스위칭 셀의 정류기 동작 분석

앞서 언급한 대로 싱글 엔디드 공진형 스위칭 셀의 인버터 동작에서 전력 방향을 반대로 하고 스위치를 다이오드로 바꾸면 그림 3.38과 같이 공진형 정류기 회로가 유도될 수 있다. 본 항에서는 이 공진형 정류기 회로의 동작에 관해 설명한다.

3.2.1에서와 마찬가지로 리액턴스 Xr이 공진 회로로 구현될 때 Q-인자

가 충분히 커서 공진 전류 ir이 이상적인 정현파에 가깝게 된다고 가정

한다. 또한, 공진형 정류기의 인덕터 L2는 기존 Class E 정류기[63]와 달

리 큰 필터 인덕터가 아닌 공진 인덕터로 기능한다. 그럼으로써 용량성

(capacitive) 입력 임피던스를 가질 수밖에 없는 기존 Class E 정류기의 본

질적인 한계점을 해결하고 저항성(resistive) 입력 임피던스를 갖도록 설계 할 수 있다. 또한, 앞에서 설명한 것처럼 다이오드에 병렬로 연결된 캐패 시터 C2는 다이오드의 접합 캐패시턴스를 흡수하거나 또는 그것만으로 구현될 수 있으므로 기생 성분에 의한 부정적 영향이 줄어든다.

v

_ac

L

₂

V

_o

i

_r

X

_r

D

₁

C

₂

그림 3.38 공진형 정류기 회로

그림 3.39에서 볼 수 있듯이 그림 3.38의 공진형 정류기는 인버터 회로

와 좌우 대칭 구조로 쌍대성(duality) 관계가 있다. L2와 C2의 공진 주파수

와 특성 임피던스가 L1과 C1의 공진 주파수와 특성 임피던스와 같다면, 다이오드의 시비율이 스위치의 시비율과 같다. 그러면 그림에서 볼 수 있듯이 다이오드의 전압 vD1과 인덕터 L2의 전류 iL2는 인버터 회로에서

의 스위치 전압 vds,S1과 인덕터 L1의 전류 iL1에서 y축에 대해 대칭 이동

한 후 x축 방향으로 2π(1−Dinv)만큼 평행 이동한 것과 같다. 따라서 공진 전류의 위상 φr이 −φr+π(2Dinv−1)로 바뀐다면 스위치와 다이오드가 똑같 이 t=0일 때 꺼질 뿐만 아니라 모든 동작 특성이 같아진다.

그림 3.39 인버터와 정류기 사이의 쌍대성(duality) 관계

다만, 다이오드는 스위치와 달리 낮은 전류에서도 다이오드의 문턱 전

압(threshold voltage) 때문에 일정한 전압 강하가 있다. 여기서는 다이오드

가 켜질 때 전압 강하를 VF라고 하고 이를 회로 분석에 포함해 VF가 회 로의 동작과 성능에 미치는 영향을 살펴본다.

분석을 위해 정류기의 동작 모드는 다이오드 D1의 개폐에 따라 Mode I 과 II로 구분된다. 다이오드의 시비율을 Drect라고 하면 Mode I은 다이오 드가 OFF인 모드로 0 ≤ ωst ≤ 2π(1−Drect)인 구간이며, Mode II는 다이오드가 ON인 모드로 2π(1−Drect) ≤ ωst ≤ 2π일 때이다.

L

2

V

_o

D

₁

C

₂

i

r

v

_D1

+

−

i

L2

(가)

L

₂

V

_o

C

2

i

_r

v

_D1

+

−

i

_L2

V

F

(나)

그림 3.40 각 동작 모드에서 정류기 셀의 등가 회로 (가) Mode I (D1: OFF). (나) Mode II (D1: ON).

