수 리 영 역

2004학년도 6월 고2 전국연합학력평가 문제지

제 2 교시 수 리 영 역

‘나’형 성명 수험번호 2 1

◦먼저 수험생이 선택한 계열의 문제인지 확인하시오.

◦문제지에 성명과 수험번호를 정확히 기입하시오.

◦답안지에 수험번호, 응시계열, 답을 표기할 때에는 반드시

‘수험생이 지켜야 할 일’에 따라 표기하시오.

◦단답형 답의 숫자에 0이 포함된 경우, 0을 OMR 답안지에 반 드시 표기해야 합니다.

◦문항에 따라 배점이 다르니, 각 물음의 끝에 표시된 배점을 참고하시오. 배점은 2점, 3점 또는 4점입니다.

◦계산은 문제지의 여백을 활용하시오.

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1.

^{( 1 +i )4}을 간단히 하면? (단, i= - 1) [2점]

① - 4 ② 0 ③ 4

④ - 4i ⑤ 4i

2.

^{이차방정식 x2-x- 12 = 0의 두 근을 α, β라 할 때,}

β

α 의 값은? (단, ^α > β ) [2점]

① _{- 34} ② _{- 23} ③ ¹₂

④ ²₃ ⑤ ³₄

3.

^{두 함수 f (x) =x2-}x , g(x) = 2x+ 1에 대하여 (f∘g∘f )( 1 )의 값은? [3점]

① - 2 ② - 1 ③

④ 1 ⑤ 2

4.

^{4 +2 3}₂ ^{+ 4 -2 3}₂ ^{= 3□} 일 때, □ 안에 알맞은 수는? [3점]

① ¹₄ ② ¹₂ ③

④ 2 ⑤ 4

수 리 영 역

2 ^‘나’형

5.

^{세 수 A=4 2 , B=12 9 , C=6 7 의 대소 관계를}

바르게 나타낸 것은? [3점]

① A< B <C ② A< C< B ③ B< A< C

④ C< A <B ⑤ C<B < A

6.

^{두 원}

(x+ 2 )²+ (y- 1 )²= 1 (x- 2 )²+ (y- 5 )²= 1

은 직선 l 에 대하여 서로 대칭이다. 직선 l 의 방정식은? [3 점]

① y=- 2x+ 3 ② y=-x+ 2 ③ y=x+ 3

④ y=-x+ 3 ⑤ y= 2x- 1

7.

^{연산장치 A 에}

^a

^,

^b

^{를 입력하면}

^a

^×

^b

가 출력되고, 연산장 치 B 에

a

를 입력하면

a

^a 이 출력된다.

다음과 같이 연결된 두 연산장치에 실수 와 을 입력 하였더니 2 가 출력되었다. 이 때, x의 값은? [3점]

① 2 ② 2 ③

④ 3 2 ⑤ 4 2

8.

^{2x= 3 , 3y= 5 , 5z= 2} 를 만족하는 세 실수 , , 에 대하여 xy z 의 값은? [3점]

① ¹₂ ② 1 ③

④ ⑤ ⁵₂

수 리 영 역

‘나’형 3

제1열 제2열 제3열 제4열 제5열 제6열 제7열

제1행 1 2 3 4 5 6 7

제2행 2 3 4 5 6 7 8

제3행 3 3 5 5 7 7 9

제4행 4 4 5 5 7 7 10

⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮

9.

다음 상용로그표를 이용하여 ⁶ 5 의 값을 계산하면? [3 점]

<상용로그표>

수 0 1 2 ⋯ 9 비례 부분

1 2 3 4 5 6 7 8 9

⋮ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯

1.2 .0792 .0828 .0864 ⋯ .1106 3 7 10 14 17 21 24 28 31 1.3 .1139 .1173 .1206 ⋯ .1430 3 6 10 13 16 19 23 26 29

⋮ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯

2.0 .3010 .3032 .3054 ⋯ .3201 2 4 6 8 11 13 15 17 19 2.1 .3222 .3243 .3263 ⋯ .3404 2 4 6 8 10 12 14 16 18

① 1.296 ② 1.302 ③ 1.308

④ 1.313 ⑤ 1.321

10

^{. 집합 X}={ - 1, 0, 1} 에서 X 로의 함수 중 그 그래프 가 원점에 대하여 대칭인 함수를 f 라 한다. <보기> 중 옳 은 것을 모두 고르면? [3점]

ㄱ. X 의 모든 원소 x 에 대하여 f ( -x) =f (x)이다.

