본 절에서는 본 연구에서 사용된 계량경제학적 방법론에 대해 설명한다. 시계열 자 료를 이용한 통계 분석에 있어서는 분석 대상이 되는 시계열 자료가 정상 시계열
(stationary timeseries)인지 비정상 시계열(non-stationary timeseries)인지를
판별하 는 것이 중요하다. 이는 그 결과에 따라 이후 분석 모형이 달라지기 때문이다. 따라서
본 절에서는 먼저 구조 변화를 고려한 단위근 검정 방법에 대해 설명하고, 그 다음 회 귀모형의 구조 변화 연구에 가장 널리 사용되는Bai-Perron test를 소개한다.
1) 구조 변화를 고려한 단위근 검정6)
단위근 검정 방법으로는
ADF test(Augmented Dicky-Fuller test)가 가장
널리 사 용된다. 우선 아래와 같은 간단한AR(1) 모형을 살펴보자.
(1)
여기서 의 값이
1보다 작으면 시계열
는 정상 시계열이라고 한다. 식(1)에서 양변
에 을 빼고 다른 부가적인 항들을 더하면 아래와 같은 식을 얻을 수 있다.
∆
∆ (2)ADF test에서
귀무가설은‘
가 단위근을 가진다( )’가 되고 대립가설은 ‘
가 단위근을 가지지 않는다( )’가 된다. 이를 에 대한t-statistic으로 검정
한다7).
그런데 확률적 추세를 따르는 시계열은 몇 번의 단절(breaks)을 기점으로 구분하면 구분된 하위 자료는 일정한 추세
(deterministic trend)를 가지는 정상 시계열과 비
슷한 모습을 보이는 경우가 많다. 이러한 이유로 실
제 평균이나 추세에 단절이 있는 정상 시계열을 이런 단절을 고려하지 않은 일반적인 단위근 검정 방법으로 테스트하면 단 위근을 가지는 것으로 오판하는 경우가 흔하게 발생한다.그래서
Perron(1989, 1990, 1994, 1997)과 Perron and Vogelsang(1992a, 1992b, 1993a, 1993b) 등은 이러한 단절(break, 혹
은structural change)
8)을 고려한 단위근 검 6) 본 절의 내용은 Perron(2006)을 참고하여 작성하였다.7) 여기서 t-statistic은 일반적은 t 분포를 따르지 않는다. 따라서 테스트를 위한 임계값(critical value)이 일반적인 t test와는 다르다.
8) 엄밀하게 논하면 break와 structural change는 개념적으로 다르다. break는 통계적 관점에서 시계열 상의 단절이 생기는 것에 초점이 있는 반면, structural change는 자료생성과정(data generating process), 혹은 모형(model) 상에 구조적 변화가 발생하는 것을 말한다. 그러나 통
정 방법을 제안했다
. 이는 아래 식 (3)을 기반으로 한다
9).
∆
∆ (3) 여기서 와 는 아래와 같이 정의된다.
i f
i f
즉, 는 상수항의 단절을 고려하기 위한 부분이고 는 추세의 단절을 고려 하기 위한 부분이다. 알려지지 않은 은 단절 시점이다. 단절 시점이 알려지지 않았 기 때문에 통계량은 아래와 같이 계산한다.
∈
여기서 은 단절 시점의 위치를 결정하는 값이고, 는 단절 시점이 에 의해 결정될 때 식
(3)으로부터 계산된 t-statistic이다. 단절 시점은
으로 계산 된다10).
은 보통0.15를 이용한다. 즉, 표본의
앞15%와
뒤15%를 제거하고 나
머지 모든 시점에 대해 각 시점을 단절 시점으로 간주하고 를 계산한 후 가장 작은 값을 검정통계량값으로 정한다. ADF test의 통계량값은 음의 값을 가지므로 가장 작 은 값이란 절대값이 가장 큰 값이 된다. 따라서 귀무가설을 가장 기각하기 쉬운 시점 이 단절 시점으로 선택되고 이 시점의 통계량값이 단위근 검정을 위해 사용되게 된다.계학적, 혹은 계량경제학적으로는 두 개념을 혼용해서 사용하기도 한다.
9) 본 연구에서는 단절을 한번 허용할 때의 단위근 검정 방법을 사용하였다. 본 절에서도 단절을 한번 허용하는 검정방법을 설명한다.
