통계수학 I 미분적분학 (Calculus)

통계수학 I

미분적분학 (Calculus)

10주차

0.1 극한과 연속성

복습 일변수함수 y=f(x), As x→a, f(x)→L.

x→alimf(x) =L

Figure 1: 일변수함수의 극한

a근방의 작은구간= (a−δ, a+δ), ϵ입실론 and δ델타>0,작은수 L근방의 작은 구간= (L−δ, L+δ)

이변수함수로의 확장

이변수함수 z=f(x, y)에대하여

Figure 2: 이변수함수의 극한 1

X0는정의역에있는고정된한점일때,이변수함수의극한은

(x,y)→(a,b)lim f(x, y) =L 이변수함수의극한- 무한히많은경로로 (a, b)로접근

x= (x, y) → (a, b) =x0

|x−x₀|< δ ⇒ |f(x, y)−L|< ε 0<p

(x−a)²+ (y−b)²< δ ⇒ f(x, y)∈(L−ε, L+ε)

Remark 두경로 C1, C2에대하여

הଞ஢ քࡵ ؏ଯ Figure 3: 이변수함수의극한의경로들

As (x, y) → (a, b), What is lim

(x,y)→(a,b)f(x, y)?

Let’s consider route C1 and C2. If lim

(x,y)→(a,b)f(x, y) =L₁ over C₁ and if lim

(x,y)→(a,b)f(x, y) =L₂ over C₂ and L₁ ̸=L₂ then이변수함수 f(x, y)의극한은존재하지않는다. lim

(x,y)→(a,b) DNE.

Example) lim

(x,y)→(0,0)

x²−y²

x²+y² 이존재하지않음을보여라. Choose 2개 경로

1) x축 C1={(x, y)|y = 0}

on C₁, f(x, y) = x²−0²

x²+ 0² = 1, ∀x

(x,y)→(0,0)lim

x²−y²

x²+y² = 1 =L₁ 2) y축 C2={(x, y) |x= 0}

2

(0,0)

Figure 4: lim

(x,y)→(0,0)

x²−y² x²+y²의 경로

on C2 f(x, y) = 0²−y²

0²+y² =−1,∀y

(x,y)→(0,0)lim

x²−y²

x²+y² =−1 =L2

1 =L1̸=L2=−1. So, lim

(x,y)→(0,0)

x²−y² x²+y² DNE.

Example) f(x, y) = xy

x²+y²일때, lim

(x,y)→(0,0)f(x, y) 존재하는가?

(0,0)

Figure 5: lim

(x,y)→(0,0)

xy

x²+y²의 경로

정의역= R²− {(0,0)}

1) C₁ : x축위에서 (y= 0) (x, y) = (x,0) (x, y)→(0,0) and f(x,0) = x×0

x²+ 0² = 0

(x,y)→(0,0)lim xy

x²+y² = 0 (over C1) 2) C2: y축위에서 (x= 0) (x, y) = (0, y)

(x, y)→(0,0) and f(0, y) = 0×y 0²+y² = 0

(x,y)→(0,0)lim xy

x²+y² = 0 (over C2)

3

3) C₃: line of y=x (x, y) = (x, x) f(x, x) = _x2^x+x^{2 2} = ¹₂ ∀x

(x,y)→(0,0)lim xy

x²+y² = 1

2 (over C3) Thus @ 극한of f(x)

Example) f(x, y) = xy

x²+y⁴ lim

(x,y)→(0,0)f(x, y) 존재하는가?

1) C1: (x, y) = (x,0)

f(x, y) = 0 극한over C1 is 0

2) C2: (x, y) = (0, y)

f(x, y) = 0 극한over C₂ is 0

3) C₃ : y=x f(x, y) = x³

x²+x⁴ = x 1 +x²

(x,y)→(0,0)lim x 1 +x² = 0 4) C4: y=√

x

over C₄: f(x, y) = x²

x²+x² = 1 2 극한=1

2 Thus @ 극한 연속성

(x,y)→(a,b)lim f(x, y) =f(a, b)이면 f는연속이다.

0.2 편도함수

Recall 일변수함수 y =f(x)에서도함수 f^′(x)는 f^′(x) = lim

h→0

f(x+h)−f(x)

h = dy

dx = lim

∆x→0

∆y

∆x h= ∆x (x의증분, x의변화량), ∆y=y의변화량=f(x+ ∆x)−f(x)

이변수함수 z=f(x, y)로의확장

4

Figure 6: 편도함수의 이변수함수로의 확장

① x축과평행하면서 (a, b)를지나는파란직선 (x, y) on blue line is (x, b), y=b로고정. z=f(x, y) =f(x, b) =g(x) : 일변수함수

dg

dx(a) =g^′(a) = lim

x→a

g(x)−g(a)

x−a or x−a=h

h→0lim

g(a+h)−g(a)

h = lim

h→0

f(a+h, b)−f(a, b)

h = ∂f

∂x(x, y) = ∂y

∂x(a, b) =fx(a, b) x에대한편미분, x의변화량만고려,y=b 고정, ∂은파셜이라읽는다.

② y축과평행, (a, b)를지나는빨간직선.

