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수능(94~17학년도), 모의고사(03~16년)
단원 : 증명문제
1.
집합 는 실수 전체의 집합의 부분집합으로서 다음 성질 와 를 갖는다. 임의의 실수 에 대하여 ∈ ∈ 중 적어도 하나는 성립하지만, 두 가지 이상은 동시에 성립하지 않는다.
∈이고 ∈이면 ∈이다.
다음은 위의 성질을 이용하여 ‘∈이면
∈이다.’ 를 증명한 것이다.
[ 증 명 ]
가정에서 ∈이므로 에 의해 ≠ 이다.
따라서, 실수
은 이 아니므로
㈎ 에 의하여
∈ 또는
∈이다.
∈인 경우에는 ㈏ 와 가정에 의하여
×
∈이다.그런데, ∈라면 에 의하여
× ∈가 되어 ㈐ 에 모순이다.
따라서,
∈이다.
위의 증명 과정에서 (가), (나), (다)에 알맞은 것을 순서대로 적으면?1)
[1994학년도 수능 1차]
① , , ② , ,
③ , , ④ , ,
⑤ , ,
2.
와 는 서로 다른 두 정수이고 다항식 는 다음 두 성질와 를 갖는다.
의 모든 계수는 정수이다.
다음 증명은 위의 성질과 사실 를 이용하여
가 정수임 을 보인 것이다.
정수 , 에 대하여 이차방정식 의 근이 유리수이면 이 근은 정수이다.
[ 증 명 ]
자연수 에 대하여 은 로 나누어 떨어지므로
㉠ 에 의하여 는 로 나누어 떨어진다.
따라서,
는 정수이다.
와
를 두 근으로 하는 이차방정식은 근과 계수와의 관계와 ㉡ 에 의하여
이다.
는 ㉢ 에 의하여 유리수이고
는 정수이므로, ㉣ 에 의하여
는 정수이다.
위의 증명 과정에서 밑줄 친 부분 중 , , 를 잘못 이 용한 곳은?2)
[1994학년도 수능 2차]
① ㉠ ② ㉡ ③ ㉢
④ ㉣ ⑤ 없다.
수 리 영 역
2 증명문제
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3.
다음은 조화평균에 관한 어떤 수학적 사실을 증명한 것이다.[ 증 명 ]
양수 , , 에 대하여, 적당한 실수 가 존재하여
,
⋯⋯ 가 성립한다 고 하자. 그러면 ≠ 이고
㈎ ⋯⋯ 이므로
㈏ 이다.
역으로, ≠ 인 양수 , 에 대하여
㈏ 이면, 식 가 성립하고
≠ 이다.
에서
이라 놓으면 식 가 성립한다.
따라서 양수 , , 에 대하여 적당한 실수 가 존재하여 식 가 성립하기 위한 ㈐ 조건은
≠ 이고 ㈏ 이다.
위의 증명에서 (가), (나), (다)에 알맞은 것을 순서대로 적으 면?3)
[1.5점][1995학년도 수능]
①
,
, 필요충분 ②
,
, 필요충분
③
,
, 충분 ④
,
, 필요
⑤
,
, 충분
4.
다음은 삼각형의 변의 길이와 각의 코사인 사이의 관계인 제이 코사인법칙을 ∆ABC에서 ∠A가 둔각인 경우에 대하여 증명한 것이다.[ 증 명 ] 오른쪽 그림과 같이 세 변의 길이가
인 ∆ABC를 좌표평면의 원점 에 꼭지점 A가 놓이도록 하자.
꼭지점 C의 좌표를 라 하면,
㈎ , ㈏ 이므로, 피타 고라스의 정리에 의하여 다음이 성립한다.
㈐ cos
위의 증명에서 (가), (나), (다)에 알맞은 것을 순서대로 적으 면?4)
[1점][1995학년도 수능]
(가) (나) (다)
① cos, sin,
② cos, sin,
③ cos, sin,
④ cos, sin,
⑤ cos, sin,
수 리 영 역
증명문제 3
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5.
오른쪽 그림과 같이 선분 AB 위에 한 점 C를 잡고 선분 AB의 위쪽에 두 정삼각형 ACD, BCE 를 만들었다.다음은 AE DB임을 증명한 것이다.
