황금비율

(1)

황금비율

 인간이 가장 안정적이며 편안하게 느낌

 당시 최고의 물건과 색을 ‘황금’한데서 유래

 루카 파치올리 신성비례

 단테: “황금비는 신이 내린 최고의 걸작품 이다!”

 피타고라스

 정오각형에서 조화롭고 아름다움을 느 끼게 하는 비율을 발견

 ^유클리드

 외중비로 설명

(2)

A4 용지의 비율

 유사한 황금직사각형(금강직사각형)

 A판과 B판 용지는 확대된 것이나 축소된 것들은 원 래의 것과 닮음

 사각형의 용지를 길이가 긴 쪽의 변을 반으로 잘라 나오는 직사각형과 닮은꼴이 되도록 한다면 큰 전지 에서 잘라서 만들 수 있으므로 낭비를 막을 수 있다.

 독일 규격위원회가 용지의 형태를 고안

(3)

3

A4 용지의 비율

(4)

4

(5)

인체의 비율

 ‘인체에 적용되는 비례의 규칙을 신전 건축에 사용해야 한다.’

‘건축 10서' 3장 신전 건축 편 _ 비트루비우스

 하나님이 하나님의 형상대로 만드신 인체가 가장 신 성한 비율로 만들어진 가장 아름답고 조화로운 피조 물이라고 생각

 레오나르도 다 빈치는 그의 스승인 루카 파치올리 (Luca Pacioli)의 저서 “신선한 비율”에 인체비례도 그림

(6)

인체비례도

 “자연이 낸 인체의 중심은 배꼽이다. 등을 대고 누워 서 팔 다리를 뻗은 다음 컴퍼스 중심을 배꼽에 맞추 고 원을 돌리면 두 팔의 손가락 끝과 두 발의 발가락 끝이 원에 붙는다. 정사각형으로도 된다. 사람 키를 발바닥에서 정수리까지 잰 길이는 두 팔을 가로 벌 린 너비와 같기 때문이다.”

배 꼽

(7)

7

황금비의 적용

1.3 황금비의 적용

손의 비율

(8)

계란의 황금직

사각형

(9)

인체 전신도

(10)

조화로운 사람

밀로의 비너스상(BC 5세기)

(11)

균제 비례

 비트루비우스가 ‘인체에 적용되는 비례 규칙을 신전 건축에 사용해야 한다.’고 한 것에서의 비례 규칙

 인체에서의 균제 비례

① 안면의 길이가 신장의 1/10

② 손바닥의 길이가 팔 길이의 1/10

③ 턱에서 머리까지의 길이가 신장의 1/8(8등신)

④ 배꼽이 중심인 원의 둘레 위에 손끝과 발끝이 있음

(12)

12

주식에서의 비율

(13)

주식에서의 비율

 엘리어트는 과거 75년 동안 주가 움직임에 대해 분 석한 결과 인간 심리나 군중 행태를 반영한 증권시 장도 자연법칙에 따라 움직인다고 설명.

 엘리어트의 파동이론(Elliot Wave Theory)

 상승추세에는 크게 세 번의 상승파(1,3,5)가 있고, 일정 부분 되돌리는 두 번의 조정파(2,4)가 있다.

 하락추세에는 두 번의 하락파(a,c)가 있고 한 번의 되돌 림 상승파(b)가 있다.

 상승과 하락에는 일정한 되돌림이 있다.

(14)

주식에서의 비율

 상승추세 5파

(1) 1번 파동: 추세전환 파동

 1파는 매수세가 모여드는 추세의 시작을 나타냄

 1번 파동의 시작을 알아내기는 매우 힘들지만 포착 한다면 매매시점으로는 최고점이다.

(2) 2번 파동 : 되돌림 파동

 2파는 조정의 기간으로 주가의 되돌림이 일어남

 이 되돌림은 황금비에 맞추어 나타냄.

 하락의 비율은 1파의 38.2% 또는 61.8%으로 나타 난다.

