2013년 1학기 다변수미분적분학 중간고사

(1)

주의: 모든 문제의 풀이과정을 자세히 쓰시오.

1. 3차원 공간의 세 점 P = (1, 1, 1), Q = (1, 2, −1), R = (−1, 0, 1)에 대하여 다음에 답하시오. (각 3점)

(1) 삼각형 P QR의 면적을 구하시오.

(2) 세 벡터 −→

OP , −→

OQ, −→

OR로 결정되는 평행육면체(parallepiped)의 체적을 구하시 오. 단, O = (0, 0, 0)은 원점이다.

2. 공간곡선 r(t) = ¹₃t³− t i + t²j − k, 0 ≤ t ≤ 1의 길이를 구하시오. (3점)

3. 주어진 2변수 함수들의 점 (0, 0)에서의 연속성을 각각 판별하시오. 연속이 아닐 경 우 그 이유를 자세히 설명하고, 연속일 경우 연속의 정의(-δ)를 써서 증명하시오.

(1) f (x, y) =

_x²_y³

x⁴+y⁶, if (x, y) 6= (0, 0)

0, if (x, y) = (0, 0) . (5점)

(2) g(x, y) = xy (x²+ y²). (Hint: 2 |xy| ≤ x²+ y².) (7점) 4. 함수 f (x, y) = x³+ y³+ 3xy에 대하여 다음에 답하시오.

(1) gradient ∇f (x, y)를 구하고, u = (1, 2)일 때의 방향미분(directional derivative) D_uf (x, y)를 구하시오. (주의: u를 단위화하지 마시오.) (3점)

(2) 곡선 f (x, y) = 5 위의 점 (1, 1)에서의 이 곡선의 접선의 방정식을 구하시오. (4 점)

(3) f 의 특이점(critical point)들을 모두 구하고, 각 특이점이 극대(local maximum), 극소(local minimum), 안장점(saddle point) 중 어느 것에 해당하는지 판별하시 오. (7점)

5. 다음 이중적분의 값을 구하시오.

(1) 영역 D가 세 점 (1, 1), (1, 0), (0, 1)을 꼭지점으로 하는 삼각형의 내부일 때, ZZ

D

xy dA. (6점) (2) D = {(x, y) | x²+ y² ≤ 1, y ≥ 0}일 때,

ZZ

D

e^x²e^y²dA. (6점) (3)

Z 1 0

Z 1 x

cos x y

dy

dx. (7점)

6. 다음의 각 경우에 대하여 3차원 영역 E의 체적를 구하시오. (각 8점)

(1) E: 두 곡면 z = 1 − x²− y², z ≥ 0과 x²+ y²+ z² = 1, z ≤ 0으로 둘러싸인 영역.

(2) E: 세 영역 x²+ y²+ z² ≤ 1, z² ≤ x²+ y², y ≥ 0의 공통부분.