[ 증 명 ]
정삼각형 ACD에서 ㈎ ⋯⋯
정삼각형 BCE에서 ㈏ ⋯⋯
또, ∠ACD ∠ECB ˚이므로
∠ACE ˚ ∠DCE ∠DCB ⋯⋯
(1), (2), (3)에서 두 변의 길이가 각각 같고, 그 끼인 각의 크기가 같으므로
△ACE ≡ △DCB 따라서 AE DB이다.
위의 증명에서 (가), (나)에 알맞은 것은?5)
[1점][1996학년도 수능]
[가] [나]
① AC AD CE BE
② AC DC CE BE
③ AD CD CB BE
④ AC AD CE CB
⑤ AC DC CE CB
6.
다음은 ‘가 짝수, 가 홀수이면 방정식 은 정수근을 갖지 않는다.’는 것을 증명한 것이다.[ 증 명 ]
가 ㈎ 이면 은 ㈎ 이고 는 짝수이다.
따라서 가 ㈎ 가 되므로 ㈏ 이 될 수 없다.
가 ㈐ 이면 는 의 배수이고 는 의 배 수가 아니다.
그런데 ㈑ 이므로 모순이다.
따라서, 이 방정식은 정수근을 갖지 않는다.
위의 증명에서 (가)～(라)에 알맞은 것은?6)
[1.5점][1996학년도 수능]
(가) (나) (다) (라)
① 짝수, , 홀수,
② 짝수, 이차식, 홀수, 는 짝수
③ 정수, , 짝수,
④ 홀수, 이차식, 짝수, 는 짝수
⑤ 홀수, , 짝수,
수 리 영 역
4 증명문제
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7.
다음은 명제 ｢ 을 만족하는 ㈎ ｣에 대한 증명에서 중간 부분을 적은 것이다.[ 증 명 ]
…(생략)…
정수 를 각각 로 나누면 나머지가 각각
중 하나이다.
따라서 을 각각 로 나누면 나머지가
중 하나이다.
그러므로 을 로 나누었을 때 나머지는 각각
중 하나이다.
그런데, 을 로 나누면 나머지는 이다.
…(생략)…
다음 중 위의 ㈎ 에 알맞은 것은?7)
[2점][1997학년도 수능]
① 중 적어도 하나는 정수이다.
② 중 어느 것도 정수가 아니다.
③ 가 모두 정수인 해가 적어도 하나 있다.
④ 가 모두 정수인 해가 오직 하나 있다.
⑤ 가 모두 정수인 해는 없다.
8.
오른쪽 그림에서 사각형 ABCD는 원에 내접하고 두 대각선 AC와 BD는 점 P에서 만나며 서로 수직이다. 또, 점 P에서 변 BC에 내린 수선의 발을 E라 하고, 직선 PE와 변 AD가 만나는 점을 F라고 하자.다음 중 여기에서 증명될 수 없는 것은?8)
[3점][1997학년도 수능]
① ∠CBP ∠PAD ② ∠APF ∠PAF
③ ∠FPD ∠FDP ④ AF FD
⑤ AP AF
9.
다음은 명제 ‘ 을 만족하는 ㈎ ’에 대한 증명에 서 중간 부분을 적은 것이다.[ 증 명 ]
…(생략)…
이 정수이고, 이므로
은 의 배수이다.
한편, 정수 이 어떤 정수 에 대하여,
이면
이면
이면
이므로
을 으로 나눈 나머지는 또는 이다.
따라서 을 으로 나눈 나머지는
또는 이다.
…(생략)…
다음 중 위의 ㈎ 에 가장 알맞은 것은?9)
[2점][1998학년도 수능]
① 중 적어도 하나는 정수이다.
② 중 어느 것도 정수가 아니다.
③ 이 모두 정수인 해가 적어도 하나 있다.
④ 이 모두 정수인 해가 오직 하나 있다.
⑤ 이 모두 정수인 해는 없다.
수 리 영 역
증명문제 5
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10.
다음은 명제 ‘좌표평면에서 세 꼭지점의 좌표가 모두 유리수 인 정삼각형이 존재하지 않는다.’를 증명한 것이다.[ 증 명 ]
세 꼭지점의 좌표가 모두 ㈎ 인 정 삼각형이 존재한다고 가정하자.