(15)

주식에서의 비율

(3) 3번 파동: 최대 수익구간

 3파는 가격변동이 가장 활발하며 강력한 상승국면

 일반적으로 1파의 1.618배 길이

(4) 4번 파동: 되돌림 파동

 4파는 2파와 마찬가지로 조정기간으로 상승에 대한 되 돌림이 일어남

 3파의 38.2%를 되돌리는 경우가 많다.

(5) 5번 파동: 마무리 상승 파동

 5파는 1파와 비슷한 길이거나 또는 1파에서 3파까지의 길이의 61.8% 정도의 길이로 형성

 5파에서 최고점을 찍고 하락이 시작된다.

(16)

주식에서의 비율

 하락추세 3파 (1) a파

 a파는 하락 국면으로 접어드는 시점의 파동으로 속도가 매 우 빠르다.

(2) b파

 b파는 조정파동으로 a파를 38.2% 또는 61.8%의 비율로 되 돌림이 일어나는 시점

 하락에 반발하는 매수세가 유입되지만 5번 즉 최고점에는 미치지 못한다.

(3) C파

 c파는 투매가 일어나는 시점이다. 가격의 하락 속도도 빨라 진다.

(17)

황금분할용 환원컴퍼스

 폼페이 유적에서 발견

 두 막대기 각각의 황금분할 점을 고정하여 만 듬

(18)

황금분할 캘리퍼스

 1893년 괴링어(Adalbert Goeringer)박사가 개발

 정오각형의 구조에 착안

 완성된 캘리퍼스에서 직선의 양끝을 맞추면 중간 의 막대기 끝이 황금분할 지점을 가리킨다.

(19)

자연 속의 과학세상

제2장 자연의 미(美)

(20)

20

2.1 피보나치수열

2.2 식물 세계에서의 피보나치수열

2.2.1 꽃잎 수에서의 피보나치수열 2.2.2 잎차례의 피보나치수열

2.3 피보나치 사각형과 로그나선 2.4 피보나치수열의 특징

2.4.1 황금비와의 관계성 및 수학적 의미 2.4.2 피보나치수열의 그 외 적용

제2장 자연의 미(美)

(21)

21

 이탈리아 피사 태생

 지중해 연안을 여행하면서 여러 가지 계산법을 습득

 아라비아 숫자를 유럽에 소개

 산반서, 실용기하학, 수론, 제곱근서 등 저술

2.1 피보나치수열

 레오나르도 피보나치(1170~1250)

(22)

22 피보나치가 1202년 『Liber Abachi –산술(算術)의 서(書)』에서

처음으로 제기한 수열로, 제1항과 제2항을 1로 하고 제3항부터는 순차적으로 앞의 두 항을 취하는 수열, 즉 인접한 두 수의 합이 그 다음 수가 되는 수열이다.

 대수에 관한 ‘산반서’

• 근대 수학사를 장식하는 최초의 상업 산술서

2.1 피보나치수열

(23)

<피보나치 수열(Fibonacci sequence)>

피보나치는 어느 날 집에서 기르던 토끼가 새끼를 번식하는 과정을 보 면서 수열의 아이디어를 착안했다고 한다. 지금 새로 태어난 토끼 암 수 한 쌍이 있다. 새로 태어난 토끼들은 한 달 후 어른이 되고, 어른이 되면 즉시 짝짓기를 하여 한 달 뒤에 자신들과 똑같은 토끼 암수 한 쌍 을 낳는다. 그 후로도 한 달마다 짝짓기를 한다면 1년 후에 몇 쌍의 토 끼가 존재하는가?

단, 어떤 토끼도 죽지 않으며 모든 토끼가 이러한 패턴을 반복한다.

(24)

(25)

25 0 1 1 2 3 5 8 13 21 34 55 89 144 233 377 610 …

Q. 12월 31일에 전체 토끼는 모두 몇 쌍인가?

 피보나치수열

2.1 피보나치수열

참고 : 이번 달 토끼 쌍 수 = 한 달 전 토끼 쌍수 + 두 달 전

토끼 쌍수 ( 두 달 후 새끼 출산 가능 )

(26)

26

 영화 ‘다빈치 코드’

박물관장인 소니에르가 죽으면서

'13-3-2-21-1-1-8-5 O, Draconian devil! Oh, lame saint‘

라는 메시지를 남긴다.