(x, y) = (a, y) x=a로고정, y의변화량만고려.

∂f

∂y(a, b) =f_y(a, b) ^Def= lim

h→0

f(a, b+h)−f(a, b)

h = lim

∆y→0

∆z

∆y h= ∆y, ∆z=f(a, b+h)−f(a, b) y에관한f의편미분at (a, b)

이변수함수 z=f(x, y)의 편도함수 f_x=f_x(x, y) = ∂f

∂x(x, y) = ∂z

∂x =D_xf =D₁f ^Def= lim

h→0

f(x+h, y)−f(x, y)

h (x에관한편도함수) f_y =f_y(x, y) = ∂f

∂y(x, y) = ∂z

∂y =D_yf =D₂f ^Def= lim

h→0

f(x+h, y)−f(x, y)

h (y에관한편도함수) : fx를구할때, y는상수로간주해미분공식사용

: fy를구할때, x는상수로간주해미분공식사용

Example) f(x, y) =x³+x²y³−2y² Find f_x , f_y , f_x(2,1), f_y(2,1) 1) fx= ∂f

∂x = 3x²+ 2xy³+ 0 fx(2,1) = 3×2²+ 2×2×1³

5

2) fy = ∂f

∂y = 3y²x²−4y

f_y(2,1) = 3×1²×2²−4×1

Example) f(x, y) = 4−x²−2y² Find fx(1,1), fy(1,1)

(1,1) (1,1,1)

Figure 7: 편도함수of f(x, y) = 4−x²−2y²

1) fx= ∂f

∂x =−2x f_x(1,1) =−2=기울기 2) f_y = ∂f

∂y =−4y f_y(1,1) =−4=기울기 음함수의편미분







양함수 z=p

1−x²−y² 음함수 x²+y²+z²= 1

Example) x³+y³+z³+ 6xyz= 1 Find ∂z

∂x , ∂z

∂y (x, y 독립변수, z 종속변수)

Figure 8: x, y, z의관계

1) To find ∂z

∂x Take ∂

∂x : 3x²+ 3z²×∂z

∂x

| {z }

by연쇄법칙

+6y

z+x∂z

∂x

| {z }

by곱의법칙

= 0

(3z²+ 6xy)∂z

∂x =−3x²−6yz

6

∴ ∂z

∂x = −3x²−6yz 3z²+ 6xy

2) To find ∂z

∂y Take ∂

∂y : 3y²+ 3z²×∂z

∂y

| {z }

by연쇄법칙

+6x

z+y∂z

∂y

| {z }

by곱의법칙

= 0

∴ ∂z

∂y = −3y²−6xz 3z²+ 6xy 삼변수 이상의 함수의 편도함수

Let w=f(x, y, z)← 삼변수함수, 3개의편미분 fx= lim

h→0

f(x+h, y, z)−f(x, y, z) h

f_y = lim

h→0

f(x, y+h, z)−f(x, y, z) h

f_z = lim

h→0

f(x, y, z+h)−f(x, y, z) h

Example) w=x²+y²+z⁴+ 5xyz Find fx , fy , fz

1) fx= 2x+ 0 + 0 + 5zy= 2x+ 5zy 2) fy = 0 + 3y²+ 0 + 5xz= 3y²+ 5xz 3) fz = 0 + 0 + 4z³+ 5xy = 4z³+ 5xy

고계 편도 함수 (일계편도함수 fx, fy)

이변수함수 z=f(x, y)에서2개의편도함수 fx, fy (일계편도함수) 존재 fxx = (fx)x= lim

h→0

fx(x+h, y)−fx(x, y)

h = ∂

∂xfx= ∂

∂x ∂f

∂x

= ∂²f

∂x² f_yy= (f_y)_y = lim

h→0

f_y(x, y+h)−f_y(x, y)

h = ∂

∂yf_y = ∂

∂y ∂f

∂y

= ∂²f

∂y² fxy = (fx)_y = lim

h→0

fx(x, y+h)−fx(x, y)

h = ∂

∂yfx= ∂

∂y ∂f

∂x

= ∂²f

∂y∂x f_yx= (f_y)_x == lim

h→0

f_y(x+h, y)−f_y(x, y)

h = ∂

∂xf_y = ∂

∂x ∂f

∂y

= ∂²f 7 ∂x∂y

총4개의 이계편도함수 fxx, fxy, fyx, fyy가존재한다.

클레오 정리 : If f_xy, f_yx are연속함수, then f_xy =f_yx.

Example) f(x, y) =x³+x²y³−2y²의 이계편도함수를구하여라.

1) fx = 3x²+ 2xy³, fy = 3x²y²−4y 2) f_xx = 6x+ 2y³ f_yy = 6x²y−4

3) f_xy = (f_x)_y = 6xy², f_yx= (f_y)_x= 6xy² (연속and f_xy =f_yx) Example) 삼변수함수 w= sin(3x+yz) Find fxxyz (사계편도함수)

1) f_x = cos(3x+yz)×3 2) fxx =−sin(3x+yz)×9 3) fxxy =−cos(3x+yz)×9z

4) f_xxyz = 9 sin(3x+yz)yz−9 cos(3x+yz)

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