이 삼각형을 평행이동하여 오른쪽 그 림과 같이 한 꼭지점이 좌표평면의 원 점 O에 놓이도록 했을 때, 다른 꼭지 점을 각각 A , B 라 하면,
는 모두 ㈏ 가 된다.
그런데 B는 A를 원점을 중심으로 °만큼 회전이동한 점 이므로
,
이다.
여기서 ≠ 이면 가 ㈐ 가 되고, 이면
≠ 이므로 가 ㈐ 가 된다.
이는 가정에 모순이다.
위의 증명에서 (가), (나), (다)에 알맞은 것을 순서대로 적으 면?10)
[3점][1998학년도 수능]
① 유리수, 유리수, 무리수
② 무리수, 유리수, 무리수
③ 유리수, 무리수, 유리수
④ 유리수, 유리수, 유리수
⑤ 무리수, 유리수, 유리수
11.
다음은 보다 큰 자연수 에 대한 명제 ｢보다 작거나 같 은 모든 소수가 을 나누지 않으면, 은 소수이다.｣ 를 증명한 것이다.[ 증 명 ]
결론을 부정하여 이 소수가 아니라고 가정하면,
인 보다 큰 자연수 이 존재한다.
을 나누는 한 소수를 ,
을 나누는 한 소수를 라 하면,
는 을 나눈다.
그러므로 이다.
만약 이고 이면
이므로 모순이다.
따라서, ㈎ 이다.
즉, 의 약수 중에서 보다 작거나 같은 소수 가 존재한다.
그런데 이것은 가정에 모순이므로 은 소수이다.
위의 증명에서 ㈎에 알맞은 것은?11)
[2점][1999학년도 수능]
① ≤이거나 ≤
② ≤이고 ≤
③ ≤이거나 ≥
④ ≤이고 ≥
⑤ ≥이거나 ≥
수 리 영 역
6 증명문제
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12.
다음은 ∆ABC의 세 변의 수직이등분선이 한 점에서 만남을 증명한 것이다.[ 증 명 ] 직선 BC를 축, 변 BC의 수직 이등분선을 축으로 잡고, A , B , C 라고 하자, (단, ≠ ＞)
(i) ≠ 이고 ≠ 일 때 직선AC의 기울기는
이므로, 변 AC의 중점 E를 지나고 변 AC에 수직인 직선의 방정식은
㈎
㈎ ㈏ ⋯⋯ ①
같은 방법으로, 변 AB의 중점 D를 지나고 변 AB에 수직인 직선의 방정식은
㈏ ⋯⋯ ② 두 직선 ①, ②의 절편이 같으므로
세 변의 수직이등분선은 축 위의 점 ㈏ 에서 만 난다.
따라서, ∆ABCC의 세 변의 수직 이등분선은 한 점에서 만 난다.
(ii) 또는 일 때
∆ABC는 ㈐ 이므로,
세 변의 수직 이등분선은 D 또는 E에서 만난다.
따라서 ∆ABC의 세 변의 수직 이등분선은 한 점에서 만난 다.
위의 증명에서 (가), (나), (다)에 알맞은 것을 순서대로 적으 면?12)
[3점][2000학년도 수능]
①
, 직각삼각형
②
, 정삼각형
③
, 이등변삼각형
④
, 이등변삼각형
⑤
, 직각삼각형
13.
다음은 꼴의 소수가 무수히 많음을 증명한 것이다. (단,는 음이 아닌 정수이다.) [ 증 명 ]
꼴의 소수가 유한개 있다고 가정하고, 이것을 ⋯ 라 하자.
∙ ∙ ∙ ∙⋯∙ 4이라 하면,
은 ⋯ 로 ㈎ ,
의 모든 소인수는 또는 꼴의 정수이고,
꼴의 두 정수를 곱하면 ㈏ 꼴의 정수이다.
그러므로, 의 모든 소인수가 ㈏ 꼴이면,
도 ㈏ 꼴이다.
이것은 모순이므로, 은 ㈐ 꼴의 소인수 를 갖는다.
은 로 나누어 떨어지므로,
는 ⋯ 가 아닌 꼴의 소수가 존재한다.
이것은 가정에 모순이다.
