자연계
1995학년도 대학수학능력시험 문제지
제 2 교시 수 리 영 역
성명 수험번호 3
1
◦ 먼저 수험생이 선택한 응시 유형의 문제지인지 확인하시오.
◦ 문제지에 성명과 수험 번호를 정확히 기입하시오.
◦ 답안지에 수험 번호, 응시 유형 및 답을 표기할 때는 반드시
‘수험생이 지켜야 할 일’에 따라 표기하시오.
◦ 단답형 답의 숫자에 0 이 포함된 경우, 0 을 OMR 답안지에 반 드시 표기해야 합니다.
◦ 문항에 따라 배점이 다르니, 각 물음의 끝에 표시된 배점을 참 고하시오. 배점은 2점, 3점 또는 4점입니다.
◦ 계산은 문제지의 여백을 활용하시오.
1.
이차방정식 의 두 근을 , 라 할 때, 의 값은?1)[1점][1995학년도 수능]
① ② ③
④ ⑤
2.
지수방정식 의 근을 라 할 때, 다음 중 옳은 것은?2) [1점][1995학년도 수능]① ＜＜ ② ＜＜ ③ ＜＜
④ ＜＜ ⑤ ＜＜
3.
이차정사각행렬 ,에 대하여
일 때, 행렬
는?3)
[1점][1995학년도 수능]
①
②
③
④
⑤
4.
정적분
coscos sin 의 값은?4)[1점][1995학년도 수능]
① ②
③
④
⑤
5.
전체집합 의 두 부분집합 에 대하여 ⊂ 일 때, 다 음 중 항상 성립한다고 할 수 없는 것은?5) (단, ≠ ∅)[1점][1995학년도 수능]
① ∪ ② ∩ ③ ∩
④ ⊂ ⑤
수 리 영 역
2 자연계
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6.
이다. 함수 는 모든 함수 에 대하여◦◦ 를 만족시킨다. 의 값은?6)
(단, , , 는 실수 전체의 집합 에서 로의 함수 이다.)
[1점][1995학년도 수능]
① ② ③
④ ⑤
7.
아래 그림과 같이 반원 위에 개의 점이 있다. 이 중 세 점을 꼭짓점으로 하는 삼각형의 개수는?7)[1점][1995학년도 수능]
① ② ③
④ ⑤
8.
다음 식의 분모를 으로 만들지 않는 모든 실수 에 대하여
⋯
⋯
이 성립할 때, ⋯ 의 값은?8)
[1.5점][1995학년도 수능]
① ② ③
④ ⑤
9.
와 는 ≠ 인 실수이고
가 성립할 때, 점 가 존재하는 영역을 좌표평면 위에 검게 나 타내면?9) (단, 점선은 제외)
[1점][1995학년도 수능]
① ②
③ ④
⑤
수 리 영 역
자연계 3
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10.
함수 는 에서 연속이지만 미분가능하지 않다. 다 음 <보기> 중 에서 미분가능한 함수를 모두 고르면?10)[1.5점][1995학년도 수능]
[ 보 기 ]
ㄱ. ㄴ.
ㄷ.
① ㄱ ② ㄴ ③ ㄷ
④ ㄱ, ㄴ ⑤ ㄱ, ㄴ, ㄷ
11.
원점을 출발하여 수직선 위를 초 동안 움직이는 점 P의 초 후의 속도 가 다음 그림과 같을 때, <보기>의 설명 중 옳은 것을 모두 고르면?11)[1.5점][1995학년도 수능]
[ 보 기 ]
ㄱ. 점 P는 출발하고 나서 초 동안 멈춘 적이 있었다.
ㄴ. 점 P는 움직이는 동안 방향을 번 바꿨다.
ㄷ. 점 P는 출발하고 나서 초 후 출발점에 있었다.
① ㄱ ② ㄷ ③ ㄱ, ㄴ
④ ㄱ, ㄷ ⑤ ㄴ, ㄷ
12.
폐구간 에서 정의된 모든 확률밀도함수 와 에 대하여 다음 중 확률밀도함수인 것은?12)[1점][1995학년도 수능]
① ②
③
④
⑤
13.
인 모든 복소수 에 대하여 의 값을 일정하게 만드는 복소수 의 개수는?13)[1.5점][1995학년도 수능]
① ② ③
④ ⑤ 무수히 많다.
수 리 영 역
4 자연계
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14.
다음 순서도에 의하여 인쇄되는 의 값을 순서대로 적으면?14)
[1.5점][1995학년도 수능]
①
②
③
④
⑤
15.