ㄴ. 함수 f 의 개수는 3개이다.

ㄷ. 함수 f 는 역함수를 갖는다.

① ㄱ ② ㄴ ③ ㄷ

11.

^{삼각함수 f (x) = 2 cos}

(

^{3x- π}3

)

^{+ 1}에 대하여 <보 기>의 설명 중 옳은 것을 모두 고르면? [3점]

ㄱ. - 1 ≦f(x) ≦ 3 이다.

ㄴ. 임의의 실수 x에 대하여 f

(

^{x+ π}3

)

^{= f (x) 이다.}

ㄷ. y=f (x)의 그래프는 직선 x= π

9 에 대하여 대칭이다.

① ㄱ ② ㄴ ③ ㄱ, ㄴ

④ ㄱ, ㄷ ⑤ ㄱ, ㄴ, ㄷ

12.

다음 규칙에 따라 자연수를 나열한다.

규칙1 : 제1행에는 자연수를 차례로 나열한다.

규칙2 : 제 n 행에 나열된 수 k가 n 의 배수이면 한 칸 아래에 k+ 1을 쓰고, 그렇지 않으면 를 쓴다.

위의 규칙에 따라 자연수를 나열하면 다음과 같다.

<보기> 중 옳은 것을 모두 고르면? [4점]

ㄱ. 제5행에서 제8열의 수는 10이다.

ㄴ. 제 열에서 은 번 나타난다.

<보기>

<보기>

<보기>

수 리 영 역

4 ^‘나’형

13.

^{다음은 삼각형 ABC}의 각 꼭지점을 지나는 원에 대한 어 떤 성질을 증명한 것이다.

<증명>

그림처럼 세 점 A, D, F 를 지나는 원 C₁과 세 점

B, D, E를 지나는 원 C₂ 의 교점 P가 삼각형 ABC 의 내부에 존재하도록 세 변

AB, BC, CA 위에 각각 점 D, E, F를 잡는다.

∠DPF+ = 180°

∠DPE + = 180°

이므로 ∠DPF + ∠DPE = 360°- ( + ) 에서

∠FPE = +

∴ ∠FPE + ∠C = 180°

따라서 세 점 C, F, E를 지나는 원을 C₃라 할 때,

위의 증명에서 (가), (나), (다)에 알맞은 것은? [3점]

(가) (나) (다)

① ∠A ∠B 세 원 C1, C2, C3는 한 점 P에서 만난 다.

② ∠B ∠A 세 원 C₁, C₂, C₃는 한 점 P에서 만난 다.

③ ∠A ∠B 원 C₃의 내부에 점 P가 존재한다.

④ ∠B ∠A 원 C₃의 내부에 점 P가 존재한다.

⑤ ∠A ∠B 원 C₃의 외부에 점 P가 존재한다.

14.

^{3과 5, 5와 7, 11과 13}, … 등과 같이 소수인 두 개의 연속한 홀수를 쌍동이 소수라고 한다. 다음은 , a+ 1이 쌍동이 소수이고 a²+3도 소수가 되는 자연수 a 의 값은 4뿐임을 증명하는 과정이다.

<증명>

자연수 n 에 대하여

(ⅰ) a- 1 = 3n 일 때, n≧2이면 이 소수가 아니 므로 n= 1이다.

따라서 a- 1 = 3, a+ 1 = 5, a²+3= 19이므로 주어 진 조건을 만족한다.

(ⅱ) a- 1 = 3n- 1일 때, 이 소수가 아니다.