따라서, 꼴의 소수는 무수히 많다.
위의 증명에서 (가), (나), (다)에 알맞은 것을 순서대로 적으 면?13)
[2점][2000학년도 수능]
① 나누어 떨어진다. ,
② 나누어 떨어진다. ,
③ 나누어 떨어지지 않는다. ,
④ 나누어 떨어지지 않는다. ,
⑤ 나누어 떨어지지 않는다. ,
수 리 영 역
증명문제 7
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14.
다음은 ∆ABC에서 BC≺ AC≺ AB일 때, 삼각형 내부의 한 점 P에 대하여 ≺
임을 증명한 것이다.
[ 보 기 ] 가정에 의해 BC≺ AC≺ AB 이므로
∠A ≺ ∠B ≺ ∠C
점 P를 지나고 선분 BC에 평행한 직선이 선분 AB AC 와 만나는 점을 각각 D E 라고 하자.
선분 DE와 선분 BC가 평행하므로
∠ADE ∠B ∠AED ∠C 따라서, ∠A ≺ ∠ADE ≺ ∠AED 그러므로 ∆ADE에서
㈎ ⋯⋯ ①이고
PA ≺ AD ⋯⋯ ②
∆BDP에서 PB≺ PD DB ⋯⋯ ③
∆EPC에서 PC≺ PE EC ⋯⋯ ④
①, ②, ③, ④에서
PA PB PC ≺ AB AC
위의 증명에서 (가)에 알맞은 것은?14)
[2점][2001학년도 수능]
① ≺ ≺ ② ≺ ≺
③ ≺ ≺ ④ ≺ ≺
⑤ ≺ ≺
15.
다음은 자연수 에 대해서 이 소수이고 ≠ 또 는 ≠ 이면, 은 홀수이고 은 짝수임을 증명한 것이다.[ 증 명 ]
이 짝수이거나 이 홀수라 가정하자.
(i) 이 짝수이면 꼴의 정수이고,
· 이므로
은 ㈎
이것은 가정에 모순이므로 은 홀수이다.
(ii) 이 홀수이면 = 꼴의 정수이다.
은 다음과 같이 인수분해 된다.
㈏ · 이 수는 소수이므로 ㈏ 또는
· 이다.
그런데, · 이므로
㈏ 이다.
㈏ ㈐ 로부터
이다.
따라서, 이다.
이것은 가정에 모순이므로 은 짝수이다.
위의 증명에서 (가), (나), (다)에 알맞은 것은?15)
[3점][2002학년도 수능]
(가) (나) (다)
① 소수가 아니다. ․
② 소수이다. ․
③ 소수가 아니다. ․
④ 소수이다. ․
⑤ 소수가 아니다. · ․
수 리 영 역
8 증명문제
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16.
다음은 정삼각형 ABC의 변 BC 위의 한 점 D를 잡아 직선 AD가 ∆ABC의 외 접원과 만나는 점을 E라 할 때,DE
=
EB
+
CE
임을 보인 것이다.
[ 증 명 ]
선분 CE의 연장선 위에 EB EP인 점 P를 잡는다.
네 점 A B E C는 한 원 위에 있으므로
∠AEC ∠ABC 이고
∠AEB ∠ACB 이다.
따라서 ㈎ 〫이고 EB EP이므로
∆EBP는 정삼각형이다.
그러므로 ㈏ ∠DEC이고 선분 BP와 DE는 평행하다.
∆CBP와 ∆CDE는 닮음이므로
BP DE CP ㈐ 이고
BP ∙ ㈐ DE∙ CP이다.
또한 BP EP EB, CP CE EP이므로
EB∙ ㈐ DECE EP DECE EB 가 된다.
양변을 EB∙ CE∙ DE로 나누면
DE
EB
CE
이다.
위의 증명에서 (가), (나), (다)에 알맞은 것은?16)
[3점][2002학년도 수능]
(가) (나) (다)
① ∠PEB ∠BPE CE
② ∠PEB ∠BPE CD
③ ∠EBP ∠CBE CE
④ ∠PEB ∠DCE CD
⑤ ∠PEB ∠BED CD
17.
다음은 세 자연수 ( )에 대하여 이 의 배수임을 증명한 것이다.