소니에르의 손녀인 소피는 앞의 숫자가 피보나치수의

배열임을 알아차리고, 종교학 교수인 주인공 랭던이 이 수열 배치에서 힌트를 얻어 'Leonardo Da Vinci! The Mona

Lisa'라는 것을 밝혀낸다.

2.1 피보나치수열

(27)

27

 유리 두 장에서 햇빛의 반사

2.1 피보나치수열

• 겹쳐진 두 장의 투명한 유리에 햇빛이 n번 반사될 때 경우의 수가 피보나치수열을 이루게 된다.

• 유리 두 장이 겹쳐져 있고 빛이 유리를 향해 들어온다.

빛 유리

(28)

1

 이탈리아 피사 태생

 지중해 연안을 여행하면서 여러 가지 계산법을 습득

 아라비아 숫자를 유럽에 소개

 산반서, 실용기하학, 수론, 제곱근서 등 저술

2.1 피보나치수열

 레오나르도 피보나치(1170~1250)

(29)

2 피보나치가 1202년 『Liber Abachi –산술(算術)의 서(書)』에서

처음으로 제기한 수열로, 제1항과 제2항을 1로 하고 제3항부터는 순차적으로 앞의 두 항을 취하는 수열, 즉 인접한 두 수의 합이 그 다음 수가 되는 수열이다.

 대수에 관한 ‘산반서’

• 근대 수학사를 장식하는 최초의 상업 산술서

2.1 피보나치수열

(30)

<피보나치 수열(Fibonacci sequence)>

피보나치는 어느 날 집에서 기르던 토끼가 새끼를 번식하는 과정을 보 면서 수열의 아이디어를 착안했다고 한다. 지금 새로 태어난 토끼 암 수 한 쌍이 있다. 새로 태어난 토끼들은 한 달 후 어른이 되고, 어른이 되면 즉시 짝짓기를 하여 한 달 뒤에 자신들과 똑같은 토끼 암수 한 쌍 을 낳는다. 그 후로도 한 달마다 짝짓기를 한다면 1년 후에 몇 쌍의 토 끼가 존재하는가?

단, 어떤 토끼도 죽지 않으며 모든 토끼가 이러한 패턴을 반복한다.

(31)

(32)

5 0 1 1 2 3 5 8 13 21 34 55 89 144 233 377 610 …

Q. 12월 31일에 전체 토끼는 모두 몇 쌍인가?

 피보나치수열

2.1 피보나치수열

참고 : 이번 달 토끼 쌍 수 = 한 달 전 토끼 쌍수 + 두 달 전

토끼 쌍수 ( 두 달 후 새끼 출산 가능 )

(33)

6

 영화 ‘다빈치 코드’

박물관장인 소니에르가 죽으면서

'13-3-2-21-1-1-8-5 O, Draconian devil! Oh, lame saint‘

라는 메시지를 남긴다.

소니에르의 손녀인 소피는 앞의 숫자가 피보나치수의

배열임을 알아차리고, 종교학 교수인 주인공 랭던이 이 수열 배치에서 힌트를 얻어 'Leonardo Da Vinci! The Mona

Lisa'라는 것을 밝혀낸다.

2.1 피보나치수열

(34)

7

 유리 두 장에서 햇빛의 반사

2.1 피보나치수열

• 겹쳐진 두 장의 투명한 유리에 햇빛이 n번 반사될 때 경우의 수가 피보나치수열을 이루게 된다.

• 유리 두 장이 겹쳐져 있고 빛이 유리를 향해 들어온다.