(ⅲ) a- 1 = 3n- 2일 때, n≧2이면 이 소수가 아 니고, n= 1이면 a- 1 = 1이다.

이상에서 주어진 조건을 만족시키는 자연수 는 뿐이다.

위의 증명에서 (가), (나), (다)에 알맞은 것은? [4점]

(가) (나) (다)

① a- 1 a+ 1 a²+3

② a+ 1 a- 1

a

²+3

③ a²+3 a- 1 a+ 1

④ a²+3 a+ 1 a- 1

⑤ a- 1 a²+3 a+ 1

(다) (나)

(가)

(나)

(다) (가)

(가) (가)

(나) (나)

수 리 영 역

‘나’형 5

15.

^{두 부등식 1≦x＜210, 0≦y≦ log}2x를 만족시키는 정수 x,y 에 대하여 순서쌍(x,y) 의 개수를 다음과 같이 구하였 다.

자연수

k

에 대하여 부등식 2^{k- 1}≦x＜2^k을 만족시키는 정 수 x의 개수는 이다.

이 개의 각각의 x에 대하여 log₂2^{k- 1}=k-1 , log₂2^k=k 이므로

0≦y≦ log₂x를 만족시키는 정수 y 의 개수는 이다.

따라서 2^{k- 1}≦x＜2^k인 범위에서 순서쌍 (x,y) 의 개수는

× 이다.

그런데 자연수 k는 1부터 까지의 값을 취할 수 있 으므로 각각의 k값을 대입하여 그 합을 구하면 9217이다.

위에서 (가), (나), (다)에 알맞은 것은? [4점]

(가) (나) (다)

① 2^k k- 1 10

② 2^k- 1 k 10

③ 2^{k- 1} k+ 1 9

④ 2^{k- 1} k 10

⑤ 2^{k+ 1} k 9

16.

^{두 함수 f(x) =x2- 6x+ 12 , g(x) =- 2x2+ 4x+k}

에 대하여 합성함수 (g∘f ) (x)의 최대값이 10이 되도록 하는 상수 k의 값은? [4점]

① 15 ② 16 ③ 17

④ 18 ⑤ 19

17.

어떤 복사기로 확대 복사를 한 후 출력된 복사본으로 같 은 배율의 확대 복사본을 또 만든다. 이와 같은 작업을 계속 해 나갔더니 5회째 복사본에서 도형의 넓이는 처음 도형의 넓이의 2배가 되었다.

7회째 복사본에서 도형의 넓이는 4회째 복사본에서 도 형의 넓이의 몇 배인가? [4점]

① ⁷ 8 ② ⁵ 8 ③

④ ⁵ 4 ⑤ ³ 4

18.

음이 아닌 정수 n 에 대하여 F_n= 2²ⁿ+1을 번째 ‘페르 마 수’라 하고, F_n이 소수일 때 이것을 ‘페르마 소수’라고 한다.

예를 들면

F₀= 2²⁰ + 1 = 2 + 1 = 3, F1= 2²¹ + 1 = 2² + 1 = 5, F₂, F₃, F₄는 페르마 소수이다.

N= 2³²- 1을 소인수 분해할 때, <보기> 중 의 약수 인 것을 모두 고르면? [4점]

ㄱ. F₀․F₁ ㄴ. F₀․F₂․F₄ ㄷ.

① ㄱ ② ㄴ ③ ㄱ, ㄴ

④ ㄱ, ㄷ ⑤ ㄱ, ㄴ, ㄷ

<보기>

(가)

(나)

(다) (가)

(가) (나)

수 리 영 역

6 ^‘나’형

19.

^{중심이 O}이고 반지름의 길이가 r 인 원 C 와 이 원 위 의 한 점 A에서 접하는 직선 l 이 있다.

점 P 가 직선

l

위를 움직일 때, OP․ OP'=r ²을 만 족시키는 선분 OP 위의 점 P

'

의 자취를 가장 옳게 나타낸 것은? (단, 점선은 원 C 이다.) [4점]

① ② ③

④ ⑤

20.