10) [·]는 정수값을 계산하는 함수이다.
이 통계량이 특정 임계치보다 작으면(즉, 통계량의 절대값이 임계치의 절대값보다 크 면) 귀무가설을 기각한다11)
.
2) Bai-Perron test
회귀식(regression)의 구조 변화를 테스트하는 것은 계량경제학에서 아주 오래전 부터 다루어온 고전적 문제이다. 경제 위기나 오일 쇼크 등 중요한 사건으로 인해 구 조 변화 시점이 알려져 있는 경우
, 그 시점을 전후로 구조 변화가 일어났는지를
테스 트하는 것은 비교적 간단하다. 이 경우, 구조 변화 시점 전후를 구분하는 더미변수(dummy variable)를 넣어 더미
변수의 계수값이 유의한지를 진단하는Chow test를
수행하면 된다. 이를 간단한 회귀식으로 살펴보자.
여기서 구조변화 시점이 로 알려져 있다면 위 회귀식을 다음과 같이 확장할 수 있다.
(4)
여기서
i f ≥
Chow test는
에 대한F test이다.
그러나 구조 변화 시점이 알려져 있지 않은 경우는 문제가 조금 복잡해진다. 이러 한 경우, 많이 사용되어 온테스트 방법은 소위
Sup-test라고 불리는 방법들이다. 이를
11) 이렇게 계산된 통계량의 분포는 일반적인 ADF test 통계량과 다른 분포를 가지므로 테스트 를 할 때 일반적인 ADF test와는 다른 임계치(critical value)를 사용한다. 본 연구에서는 Vogelsang(1993)의 임계치를 사용하였다.
가장 먼저 제안한 이는
Quandt(1960)이다 . Quandt(1960)의 통계량은 Quandt likelihood ratio(QLR) statistic,
혹은 sup-Wald statistic이라고 불린다.
이는 기본적으로 위Chow test와 비슷하나 구조 변화 시점을 모르기 때문에
테스트를 수행하기 위해 추가적 단계가 필요하고 결과로 도출되는 통계량의 분포가 상당히 복잡해진다
.
먼저 식
(4)에서 구조 변화 시점을
라 할 때 를 테스트하기 위해 계산된F statistic을
라 하자. 그러면 QLR statistic은 아래와 같다.
max∈
여기서 보통
,
로 설정한다. 즉, 표본의 앞, 뒤15%를 제
거한 모든 시점에 대해Chow test를 수행하고 F ststistic을 구한 다음 , 그 중 가장
큰 값 이QLR statistic이 된다. 이
렇게 구해진 통계량값은 여러 F statistic의 최대값이므로 단순한F statistic과는 전혀 다른 분
포를 가지게 된다12).
이런 방식의 테스트를
Sup-test라고 하는 것은 특정 구간의
표본에 대해 각 시점에 서 통계량값을 모두 계산한 뒤 그 최대값(supremum, 혹은 maximum)을 검정 통계량
으로 사용하기 때문이다13).
본 연구에서 사용한
Bai-Perron test는 Bai(1997), Bai and Perron(1998, 2003) 등
에 의해 제안된 방법으로 기존의Sup-test를 일반화한 것이다. 이 방법은
회귀식의 구 조적 변화 시점의 개수와 위치가 전혀 알려져 있지 않은 경우에 적용할 수 있다. Bai-Perron test의 작동 원리는 다음과 같다
14).
12) QLR statistic의 극한 분포(limiting distribution)는 Andrews(1993)와 Andrews and Ploberger (1994)에 의해 도출되었다.
13) Sup-test에는 Likelihood ratio statistic, Wald statistic, LM statistic 등 다양한 통계량이 사용 된다.
14) 일반적으로 Bai-Perron test라고 하면 Global maximizer test, Sequential testing procedure, Global plus sequential test 등 다양한 방식의 테스트를 포함한다. 본문에서 설명한 테스트 방식은 이 중 가장 직관적인 Sequential testing procedure이다.
1)
먼저 앞에서 설명한QLR test와 같은 Sup-test를 전체
표본에 적용하여 통계량의 최대값을 구한다. 그리고 그 통계량을 바탕으로 구조적 변화 유무를
판단한다.2)
구조적 변화가 통계적으로 유의하면 그 시점을 기준으로 표본을 둘로 나눈다.각각의 부분 표본(subsample)에 위와 같은 방법을 적용하여 구조적 변화 유무 를 테스트하고 시점을 추정한다.
