생명과학을 위한 수학 1 중간고사 시험지
시험일정: 2021년 4월 17일 (토) 13:10 – 14:40(90분)
문제 1. [20점] 다음 극한값을 구하시오. (a) (10점) lim n→∞ n X k=1 n + k n2 + k2 (b) (10점) lim x→0 1 x Z x 0 (1 − tan 2t)1t dt
문제 2. [20점] 미분가능한 함수 y = f (x)에 대하여 x = 1, 2, 3에서 접선의 방정식은 각각 다음과 같다. y = x − 4, y = 2x − 6, y = 3x − 7
(a) (10점) f (x) = 0의 해가 적어도 하나 존재하는 구간을 구하시오.
문제 3. [15점] 두 곡선 2x2 + y2 = 1 과 x = y2 이 모든 교점에서 서로 직교함을 보이시오.
문제 4. [15점] 다음 특이적분의 수렴발산을 판정하여, 수렴하면 그 값을 계산하고 발산하면 그 근거를 제시하시오. Z 2 1 1 x√x2 − 1 dx
문제 5. [10점] 다음 특이적분의 수렴, 발산을 판단하고 그 근거를 밝히시오. Z ∞
1
x tanh x (1 + x2)2 dx
문제 6. [30점] 매개변수 방정식
x(t) = t sin t, y(t) = t cos t, −π ≤ t ≤ π 의 그래프는 오른쪽 그림과 같다.
(a) (15점) 0 ≤ t ≤ 3 일 때 매개곡선의 길이를 구하시오. (b) (15점) 곡선으로 둘러싸인 영역의 넓이를 구하시오.
문제 7. [25점] 다음 물음에 답하시오. (a) (10점) 영벡터가 아닌 두 벡터 a, b에 대하여 ka − kbk2을 최소가 되게 하는 k 를 구하시오. (b) (15점) 좌표공간의 두 점 A = (1, 2√2, 3√3)와 B = (√3,√2, 1)가 주어져 있을 때, 두 점 A, B 를 지나고 평면 α : x +√2y − z = 1 +√3 에 수직인 평면 β의 방정식을 구하시오.
문제 8. [15점] 다음 함수가 (0, 0)에서 극한값을 가지는지 판별하시오. f (x, y) = x
2sin(y3)
문제 9. [20점] 이변수 함수 f (x, y) = eysin x + xy와 곡선 X(t) = (cos t, sin t)에 대하여 다음 물음에 답하시오.
(a) (10점) h(t) = f (X(t)) 일 때, h0(π)를 구하시오.
문제 10. [30점] 이변수 함수 f (x, y) = x2 − y3 − xy에 대하여 다음을 구하시오. (a) (10점) 점 (1, 1, f (1, 1))에서 곡면 z = f (x, y)에 접하는 접평면의 방정식을 구하시오. (b) (10점) 점 (1, 1)에서 함숫값이 가장 빨리 감소하는 방향의 단위벡터 v와 이 때, 함수 f 의 v-방향 으로 변화율을 구하시오. (c) (10점) 임계점을 모두 구하고, 모든 임계점에 대하여 극대점인지 극소점인지 안장점인지 판별하 시오.
