[예제]
(1)
(2)
(3)
(4)
단 ≠
(5)
단 〉
(6)
단 ≠
제7장
1. 미분법 기본공식
′
′
±
±
′ ± ′
±
′ ′
′ ′
[예제]
(1)
(2)
(3)
일때의
를 구하여라.
(4) 일 때,
를 구하여라.
2. 연쇄법칙(chain rule)
′
′ ′
: 두 함수 가 미분 가능할 때, ｏ 로 정의되는 경우
[예제]
(1)
(2)
3. 역함수의 미분법
함수 가 사이에서 일대일 대응일 때, 역함수(inverse function)을 정의할 수 있 다. 이 경우
단
≠ 가 성립한다.
1. 한계 효용
○ 효용함수
재화의 소비와 총효용 간의 함수관계
￭ 총효용 : 한 소비자가 일정기간에 일정량의 재화를 소비함으로써 얻는 만족의 크기
￭ 한계효용(marginal utility): 다른 재화의 소비가 불변인 경우에 재화 한단위의 추가적인 소비로 인한 총효용 분의 증가분
⇒ 한계효용의 체감의 법칙(law of diminishing marginal utility)
:일정재화의 소비량(x)를 1단위씩 증가시킬 때 각 단위의 재화가 주는 한계효용의 크기는 점차 감소하게 되는 것 (효용함수의 굴곡정도 반영)
″〈
[예제]
홍익 전자는 이번에 새로이 개발한 라면의 마케팅을 위한 대규모의 캠페인에 들어갔다.
마케팅 담당자는 신제품의 경우, 광고, 마케팅 비용(m)과 이익(p)는 다음과 같은 함수의 형태를 지니고 있음을 알았다.
(단위 : 백만원)
(1) 마케팅비용이 증가하면 이익도 증가함을 보여라.
(2) 마케팅비용이 아무리 증가해도 이익은 어느 한도를 넘지 못하는데, 이익의 한도치를 구하여라.
2. 평균수입함수와 한계수입함수
￭ 일 때의 한계수입(MR: Marginal Revenue)를 구하려면
․
￭
․ ․′
: MR과 AR은 반드시 ․′ 만큼의 차이가 발생한다.
완전경쟁시장이 아닌 통상적인 경우에는 ′ 이기에 MR곡선은 AR곡선의 아래에 위치 하게 된다.
3. 한계 비용과 평균비용 관계
￭ 평균비용 : 총비용이 라고 하면, 평균비용은
라 할 수 있다.
￭ 한계비용(marginal cost function) :
⇒ a개를 생산한 후 추가적으로 한 단위 더 생산할 때의 생산비용
○
′ ․ ․
′
′ ＞
⇒′ ＞
′ ＜
⇒′ ＜
′
⇒′
: [의미] 한계생산비용이 평균비용보다 크면(작으면) 평균비용은 증가(감소)하고 한계비용과 평균비용이 일치할 때 평균비용의 증가율은 0가 된다.
즉, AC곡선의 기울기가 양(음)이 되기 위한 필요충분조건은 한계비용곡선이 AC곡선의 위
(아래)에 존재하는 것이다. 또한 AC곡선의 기울기가 0가 되기 위한 필요충분조건은 한계비 용곡선이 AC곡선과 일치하는 것이다.
☞ AC 기울기가 음일때 MC의 기울기도 음이어야 한다는 것을 이야기 하는가?
[예제]
총비용함수는 다음과 같이 주어져 있다.
⇒
4. 탄력성
￭ 수요의 가격 탄력성 (1) 개념
(2) 탄력성 산식
인 경우
[예제] 학교식당의 식사 한 끼의 1주 동안의 수요량이 이라고 하 면, 1개당 가격이 2,000원에서 1,900원으로 하락하였다고 하자.
(1) 수요는 얼마나 증가했는가?
(2) 가격의 변동률에 대한 수요의 변동률의 비율을 구하여라.
(3) 원에서의 점탄력성을 구하여라.
(4) 위에서 구한 점탄력성을 이용하여 가격이 2,000원에서 2,100원으로 상승했을 때의 수요량의 변화율을 구하여라.
꼭 풀어볼 문제
1. 총비용함수가 일 때의 가변비용(variable cost)함수를 나타내라.
VC의 도함수를 구하고 도함수의 경제적 의미를 설명하여라.
2. 평균비용함수가 일때 MC함수를 구하여라. 주어진 함수가 장기함수 로 더 적합한가 아니면 단기함수로 더 적합한가? 그 이유는?
3. 선형평균비용이 주어질 때 이에 대응하는 한계수입곡선은 같은 수직 절편을 갖지만 평균 곡선보다 2배 더 가파르다는 일반적인 결과를 수학적으로 도출하여라.
4. 다음의 물음에 답하여라.
(1) 일때의 평균수입곡선을 그리고, 곡선도 구하여라.
(2) 주어진 이 함수로부터 수학적으로 총수입함수와 한계수입함수를 유도하여라.
(3) 앞의 (1)에서 기하학적으로 도출한 곡선과 (2)에서 수리적으로 도출한 곡선은 서로 일치하는가?
(4) 함수와 함수를 비교할 때 그들의 상대적인 기울기에 관하여 어떤 결론을 내릴 수 있는가?
5. 어느 기업의 총수입함수가
로 주어져 있고 생산은 노동에만 의존한 다고 하자.
(1)
일때 노동력 투입에 따른 기업의 한계수입, 즉 을 구하여라.
(2)
를 구하여라.
6. 수요함수가
로 주어진 경우 (1) 일때의 점탄력성을 구하여라.(2) 점탄력성이 -1일때의 가격 를 구하여라.
7. 수요함수가 으로 주어져 있다고 하자.
(1) 가격 가 5만원에서 6만원으로 변했다면 수요량은 얼마나 변화하겠는가?
(2) 만원일때의 점탄력성을 구하여라.
8. 수요함수가 로 주어져 있는 경우
가격 가 어느 범위에서 있어야 수요가 탄력적이고, 어느 범위에 있어야 비탄력적이겠는가?
9. 홍익엔진은 새로 개발한 파워엔진의 생산비용을 추정한 결과
이다.
(1) 한계생산비용을 구하여라.
(2) 일때의 한계생산비용을 구하여라.
(3) 실제 1,001번째의 엔진의 생산에는 얼마가 소요되는가?
(4) 평균생산비용함수를 도출하고 평균생산비용과 한계생산비용이 일치할 때의 생산량 를 구하여라.
10. 노트북형 PC를 독점생산하고 있는 홍익전자는 이 신형PC에 대한 수요함수를 다음과 같이 로 추정하고 있다.
(1) 총수입함수와 한계수입함수를 구하여라.
(2) 곡선의 기울기가 곡선의 기울기보다 2배라는 것을 보이고, 곡선을 그리시오.
(3) 한계수입이 0가 되는 가격은 얼마인가?
11. 수요함수가 일 때, 수요의 가격탄력성을 구하여라.
12. 주어진 소비함수
(1) 한계함수와 평균함수를 구하여라.
(2) 소비의 소득탄력성을 구하고, 라고 할 때 소득탄력성의 부호를 결정하여라.
(3) 이 소비함수가 모든 양의 소득 수준에서 비탄력적임을 보여라.
13. 주어진
에서 수요의 점탄력성을 구하여라. (단, 은 양의 상수이다.) (1) 이 경우에 탄력성은 가격에 의존하는가?
(2) 인 특별한 경우에 수요곡선의 형태는 어떠한가? 또 수요의 점탄력성을 구하여라.
