수리영역 

대전광역시교육청 주관

2008학년도 대학수학능력시험 10월 모의평가 문제지

수리 영역

가 형

1.

^{× }의 값은? [2점]

①^ ②^ ③^ ④^ ⑤^{}

2.

두 포물선 ^    와^{ }가 초점을 공유할 때, 상수

의 값은? [2점]

①^{ } ②^{ } ③ ④ ⑤

3.

행렬 ^ ^  ^일 때,



^{  }를 간단히 하면? (단, ^는 단위행렬이다.) [3점]

①^ ②^ ③^ ④^ ⑤^{ }

제 2 교시

성명

1

수험 번호

2 ^{가 형 수리 영역}

2 16 4

. 세 점 ^{O  }, ^{A  },^{B  }을 잇는 직각삼각형 ^{AO B}에서

세 내적값^{  }에 대하여^{ A O · AB},^{  B A · B O},

  O A · O B의 크기를 바르게 비교한 것은? [3점]

①^{    } ② ^{   } ③^{    }

④     ⑤^{    }

5.

분수부등식 _{  }^    

  의 정수해의 개수는? [3점]

①개 ②개 ③개 ④개 ⑤개

6.

함수    log 일 때, <보기>에서 옳은 것을 모두 고른 것은?

(단,



은 자연수이다.)

[3점]

< 보 기 >

ㄱ.

^{  }

일 때,

      

이다.

ㄴ.

^{  }

일 때,

^{ }_



     

이다.

ㄷ. 수열

 ^

 은 등차수열이다.

① ㄱ ② ㄴ ③ ㄱ, ㄷ ④ ㄴ, ㄷ ⑤ ㄱ, ㄴ, ㄷ

7.

무리방정식 ^{     }에 대하여 <보기>에서 옳은 것을 모두 고른 것은? [3점]

< 보 기 >

ㄱ. ^{   }_^일 때, 실근은 존재하지 않는다.

ㄴ. _^{   }일 때, 서로 다른 두 실근이 존재한다.

ㄷ.     일 때, 실근이 오직 하나만 존재한다.

① ㄱ ② ㄴ ③ ㄱ, ㄷ ④ ㄴ, ㄷ ⑤ ㄱ, ㄴ, ㄷ

수리 영역 ^{가 형} 3

8.

다음은 어느 이차곡선을 작도하는 과정이다.

[1단계] 정점^P를 중심으로 하고 반지름의 길이가 인 원 를 그 리고, 원 밖의 한 점^Q를 잡는다.

[2단계] 동점^R은 원^ 위를 움직인다.

[3단계] 두 점^P와^R를 지나는 직선^과 ^{Q R}의 수직이등분선 ^ 이 만나는 점을 ^O라 하자.

위 과정에서 점 ^O의 자취가 그리는 이차곡선에 대하여

<보기>에서 옳은 것을 모두 고른 것은? [3점]

< 보 기 >

ㄱ. ^{O P}와 ^{O Q}의 길이의 차는 일정하다.

ㄴ. 점^Q는 이차곡선의 초점이다.

ㄷ. 작도된 이차곡선을 반사거울로 생각하고, 점 ^P에서 이 곡선 위로 빛을 쏘면 점^Q를 지난다.

① ㄷ ② ㄱ, ㄴ ③ ㄱ, ㄷ ④ ㄴ, ㄷ ⑤ ㄱ, ㄴ, ㄷ

9.

함수^{  }의 그래프가 오른쪽 그림과 같을 때, <보기>에서 옳은 것을 모두 고른 것은? [3점]

< 보 기 >

ㄱ. ^{  }일 때, ^{′  }는 항상 양수이다.

ㄴ. 함수^{  }의 도함수^{′ }는 연속함수이다.

ㄷ. 함수^{ }     

 는^{  }에서 미분가능하다.

① ㄱ ② ㄴ ③ ㄱ, ㄷ ④ ㄴ, ㄷ ⑤ ㄱ, ㄴ, ㄷ

10.

