반복되는 게임의 종류가 확실한 경우에는 한쪽 참가자가 상호주의의 높 은 명성을 확보하고 있다면 모두가 만족할 만한 균형을 도출해 낼 수 있다.
즉 게임이 유한 반복되어 끝나는 지점을 양 행위자 모두가 알더라도 역진 귀납전략에 의한 협조의 가능성이 높다는, 의외적인 사실이 발견된다. 앞의 표의 죄수의 번뇌게임이 3회 반복되는 경우를 모델로 하여 이 과정을 추적 해 보자.
갑의 협조에는 협조로 대응하고 배반에는 배반으로 대응하는 팉포탵 전 략을 확률을 p로 두면, 그가 무조건 배반을 선택할 확률은 1-p가 된다. 또 한 甲이 최초 1期(t=1)에서 협조할 가능성을 r 이라고 하자. 그리고 甲은 乙이 완고한 팉포탵전략주의자라고 생각하고 있음을 가정하자. 따라서 甲은 乙이 2期(t=2)에서 협조했을 경우 3期(t=3)에서도 협조할 것이라고 생각
한다. 이러한 가정하에서의 乙은 어떤 전략을 취할 것인가?
1) 3期(t=3)에서 乙이 협조할 가능성을 구해보자. 마지막 게임인 3期 (t=3)에서 乙은 무조건 배반한다. 왜냐하면 마지막 게임에서는 배반 이 최선의 보상값을 주기 때문이다. 따라서 3期(t=3)에서 乙이 협조 할 확률은 O이다.
2) 2期(t=2)에서 乙이 협조전략을 선택할 가능성을 구해보자. 乙은 제 2 期(t=2)에서 자신의 협조전략을 취할 때 그 기대값이 배반전략의 기대값보다 큰 경우에만 협조전략을 선택한다. 구체적으로 보면, 甲 이 1期(t=1)에서 배반할 경우에 乙은 2期 (t=2)에서 무조건 배반전 략을 선택하게 되므로 이 경우 乙이 협조할 가능성은 없다. 甲이 1期 (t=1)에서 협조했다면 선택하게 되므로 이 경우 을의 협조할 가능 성은 없다. 갑이 1期(t=1)에서 협조했다면 이때 甲의 의도는 두 가 지이다. 즉 甲이 팉포탵 전략주의자이면서도 협조했을 가능성도 있 고(확률은 p), 그렇지 않으면서도 협조했을 가능성도 있다. r(1-p).
이 각각의 경우에 乙이 2期(t=2)에서 어떤 전략을 선택하는가는 자 신의 2期(t=2), 3期(t=3)의 보수값에 대한 고려에 따라 달라진다.
각각의 경우에 예상되는 乙의 보상값은 다음과 같다.
1期(t =1)에서 甲이 협조했을 경우, 2期(t=2)에서 乙이 협조할 경 우 자신의 기대값을 E(협조₂)라고 하면 그 값은 식 ①과 같다.
◆ E(협조₂)=3p+ 1( 1-p) + 4p + 2(1-p) ··· ①
乙이 2期(t=2)에서 협조할 경우 甲이 되받아치기주의자라며(확률 : p) 전략쌍은(협조, 협조₂)가 되어 乙의 예상값은 3p이고, 3期(t=3) 의 전략쌍은(협조₃, 배반₃)이 되어 乙의 예상값은 4p이다. 반대로 甲이 되 받아치기 주의자가 아니라면(확률: 1-p) 2期(t=2) 전략쌍은(배반₃, 협 조₂)가 되어 乙의 예상값은 1(1-p)가 되고 3期(t=3) 전략쌍은 (배반₃
배반₃)이 되어 乙의 예상값은 2(1-p)가 된다.
1期 (t=1)에서 행위자 甲 이 협조했음에도 불구하고 乙이 2期(t=2)에 서 배반할 경우 을의 기대값 E(배반₂)는 다음 식 ②와 같다.
◆ E(배반₂)=(2+2) p + 2( 1-p) + 2 ··· ②
甲이 진정한 팉포탵전략주의자(확률: p )임에도 불구하고 乙이 2期 (t=2)에서 배반했다면 전략쌍이(협조₂,배반₂)으로 되어 이때 을의 예상 값은 4p이다. 甲이 되받아치기 주의자가 아닐 경우(확률:1-1p )에는 2기 (t=2)에서 갑, 을 이 모두 배반하게 되어 전략상은 (배반₂ 배반₂)가 된 다. 이때 乙의 예상값은 2(1-p)이다. 또한 假定에 의해 2期(t=2)에서 乙이 배반했으므로 3期(t=3)에서 甲은 무조건(확률: 1) 배반하여 전략쌍은 (배 반₃배반₃)이 되고 이 경우 예상값은 1×2이다. 甲이 1期에서 협조하는 경 우 이에 대응해서 乙이 협조할 때와 배반할 때의 예상값의 차이는 식③에 의해 2p-1이다.
◆ E(협조₂)-E(배반₂)= 2p-1 ··· ③
식 ③에 따라 E(협조₂)에서 E(배반₂)를 뺀 값인 2p-1이 0보다 크면 乙은 2期에서 협조전략을 선택할 것이다. 위 식을 풀이하면 이 경우의 p값 은 1/2 보다 큰 경우이다. 결국 甲이 최초에 배반할 경우 乙은 2期에서 무 조건 배반하고, 甲이 최초에 협조한다면 갑의 되받 아치기주의자일 확률이 1/2보다 크다면 乙은 2期에서 협조전략을 택할 것이다.
동일한 방식으로 乙이 1期(t=1)에서 협조전략을 선택할 확률을 구해보 자. 甲과 乙이 각 期에서 선택할 전략의 수는 다음표와 같다.
먼저 1期(t=1)에서 乙이 협조할 경우는 표에서 ①, ③과 ⑤의 경우에 해 당된다. 반대로 1期(t=1)에서 乙이 배반할 경우는 표에서 ②, ④와 ⑥에 해 당된다. 이 경우 각 期의 전략쌍에 해당되는 보상값과 발생할 확률을 곱해 서 기대값 E(협조₁), E(배반₁)을 구하면 다음과 같다.
◆ E(협조₁)= P(3+3+4)+(1-P)r(3+1+2) +{1-p-r(1-p)]․