히 틀 렸는데, 그 이유는 크기가 너무 크기도 했지만 기압이 실제로 떨어지고 있 었으므로 부호가 반대로 나왔기 때문이다.
이로부터 다인스는 대기 전체에 걸쳐 발산이 고도에 따라 일정하다는 가정 은 잘못되었다고 판단하였다. 그러므로 대기에는 서로 반대 부호의 발산을 가진 층이 적어도 두 개는 존재해야만 한다. 즉, 한 층에서는 수렴이, 그리 고 다른 층에서는 이와 거의 균형을 이루는 발산이 존재해야 한다. 지상 기 압의 변화는 이 둘 사이의 상대적으로 작은 차에 의해 생길 것이다. 이 생각 은 상하층에 반대 부호의 발산을 가진 간단한 대기 개념 모델의 개발을 가 져왔다.
이 모델이 매우 간단하지만, 발달하는 많은 날씨 시스템은 1차 근사로 이 방식으로 행동하고 있다. 연직 운동은 모델의 상하층 경계에서 0이어야 하 고, 연직 운동의 부호는 두 층에 나타나는 발산장의 부호에 의해 결정된다.
7.4 바람장의 발산
그림 7.5a는 저기압 발달 영역에서 발산과 연직 운동의 연직 분포를 보여 주고 있다. 하층에 수렴과 상층에 발산이 존재하여 중층 대류권에서 최대로 되는 상승 운동과 연결되어 있다. 만일 상층 발산이 지상 수렴보다 약간 더 크면 이 공기 기둥에 질량의 순 손실이 있을 것이고 따라서 지상 기압은 하 강할 것이다.
그림 7.5b는 고기압 발달 영역에 대한 것으로서 그림 7.5a와 반대 경우를 보이고 있다. 하층에 발산과 상층에 수렴이 존재한다. 그리고 상하층을 연 결하는 하강 운동이 나타난다. 만일 상층 수렴이 지상 근처의 발산보다 약 간 더 크다면 지상 기압은 상승할 것이다.
[그림 7.5](a) 저기압 발달 영역에 대한 연직 운동과 발산 분포. (b) 고기압 발달 영 역에 대한 연직 운동과 발산 분포
다인스 모델에서 발산 부호가 바뀌는 고도에서는 발산이 0이어야 한다. 이 고도에서 는 최대이거나 최소임을 연속방정식으로부터 알 수 있다. 즉, 이 고도에서 가장 큰 상승 또는 하강 운동이 일어남을 알 수 있다. 이처럼 발 산이 0이 되는 고도를 비발산 고도라 부르고, 이 고도는 대략 500-600 hPa 고도에서 나타난다. 비발산 고도는 대기역학에서 유용한 개념이다.
다인스의 모델은 매우 간단한 개념적 모델이고 실제 대기는 훨씬 더 복잡 하다는 것을 기억해야 한다. 그러나 이 모델은 발달하는 날씨 시스템의 메 커니즘에 대한 유용한 통찰력을 제공하고 연직 운동이 어떻게 수평 발산과 관련되어 있는지를 보여 준다.