3)
위의 방법을 더 이상 통계적으로 유의한 구조 변화 시점이 발견되지 않을 때까 지 수행한다.이렇게 회귀식의 구조 변화 시점이 추정되면 각 시점을 기준으로 표본 구간을 나누 고 각 구간별 더미변수를 이용하여 회귀식의 구조 변화를 추정할 수 있다.15)
2. 분석 결과
먼저 분석에 사용되는 자료를 설명하면 다음과 같다. 우선 종속변수는 석유화학 산 업의 도시가스 소비량으로 기간은
2004~2018년까지의 월별 자료를 이용하였다 . 자
료의 출처는 에너지경제연구원에서 발간하는 에너지통계월보이며 국가에너지통계 종합정보시스템 웹사이트(http://www.kesis.net)에서도 열람이 가능하다. 독립변수 는 같은 기간 월별 생산지수, 석유/가스 상대가격, 난방도일을 사용하였다16). 석유화
학 생산지수는 통계청의 국가통계포털(http://kosis. kr)의 “화학물
질 및 화학제품 제 조업;의약품 제외” 생산지수를 이용하였다. 상대가격은 한국석유공사 페트로넷(https://www.petronet.co.kr)의 B-C유 및 LPG
가격과 한국도시가스협회(https://www.citygas.or.kr)의 산업용 도시가스 가격을 이용하여 계산하였다. 난방도일은 기
15) 이 방법은 구조 변화가 전혀 없는 경우부터 더 이상 유의한 구조 변화가 나오지 않는 경우까 지 순차적으로 검정하므로, BIC나 LWZ 등과 같은 information criterion을 이용해 사전적으 로 구조 변화 개수를 추정할 필요가 없다는 장점을 가진다(Bai and Perron(1998)의 Section 5.2.2.를 참고).16) 도시가스 수요함수에 관한 대부분의 선행연구에서 독립변수로 생산 혹은 소득변수, 가격변 수, 기온변수를 사용하고 있다. 구체적 선행연구와 각 연구에서 사용된 독립변수는 강병욱 (2019)의 <표 3-1>을 참고하기 바란다.
상청에서 운영하는 기상자료개방포털(https://data.kma.go.kr)의 전국 일평균 기온17) 을 이용하여
18°C를 기준으로
월별 난방도일을 계산하였다.1) 단위근 검정
각 시계열 자료의 단위근 검정 결과는 <표 4>와 같다
.
단위근 검정 방법으로는ADF test와 3장 (1)절에서 설명한 구조 변화를 고
려한 단위근 검정법(Unit root withbreak test)을 사용하였다.
단위근 검정 대상은 종속변수와 독립변수 모두를 포함한
5개의 시계열 변수이다 .
간혹, 선행연구를 살펴보면 종속변수에 대해서만 단위근 검정을 수행하는 경우가 있 는데, 이는 올바르지 못하다. 종속변수에 단위근이 없더라도
독립변수에 단위근이 존 재하는 경우가 발생할 수 있다. 이 경우, 독립변수 선택이나 모형 설정에
오류가 있을 수 있고 이를 수정할 필요가 있다18).
<표 4> 단위근 검정 결과
17) 전국 일평균 기온은 전국의 45개 지점(기상 관측소)에서 측정된 일평균 기온의 산술평균값 이다.
18) 이처럼 회귀식의 좌변(종속변수)과 우변(독립변수)의 시계열 특성이 다른 경우(한 쪽은 정 상 시계열이고 다른 쪽은 비정상 시계열인 경우)를 unbalanced regression이라고 한다. 이러
한 경우, 회귀식의 잔차항이 비정상 시계열을 가지거나 독립변수의 설명력이 현저히 떨어지
는 등의 문제가 발생할 수 있다.
시계열 변수 ADF test Unit root with break test
t-stat lag t-stat lag
석유화학 도시가스 소비 -1.941
0 -5.036*
(0.313) (0.072) 0
LPG/가스 상대가격 -3.512**
1 -4.130
(0.041) (0.117) 1
B-C유/가스 상대가격 -3.877**
2 -5.253**
(0.015) (0.041) 2
석유화학 생산지수 -3.674**
12 -10.905***
(0.027) (0.000) 0