좌표공간에 두 점 O , A 이 있고, 점 P 는 ∆OAP의 넓이가 가 되도록 움직인다. ≦ ≦ 일 때, 점 P의 자취가 만드는 도형을 평면 위에 펼쳤을 때의 넓 이는?15 )[1.5점][1995학년도 수능]
① ② ③
④ ⑤
16.
∠C가 직각이고 ∠B의 크기가
인 직각삼각 형 ABC의 변 BC 위에 점 D를 잡고, ∠BAD의 크기를 라 할 때,
AB
BD
를 의 함수로 나타내면?16)
[1.5점][1995학년도 수능]
① sin ②
cos
sin ③
cos
sin
④
sin cos
sin
⑤
cos
17.
오른쪽 그림과 같이 원점을 출발하여 나선형의 경로를 따라 일정한 속력으로 움 직이는 물체가 있다. 이 물체의 시각 에 서의 좌표를 라 할 때, 와 사이 의 관계를 나타낸 그래프의 개형은?17 )[1점][1995학년도 수능]
① ②
③ ④
⑤
수 리 영 역
자연계 5
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18.
아래 그림은 함수 의 그래프이다. 에 관한 방정식 의 서로 다른 실근의 개수와 합을 순서대로 적으 면?18) (단, ＜ 또는 ＞일 때 ＜이다.)
[1.5점][1995학년도 수능]
① ② ③
④ ⑤
19.
자연수 을 ․ (는 음이 아닌 정수, 는 홀수)
로 나타냈을 때, 라 하자. 예를 들면, 이다. 다 음 <보기> 중 옳은 것을 모두 고르면?19)
[1점][1995학년도 수능]
[ 보 기 ] ㄱ. 이 홀수이면, 이다.
ㄴ. ＜ 이다.
ㄷ. 인 자연수 은 무한히 많다.
① ㄱ ② ㄴ ③ ㄱ, ㄴ
④ ㄱ, ㄷ ⑤ ㄴ, ㄷ
20.
집합 ⋯ 이다. 다음 의 부분집합 중 아래 조건 (가)와 (나)를 만족시키며 원소의 개수가 가장 적은 것은?20)[1점][1995학년도 수능]
(가) ∈
(나) ∈이고 ∈이면, ∈ 이다.
① ⋯
② ⋯
③ ⋯
④ ⋯
⑤ ⋯
21.
아래 그림과 같은 사다리꼴 ABCD가 있다.AB AD BC , ∠A와 ∠B의 크기는
이다. 윗변 AD 에 임의의 점 P를 잡아 PB , PC 라 할 때, 다음 <보기>
중 옳은 것을 모두 고르면?21)
[1.5점][1995학년도 수능]
[ 보 기 ] ㄱ. ≥ 이다.
ㄴ. 이면, ∆BCP는 직각삼각형이다.
ㄷ. ≤이다.
① ㄱ ② ㄷ ③ ㄱ, ㄷ
④ ㄴ, ㄷ ⑤ ㄱ, ㄴ, ㄷ
수 리 영 역
6 자연계
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22.
다음은 삼각형의 변의 길이와 각의 코사인 사이의 관계인 제 이코사인법칙을 ∆ABC에서 ∠A가 둔각인 경우에 대하여 증명 한 것이다.[ 증 명 ]
오른쪽 그림과 같이 세 변의 길이가
인 ∆ABC를 좌표평면 의 원 점에 꼭짓점 A가 놓이도록 하자.
꼭짓점 C의 좌표를 라 하면,
㈎ , ㈏ 이므로, 피타 고라스의 정리에 의하여 다음이 성립한다.
㈐
cos위의 증명에서 (가), (나), (다)에 알맞은 것을 순서대로 적으 면?22)
[1점][1995학년도 수능]
(가) (나) (다)
① cos, sin,
② cos, sin,
③ cos, sin,
④ cos, sin,
⑤ cos, sin,
23.
세 개의 실근을 갖는 삼차방정식 의 세 근을 라 하자. 다음은 세 근의 절대값 중 적어도 하나는
보다 크거나 같음을 증명한 것이다.
[ 증 명 ] 결론을 부정하여 ㈎ 라 가정하면,
＜
, ＜
, ＜
이다.
근과 계수와의 관계에서 ㈏ 이므로
≤ ≤ ㈐ ≺
이다.
그런데 이것은 모순이므로, 절대값이
보다 크거나 같은 근이 적어도 하나 존재한다.
위의 증명에서 (가), (나), (다)에 알맞은 것을 순서대로 적으 면?23)
[1점][1995학년도 수능]
① 어떤 근의 절대값이
보다 작다고,
② 어떤 근의 절대값이
보다 작거나 같다고,
③ 모든 근의 절대값이
보다 작다고,
④ 모든 근의 절대값이
보다 작다고,
⑤ 모든 근의 절대값이
보다 작거나 같다고,
수 리 영 역
자연계 7
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24.