빛 유리

(35)

8

n=0; 빛이 그대로 통과하는 경우 1가지

n=1; 빛이 한 번 반사하는 경우 2가지

n=2; 빛이 두 번 반사하는 경우 3가지

n=3; 5가지

n=4; 8가지

2.1 피보나치수열

(36)

2.2 식물 세계에서의 피보나치수열

(37)

10

꽃잎 수 꽃 이름

1장 카라꽃

2장 등대 풀, 꽃기린

3장 백합, 붓꽃, 아이리스

5장 무궁화, 동백, 딸기, 도라지꽃 8장 모란, 코스모스

13장 금불초, 금잔화, 노랑데이지 21장 샤스타데이지, 치커리, 애스터 34장 데이지, 질경이

55장 망초꽃, 쑥부쟁이

2.2 식물 세계에서의 피보나치수열

 꽃잎의 수

(38)

11

 꽃잎의 수

2.2 식물 세계에서의 피보나치수열

카라꽃

꽃기린

백합

무궁화

연령초

(39)

12

 꽃잎의 수

2.2 식물 세계에서의 피보나치수열

무궁화

도라지꽃

코스모스

노랑데이지

(40)

13

 꽃잎의 수

2.2 식물 세계에서의 피보나치수열

샤스타데이지 데이지 망초꽃

(41)

14

 잎차례(잎이 나는 순서)

2.2 식물 세계에서의 피보나치수열

식물의 한 가지에 m번 회전하는 동안 잎이 n개 나오는 비율 m/n

m/n 꽃 이름

1/2 물푸레나무, 보리수 1/3 개암나무, 뽕나무

2/5 떡갈나무, 참나무, 사과나무, 자두나무, 벚꽃나무

3/8 배, 장미, 포플러, 버드나무

5/13 편도나무, 갯버들, 아몬드

(42)

15

 잎차례 – 2/5인 경우

2.2 식물 세계에서의 피보나치수열

옆에서 본 배열 위에서 본 배열

(43)

16

 잎차례 – 5/13인 경우

2.2 식물 세계에서의 피보나치수열

(44)

17

 잎차례

2.2 식물 세계에서의 피보나치수열

• 위에서 내려 볼 때 잎과 잎 사이의 중심각 일정 - 황금각

- 360

^⁰

/(1+Φ) = 137.5

^⁰

(45)

18

 잎차례

2.2 식물 세계에서의 피보나치수열

2/5인 경우 2번 회전할 때 잎이 5개 나오므로 6번째 잎 까지의 회전한 각이 2회전한 각과 같다면 잎이 겹칠 수 있다.

2회전의 각은 360^⁰ⅹ2=720^⁰

6번째 잎까지의 회전한 각은 137.5^⁰5 = 687.5^⁰ 따라서, 완전히 겹치지 않는다.

Q. 잎이 완전히 겹치는 경우는 없을까?

(46)

19

2.2 식물 세계에서의 피보나치수열

Q. 잎이 완전히 겹치는 경우는 없을까?

m(회전횟수)/n(잎의 수) ①

m회전 각

②

n번째까지 각 ①-②

5/13 1800

^⁰

1787.5

^⁰

12.5

^⁰

8/21 2,880

^⁰

2,887.5

^⁰

7.5

^⁰

13/34 4,680

^⁰

4675

^⁰

5

^⁰

21/55 7,560

^⁰

7,562.5 2.5

^⁰

34/89 12,240

^⁰

12,237.5 2.5

^⁰ 55/144 19,800^⁰ 19,800^⁰ 0^⁰

(47)

20

 피보나치사각형

2.3 피보나치 사각형과 로그나선

① 한 변의 길이가 1인 정사각형 2개를 그린다.

② 두 정사각형에 접하도록 다른 정사각형을 그리면 한 변의 길이가 2가 된다.

③ 같은 방법으로 계속해서 정사각형을 그린다.

(48)

21

 피보나치사각형 안의 로그나선

2.3 피보나치 사각형과 로그나선

(49)

22

 로그나선

2.3 피보나치 사각형과 로그나선

앵무조개 껍데기 내부의 나선 모양 달팽이

(50)

23

 로그나선

2.3 피보나치 사각형과 로그나선

태풍 소라

(51)

(52)

25

2.3 피보나치 사각형과 로그나선

 로그나선

1 1 2 3 5 8 13 21 34 55 89 154

……

(53)