그림 3.41 정상 상태에서 공진형 정류기의 주요 동작 파형

그러면 Mode I과 II에서 정류기의 등가 회로를 그림 3.40과 같이 나타

낼 수 있다. 그리고 그림 3.41은 한 스위칭 주기 동안 정류기의 주요 동

작 파형을 보여준다. 먼저 Mode I에서는 다이오드가 턴 오프 되고 그림

3.40(가)와 같이 L2와 C2의 공진 회로가 형성된다. 그러므로 그림 3.41에

서 볼 수 있듯이 다이오드 D1 양단의 전압 vD1이 공진으로 반파 정류된 정현파 모양에 가까워진다. 또한, L2의 전류 iL2에서 공진 전류 ir을 뺀 iL2

– ir만큼의 전류가 C2로 흐른다. 처음에는 iL2 – ir가 음수이므로 C2의 전압 즉, vD1이 증가하는 방향으로 흘러서 다이오드의 역방향 전압이 증가하며 iL2 – ir이 0이 될 때 최댓값 VD1,max를 가진다. 그 이후에는 iL2 – ir가 양수가 되어 vD1이 점차 감소하다가 –VF에 도달하면 다이오드가 켜지고 Mode II 가 시작된다. Mode II에서는 다이오드가 턴 온 되어 그림 3.40(나)와 같이 vD1이 –VF로 고정되므로 iL2는 Vo + VF에 의해 선형적으로 감소한다. 또한, iL2 – ir만큼의 전류가 다이오드로 흐르고 그 전류의 최댓값이 다이오드의

피크 전류 ID1,max에 해당한다.

여기서 주목해야 할 점은 다이오드가 턴 온 또는 턴 오프 되는 순간에

공진으로 |dv/dt|가 작아진다는 것이다. 특히, 그림 3.41에서 보듯이 다이

오드가 턴 오프 될 때 iL2 – ir가 0이므로 영전류 스위칭(zero current

switching, ZCS)가 가능할 뿐만 아니라 dvD1/dt가 0이다. 그러므로 높은

dv/dt로 발생하는 기생 공진이 완화되어 기존 반파 정류기나 브릿지 정류 기보다 스위칭 손실과 노이즈가 적다는 장점이 있다[57], [60]. 게다가 다 이오드 전류(Mode II에서 iL2 – ir)를 보면 다이오드가 턴 오프 되기 전에 작은 |di/dt|를 가지므로 역 회복 전류도 줄어들 수 있다[63].

그림 3.40의 등가 회로로부터 각 동작 모드에서 iL2와 vD1에 관한 미분 방정식을 아래와 같이 유도할 수 있다. 이때 Mode I과 II에서의 iL2, vD1은 각각 iL2,I, vD1,I과 iL2,II, vD1,II로 표시된다.

Mode I:

   

2,

2 1,

1,

2 2,

0 2 1

sin

L I

D I o

s rect

D I

rm s r L I

L di v V

dt t D

C dv I t i

dt

 

 

  

   

   



. (3.46)

Mode II:

   

2, 2

1,

2 1 2

L II

o F

rect s

D II F

L di V V

D t

dt

v V

  

   

   

  



. (3.47)

그리고 다이오드가 턴-오프 되는 순간, 즉 t = 0일 때 다이오드 전압은 순

방향 전압 VF와 같고 전류는 0이므로 Mode I에서의 초기 조건은 아래와

같이 쓸 수 있다.

2,

 

0 sin

L I rm r

i I



, v_{D I}1,

 

0  V_F. (3.48) 식 (3.48)을 이용해 (3.46)을 Laplace 변환하면 다음과 같다.

   

2 _{L I}2, 2 _rm

sin

_{r D I}1, V^o

,

sL I s L I V s



s

   (3.49)

   

2 1, 2 2, 2 2

cos sin

.

s r r

D I F L I rm

s

sC V s C V I s I s

s

  



    

 (3.50)

그러고 나서 (3.49)와 (3.50)을 연립하여 VD1,I(s)를 아래처럼 구할 수 있다.

