정상 유동 해석

비점성 유체, 비회전성 유동을 가정하는 포텐셜 이론을 적용하여 이중물체 주변의 와류 유동을 해석하기 위해서는 회전 유동을 모델링 할 수 있는 특이점 (singularity)이 도입되어야 한다. 따라서 본 연구에서는 양력 형상의 끝단에서 발생하는 와류 유동을 모델링하기 위하여 소스와 더블릿을 함께 도입하는 Morino & Kuo

(1974)의 방법이 적용되었다. 이를 위한 적분 방정식은 그린의 2차

정리에 따라 다음과 같다.

* *

*

B W

S S

G G

G dS dS

n n n

  

 

      

  

 

 

여기서, G*는 랜킨 소스와 그의 이미지 소스를 더한 그린 함수이다

(G*=1/r+1/r’). 그린의 2차 정리로부터 선체표면에 대한 더블릿 유동

(그린 함수의 법선 방향 미분 값; G* /n )이 얻어지며, 이 때 더블릿의 세기는 이중물체 포텐셜로 결정된다. 하지만 이러한 더블릿 유동만을 적용하는 경우, 선체 끝단에서 유속이 유한하지 않고 발산하는 회전 유동 (corner flow)의 양상이 나타날 수 있다. 즉 쿠타 조건 (Kutta condition)을 만족시키기 위해서는 와류 시트, SW를 도입하여 추가적인 더블릿 유동을 모델링해야 한다. 식 2.64의 마지막 적분항은 추가적인 더블릿 유동을 의미하며, 더블릿의 세기는 다음과 같이 정의된다.

u l Uedge r

        

(2.66)

Fig. 2.8에 나타나듯이, Фu와 Фl은 각각 압력면 (pressure side)과

흡입면 (suction side)의 끝단 패널 중심점에서의 포텐셜을 의미한다.

또한 Uedge

는 끝단에서의 운항 속도를 나타내고, r 은 끝단 패널 중심점 간의 벡터를 의미한다.

Fig. 2.8 Doublet strength at edge of ship

식 2.66의 유도 과정은 다음과 같다. 선체 끝단에서 발생하는 후류 (wake)는 무한히 얇은 두 면의 와류 시트 (±)로 표현할 수 있다. 양쪽 면에서 유동의 수직방향 속도는 동일하기 때문에

(운동학적 경계조건) 두 면은 분리되지 않는다. 또한 양쪽 면에서

압력 역시 동일하기 때문에 (동역학적 경계조건), 와류 시트는 자유표면 (free surface)이다. 선체 끝단에서 더블릿의 세기는 양쪽 면 포텐셜의 차이로 나타낼 수 있으며 경계조건에 따라 더블릿의 세기는 보존된다 (켈빈 정리; Kelvin’s theorem). 따라서 선체 끝단에서의 포텐셜 차이 (potential jump)는 더블릿의 세기로서 와류

시트 전체에 분포하게 된다. 끝단에서의 포텐셜은 끝단 패널 중심점에서의 포텐셜 값을 이용하여 근사 되며, 이 때 선체 끝단이 정체점 (stagnation point)이 되어야 한다는 가정 하에 선박의 운항 속도로 표현되는 수정항 (Uedge r

)이 추가된다. 이와 같이 정의된 더블릿 세기에 대하여 식 2.64의 적분 방정식을 풀이함으로써 와류 유동이 고려된 이중물체 포텐셜을 얻을 수 있다. 패널법 기반 와류 유동 해석에 대한 자세한 내용은 Lee (1987)에서 찾을 수 있다.

본 연구에 도입된 Morino의 방법은 기본적으로 2차원 익형 (airfoil) 에 대하여 유도된 모델이며, 선형 쿠타 조건을 만족시키기 위하여 적용된다. 하지만 선체와 같은 3차원 형상에서는 직교류 (cross flow;

선체의 경우 수직방향 유동)가 발생하며, 그로 인하여 정체점의 정의가 어렵다. 이러한 경우 끝단의 양면에서 압력이 같아야 하는 비선형 쿠타 조건을 만족시켜야 한다. 또한 선박의 후류를 엄밀히 해석하기 위해서는 비정상 (unsteady) 쿠타 조건을 만족시킴으로써 와류 세기 및 분포의 시간에 따른 변화를 고려해야 한다.

실제로 포텐셜 이론을 기반으로 선박의 조종 유체력 미계수를 계산하기 위해서, 다양한 형태의 와류시트가 적용되었다 (Matsui et al., 1994; Greeley & Willemann, 2013). 해당 연구들에서는 선체 끝단에서 발생하는 와류 흘림 (vortex shedding)의 궤적을 고려하여 정교하게 와류 유동을 모델링하는 경우, 선형 및 고차 조종 유체력 미계수를 실험 또는 CFD 계산과 유사한 정도로 예측할 수 있음을 주장하였다. 하지만 기존 연구의 해석 결과를 살펴 보면, 도입되는

와류시트의 형태에 대하여 수치 해가 매우 민감한 것 역시 확인되었다.

반면, 본 연구에서 와류 시트를 도입하는 목적은 점성 효과를 모델링 하여 조종성능 해석 시 필요한 유체동역학 계수 (Yv, Yr, Nv, 그리고 Nr, 등)를 계산하려는 것이 아니다. 포텐셜 유동 해석을 통해 점성에 의한 힘을 완벽히 구현하여 정도 높은 조종 유체력 미계수를 구하는 것은 매우 어렵기 때문이다. 따라서 앞서 설명한 바와 같이 실험 및 경험식을 통해 모델링된 선체에 의한 유체동역학적 힘을 조종 운동 방정식에 도입한다. 와류 시트의 도입은 유동이 선체 끝단에서 발산하지 않는 이중물체 유동을 계산하기 위함이며, 이를 통해 정상 유동을 근사함으로써 안정된 내항성능 해석을 수행하는 데 그 목적이 있다. 결론적으로 특정 시점의 선박의 운항을 준정상 상태 (quasi-steady state)로 가정하고, 비교적 간단한 Morino의 방법에 따라 와류 유동을 모델링 함으로써, 조종 운동에 기인한 정상 유동이 내항 운동 및 파랑력에 미치는 영향을 파악하고자 한다.