수 리 영 역

◦ 먼저 수험생이 선택한 응시 유형의 문제지인지 확인하시오.

◦ 문제지에 성명과 수험 번호를 정확히 기입하시오.

◦ 답안지에 수험 번호, 응시 유형 및 답을 표기할 때는 반드시

‘수험생이 지켜야 할 일’에 따라 표기하시오.

◦ 단답형 답의 숫자에 0 이 포함된 경우, 0 을 OMR 답안지에 반드시 표기해야 합니다.

◦ 문항에 따라 배점이 다르니, 각 물음의 끝에 표시된 배점을 참고하시오. 배점은 2점, 3점 또는 4점입니다.

◦ 계산은 문제지의 여백을 활용하시오.

1.

^{ }



× ^



의 값은? 1)

[2점][2008년 10월]

①  ② ^ ③  ④ ^ ⑤ 

2.

무리방정식 ^        ^  의 모든 실근의 합 은? 2)

[2점][2008년 10월]

①  ②  ③  ④  ⑤ 

3.

서로 독립인 두 사건 , 에 대하여 P _{  }



, P _{  }



일 때, P ∪의 값은? ³⁾

[2점][2008년 10월]

① _



 ② _



 ③ _



 ④ _



 ⑤ _





4.

그림과 같이 삼차함수 의 그래프가 축과 세 점

  ,   ,  에서 만날 때, 부등식 _



  

≦ 을 만족시키는 정수 의 개수는? ⁴⁾

[3점][2008년 10월]

①  ②  ③  ④  ⑤ 

2008학년도 10월 고3 전국연합학력평가 문제지

제 2 교시 수 리 영 역

성명 수험번호 3

1

‘가’형

수 리 영 역

2

━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━

5.

그림과 같이 타원 _

^

^

 ^

^

       에 내접하는 정삼 각형 ABC가 있다. 타원의 두 초점 F, F′이 각각 선분 AC, AB 위에 있을 때, _



의 값은? (단, 점 A는 축 위에 있다.) 5)

[3점][2008년 10월]

① _



 ② _



 ③ _



 ④ _



^

⑤ _



^

6.

좌표공간에 구   ^   ^   ^ 와 구 밖의 한 점 A  가 있다. 점 A에서 이 구에 그은 접선들의 접점으 로 이루어진 도형을 포함하는 평면과 평면이 이루는 예각의 크기를 라 할 때, cos의 값은? ⁶⁾

[3점][2008년 10월]

① _



 ② _



 ③ _



 ④ _



 ⑤ _





7.

그림은 원점 O에 대하여 대칭인 삼차함수 의 그래프이다.

곡선   와 축이 만나는 점 중 원점이 아닌 점을 각각 A, B라 하고, 함수 의 극대, 극소인 점을 각각 C, D라 하 자.

점 D의 좌표가 _



이고 사각형 ADBC의 넓이가 ^일 때, 함수 의 극댓값은? 7)

[3점][2008년 10월]

①  ② _



 ③ _



 ④ _



^

⑤ ^

8.

그림은 한 변의 길이가 인 정사 각형 개를 붙여 만든 도형이다.

개의 꼭짓점 중 한 점을 시점으 로 하고 다른 한 점을 종점으로 하 는 모든 벡터들의 집합을 라 하 자. 집합 의 두 원소 ^, ^에 대 하여 <보기>에서 항상 옳은 것만 을 있는 대로 고른 것은? ⁸⁾

[3점][2008년 10월]

< 보 기 >

ㄱ. ^⋅  이면 ^, ^의 값은 모두 정수이다.

ㄴ. ^ ^, ^ ^이면 ^⋅ ≠ 이다.

ㄷ. ^_{⋅}는 정수이다.

① ㄴ ② ㄷ ③ ㄱ, ㄴ

④ ㄱ, ㄷ ⑤ ㄴ, ㄷ

‘가’형

수 리 영 역

━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━

3

9.

실수 전체의 집합에서 정의된 함수 에 대하여 <보기>에 서 항상 옳은 것만을 있는 대로 고른 것은? (단,   는 보다 크지 않은 최대의 정수이다.) 9)

[4점][2008년 10월]

< 보 기 >

ㄱ.   ^이면 lim

 → 

        이다.

ㄴ.     이면 lim

 → 

         이다.

ㄷ. lim

 → 

        이면 는   에서 연 속이다.