구 ^{    }위의 세 점 ^{A      }, ^{B     }, C     에 대하여, 선분^AB를 포함하면서 ^{ }평면에 수직인 평면^가 있다. 또한, 점^A를 지나는 평면^위의 직선이 구와 만나는 점을^P라 하자. ^{AP }일 때, 평면^{AC P}와

 평면이 이루는 각을^라면^cos의 값은? [4점]

① ^ ② _^ ③ _^_ ④ _^ ⑤ _^

4 ^{가 형 수리 영역}

4 16 11.

연립일차방정식        ^{    } 이^{  }, ^{  }이외의 해를

갖도록 하는^{ }에 대하여,^{  }의 최대값은? [3점]

①^{ } ②^{ } ③^

④^ ⑤^{ }

12. 두 함수

        

,

      

일 때,

        

라 하자. 함수

    

에 대하여 <보기>에서 옳은 것을 모두 고른 것은? (단,

^{ }

는



를 넘지 않는 최대 정수이다.) [3점]

< 보 기 >

ㄱ.

^{  }

에서 함수값은

^

이다.

ㄴ.

^{  }

에서 극한값은

^

이다.

ㄷ. 모든 정수에서 불연속이다.

① ㄱ ② ㄴ ③ ㄱ, ㄷ ④ ㄴ, ㄷ ⑤ ㄱ, ㄴ, ㄷ

수리 영역 ^{가 형} 5

13. ^lim

→ ∞     





 



^ 일 때,   의 값은? [3점]

①



②



③



④



⑤



14.

다음은^  _   _{  } _ _{  }     ⋯인 수열



의 일반항을 구하는 과정이다.

   _ _{  }에서^   _{  } _ …㉠

 _{  }  _{  }    _{  }  _이라 하면,

      _{  }  _ …㉡

㉠과 ㉡에서        을 얻을 수 있다.

 는 이차방정식 ^(가) 의 두 근이다.

∴  

 ^

   

 ^ 또는_{  }^{ }_^   

 ^

 _{  }  _{  }    _{  }  _에서

수열



^    _

은 첫째항이

^  _공비가^인 등비수열이다.

∴     _ _  _ ^{  }

(1)   

 ^

   

 ^

∴    

 ^

 (나) …㉢

(2) _{  }^{ }_^   

 ^

∴    

 ^ (다) …㉣

㉣ - ㉢을 하면,

∴ 



^ (다)  (나) 이 된다.

위의 풀이 과정에서 (가), (나), (다)에 알맞은 것은? [3점]

(가) (나) (다)

① ^      

 ^



^



^

 ^



^

② ^     



^{ }_^



^



^{ }_^



^{  }

③ ^     



^

 ^



^



^

 ^



^

④ ^     



^{ }_^



^



^{ }_^



^{  }

⑤ ^     



^{ }_^



^



^{ }_^



^

6 ^{가 형 수리 영역}

6 16 15.

아래 그림은 함수 ^{  log} 의 그래프이다. ^에 대한 방정식

 log_     의 세 실근의 비가     일 때, 세 실근의 합은? [4점]



   log 

① ^_^ ②^ ③ 

^

④^ ⑤ ^_^

16.

함수^{    }의 그래프와 원 ^{   }      이 서로 접하고 있다. 아래 그림에서 어두운 영역을축 둘레로 회전시켰을 때 얻어지는 입체의 부피는 _^π이다. 이 때, ^{  }의 값은? (단, ^{ } 는 서로소인 자연수이다.) [4점]

① ^ ② ^ ③ ^ ④ ^ ⑤ ^

수리 영역 ^{가 형} 7

17.

그림과 같이 한 변의 길이가 인 정사각형^{O A B}C_에서 O의등분선이^AB_ B_C_과 만나는 점을 각각 ^P Q_이라 하자. 점 ^O가 중심이고 ^{O P}을 반지름으로 하는 부채꼴 O P_Q_을 그린다. [그림^]에서 도형^BQ_P_의 넓이를 이라 하자. 호 ^PQ의 중점 ^B , ^{O A}CB인 ^{O C} 위의 점^C,

O C_A_B_인 ^{O A} 위의 점^A, 점^O를 꼭지점으로 하는 정사각형 ^{O A}BC를 그린다. ^{O P}과 ^AB가 만나는 점을 ^P,

O Q_과^BC_가 만나는 점을 ^Q라 하자. 점 ^O가 중심이고

O P_를 반지름으로 하는 부채꼴 ^{O P}Q_를 그린다. [그림^]에서 도형 ^BQP의 넓이를^라 하자. 이와 같은 과정을 계속할 때,

  

∞

_의 합은? [4점]

…

[그림1] [그림2] [그림3]

①^{   } ②^{  } ③ ^{ }_^

④^{ }  

 ⑤^{ }  



단답형 18.