 

    

1,

2 2

2 2 2

2 2

2 2 2 2 2 2 2 2 2 2

2 2 2 2

sin cos sin

.

D I

o rm r s r r

F

rm

s

V s

V Z I s s

sV Z I

s s s s s s

      

    





   

    

(3.51)

여기서 ω2와 Z2는 L2와 C2의 공진 주파수와 특성 임피던스를 뜻하고 다 음과 같이 정의된다.

2

2 2

1



 L C , ₂ ²

2

Z L

 C . (3.52) 그러면 (3.51)의 Laplace 역변환으로 아래의 (3.53)처럼 Mode I에서의 다이

오드 전압 vD1,I을 구할 수 있다.

     

 

       

2

1, 2 2

2

2 2

2 2 2

cos sin sin

1

cos cos .

1

rm r

D I o o F

s

rm s

s r r

s

v t V V V t Z I t

Z I t t

  

 

     

 

   



   



(3.53)

그리고 (3.53)을 (3.46)에 대입하면 다음과 같이 iL2,I이 계산된다.

   

 

     

2, 2 2

2 2

2 2

2 2 2

sin sin cos

1

sin sin .

1

o F rm r

L I

s

rm s

s r r

s s

V V I

i t t t

Z

I t t

  

 

      

  

   



 

     

  

(3.54)

같은 방법으로 Mode II에서의 iL2,II와 vD1,II도 구할 수 있다.

   

²

     

2, 2,

2

1

^{o F}

1 ,

L II L I rect s rect s

V V

i t i D T t D T

Z





      (3.55)

1,

  .

D II F

v t  V (3.56) 정상 상태에서의 동작을 가정하면, (3.53)-(3.56)의 iL2,I, vD1,I, iL2,II, vD1,II는 다음과 같은 경계 조건을 만족해야 한다.

1) 다이오드 D1이 턴 온 되기 위해서 양단 전압이 VF 이상이 되어야 하므로 Mode I과 II의 경계에서 vD1,I이 −VF까지 감소해야 한다.

 

1,

2 1 .

D I rect F

v 



D  V (3.57) 2) 한 스위칭 주기 동안 인덕터 L2의 평균 전압은 0이다. 즉, t = 0일

때와 t = Ts일 때 인덕터 전류 iL2 값이 동일하다.

   

2,

0

2,

.

L I L II s

i i T (3.58) 3) 한 스위칭 주기 동안 다이오드의 평균 전류는 출력 전류 Io와 같다.

 

  ^{ }

 

2

2 1 2,

sin 2 .

rect L II rm s r s o

D i I t d t I



 _ 





 







(3.59)

그러면 (3.53)–(3.56)을 (3.57)–(3.59)에 대입하면 아래와 같이 경계 조건 을 다시 쓸 수 있다. 이때 A2 ≡ 2π(1−Drect), B2 ≡ 2πω2,N(1−Drect)이다.

 

   

   

2

2 2

2, 2 2,

2 2

2 2,

1 cos sin sin

1

cos cos 1 ,

1

r

rect F o

N N

r r rect F o

N

M V V B Q B

Q A B M V V





  



 



     



(3.60)

 

2,

 

2, 2

2

_{N rect rect}

1

_{F o} ^{L I}

1

^{rect s}

sin

_r

0,

rm

i D T

D M V V Q



  ^ ^{ }I ^



^

 

  ^(3.61)

 

  ^{ }

 

2,

2 2

2,

2

cos cos 2 1

2 1 2 .

L I rect s

r r rect

rm

rect F o

rect N rect

i D T

A D

I

M V V

D M

Q

  

  



 

 

  

  

(3.62)

여기서 ω2,N은 ωs로 정규화된 L2와 C2의 공진 주파수이다 (ω2,N ≡ ω2/ωs).

또한, Mrect와 Q2는 각각 정류기의 전류 이득과 유효 Q-인자를 의미하고 아래와 같이 정의된다.