① ㄱ ② ㄱ, ㄴ ③ ㄱ, ㄷ

④ ㄴ, ㄷ ⑤ ㄱ, ㄴ, ㄷ

10.

그림과 같이 네 점  ,  ,  ,  을 꼭짓점으 로 하는 정사각형의 내부를 두 곡선 _{  }



^,   ^으로 나눈 세 부분의 넓이를 각각 _, _, _이라 하자.

_, _, _이 이 순서로 등차수열을 이룰 때, 양수 의 값은? ^{1 0)} [4점][2008년 10월]

① _



 ② _



 ③  ④ _



 ⑤ _





11.

좌표공간에 세 점 A  , B    , C   과 직 선 _{  }



  

 

  

 

   가 있다.

직선 이 삼각형 ABC의 변 또는 내부를 지나도록 상수 의 값 을 정할 때, 정수 의 개수는? ¹¹⁾

[4점][2008년 10월]

①  ②  ③  ④  ⑤ 

12.

이차정사각행렬 에 대하여 <보기>에서 옳은 것만을 있는 대로 고른 것은? (단, 는 단위행렬이고 는 영행렬이다.) 12)

[3점][2008년 10월]

< 보 기 >

ㄱ. ^  이면 의 역행렬은  이다.

ㄴ. ^이면 의 역행렬은 존재하지 않는다.

ㄷ. ^의 역행렬이 존재하지 않으면 ^의 역행렬은 존재하 지 않는다.

① ㄱ ② ㄱ, ㄴ ③ ㄱ, ㄷ

④ ㄴ, ㄷ ⑤ ㄱ, ㄴ, ㄷ

수 리 영 역

4

━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━

13.

수열 _^이 _ , _ _{  }  (        ⋯)을 만족시킬 때, <보기>에서 옳은 것만을 있는 대로 고른 것은? ¹³⁾

[4점][2008년 10월]

< 보 기 >

ㄱ. _  ㄴ. lim

 → ∞

_ 

ㄷ. lim

 → ∞

_{  }



^{  }_^

① ㄱ ② ㄱ, ㄴ ③ ㄱ, ㄷ

④ ㄴ, ㄷ ⑤ ㄱ, ㄴ, ㄷ

14.

다음은 이 소수일 때, _C_ 는 ^의 배수임을 증명한 것이다.

<증명>

  ^



  



C_^

에서 (가) 의 계수는 _C_이다.

한편   ^  ^



  

^



C_^



  

^



C_{  }^{  }



에서 (가) 의 계수는



  



C_․ (나) 이다.

따라서 _C_C_^C_^C_^{ ⋯ }C_^이다.

그런데 이 소수이므로 (다) 인 자연수 에 대하여

C_는 의 배수이다.

따라서 (다) 인 자연수 에 대하여 C_^은 ^의 배수 이고 _C__C_ 이므로 _C_ 는 ^의 배수이다.

위 증명에서 (가), (나), (다)에 알맞은 것은? 14)

[3점][2008년 10월]

(가) (나) (다)

① ^ _C_{  }  ≦  ≦ 

② ^ _C_{  }  ≦  ≦  

③ ^ _C_{  }  ≦  ≦ 

④ ^ _C_{  }  ≦  ≦  

⑤ ^ _C_{  }  ≦  ≦ 

15.

한 변의 길이가 인 정사각형 ABCD가 있다. 그림과 같이 두 선분 AD, DC의 중점을 각각 P_, Q_이라 하고, 두 선분 AQ_, CP_의 교점을 D_이라 하자. 이때, 사각형 DP_D_Q_의 넓이를 _이라 하자.

선분 BD_을 대각선으로 하는 정사각형을 BC_D_A_이라 하자.

두 선분 A_D_, D_C_의 중점을 각각 P_, Q_라 하고, 두 선분 A_Q_, C_P_의 교점을 D_라 하자. 이때, 사각형 D_P_D_Q_의 넓이를 _라 하자.

선분 BD_를 대각선으로 하는 정사각형을 BC_D_A_라 하자. 두 선분 A_D_, D_C_의 중점을 각각 P_, Q_이라 하고, 두 선분 A_Q_, C_P_의 교점을 D_이라 하자. 이때, 사각형 D_P_D_Q_의 넓이를 _이라 하자.