등식

  



^    



  



^ 가 성립할 때, 상수^의 값을 구하시오. [3점]

19.

수열 ^



의 계차수열은 공비가 _^인 등비수열이다.

  



∞

_ 일 때, ^의 값을 구하시오. [3점]

8 ^{가 형 수리 영역}

8 16 20.

아래 그림과 같이 크기별로 가지 종류의 반원이^개 있다.

A지점에서 출발하여^B지점을 거쳐 다시^A지점으로 돌아올 때, 반원을 크기별로 적어도 한 번 이상 지나오는 최단거리의 방법의 수를 구하시오. [3점]

21

. 아래 그림과 같이 삼차함수       의 그래프와 직선

  가 제사분면 위의 서로 다른 두 점 ^{P  Q}에서 만난다. 이 때, 세 점 A    P  Q를 꼭지점으로 하는

∆AP Q의 넓이가 최대가 되게 하는 양수^에 대하여 ^의 값을 구하시오. [4점]

P

Q

A

수리 영역 ^{가 형} 9

22.

아래 그림과 같이 정육각형O A B C D E의 변^{B C}를 ^등분한 점을 ^{P  P}…^{ P}라 하자. ^{O A   O E   }라 할 때,

  

 O P_k    가 성립한다. 이 때, 두 실수^{ }에 대하여

  의 값을 구하시오. [4점]

23.

^부터 ^까지의 자연수에서 크기가 ^인 표본을 임의추출하여 순 서쌍 ^ _ _ _로 나타낸다. 서로 다른 순서쌍을 모두 구하여 각각을 …^라 하자. 순서쌍 ^(     …^{ })에 속한 모든 성분의 합을^라 할 때, _{  }



^{ }_^의 값을 구하시오. [4점]

10 ^{가 형 수리 영역}

10 16

26번부터 30번까지는 선택과목 문항입니다 . 선택한 과목의 문제를 풀기 바랍니다 .

 

가위 ^ 

 



바위 

 

 



보 

 

 



24.

아래 그림과 같이 높이가^cm이고 밑면의 반지름의 길이가

cm인 직원기둥 모양의 그릇에 물을 가득 채운 후, 그릇의 밑면이 수평면과°가 되도록 기울였다. 수면의 넓이를

    ^  cm 라 할 때, ^{  }의 값을 구하시오. [4점]

cm cm

25.

세 사람 ^{}가 한 번의 시행으로 승부를 결정하는 ‘가 위, 바위, 보’ 게임을 하려고 한다. 오른쪽 표는 이 세 사람 이 게임을 할 때 ‘가위, 바위, 보’를 낼 각각의 확률을 나타

낸 것이다. ^가 혼자 이겼다고 할 때, ‘보’를 내어 이겼을 확률은



이다. 이 때,   의 값을 구하시오. (단, ^{ } 는 서로소인 자 연수이다.) [4점]

수리 영역 ^{가 형} 11

미분과 적분

26.

함수 ^{   ln    }에 대하여^{′  }의 값은? [3점]

①^ ② _^ ③^ ④^ ⑤^

27.

오른쪽 그림과 같은 직각삼각형^{AB C}에서

∠A  ^∘ A B  이다. 꼭지점 ^A로부터 빗변 ^{B C}에 내린 수선의 발을^H,

∠B  라 할 때,

lim

 →  · ln    

C H 의 값은? [3점]

①^ ②^ ③ _^ ④^ ⑤^

28.