[ 증 명 ]
를 각각 로 나누었을 때 나머지는 ㈎ 같다.
이 중 나머지가 같은 두 수를 와 라고 하면
은 의 배수이다.
그러므로 도 의 배수이다. ……… ㉠ 다음으로, 을 으로 나누었을 때 나머지를 알아보자.
을 각각 으로 나눈 나머지는 ㈏ 이므로
중에는 으로 나눈 나머지가 같은 것이 적어도
개가 있다.
그러므로 는 의 배수이다. ……… ㉡
㉠과 ㉡으로부터 는 의 배수이다.
위의 증명에서 (가), (나)에 알맞은 것은?17)
[2점][2003학년도 수능]
(가) (나)
① 모두 또는
② 모두 또는
③ 적어도 개가 또는
④ 적어도 개가 또는
⑤ 적어도 개가 또는
수 리 영 역
증명문제 9
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9 16
18.
다음 순서로 선분 AB 위에 점 E를 작도하여 보자.(ⅰ) 점 B에서 선분 AB에 수직인 직선을 그어 그 위에
BC AB인 점 C를 잡는다.
(ⅱ) 선분 AC 위에 CD CB인 점 D를 잡는다.
(ⅲ) 선분 AB 위에 AE AD인 점 E를 잡는다.
그러면 점 E는
AE
AB
EB
AE
를 만족시킨다.
아래 증명은 이 성질을 증명한 것이다.
[ 증 명 ]
△ABC에서 AB BC이므로 피타고라스의 정리에 의하여
AC ㈎ BC 따라서
AE AD AC CD ㈏ BC
EB AB AE ㈐ BC 이므로
AE
AB
EB
AE
위의 빈칸 (가), (나), (다)에 알맞은 것은?18)
[2점][2004학년도 수능]
(가) (나) (다)
①
②
③
④
⑤
19.
다음은 두 자연수 와 에 대하여 이 의 배수 이면 와 가 어떤 성질을 가짐을 증명한 것이다.[ 증 명 ]
이라 하고 이 의 배수라 하자.
이 의 배수이므로 는 모두 짝수이다.
만일 중 하나만 의 배수이면 은의 배수가 아니 다.
한편, 가 모두의 배수가 아니면 과 의 일의 자 리의 수는 또는 이다.
(ⅰ) 의 일의 자리의 수가 이고 의 일의 자리의 수가
인 경우에 의 일의 자리의 수가 될 수 있는 것은 또는
뿐이고, 의 일의 자리의 수가 될 수 있는 것은 또는
뿐이다.
따라서 의 일의 자리의 수가 될 수 있는 것은
㈎ 뿐이므로 은 의 배수가 아니다.
(ⅱ) 의 일의 자리의 수가 이고 의 일의 자리의 수가
인 경우에는 (ⅰ)의 경우와 마찬가지로 은 의 배수가 아니다.
(ⅲ) 과 의 일의 자리의 수가 모두 이거나 모두 인 경우에 (ⅰ)의 경우처럼 하면 의 일의 자리의 수가 될 수 있는 것은 ㈏ 뿐이므로 은 의 배수가 아니다.
따라서 이 의 배수이면
㈐ 의 배수이다.
위의 빈칸 (가), (나), (다)에 알맞은 것은?1 9)
[3점][2004학년도 수능]
(가) (나) (다)
① 또는 또는 는 모두
② 또는 또는 는 모두
③ 또는 또는 는 모두
④ 또는 또는 중 하나만
⑤ 또는 또는 중 하나만
수 리 영 역
10 증명문제
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20.
∆ABC의 넓이를 , ∆ABC의 세 중선의 길이를 각 변의 길이로 하는 삼각형의 넓이를 라고 할 때, 다음은 과 사 이에 일정한 비가 성립함을 증명한 것이다.<증명>
∆ABC의 각 변의 중점을 P Q R로 놓고 그림과 같이
PC BT가 되도록 점 T를 잡는다.
점 Q는 평행사변형 PBTC의 대각선 BC의 중점이므로
PQ QT ⋯ ㉠
또 삼각형의 중점연결정리에 의하여
PQ
AC이므로 PQ AR ⋯ ㉡
㉠，㉡ 에서 AR QT ∴ (가)
따라서 ∆RBT는 ∆ABC의 세 중선의 길이를 각 변의 길이로 하는 삼각형이다.