이와 같은 과정을 계속하여 얻은 번째 사각형의 넓이를 _이 라 할 때,



  

∞

_의 값은? 15)

[4점][2008년 10월]

① _



 ② _



 ③ _



 ④ _



 ⑤ _





‘가’형

수 리 영 역

━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━

5

16.

제사분면에서 직선    위의 한 점 P를 지나고 축에 평행한 직선이 곡선   ^과 만나는 점을 A라 하고, 점 P를 지나고 축에 평행한 직선이 곡선   log_와 만나는 점을 B 라 하자. 이때, 세 삼각형 OPA, PAB, OPB의 넓이를 각각

_, _, _이라 하자. ___     일 때, 상수 의 값 은? (단, O는 원점이다.) 16 )

[4점][2008년 10월]

①  ②  ③  ④  ⑤ 

17.

어떤 생물의 개체수를 측정하기 시작하여 시각 에서의 개 체수를 라 할 때, 다음 관계식이 성립한다고 한다.

_{   }

  ․^{ }

 (단,    는 양의 상수) 이때, 는 이 생물의 최대개체량이다.

이 생물의 개체수를 측정하기 시작하여   일 때의 개체수는 최대개체량의 _



이었고,   일 때의 개체수는 최대개체량의



이었다. 이 생물의 개체수를 측정하기 시작하여   일 때의 개체수를 나타내는 것은? ¹⁷⁾

[4점][2008년 10월]

① _



 ② _



 ③ _





④ _



 ⑤ _





단답형(18~25)

18.

구간     에서 함수   ^ ^ 의 최댓값과 최 솟값의 합을 구하시오. 1 8)

[3점][2008년 10월]

19.

함수  lim

→∞^ 

^{  }   

이   에서 연속이 되도록 자연수 , 의 값을 정할 때, ^ ^의 값을 구하시오. ¹⁹⁾

[3점][2008년 10월]

20.

두 다항함수 , 가 다음 조건을 만족시킨다.

모든 실수 에 대하여

(가)   ^ ^    (나) ′  

(다)   



_^{}



_^{  }의 값을 구하시오. ²⁰⁾

[4점][2008년 10월]

‘가’형

수 리 영 역

6

━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━

21.

점 O를 원점으로 하는 좌표공간에 사면체 OABC가 있다.

삼각형 OAB, OBC, OCA, ABC는 각각 네 평면

  ,   ,     ,       

위에 있을 때, 사면체 OABC의 부피는 이다. 의 값을 구 하시오. ²¹⁾

[4점][2008년 10월]

22.

확률변수 는 이항분포 B    를 따르고 확률변수 는 이 항분포 B    를 따른다고 한다. 이때,

 P    P ≧ 을 만족시키는 양수 의 값은 _



 이다.

  의 값을 구하시오. (단, , 은 서로소인 자연수이다.) 2 2)

[3점][2008년 10월]

23.

갑, 을 두 사람이 어떤 게임을 해서 다음과 같은 규칙에 따 라 사탕을 갖는다고 한다.

(가) 이긴 사람은 개, 진 사람은 개의 사탕을 갖는다.

(나) 비기면 두 사람이 각각 개씩 사탕을 갖는다.

갑, 을 두 사람이 이 게임을 다섯 번 해서 개의 사탕을 개 씩 나누어 갖게 되는 경우의 수를 구하시오. (단, 사탕은 서로 구별되지 않는다.) 23)

[3점][2008년 10월]

24.

²⁴⁾ 수열 ^^에서

_   

 

 ⋯  

 (        ⋯) 일 때,  _ _ _ _ ⋯  _의 값을 구하시오.

[4점][2008년 10월]

25.

행렬 



^{ } 



^{ } 



^{의    성분이 일 때, 의 값을 구}

하시오. 25)

[4점][2008년 10월]

미분과 적분

26.

^{수열 {}_}에 대하여 _{tan }



_

 

   (     ⋯)일 때, lim

→∞

tan _의 값은? (단,  ≦ _≦ 

이다.) 26 )

[3점][2008년 10월]

①  ② _



 ③ _



 ④  ⑤ _





․

‘가’형

수 리 영 역

━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━

7

27.

실수 전체의 집합에서 이계도함수를 갖는 함수 가 다음 조건을 만족시킨다.

(가)   , ′   (나) lim

→  

′ 

 

″의 값은? ^{27 )}

[3점][2008년 10월]

①  ②  ③  ④  ⑤ 

28.