아래 그림은 밑면 ^{P Q R S}가 정사각형인 사각기둥에 대한 전개 도이다. 옆면의 대각선의 길이가 일 때, 사각기둥의 부피가 최 대가 되게 하는 밑면의 한 변의 길이는? [4점]

① 

 ② _^ ③ ^ ④ ^_^ ⑤ 

^

12 ^{가 형 수리 영역}

12 16

* 확인 사항

◦ 답안지의 해당란에 필요한 내용을 정확히 기입(표기)했는지 확인 하시오.

29.

두 수열











이 각각





   _    

  







^{  }_{ }

_

_{  }





_

^

로 정의된다. 다음은 모든 자연수^에 대하여 ^{  }_≦ 이 성립함을 증명한 것이다.

<증명>

(1) 수열 

^

의 일반항을 구해보자.

_ tan_ °  _ °

이라 하자.

   tan_ sec_ cos_

  si n

을

sin_ sin





cos 

n

,

^cos cos^



 sin^



임을 이용하여 정리하면,

^  

(가) 이다.

따라서

^ °

,

^ °

,

^ °

,…이므로

_ ° 

^{  }

°

이 된다.

∴

 tan °  ^{  }

°



^{ cot}



^^{  }

°

 ^…㉠

(2) 수열 

^

 의 일반항을 구해보자.

 tan °   °

이라 하자.

  

  sec

tan



(나) 이다.

따라서

^ °

,

^ °

,

^ °

,…이므로

_ ^{  }

°

이 된다. ∴

^ tan



^^{  }

°

 ^…㉡

 ^{  }

°

라 하면, ㉠과 ㉡에 의하여



  tan^_



이 된다.

∴모든 자연수

^

에 대하여

^{  tan}≦

(다) 이므로

  ≦ 

이 성립한다.

위의 증명에서 (가), (나), (다)에 알맞은 것은? [4점]

(가) (나) (다)

①

^tan





°  



^tan 



^



②

^cot tan



°   ^

③

^tan



^

°  _



^tan

^

^{°   }

④

^cot tan 

_

^



⑤

tan



^

°  _



^tan

^

^{°   }^



단답형

30.

아래 그림과 같이 반지름의 길이가 m인 구를 반으로 자른 모양의 그릇에 ^{ m} 의 속도로 물을 채우려고 한다. 수면의 높이가 _^m가 되는 순간에 수면의 상승속도를 ^라고 할 때,

의 값을 구하시오. [4점]

m

수리 영역 ^{가 형} 13

줄기 잎

  

    

     

        

      

     

    

(단, 줄기 단위:^, 잎 단위:^)

P  ≦ ≦ 

 

 

 

 

확률과 통계

26.

^명의 학생이 대학수학능력시 험 ^월 모의평가 수리영역 가형 에서 얻은 점수를 조사하여 만 든 줄기와 잎 그림이다. 이 자료 에서 중앙값을 ^, 최빈값을 ^라 고 할 때, ^{  }의 값은? [3점]

①^{ } ②^{ } ③^ ④^ ⑤^

27.

확률변수 는 확률밀수함수

   



  ^

   

인 정규분포를 따른다고 할 때, 확률 ^{P  ≦≦  }를 구한 것은? [3점]

①^{} ②^{} ③^{} ④^{} ⑤^{}

28.

대전시는 국제컨벤션센터 유치 여부에 대한 시민들의 생각을 알아보기 위해 명을 임의추출하여 여론조사를 실시하였더니 그 중에 명이 찬성하였다. 모비율과 표본비율의 차가  이 하가 되도록 신뢰도 ^로 신뢰구간을 구하려고 한다. 이 때, 표본의 크기의 최소값은? (단, ^{P  ≦}≦    이다.) [4점]

①^ ②^ ③^ ④^ ⑤^

14 ^{가 형 수리 영역}

14 16

* 확인 사항

◦ 답안지의 해당란에 필요한 내용을 정확히 기입(표기)했는지 확인 하시오.

29.