한편, 두 선분 BC와 RT의 교점을 M이라고 하면,
AQ // RT이고 점 R가 선분 AC의 중점이므로 점 M은 선분 CQ의 중점이다.
∠RMB ∠AQB이므로
∆RBT RT× MB× sin∠RMB
(나) ∆ABC
위의 증명에서 (가), (나)에 알맞은 것은? 20)
[4점][2006년 10월]
(가) (나)
① AQ RT
② AP CT
③ AQ RT
④ AP CT
⑤ CT PB
수 리 영 역
증명문제 11
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11 16
[해설] 증명문제
1) ①
㈎ () ㈏ () ㈐ () 2) ⑤
⋯ 이라고 하면,
⋯
Ⅰ) 에 의하여 ⋯ 이 모두 정수이므로,
는 로 나누어 떨어진다.
즉, ㈎는 옳다.
또,
와
를 두 근으로 하는 이차방정식은 근과 계수와의 관계에 의하여
․
그런데 Ⅱ) 에서 이므로
이다.즉, ㈏도 옳다.
또 Ⅰ)에 의하여 가 정수이고 도 정수이므로
는 유리수이다.
즉, ㈐도 옳다.
또 Ⅲ)에 의하여
와 이 정수이므로, 한 근인
는 정수이다. 즉, ㈑도 옳다.
3) ③
이므로
⇒
∴
⋯⋯ ㈎
⇒
⋯⋯ ㈏
㈐ 필요충분조건 4) ④
에서 축에 내린 수선의 발을 라 하면
cos cos
sin sin
△에서
cos 5) ⑤
△가 정삼각형이므로 ⋯⋯ ㈎
△가 정삼각형이므로 ⋯⋯ ㈏ 6) ⑤
가 (홀수)이면 은 (홀수)이고 (∵ 일 때,
) 는 짝수이다.
따라서, 가 (홀수)가 되므로 (0)이 될 수 없다.
(∵ 은 홀수 는 짝수)
가 (짝수)이면 는 의 배수이고 는 반드시 의 배수 아니다.
그런데 이므로 모순이다.
(∵ 좌변은 의 배수, 우변은 반드시 의 배수가 아니다.) 따라서, 이 방정식은 정수근을 갖지 않는다.
7) ⑤
가 정수일 때 에서
을 로 나누었을 때의 나머지는
중 하나이고 을 로 나누면 나머지가 이므로 주어진 명제의 등식이 성립하지 않는다.
따라서 주어진 가 모두 정수인 해는 없다.
8) ⑤
① ∠와 ∠는 에 대한 원주각이므로 같다.
② △와 △는 서로 닮음이므로 ∠ ∠ ⋯⋯ ㉠
또한 ①에 의하여∠ ∠ ⋯⋯ ㉡ ∠ ∠(∴맞꼭지각)
㉠, ㉡에 의하여 ∠ ∠ ⋯⋯ ㉢ ㉢, ㉣에 의하여 ∠ ∠ ⋯⋯ ㉣
③ ∠ ∠(∴에 대한 원주각)⋯⋯ ㉠ ∠ ∠ °
∠ ∠ °
∠ ∠
∴∠ ∠․․․㉡
㉠, ㉡에 의하여∠ ∠
④ ②에 의하여 △는 이등변삼각형이므로
③에 의하여 ∴
⑤ <거짓>
9) ⑤
을 만족하는 이 정수인 해는 없다.
<증명>귀류법을 쓰면 이 정수이고
이므로 은 의 배수이다.⋯⋯ ① 한편, 정수 이 어떤 정수 에 대하여
이면
이면
이면
이므로 을 으로 나눈 나머지는 또는 이다.
따라서, 을 으로 나눈 나머지는 또는 이다.⋯⋯ ② 그러므로 ①, ②에 의하여 모순이다.
따라서, 을 만족하는 이 모두 정수인 해는 없다.
10) ①
수 리 영 역
12 증명문제
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ⅰ) ㈎ 유리수
ⅱ) 세 꼭지점의 좌표가 모두 유리수일 때 한 꼭지점이 원점에 오도록 평행이동하면 다음 꼭지점의 좌표도 모두 유리수가 된다.