그림과 같이 두 곡선   ^ (  ),   ln   이 제 사분면에서 만나는 점을 A라 하자. 원점 O와 두 점 B  , C  에 대하여 삼각형 OAB의 넓이를 _, 삼각형 OAC의 넓이를 _라 하자. 의 값이 한없이 커질 때, _

_

_

의 값은 에 한없이 가까워진다. 의 값은? ²⁸⁾

[3점][2008년 10월]

① _



 ② _



 ③  ④  ⑤ 

29.

반지름의 길이가 인 반구 모양의 그릇에 물이 가득 차 있었 다. 그림과 같이 이 그릇을 



^{    }





만큼 기울였을 때 수면 의 높이를 , 수면의 넓이를 , 물의 부피를 라 하 자. <보기>에서 옳은 것만을 있는 대로 고른 것은? 29)

[4점][2008년 10월]

< 보 기 >

ㄱ.     sin

ㄴ.     cos^ ㄷ. _



   cos

① ㄱ ② ㄴ ③ ㄱ, ㄴ

④ ㄴ, ㄷ ⑤ ㄱ, ㄴ, ㄷ

단답형(30)

30.

길이가 인 선분 AB를 지름으로 하는 반원이 있다. 그림 과 같이 두 점 P Q가 점 B에서 동시에 출발하여 다음 조건을 만족시키면서 반원 위를 움직인다.

(가) ∠QAB  ∠PAB

(나) 선분 BP의 길이의 시간(초)에 대한 변화율은 _



이다.

점 P가 점 B에서 출발하여 초가 되는 순간 선분 AQ의 길이 의 시간(초)에 대한 변화율은 이다.  ^의 값을 구하시오.

(단,  ≦ ∠PAB  

이다.) ³⁰⁾

[4점][2008년 10월]

‘가’형

수 리 영 역

8

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확률과 통계

31.

오른쪽 줄기와 잎 그림은 개의 값으로 이루어진 어느 자료를 십의 자리의 수를 줄기로, 일의 자리의 수 를 잎으로 하여 그린 것이다. 이 줄 기와 잎 그림을 그리는 과정에서 

개의 값 중 한 개의 값을 잘못 보아 십의 자리의 수와 일의 자리의 수를 서로 바꾸어 입력하였다.

이 줄기와 잎 그림에서 잘못 입력된 값을 바르게 수정하면 최빈 값이 바뀐다고 한다. 이 줄기와 잎 그림을 바르게 수정할 때,

<보기>에서 옳은 것만을 있는 대로 고른 것은? ^{3 1)}

[3점][2008년 10월]

< 보 기 >

ㄱ. 평균이 작아진다.

ㄴ. 범위가 커진다.

ㄷ. 중앙값이 작아진다.

① ㄱ ② ㄴ ③ ㄱ, ㄴ

④ ㄱ, ㄷ ⑤ ㄴ, ㄷ

32.

연속확률변수 가 갖는 값은 구간   의 모든 실수이다.

구간   에서 두 함수 , 를

  P ≧ ,    P ≦ 

로 정의할 때, <보기>에서 항상 옳은 것만을 있는 대로 고른 것은? ^{3 2)}

[3점][2008년 10월]

< 보 기 >

ㄱ.   ≦

ㄴ.   

ㄷ.     

① ㄱ ② ㄴ ③ ㄱ, ㄴ

④ ㄱ, ㄷ ⑤ ㄱ, ㄴ, ㄷ

33.

어느 지역 고등학생의 %가 하루 평균 통 이상의 문자 메시지를 보낸 다고 한다. 이 지역의 고등학생 중 임 의추출한 명 중에서 하루 평균 

통 이상의 문자 메시지를 보내는 학생 의 비율이 % 이상 % 이하일 확 률을 오른쪽 표준정규분포표를 이용하 여 구한 것은? ³³⁾

[3점][2008년 10월]

①  ②  ③ 

④  ⑤ 

34.

한 모서리의 길이가 인 정육면체 ABCD-EFGH 위에 동점 P가 있다.

점 P는 한 번 이동할 때마다 한 꼭짓점 에서 그 꼭짓점과 이웃한 세 꼭짓점 중 임의의 한 점으로 이동한다. 예를 들어 점 P가 점 A에서 이동할 때는 세 점 B, D, E 중 한 점으로 이동하고, 이 세 꼭 짓점으로 이동할 확률은 각각 _



이다.

