3.2.1 방정식의 항에 대한 규모 분석
규모 분석이란 방정식에 있는 항들의 전형적인 크기를 찾아내는 과정이다.
대기의 운동은 수 초부터 수 일까지의 시간 규모와 수 cm부터 수천 km까 지의 공간 규모를 갖고 있다. 우리가 분석을 위해 가장 관심 있는 규모를 선 택해야만 하는데, 여기서는 대규모(소위 종관 규모)에 초점을 맞출 것이다 (예를 들면, 단일 대류 구름 안에서의 운동을 유사하게 분석하면 매우 다른 결과를 얻게 될 것이다). 먼저 속도나 거리 같은 것들의 전형적인 값을 고 려해야 한다. 표 3.1은 종관 규모 운동에 대한 대표적인 특성 규모 값을 보 여 주고 있다.
[표 3.1]종관 규모 운동에 대한 대표적 특성 규모 값
U 수평 속도 (u,v)
W 연직 속도 (w)
L 길이 (x,y)
10 ms
−1 110
−2ms
−6
m 10
대규모 운동에서는 연직 속도의 값이 수평 속도의 값보다 훨씬 더 작다는 것을 주목해야 한다. 연직 속도가 20cms-1이면 종관 규모에서는 빠른 상승 으로 간주된다. 이처럼 종관 규모 운동은 거의 수평적이다. 그러나 연직 속 도가 구름과 강수의 형성 또는 소멸을 유도하기 때문에 이 연직 속도는 물 리적으로 상당히 중요하다(대기역학에서는 작지만 중요한 연직 속도 성분 을 진단하는데 관심을 갖는다).
표 3.1에 있는 값과 =7.29x 의 값을 사용하면 운동방정식의 각 항 에 대한 근사적 크기를 계산할 수 있는데, 그 결과는 표 3.2에 요약되어 있
10-5 s-1
H 깊이 (z)
L/U 시간 (t)
수평 기압 변화 (p)
연직 기압 변화 (p)
4
m 10
5
s 10
3
Pa 10
5
Pa 10 p
∆
∆ p
3.2 규모 분석
가속도 기압경도력 전향력 중력
x 성분
y 성분
규모 U2/L
크기(ms-2) z 성분
크기(ms-2) 10 10
10- 4 10-3 10-6
10-3
10- 3 10-7
[표 3.2]운동방정식 각 항의 근사적 크기
먼저 수평으로 작용하는 각 항의 규모를 보면 가장 큰 항이 기압경도력 항 과 전향력 항임을 알 수 있다. 가속도 항이 기압경도력 항이나 전향력 항보 다 크기에서 한 차수 작지만 무조건 무시할 수는 없다. 그러나 연직 운동으 로부터 오는 전향력( )은 상대적으로 작은 크기의 때문에 다른
로부터 오는 전향력( )은 상대적으로 작은 크기의 때문에 다른 항들보다 매우 작다. 그러므로 정확도에 유의한 손실 없이 이 항을 무시할 수 있다.
연직 운동방정식에서 두 항의 크기가 다른 항들에 비하여 압도적으로 크다.
즉, 연직 방향 기압경도력과 중력이 매우 우세하다. 이 항들의 크기는 나머 지 다른 항들의 크기보다 몇 차수나 더 크다. 연직 운동방정식의 전향력 크 기가 수평 운동방정식의 전향력 크기와 비슷하지만, 연직 운동방정식에서 기압경도력과 중력이 전향력보다 압도적으로 커서 여기서는 전향력을 무 시할 수 있다. 그리고 연직 가속도는 아주 작기 때문에 그것을 무시해도 정 확도에는 전혀 문제가 없다.
3.2.2 단순화된 운동방정식
이제 종관 규모 운동에서 크기가 작아 중요하지 않은 항들을 제거하여 운 동방정식을 다시 쓰고자 한다. 전향력에서 중요한 성분은 오로지 두 가지 성분 와 뿐이다. 라는 표현이 기상학에서 자주 나 오기 때문에, 이것을 나타내는 약어로 라 표현하고 이를 코리올리 파라미 터라고 부른다. 즉 다음과 같이 표현한다.
3.2 규모 분석
(3.1)
그러므로 수평 운동방정식은 1차 근사로 다음과 같이 표현된다.
(3.2)
(3.3)
방정식 (3.2)와 방정식 (3.3)에 대한 벡터 형태는 이 장의 맨 뒤에 있는 부 록에 나와 있다.
마찰력의 연직 성분은 매우 작아서 역시 무시할 수 있다. 그러므로 연직 운 동방정식은 다음과 같이 쓸 수 있다.