∴ ㈏ 유리수
ⅲ) 점 는 점 를 원점을 중심으로 ∘만큼 회전이동한 점이므로
cos sin
sin cos
∴
에서
일 때 가 유리수이므로 는 유리수가 되고,
≠ 일 때
는 무리수이고
는 유리수이므로 는 무리수가
된다.
에서
이면
이고 는 이 아닌 유리수이므로 는 무리수가 된다.
∴ ㈐ 무리수 11) ②
이고 이면 이므로 가정 ｢ 는 보다 작거나 같은 소수｣에 모순이다.
즉, ｢ 이고 ｣이면 모순이므로
㈎에 들어갈 것은 ｢ 이고 ｣의 부정이다.
∴ ≤이거나 ≤ 12) ①
①
(단, 는 음이 아닌 정수,
, 이므로
② (반례)
일 때 이므로 이고 이다. ∴ 따라서 거짓
③
(단, 는 음이 아닌 정수, ⋯ )
×
∴ 따라서 참 13) ⑤
(가) 은 ⋯ 의 배수가 아니므로 은 ⋯ 로 나누어 떨어지지 않는다.
(나) 꼴의 두 정수를 는 음이 아닌 정수)라 하면 이 두 정수의 곱은
이 때, ∆에서 ∠의 대변은 , ∠의 대변은 , ∠의 대변은 이므로
∠ ∠ ∠ ⇔ 이다.
15) ①
⋅ 이므로 소수가 아니다. ⋯⋯⋯ (가) 또
・・ ・・ ・ ・・
・ ・ ・ ・ ⋯⋯⋯ (나) 또 ・ ・ 이다. ⋯⋯⋯ (다) 16) ①
한 원에서 현에 대한 원주각의 크기는 동일하므로 현 AB에 대해 ∠ACB ∠AEB
현 AC에 대해 ∠ABC ∠AEC
즉, ∠BEP ⋯⋯ ㈎ 이 때 BE PE이고 ∠BEP 이므로
∆BPE는 정삼각형
∴ ∠BPE ⋯⋯ ㈏ 즉, ∆CDE∆CBP
따라서, PE BP CE CP ⋯⋯ ㈐이다.
17) ③
세 자연수 ( )에 대하여
로 나눈 나머지는 또는 이므로 적어도 개가 같다.
또, 을 으로 나눈 나머지는 또는 이므로 나머지가 같은 것이 적어도 개가 있다.
18) ④
△ABC에서 AB BC이므로 피타고라스의 정리에 의하여
AC AB BC BC BC BC
∴ AC () BC
따라서 AE AD AC CD BC BC BC
EB AB AE BC AD BC BC BC 19) ③
(ⅰ)의 일의 자리의 수가 이고 의 일의 자리의 수가 인 경우에
의 일의 자리의 수는 또는 뿐이고, 의 일의 자리의 수는 또는
뿐이다.
따라서 의 일의 자리의 수가 될 수 있는 것은
× × × × ( 또는 ) 뿐이므로
은 의 배수가 아니다.
(ⅲ) 과 의 일의 자리의 수가 모두 이거나 모두 인 경우에 (ⅰ)의 경우처럼 하면 의 일의 자리의 수가 될 수 있는 것은
수 리 영 역
증명문제 13
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13 16 따라서 의 일의 자리의 수는 또는 이다.
따라서, 이 의 배수이면
는 모두 의 배수이다.
20) ③
그림에서 점 Q는 평행사변형 PBTC의 대각선 BC의 중점이므로
PQ QT … ㉠
또, 삼각형의 중점연결정리에 의하여 PQ
AC
이므로PQ AR … ㉡
㉠, ㉡에서 AR QT
사각형 AQTR는 평행사변형이므로 AQ RT
따라서 ∆RBT는 ∆ABC의 세 중선의 길이를 각 변의 길이로 하는 삼각형이다.
한편, 두 선분 BC와 RT의 교점을 M이라고 하면,AQ//RT이고 점 R가 선분 AC의 중점이므로
점 M은 선분 CQ의 중점이다. ∴MB
BC
∠RMB ∠AQB이므로
∆RBT
× RT× MB×sin∠RMB
× AQ × BC × sin∠AQB
∆ABC