이와 같은 방법으로 점 P가 점 A에서 출발하여 세 번 이동할 때, 두 점 A, P 사이의 거리가 일 확률은? 34 )

[4점][2008년 10월]

① _



 ② _



 ③ _



 ④ _



 ⑤ _





‘가’형

줄기 잎

  

   

    

 

 P ≦≦ 

 

 

 

 

수 리 영 역

━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━

9

단답형(30)

35.

어느 도시의 학생 명을 대상으 로 조사한 통학 시간은 정규분포를 따 르고 평균이 분, 표준편차가 분이 라고 한다. 이 명의 학생 중 임의 로 택한 한 학생의 통학 시간이 분 이상일 확률은 _이다. 또, 이 명

의 학생 중에서 통학 시간이 분 이상인 학생이 명 이상일 확률은 _이다. _ _일 때, 자연수 의 값을 구하시오. (단, 오른쪽 표준정규분포표를 이용한다.) ³⁵⁾

[4점][2008년 10월]

이산수학

36.

수열 _^을

_  , _ , _ _{  } _{  } (     ⋯) 로 정의할 때,



  



_^의 값은? 36)

[3점][2008년 10월]

①  ②  ③  ④  ⑤ 

37.

적절하게 꼭짓점을 색칠하는 최소의 색의 수가 오른쪽 그래프와 같은 것만을 <보기>

에서 있는 대로 고른 것은? 37)

[3점][2008년 10월]

< 보 기 >

ㄱ. ㄴ. ㄷ.

① ㄱ ② ㄴ ③ ㄱ, ㄴ

④ ㄱ, ㄷ ⑤ ㄴ, ㄷ

‘가’형

 P ≦≦ 

 

 

 

수 리 영 역

10

━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━

38.

크기가 각각  MB,  MB,  MB,

 MB,  MB인 개의 동영상 파일을 용량이 각각  GB이고 서로 구별이 안 되 는 두 개의 저장장치에 나누어 저장하려고 한다. 각 파일은 하나의 저장장치에만 저 장하고 파일을 저장하는 순서는 고려하지 않는다고 할 때, 파일을 저장하는 방법의 수는? (단,  GB  MB로 계산한다.) ³⁸⁾

[3점][2008년 10월]

①  ②  ③  ④  ⑤ 

39.

그림과 같이 개의 방이 개의 문 으로 연결되어 있다. 각 방을 꼭짓점 으로 하고, 하나의 문으로 연결된 두 방에 대응하는 꼭짓점을 변으로 연결 하여 나타낸 그래프를 라 하자.

그래프 에 대하여 <보기>에서 옳 은 것만을 있는 대로 고른 것은? 39)

[4점][2008년 10월]

< 보 기 >

ㄱ. 모든 꼭짓점의 차수의 합은 이다.

ㄴ. 오일러회로가 존재한다.

ㄷ. 해밀턴회로가 존재한다.

① ㄱ ② ㄷ ③ ㄱ, ㄴ

④ ㄴ, ㄷ ⑤ ㄱ, ㄴ, ㄷ

단답형(30)

40.

표는 어느 공장에서 상품을 만드는 데 필요한 작업, 작업 시 간, 작업의 순서 관계를 나타낸 것이다.

작업 작업 시간(일) 선행 작업

A  없음

B  A

C  A

D  B

E  B, C

F  D, E

G  E

H  F, G

이 작업을 모두 마치는 데 필요한 최소의 작업 일수를 구하시 오. ⁴⁰⁾

[4점][2008년 10월]

※ 확인 사항

‘가’형

수 리 영 역

━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━

11

2008년 10월 모의고사 가형 해설지

1 ③ 2 ③ 3 ③ 4 ④ 5 ⑤

6 ④ 7 ① 8 ⑤ 9 ② 10 ①

11 ② 12 ③ 13 ⑤ 14 ② 15 ① 16 ⑤ 17 ④ 18  19  20 

21  22  23  24  25 

26 ② 27 ① 28 ④ 29 ⑤ 30 

31 ④ 32 ④ 33 ② 34 ① 35 

36 ④ 37 ② 38 ① 39 ③ 40 

1) ③

^{ }



×^



 ^{ }



× ^



 ^{ }

 



  2) ③

주어진 식의 양변을 제곱하여 정리하면

        

∴    또는    (∵   은 무연근) 따라서 모든 실근의 합은 이다.