다음은 조화평균에 관한 어떤 수학적 사실을 증명한 것이다.[ 증 명 ]
양수 , , 에 대하여, 적당한 실수 가 존재하여
,
⋯⋯ 가 성립한다 고 하자. 그러면 ≠ 이고
㈎ ⋯⋯ 이므로
㈏ 이다.
역으로, ≠ 인 양수 , 에 대하여
㈏ 이면, 식 가 성립하고
≠ 이다.
에서
이라 놓으면 식 가 성립한다.
따라서 양수 , , 에 대하여 적당한 실수 가 존재하여 식 가 성립하기 위한 ㈐ 조건은
≠ 이고 ㈏ 이다.
위의 증명에서 (가), (나), (다)에 알맞은 것을 순서대로 적으 면?24)
[1.5점][1995학년도 수능]
①
,
, 필요충분 ②
,
, 필요충분
③
,
, 충분 ④
,
, 필요
⑤
,
, 충분
25.
모든 자연수 에 대하여, 다항식 는 다음 두 성질 (가) 와 (나)를 갖는다.(가)
(나) ′
의 상수항은?25)
[1.5점][1995학년도 수능]
① ② ③
④ ⑤
26.
좌표평면 위에 두 점 O , A 과 직선 위를 움 직이는 점 P 가 있다. 선분 AP와 직선
가 만나는 점을 Q라 하자. ∆QOA의 넓이가 ∆POA의 넓이의
일 때 의 값을 ,
일 때 의 값을 , ⋯,
일 때 의 값을 이라 하면
lim
→∞
의 값은?26)
[2점][1995학년도 수능]
① ② ③
④ ⑤
수 리 영 역
8 자연계
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27.
함수 log log 의 최댓값은?27 )[1.5점][1995학년도 수능]
①
② ③
log
④
log ⑤ log
28.
좌표평면 위의 세 점 P, Q, R 가 다음 두 조건 (가)와 (나) 를 만족시킨다.(가) 두 점 P와 Q는 직선 에 대하여 대칭이다.
(나) OP OQ OR (단, O는 원점)
점 P가 원점을 중심으로 하는 단위원 위를 움직일 때, 점 R는 어떤 도형 위를 움직이는가?28 )
[2점][1995학년도 수능]
① 점 ② 타원 ③ 선분
④ 쌍곡선 ⑤ 평행사변형
29.
어떤 산업에서 노동의 투입량을 , 자본의 투입량을 라 할 때, 그 산업의 생산량 는 다음과 같다. (는 ＜＜인 상수)
자료에 의하면 년도의 노동 및 자본의 투입량은 년도보 다 각각 배와 배이고, 년도 산업생산량은 년도 산업 생산량의 배이다. 이 사실로부터 상수 의 값을 소수점 아래 둘째 자리까지 구하면?29) (단, log )
[2점][1995학년도 수능]
① ② ③
④ ⑤
30.
사각형 모양의 철판 세 장을 구입하여, 두 장은 원 모양으로 오려 아랫면과 윗면으로, 나머지 한 장 은 몸통으로 하여 오른쪽 그림과 같은 원기둥 모양 의 보일러를 제작하려 한다.철판은 사각형의 가로와 세로의 길이를 임의로 정 해서 구입할 수 있고, 철판의 가격은 m당 만원
이다. 보일러의 부피가 m가 되도록 만들기 위해 필요한 철판 을 구입하는데 드는 최소 비용은?30)
[2점][1995학년도 수능]
① 만원 ② 만원 ③ 만원
④ 만원 ⑤ 만원
※ 확인 사항
문제지와 답안지의 해당란을 정확히 기입(표기)했는 지 확인하시오.
수 리 영 역
자연계 9
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1995학년도 수능기출 [자연계] 해설지 (94/11/23)
1) ⑤
의 두 근을 라 하면
αβ
·
2) ③
이고
이므로 ⇒
∴ 3) ①
,
에서
4) ③
cos 로 치환하면 sin
→ →
(준식)
5) ③
⊂이면 ∪∩ 또, ⊃ 그런데 ∩
∴ ∩≠
6) ⑤
∘ ∘ ⇒ ∘
에서
⇒
⋯
양변에 ⋯ 을 곱하면
⋯
⋯
⋯ ⋯
⋯ ⋯
이 식은 의 항등식이므로 ⋯ 9) ③
≠
에서
⇒
경계선 제외 10) ⑤
lim
→
이지만 ′이 존재하지 않는다.