그림과 같이 높이가 모두 같은 원기둥 모양의 유리관이 있다.

네 개의 유리관 A, B, C, D는 모두 밑면의 넓이가 같 고, 유리관 E의 밑면은 다른 유리관의 밑면의 넓이의 배 이다. 갑은 유리관 A, B, C, D의 순서대로 각 유리관에 물을 가득 찰 때까지 부어 나가고, 을은 유리관 에만 물을 붓는다.

두 사람이 동시에 물을 붓기 시작하여 40분만에 동시에 끝 마쳤다. 유리관 C와 유리관 E의 물의 높이가 같아지는 시 각은 두 사람이 물을 붓기 시작하여 몇 분이 지난 후인가?

(단, 모든 유리관의 밑은 막혀있고, 갑, 을 두 사람이 단위시 간당 붓는 물의 양은 같다.) [4점]

① ⁷⁴₃ 분 ② ⁷⁶₃ 분 ③ 분

④ ⁸⁰₃ 분 ⑤ ⁸²₃ 분

21.

어떤 물체와 그것을 둘러싸고 있는 공기의 온도차의 변화 를 나타내는 뉴턴의 냉각법칙은 다음과 같다.

logD(t) =-k t+ logD₀

D(t) : t 시간 후 물체와 공기의 온도 차 D₀ : 처음 상태에서 물체와 공기의 온도 차 k : 비례상수

공기의 온도가 ℃인 상태에서 처음 온도가 ℃인 물 체가 ℃로 되는데 시간이 걸렸다. 처음 온도가 ℃ 이던 이 물체의 시간이 지난 후의 온도는? (단, 공기의 온 도는 일정하다.) [4점]

① ℃ ② ℃ ③ ℃

수 리 영 역

‘나’형 7

단답형(22～30)

22.

^{이차방정식 2x2- 6x+ 1 = 0 의 두 근을 α, β 라 할}

때, ¹

α² + 1

β² 의 값을 구하시오. [2점]

23.

^{7개의 수}

1 3 5 7 9 11 13

의 분산을 ^σ2이라 할 때, 7σ²의 값을 구하시오. [3점]

24.

^sinA_{= 12 , cos}^B _{= 13} ^{일 때,}

의 값을 구하시오. [3점]

25.

^{양의 실수 x,} y 가 x^:y=1 : 2 , x^y=y ^x를 만족할 때, x²+y²의 값을 구하시오. [3점]

26.

자연수 n에 대하여 집합 A_n을

A_n =

{

^x

∣ ∣

n^{x - 2}

∣

^{≦1 , x는 자연수}

}

라 하고, S_n을 집합 A_n의 모든 원소들의 합이라 한다.

이 때, S₁+S₂ +S₃ 의 값을 구하시오. [4점]

수 리 영 역

8 ^‘나’형

27.

^{분수함수 y= x}_x⁺₊^pq 의 그래프가 그림과 같을 때, 상수 p, q 의 곱 pq 를 구하시오. [3점]

28.

^{두 원 C}1, C₂가 그림과 같이 두 점 A, B에서 만난 다. 선분 AB의 길이는 12이고, 그에 대한 원주각의 크기 는 각각 60°, 30°이다.

두 원 C₁, C₂의 반지름의 길이를 각각 R₁, R₂라고 할 때, R₁²+R₂ ²의 값을 구하시오. [4점]

29.

^log5 50의 정수 부분을 n , 소수부분을 라 할 때, 5ⁿ+ 5^α의 값을 구하시오. (단, 0 ≦ α < 1) [4점]

30.

어느 도시의 버스 요금은 매년 4%씩 인상된다고 한다.

버스 요금이 처음으로 지금의 두 배를 넘게 될 때는 현재로 부터 n 년 후이다. 자연수 n 의 값을 구하시오.

(단, log 1.04 = 0.017, log 2 = 0.301이다.) [4점]

※ 확인사항