3) ③

P ∪ P   P  P P_{  }





4) ④

         (  )이므로



  

      ≦  ( ≠ ) 따라서 구하는 정수 의 개수는 이다.

5) ⑤

AF  , OF  

, AO    

^

이므로 

 

^

6) ④

접점으로 이루어진 도형을 포함하는 평면의 법선벡터는

           이고,

평면의 법선벡터는   이므로 cos      ×   

   ⋅  

 



7) ①

  ^ 로 놓으면

′  ^  



^{ }





^{∴  }



  ^ 

  



^{  }

^



^{  }

^



^이므로

∆ACB  

□ADBC  

×^ × 극댓값  

^ 이다.

따라서 극댓값은 이다.

8) ⑤

ㄱ. (반례) ⋅  이지만 ^ ^, ^ ^ 인 경우가 있다.

∴ ⋅ ≠  (참)

ㄷ. 주어진 도형을 좌표평면에서 생각하면 , 의 성분은 모두 정수이므로

⋅는 항상 정수이다. (참) 9) ②

ㄱ. lim

→

   ^   ^ lim

→

    (참) ㄴ. lim

→

                    (참) ㄷ. (반례)  



^{  ≠ }   ^이면

lim

→

      lim

→

        이지만

  에서 불연속이다. (거짓) 10) ①

___ , ___ ⋯ ㉠

_









^  

 ⋯ ㉡

㉠, ㉡에서 _{ }



, _{ }





^ 에서   ^

 ∵   이므로

_{ }

^

 





^



^  

에서   



11) ②

삼각형 ABC는 평면    위에 있으므로 직선의 방정식에   을 대입하면 삼각형 ABC를 품는 평면과 직선 의 교점의 좌표는

    이다.

평면   과 선분 CA, CB의 교점의 좌표가 각각   이므로

  ≦   ≦ 에서   ≦  ≦  따라서 구하는 정수 의 개수는 이다.

12) ③

ㄱ.    이므로 ^{ } 이다. (참)

ㄴ. (반례) 이면 ^이지만 행렬 의 역행렬이 존재한다.

(거짓)

ㄷ. 대우 ‘^의 역행렬이 존재하면 ^의 역행렬이 존재한다.’는 참이므로

주어진 명제는 참이다. (참) 13) ⑤

주어진 식을 이용하여 각 항을 차례로 나열하면

            ⋯

ㄱ. 이 홀수이면 _ 이므로 _ 이다. (참) ㄴ. _ 이므로 lim

→∞

_ 이다. (참) ㄷ.     (은 자연수)일 때

lim

→∞

_{  }



^{ }_→∞^lim_^ _{  }



^{}_→∞^lim_^{ }_^

      (은 자연수)일 때

lim

→∞

_{  }



^{ }_→∞^lim_{  }^{   }_{  }



^_→∞^lim_{  }^{    }_^

∴ lim

→∞





  



_ 

 (참)

수 리 영 역

12

━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━

15) ①

D P_  , ∆D P_D_∆BCD_이므로 D D_  

^

∴ _{ }





한편, 정사각형 B C_D_A_의 한 변의 길이는 

이므로 각 정사각형의

넓이는 공비가



^





^{ }

인 등비수열을 이룬다.

∴ _{  }



^{∞ }_

16) ⑤

직선    위의 한 점 P를  라 하면 A ^ B^ 이므로

_

_

 ^ 

^ 

 

, ^ 

_

_

 ^ 

^ ^ 

 

 ∴   

17) ④

_{ }

  ․^{ }

  

에서   ^이므로

_{  }

  ^{ }

  

에서 ^{ } 

이다.

∴ _{  }

  ^{ }

    ^{ }^

  



18) 24

′  ^       에서    

   ,   ,   이므로 최댓값과 최솟값의 합은

    이다.

19) 26

  lim

→  

  lim

→  

이어야 하므로

  

  

   

에서   

  ,    또는   ,   이므로 ^ ^ 

20) 27

(가)에서         

(다)에서 ′  ,   이므로

            (∵′   )

∴















^    

21) 160

주어진 네 평면 중 세 평면이 만나는 점이 사면체의 꼭짓점이므로 A  , B   , C   이다.

