2.1 파랑 중 선박의 내항성능 해석
2.1.2 운동 방정식
0 sin
B B
S S WL
F pndS pndS p n dzdl
(2.29)
여기서, 1/sinα은 선체 측벽이 수직하지 않을 때 기울기를 고려하여 파고에 따라 적분면적이 변화하는 경향을 반영한다.
섭동법 (perturbation)을 적용하여 힘을 차수 별로 구분하기 위해서 먼저, 물리적 변수들과 기하학적 변수들을 차수 별로 정리한다.
압력의 경우 베르누이 방정식 (Bernoulli’s equation)으로부터 얻을 수 있으며, 차수 별로 정리하면 다음과 같다.
0 1
p U 2 gz
t
(2.30)
1
I d
p U gz
t
(2.31)
2 1
2 I d I d
p
(2.32)여기서, 정수압 (hydrostatic pressure)를 의미하는 gz의 경우 적분영역에 따라 차수를 달리 한다. 파고를 식 2.15의 자유표면 경계조건에 따라 차수 별로 정리하면 다음과 같다.
0 1 1
on 0
U 2 z
g t
(2.33)
1 1g t
U
I d
on z 0
(2.34)
또한, 선체표면의 법선 벡터 역시 O(ε) 크기의 선박 운동에 따라 변화하므로 이를 차수 별로 정리하면 다음과 같다.
0 (0)
0 3
for 1,2,3 for 4,5,6
j j
j
n j
n
x n j
(2.35)
0 (1)
0 0
3
for 1,2,3
for 4,5,6
R j
j
T R
j
n j
n
n x n j
(2.36)
0 (2)
0 0
3
for 1,2,3 for 4,5,6
j j
T R
j
Hn j
n
H x n
n j
(2.37)
여기서, n 0 은 평균 위치 선체표면의 법선 벡터이다. 또한, H는 회전 운동과 관련된 좌표 변환 (coordinate transform) 행렬로 다음과 같다.
2 2
5 6
2 2
4 5 4 6
2 2
4 6 5 6 4 5
( ) 0 0
1 2 ( ) 0
2 2 2 ( )
H
(2.38)
먼저, 식 2.30-37의 차수 별 변수를 식 2.29에 대입하여 O(1)
크기의 0차 힘과 모멘트를 정리하면 다음과 같다.
steady
01 for 1,2, ,6
2
B j
j S
F U n dS j
t
(2.39)
이 힘은 정상 유동에 의한 0차 힘으로 운항 속도에 따라 값이 결정된다. 식에 나타나듯이 정상 유동 포텐셜로 표현되며, 이 힘에 따라서 선박 운항 시 침하 (sinkage) 및 트림 (trim)이 결정된다.
섭동법을 통해 같은 방식으로 O(ε) 크기의 선형 힘과 모멘트를 정리하면 다음과 같다.
F.K. Lin.
0B I j
j S
F U n dS
t
(2.40)
1 Res. Lin.
0
1 2
1 2
B
B
j S j
S j
F U gz n dS
t
U gz n dS
t
(2.41)
H.D. Lin.
0B d j
j S
F U n dS
t
(2.42)선형 Froude-Krylov 힘은 입사파 성분에 의한 압력을 평균 위치의 선체표면에 대하여 적분함으로써 얻을 수 있다. 선형 복원력의 경우 정수압을 적분하여 얻은 성분과 정상 유동 포텐셜과 관련된 성분으로 나눌 수 있다. 일반적으로 정수압과 관련된 성분은 선박 운동이 작다는 가정 하에 복원력 계수, C로 표현할 수 있다
(
C
j ). 단, 시간영역 해석에서 복원력이 없는 전후동요, 좌우동요 및 선수동요 운동은 한번 힘이 작용하면 그 방향으로 계속에서 선박이 밀려나게 된다. 이러한 현상을 수치적으로 해결하기 위해서 소프트 스프링을 적용하였다. 소프트 스프링이란 위의 운동 성분들에 인위적인 복원력을 가하는 것으로 다음과 같이 모델링 되었다.2
( ( ) ) 2 for 1,2,6
jj jj jj
j
C M M j
T
(2.43)
여기서 Tj는 소프트 스프링의 주기를 의미하며, 이 값을 통해서 스프링의 세기를 조절할 수 있다. 정상 유동과의 연성 효과로 인한 복원력 (steady-flow coupled restoring force)은 운항 속도로 인하여 추가적으로 발생하는 선박의 변위에 비례하는 힘이다. 적분항에 포함되어 있는 정상 유동 포텐셜의 2계 미분항은 NK 선형화 기법 적용 시에는 무시되는 반면, 이중물체 선형화 기법에서는
2.1.1절에서 설명하였듯이 Dirichlet 형태의 적분방정식을 풀이하여
계산한다. 마지막으로 선형 유체동역학적 힘의 경우 교란파 성분에 의한 압력을 평균 위치 표면에 대하여 적분하여 얻을 수 있다.
한편 약한 비선형 해석에서는 실제 접수면적에서의 비선형
Froude-Krylov 힘 및 복원력이 반영된다. 즉 Fig. 2.4에 나타나듯이
선박의 평균 위치가 아닌, 선박의 운동에 따라 변화되는 물체 고정
좌표계 (O-x’y’z’)에서 입사 파고에 따른 접수면적의 변화를 고려하여 힘을 계산한다. 반면, 유체동역학적 힘의 경우 선형 해석에서의 값을 그대로 사용한다. 이 방법은 흔히 선형 해석과 비선형 해석 사이의 “blended method”라 불려지며, 이를 통해 선박 형상에 의한 비선형성을 부분적으로 고려할 수 있다.
비선형 Froude-Krylov 힘을 계산하기 위해서 입사파 포텐셜을 다음과 같이 정수면 아래와 위로 구분 지어 정의한다.
0 0
0 0
0 0
0 0
sin cos for 0
sin , , ,
sin cos for 0
sin
kz
I
I
k x u yr t
gAe z
k y v xr t t
x y z t
k x u yr t
gA z
k y v xr t t
(2.44)
여기서, k는 입사파의 파수 (wave number)를 의미한다. 정수면 아래쪽은 선형 입사파 포텐셜을 그대로 적용하는 반면, 위쪽은 z- 방향으로 테일러 전개 (Taylor expansion) 하여 얻은 선형 성분을 도입한다. 이러한 입사파 포텐셜에 의한 압력을 다음과 같이 실제 접수면적에 대하여 적분함으로써 비선형 Froude-Krylov 힘을 계산할 수 있다.
F.K. Non.
12
B I I j
j S
F U n dS
t
(2.45)비선형 복원력의 경우 정수압을 실제 접수면적에 대하여 적분하여 얻은 값에서 평균 위치의 선체표면에 대하여 적분한 값을 빼줌으로써 얻을 수 있다.
Res. Non.
B j B j
j S S
F
g
z n dS
g
z n dS (2.46)Fig. 2.4 Exact wetted surface in weakly nonlinear approach