26

 로그나선

2.3 피보나치 사각형과 로그나선

• 솔방울: 시계 방향으로 13개 시계 반대 방향 나선으로 8개

• 파인애플: 완만한 나선 5개, 가파른 나선 8개 8개, 거의 수직인 나선이 21개

(54)

27

 황금비와의 관계성

2.4 피보나치수열의 특징

(2) 피보나치수열에서 한 숫자와 하나 건너 뛴 숫자의 비율

1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233, 377, 610, 987, 1597, 2584, 4181, 6765, 10946, 17711, 28657, 46368, 75025,…

(55)

28

 수학적 의미 – 피보나치 묘수

2.4 피보나치수열의 특징

1 + 1 + 2 + 3 + 5 + 8 + 13 + 21 + 34 + 55 = 143

첫 번째 항부터 10개항의 수를 더한다.

일곱 번째 항

13 ⅹ 11 = 143

 어느 항을 잡더라도 성립한다.

(56)

29

,

2.4 피보나치수열의 특징

(57)

프랙탈

김윤민

(58)

나비효과

 나비 한 마리가 북경에서 공 기를 살랑거리면 다음날 뉴 욕에서 폭풍이 일어날 수도 있다는 것

 초기 조건에의 민감한 의존 성

 카오스 이론의 핵심

(59)

프랙탈

 자신을 복사하는 수를 무한 번 반복 시행한 극한의 결과로 자연 의 기하학

 자연세계에서 쉽게 찾아볼 수 있는 형태

 암석덩어리

 구름 조각

 달 표면

 해안선

 고둥 껍질

 눈송이

 혈관조직

 신경조직

(60)

프랙탈

(61)

프랙탈

 1975년 만델브로트(B. Mandelbrot)에 의하여 이름 붙여진 것

 페아노(Peano): 정사각형의 면을 완전히 메워버리는 연속곡선

 칸토어(Cantor): 조각의 수는 무한이지만 전체 길이는 0인 칸토어 셋

 반 코흐(Von Koch): 코흐 눈송이

 ‘무질서’라고 설명될 수 없었던 여러 가지 현상들 속의 질서를 설 명하여 주목

(62)

프랙탈의 특징



프랙탈(fractal)=fract(분수, 부분, 파편)+al(유사한, 닮음)



자기 닮음이고 분수의 차원

1) 자기 유사성(self-similarity)

 도형의 일부분을 확대했을 때 다시 전체의 모습이 되는 성질

(63)

2 ) 프랙탈 차원(소수 차원)

 직선-1차원, 평면-2차원, 입체-3차원

 프랙탈 도형은 차원으로 설명하기에는 한계

 어떤 물체의 거칠거칠한 정도 혹은 불규칙한 정도를 측정 하는 방법

 공간을 채우는 능력에 대한 측도 크기가 P인 한 도형이 크 기가 p인 작은도형 N개로 구성된다고 하고, N을 크기의 비의 거듭제곱으로 나타내었을 때 지수 d를 프랙탈 차원

(64)

칸토어 집합

 1차원 선분에서 선분을 3등분 한 것의 가은데 부분을 빼낸 다음 남아 있는 각각의 조각들에서 다시 3등분 한 것의 가운데 부분을 빼내는 과정을 무한 반복

(65)

코흐 곡선

 주어진 직선을 3등분 한 다음 중간 부분에 처음 주어진 길이 의 1/3을 한변으로 하는 정삼각형을 그리고 그 정삼각형의 밑 변을 없앤다.

 길이가 똑같은 4개의 선분이 생성되는데 위와 같은 방법을 반복

(66)

시어핀스키 삼각형

 칸토어 집합의 이미지를 2차원의 삼각형으로 확장

 삼각형의 세변의 중점을 표시하고 이 점들을 연결하여 만들어지는 네 개의 삼각형 중에서 가운데 삼각형을 제 거 => 다시 남아 있는 삼각형들 각각에서 중점을 찾고 삼각형을 그리는 과정을 반복

(67)

시어핀스키 카펫

 정사각형의 각 변을 세부분으로 나누어 9조각의 창살 을 만들고 가운데 사각형을 빼낸다. 이 단계를 무한히 계속해서 구성

(68)