따라서 사면체 OABC의 부피는

_{ }



×



^

×  ×



^{×   }

 ∴  

따라서   

 이므로     이다.

23) 51

(ⅰ) 두 사람이 모두 비기는 경우 : (가지)

(ⅱ) 갑이 승 패 무인 경우 : 

  (가지)

(ⅲ) 갑이 승 패 무인 경우 : 

  (가지) 따라서 구하는 경우의 수는       (가지) 24) 30

 _ _ _ _ ⋯  _

 _ _ _  _ _  ⋯  _ _

    × 

  × 

⋯  × 

  

25) 100



 

^{ } 

 

^{ } ^에서 

 

^{ }  

^ ^ ^^⋯ ^이다.

행렬 의   성분은 ^ ^이므로   이다.

26) ② lim

→∞tan 

_

lim

→∞

  

이므로

lim

→∞

tan_lim

→∞

  tan^

_

tan 

_

 

 



^





^

⋅



 



27) ①

′  이므로

lim

→  

′ 

lim

→



^  

′ ′

⋅  

  



 ″′  ″⋅  

∴ ″ 1 28) ④

A ln  이라 하면 →∞일 때 →이다.

_{ }



ln  , _{ }



이므로

 lim

→∞_

_

lim

→

ln  

 

29) ⑤

그릇에 남은 물의 부피는 원 ^ ^ 과 직선   sin로 둘러싸인 부분을 축의 둘레로 회전시킨 입체의 부피와 같다.

ㄱ.     sin (참)

ㄴ. 수면의 반지름의 길이는 cos이므로

  cos^이다. (참)

ㄷ.   



^{   이므로}

수 리 영 역

━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━

13

30) 25

∠PAB  라 하면 BP  sin, AQ cos



 BP   cos 

 

에서 

 cos



 AQ   sin 

  sin cos 

 sin

  일 때, sin  

이므로 sin  

이다.

  ⋅

 

이므로 ^ 이다.

31) ④

줄기 잎

   

   

   

 

수정한 후의 줄기와 잎 그림은 다음과 같다.

ㄱ. 평균이 작아진다. (참) ㄴ. 범위는 변하지 않는다. (거짓) ㄷ. 중앙값이 에서 로 작아진다. (참) 32) ④

ㄱ.   P≧  ≦ P≧  (참) ㄴ. (반례) 의 확률밀도함수가   이면

  P≧    P≦  (거짓) ㄷ.    

∴   (참) 33) ②

_{ }



^



 

 



^

 ×

 

 

 

이므로

P  ≦ ≦  P



^

  

≦_{≦ }



  



 P  ≦≦      

34) ①

점 P가 세 번 이동할 때 두 점 A, P 사이의 거리는  또는 ^이다.

점 P가 세 번 이동하는 방법의 수는 ^ (가지)

이때, 두 점 A, P 사이의 거리가 ^인 방법의 수는  × ×   (가지) 따라서 구하는 확률은   

  

이다.

35) 64

한 학생의 통학 시간을 확률변수 라 하면

_P≧   P



^{≧ }

  



^{ }

따라서 명 중 통학 시간이 분 이상인 학생의 수를 확률변수 라 하면 는 이항분포 B  를 따르므로 근사적으로 정규분포 N ^을 따른다.

이때, _P≧   P



^{≧ }

 



^{ P ≧ 이어야 하므로}



  

 이다.

36) ④

수열 ^^은           ⋯이므로 수열



_^



^은        ⋯이다.

∴_{  }



^{}  ×     

37) ②

주어진 그래프의 꼭짓점을 적절하게 색칠할 수 있는 최소의 색의 수는

이다.

ㄱ. 개 ㄴ. 개 ㄷ. 개 38) ①

개, 개로 나누어 저장하는 경우는 가지이고,

개, 개로 나누어 저장하는 경우는 _C_×_C_ 가지이므로

    (가지)이다.

39) ③

그래프 는 아래와 같다.

ㄱ. 변의 개수가 8이므로 모든 꼭짓점의 차수의 합은 16이다. (참) ㄴ. 모든 꼭짓점의 차수가 짝수이므로 오일러회로가 존재한다. (참) ㄷ. 해밀턴회로는 존재하지 않는다. (거짓)

40) 19

위 그래프에서 구하는 최소의 작업 일수는 각 경로에 필요한 작업 일수의 최댓값과 같으므로 (일)이다.