Ⅰ. ′
lim
→
lim
→
Ⅱ. ′
lim
→
lim
→
Ⅲ. ′
lim
→
lim
→
lim
→
11) ②
인 의 값은 이고 이 시각에 의 부호가 바뀌었으므로 운동방향이 바뀐 것이다.
또,
이므로 인 순간의 동점 의 위치는 원점이다.12) ④
에서 와 가 확률밀도함수이므로
≧ ≧ 이고
수 리 영 역
10 자연계
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<참>
⑤
이지만 일 수도 있다.13) ①
을 만족하는 복소수 의 자취는 단위원 즉, 원점을 중심으로 하고 반지름의 길이가 인 원이다.
는 에서의 거리를 나타내므로, 이 값이 일정하기 위해서는 는 원의 중심, 원점일 때뿐이다.
즉, 14) ⑤
를 순서대로 적으면
→ →
→ → →
→ → →
15) ②
에서 에 내린 수선의 발을 라 하면 로 일정하므로
⇒ 한편, ⊥이므로
∙ ⇒
∴
≦ ≦ 이므로
옆면의 넓이는 × ×
16) ④
라 하면 ,
△에서
tan
tan tan
tan
tan
tan
tan
tan
tan
∴
tan
tan
tan
tan
tan
tan
cos
sin
cos
sin
cos sin
sin
∴
cos sin
sin
17) ②
일정한 속력으로 움직이는 동점의 좌표는 축을 경계로 좌우에서 부호가 간헐적으로 바뀐다.
또, 가 증가하면 나선형의 크기가 점점 증가함에 따라 좌표의 변화량도 점점 커진다.
또, 동점이 축을 통과할 때
이므로, 조건을 만족하는 그래프는
②번이다.
18) ①
에서 라 하면
인 의 값의 집합은
≦ 이므로
또는 ∴
∴ 개,
19) ④
․에서
Ⅰ) 이 홀수이면 가 홀수이므로 이 홀수 ∴ 즉,
Ⅱ) ․
․ ∴
Ⅲ) 에서 ․
홀수인 는 무한하므로 은 무한히 존재한다.
20) ②
Ⅰ)에 의하여 ∈이고
Ⅱ)에 의하여 집합 가 덧셈에 관하여 닫혀 있으므로
∈ ∈, ⋯ 따라서, 집합 는 의 배수의 집합이다.
21) ⑤
수 리 영 역
자연계 11
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△에서 ∠ 라 하면 △의 넓이는
× × 이고,
sin ⋯⋯ ①
한편, 점 가 에 있을 때, sin
점 가 에 있을 때 ∠
이므로 sin
∴
≦ sin ≦ ⋯⋯ ②
①에서 sin
이므로
≦
≦
∴ ≦ ≦ <Ⅰ, Ⅱ 참>
한편, 일 때는 ①에서 sin
∴
∴ △는 직각삼각형이다.<Ⅲ 참>
22) ④
에서 축에 내린 수선의 발을 라 하면
cos cos
sin sin
△에서
cos 23) ①
결론 ｢세 근의 절대값 중 적어도 하나는
보다 크거나 같다.｣를
부정하면 ㈎는 ｢모든 근의 절대값이
보다 작다.｣이다.
또, 근과 계수의 관계에서 이므로
㈏는 이다.
≦
≦
에서
∴
⋯⋯ ㈎
⇒
⋯⋯ ㈏
㈐ 필요충분조건
25) ③
에서 ‘
′에서
′
즉, 는 인 계수가 인 차식이므로
으로 놓을 수 있다.
로 놓으면
′에서
∴
에서
이므로
에서
∴
․
․ 26) ⑤
△
△
으로 놓으면 점 는 를 로 내분한
점이므로
→ ∞일 때, → 이고
이 때, 두 점 는 모두 로 수렴한다.
∴
lim
→∞
27) ④
log log
log
log log
진수 조건에서 ⇒
수 리 영 역
12 자연계
━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━
28) ③
이므로 cos sin라 놓으면
sin cos
cos sin cos sin
로 놓으면 이고,
cos sin sin
≤ 즉, 자취는 선분이다.
29) ②
년도의 노동, 자본, 생산량을 각각 라고 하면
이고
년도의 노동, 자본, 생산량은 각각 ․이므로
․ ․ ․
이므로 ․ ․
⇒ ⇒ log log
log
log 에서
log
log log
log
≒
30) ④
그림과 같이 원기둥의 밑면의 반지름을 높이를 로 놓으면 부피
철판의 넓이를 라 하면
× ․ ․
이것을 로 놓으면
′
에서 극소이면서 최소이다.
의 최솟값은
×
∴ 만원