,

rect o rm

M I

 I



²

  

²

2

2

1 .

o o o o

Z L

Q  V I  V I C (3.63) 식 (3.61)과 (3.62)에 포함된 iL2,I[(1−Drect)Ts]/Irm은 (3.54)를 이용해 아래와 같이 쓸 수 있다.

   

   

 

2,

2 2

2 2,

2, 2, 2 2

2 2,

1 1 sin

sin cos

1

sin sin

1 .

L I rect s rect F o r

rm N

N N r r

N

i D T M V V

B B

I Q

A B





   





  

    



  

 

(3.64)

식 (3.64)를 고려하면 (3.60)–(3.62) 모두 Drect, ω2,N, Mrect, Q2, φr의 5개 변수 로 표현된다. VF/Vo는 다이오드 소자 특성에 의해서 주어지는 값이므로 해를 구해야 할 변수는 아니다. ω2,N, Mrect, Q2는 각각 ωs, Io, Vo/Io로 정규화

된 변수로서 이들로 표현된 (3.60)–(3.62)는 정류기의 구동 주파수, 출력 전압, 출력 조건과 무관하다. 그러므로 이를 이용한 분석의 결과는 정류 기의 구동 조건과 관계없이 적용할 수 있다.

변수가 5개, 식이 3개이므로 자유도는 2이다. 본 논문에서는 설계가 가 능하고 값의 범위가 넓지 않은 Drect와 ω2,N가 임의의 값으로 주어진다고

하고 (3.60)–(3.62)를 연립하여 나머지 3개 변수의 해를 Drect와 ω2,N에 관

해서 구할 수 있다.

첫번째로 (3.60)과 (3.61)을 연립하면 φr은 다음과 같이 구해진다.

   



^{2, 2 2 2, 2 2}



atan2 1 , 1 ,

r sign N n sign N d



 







(3.65)

  ^{ }  

  ^{ }

2 2, 2, 2 2 2, 2

2, 2, 2 2 2

, cos cos 2 sin

sin sin cos 1 .

rect N N N rect

N N

n D B A D B

A B B

  

 

  

  

    

   

  ^{ }

2 2, 2 2, 2 2, 2

2

2 2, 2 2

, sin sin 2 sin

cos 1 cos 1 cos 1 ,

rect N N N rect

N

d D B A D B

B A B

  



  

    

여기서 sign(∙)은 괄호 안의 변수가 0보다 크면 1, 작으면 −1, 0이면 0이다.

다음으로 (3.60)-(3.62)를 연립하여 아래와 같이 Mrect을 유도할 수 있다.

cos B2 ≠ 1일 때

 

   

 

2

2 2

2, 2 2

2, 2

2

2 2, 2,

2

cos cos 2 sin

cos cos

2 sin sin

1 cos 1 1 .

rect

r r rect r

N r r

rect N r

N N

M

A D

A B

D B

B



   

  

  

 



  

    

   

    

(3.66)

cos B2 = 1일 때

 

2, ²

 

2

 

2 2

2,

2

sin sin

cos cos 2 sin .

1

rect

rect N r r

r r rect r

N

M

D A

A D



   

   



 

    



(3.67)

마지막으로 (3.62)를 이용해 Q2에 관한 식을 다음과 같이 쓸 수 있다.

 

 

2 2

2, 2

2

2 1

2 cos cos 2 sin

rect N rect F o

rect r r rect r

D M V V

Q M A D

 

    

 

    . (3.68)

식 (3.66)–(3.68)을 보면 Mrect와 Q2가 Drect와 ω2,N으로만 표현되지 않는다. 그렇지만 Drect와 ω2,N이 주어지면 φr과 더불어 Mrect와 Q2도 하나의 값으로 정해진다. (3.65)에 의해 계산된 φr 값과 (3.66) 또는 (3.67)을 이용해 Mrect

를 구한 다음에 (3.68)을 통해 Q2를 계산할 수 있다.