트럼프 카드는 모두 ^장으로 이루어져 있다. 무늬는 스페이드 (♠), 다이아몬드(◆), 하트(♥), 클로버(♣) 종류가 있다. 각 무 늬마다 A   …  J Q  K 장이 있다. 카드 장 중에서  장을 임의로 뽑을 때 모두 같은 무늬인 경우를 ‘플러쉬’라 하고, 숫자 다섯 개가 연속일 때 ‘스트레이트’라 한다. 또한 플러쉬이며 스트레이트가 동시에 일어나는 경우를 ‘스트레이트플러쉬’라 한 다. 스트레이트플러쉬가 일어날 경우의 수는? (단,^{A  }, ^{J  }, Q  ,^{K  }으로 취급하고, ^ 다음 수는 ^로 간주한다. 예를 들어 J Q  K A  도 연속된 수이다.) [4점]

①^ ②^ ③^ ④^ ⑤^

단답형

30.

명의 가족이 함께 산에 놀러갔다. 정원이명인 케이블카가 있다. 이 가족이 한 줄로 서 있을 때, 케이블카를 가족 전체가 같이 탈 확률은 _^이다. 이 때,  의 값을 구하시오. (단,  는 서로소이고, 케이블카는^명이 채워질 때만 운행한다.) [4점]

수리 영역 ^{가 형} 15

이산수학

26.

^개의 각 나라 사이에 직항로를 개설하기로 하였다. 어느 한 나라에 개설된 직항로의 개수를 , 개 나라 사이의 모든 직항로의 개수를 라 할 때,   의 값은? [3점]

①^ ②^ ③^ ④^ ⑤^

27.

어느 대학생이 영국으로 배낭여행을 떠났다. 아래의 그림과 같 은 모양으로 생긴 영국의 유명 도시 6곳 A B  C  D  E  F 모두 를 빠짐없이 여행하려고 한다. 같은 곳을 두 번 여행하지 않고 가장 짧은 거리로 여행할 수 있는 방법의 경로는? (단, 그림에 표시된 수는 도시와 도시간의 거리이다.) [3점]

A B

C

D E

F























①A → B → C → D → E → F ②A → B → E → C → D → F

28.

영어 알파벳 A  B  C  …  Z에 십진법의 수 ^부터 ^에 해 당하는 이진법의 수   _{ } …   을 순서대로 대응시킨다. 어떤 이진법의 수 ^와 ^의 각 자리수를 비교하여 서로 같으면 ^, 다르면 ^을 그 자리에 대응시켜 얻은 이진법의

수를 ^{ ∧ }라 하자. 각 알파벳에 대응하는 이진법의 수를

_{ }과 연산(∧)하여 얻은 이진법의 수로 그 알파벳을 암호 화한다. 암호문 ^{} 에 해당되는 알파벳은? [4점]

①^B ②^N ③^R ④^W ⑤^Z

16 ^{가 형 수리 영역}

16 16

* 확인 사항

◦ 답안지의 해당란에 필요한 내용을 정확히 기입(표기)했는지 확인 하시오.

29.

어느 국제회의에서 개국 A B  C  D가 안건의 결정권이 있고, 투표 권한은 각각 표, 표, 표, 표이다. 이 회의에 제안된 안 건이 통과되려면 표 이상의 찬성이 필요하다. 개국 ^{A B  C } D가 각각 투표에 미치는 영향력에 대하여 <보기>에서 옳은 것 을 모두 고른 것은? [4점]

< 보 기 >

ㄱ. 영향력이^인 국가가 있다.

ㄴ. ^B와^C가 투표에 미치는 영향력은 같다.

ㄷ. 각 국가의 투표 결과로 나올 수 있는 모든 경우는가지이다.

① ㄱ ② ㄱ, ㄴ ③ ㄷ ④ ㄴ, ㄷ ⑤ ㄱ, ㄴ, ㄷ

단답형

30.

어느 양궁선수가 한 변의 길이가 ^인 정사각형 모양의 과녁에

개의 화살을 쏘아 모두 맞춘다고 하자. 과녁에 꽂힌^개의 화 살 중 두 개의 화살 사이의 거리가^{ } 이하인 것이 반드시 존 재하기 위한 ^의 최대값을 ^라 할 때, ^의 값을 구하시오. [4점]