그림 3.42–그림 3.44는 각각 Drect = 0.2–0.8, ω2,N = 0.5–2일 때 (3.65)–

(3.68)을 통해 계산한 φr, Q2, Mrect을 도시한 것이다. 일단 여기서는 VF/Vo = 0으로 계산하여 다이오드의 순방향 전압에 의한 영향은 무시한다.

그림 3.42 Drect와 ω2,N에 따른 입력 전류의 위상 φr

그림 3.43 Drect와 ω2,N에 따른 loaded Q-인자 Q2

그림 3.44 Drect와 ω2,N에 따른 정류기의 전류 이득 Mrect (VF/Vo = 0)

그림 3.45는 고정된 ω2,N 값에 대해서 Drect–Q2 평면에 평행하게 그림

3.43의 Q2-그래프를 자른 것이다. 그림 3.45에서 볼 수 있듯이 Drect가 증

가함에 따라 Q2가 급격하게 증가한다. 또한, 그림 3.46은 고정된 Drect 값 그림 3.45 ω2,N = 0.9:0.2:1.7일 때 Drect에 따른 Q2 (VF/Vo = 0)

그림 3.46 Drect = 0.4:0.05:0.6일 때 ω2,N에 따른 Q2 (VF/Vo = 0)

에 대해서 ω2,N–Q2 평면에 평행하게 자른 것으로 ω2,N가 증가할수록 Q2는 감소하는 경향이 있다는 것을 볼 수 있다.

여기서 중요한 것은 Q2는 L2와 C2의 설계에 직접적인 연관이 있다는

점이다. (3.52)와 (3.63)을 이용하여 L2와 C2의 설계 식을 아래와 같이 유

도할 수 있다.

 

2 2 2

2 2,

o o

,

N s

Q V I L Z

  

 

 

2

2 2 2, 2

1 1

.

N s o o

C ^



Z ^

 

Q V I (3.69) 식 (3.69)의 ωs 와 Vo/Io는 정류기의 구동 주파수와 출력 전압, 출력 전력 조건에 의해 결정되므로, ω2,N과 Q2가 설계로 정해지면 L2와 C2를 계산할 수 있다. 앞서 언급한 것처럼 설계 자유도는 2이므로 ω2,N뿐만 아니라 Drect도 같이 고려하여 Q2를 정하고 L2와 C2 값을 설계한다.

식 (3.69)를 보면 L2는 Q2/ω2,N에 비례하고 C2는 ω2,NQ2에 반비례한다.

그러므로 L2와 C2가 각각 일정한 설계 선 두 개를 그림 3.46에서처럼 표

시할 수 있다. C2가 고정된 상황에서 L2가 감소하는 경우 C2가 일정한 선 을 따라 설계 점이 오른쪽으로 이동하므로 Drect가 증가한다. 마찬가지로 L2가 고정된 상황에서 C2가 감소하면 L2가 일정한 선을 따라 오른쪽으로 이동하므로 Drect가 증가한다. 따라서 높은 Drect를 위해서는 L2와 C2 둘 중 하나가 감소하면 된다.

그림 3.45와 그림 3.46에서와 같은 방법으로 그림 3.44의 Mrect-그래프도

Drect–Mrect 평면과 ω2,N–Mrect 평면에 평행하게 자르면 각각 그림 3.47과 그

림 3.48과 같다. 그림 3.47에 따르면 Drect가 증가함에 따라 Mrect도 증가하

는 것을 볼 수 있다. 이를 정성적으로 해석해보면, 같은 입력 전류에 대 해서 한 주기 동안 다이오드가 턴 온 되는 시간이 늘어날수록 부하로 흐 르는 평균 전류가 증가할 것이기 때문에 Mrect가 증가한다고 생각할 수

있다. 또한, 그림 3.48은 고정된 Drect 값에 대해서 Mrect가 최대가 되는

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