제 9장 가설검정(Hypothesis testing)

제 9장 가설검정(Hypothesis testing)

9.1 가설검정의 원리 9.2 가설검정의 오류

9.3 𝑝 −값과 가설검정의 절차 9.4 모평균과 모비율의 검정 9.4.1 모평균(𝜇)의 검정 9.4.2 모비율(𝑝)의 검정

9.4.3 엑셀을 이용한 𝑝 −값 계산

9.1 가설검정의 원리

 가설검정이란, 모집단의 모수나 모분포에 대하여 어떤 가설을 설정하고, 적절 한 통계량을 이용하여 그 가설을 기각할 것인지 또는 채택할 것인지를 판단하 는 과정

가설검정

의사결정에 있어서 매우 중요한 역할

* 가설이란 모수나 모집단의 분포에 대해 서술된 통계적 가설 (statistical hypothesis)을 의미한다.

가설검정과 관련된 경영·경제 분야의 예

① 인터넷 접속 후 데이터 전송 속도가 고속화되고 있다. 특히 무선 라우터(router) 의 경우 자유롭게 인터넷에 접속하려는 사용자의 수요 증가로 인해 더욱 고속 화되고 있다. 따라서 한 무선 라우터 생산회사에서는 기존 라우터에 비해 데 이터 전송 속도가 훨씬 빨라진 초고속 라우터를 개발하였으며 불량률이 2%를 넘지 않는다고 한다. 이 라우터를 판매하려는 도매업자는 불량률이 2%를 넘 지 않는다는 회사 측의 주장이 과연 타당한지 판정하기를 원할 것이다

.

가설검정과 관련된 환경관련 분야의 예

② 한 환경전문가는 도시 거주민들의 평균 생활폐기물량이 지방 거주민들의 평 균 생활폐기물량보다 더 많아서 1일 1인당 평균 생활폐기물은 1kg이라고 예상 한다. 그래서 정부의 환경부서는 도시 거주민들의 1인 1인당 평균 생활폐기물 량이 1kg라는 예상을 확인하고 싶어한다.

가설검정과 관련된 통신분야의 예

③ 한 이동통신회사의 통계자료에 의하면 과거 고객들의 평균 통화시간은 2분 30초였다. 그런데 이 통신회사는 통화요금을 인하하면 고객들의 평균 통화시 간이 길어져서 오히려 이윤을 증가시킬 것으로 예측한다. 따라서 이 통신회사 는 통화요금의 인하로 평균 통화시간이 2분 30초보다 길어진다는 가설에 관 심을 가지고 있다.

9.1 가설검정의 원리

확정하고자 하는 주장에 반대되는 가설

확정하고자 하는 주장

귀무가설 = 𝐻₀

대립가설 = 𝐻₁

 대립가설 (𝐻₁ 로 표기) : 연구자가 주장하고 싶은 확인되지 않은 가설로 부등호 를 이용하여 표현

 귀무가설 (𝐻₀ 로 표기) : 연구자의 주장에 상반되는 가설로서 연구자의 주장이 인증되기 전까지 참(true)으로 받아들여지는 가설

 단측대립가설 : 대립가설에 나타나는 영역이 한쪽인 가설

 양측대립가설 : 대립가설에 나타나는 영역이 양쪽인 가설

 표본을 통하여 주어진 가설을 옳지 않다고 판단할 때 그 가설을 기각(reject)한 다고 하며, 그 가설이 옳다고 판단할 때 그 가설을 채택(accept)한다고 한다.

 통계적 가설검정의 결과는 항상 귀무가설을 중심으로 표현하며 또 기각할 수 있는지, 없는지와 같이 기각을 중심으로 표현한다.

 대립가설이나 채택을 이용한 표현은 되도록 하지 않는다.

 귀무가설은 되도록이면 가장 간단한 형태로 나타난다.

 대립가설의 형태

– 양측검정(two-sided test)과 단측검정(one-sided test)의 두 가지 형태

 양측검정 : 양측대립가설에 대한

 단측검정(one-sided test) : 단측대립가설에 대한 검정 * 대립가설은 항상 부등호를 이용하여 표현됨.

* 가설검정에서 대립가설의 부등호 방향이 가설검정의 열쇠임.

 가설검정의 유형

1. 양측검정 𝐻₀ ∶ 𝜃 = 𝜃₀ 대 𝐻₁ ∶ 𝜃 ≠ 𝜃₀

2. 단측검정 𝐻₀ ∶ 𝜃 = 𝜃₀(또는 𝜃 ≤ 𝜃₀) 대 𝐻₁ ∶ 𝜃 > 𝜃₀ 3. 단측검정 𝐻₀ ∶ 𝜃 = 𝜃₀(또는 𝜃 ≥ 𝜃₀) 대 𝐻₁ ∶ 𝜃 < 𝜃₀

9.2 가설검정의 오류

 판단기준

랜덤표본에 근거하여 귀무가설을 채택하는 경우와 대립가설이 보다 타당하다 고 판단되어 귀무가설을 기각하는 경우 중 하나를 결정하는 기준

 가설검정에서 수반되는 두 가지 오류

제 1종오류(type 1 error) : 귀무가설이 참일 때 귀무가설을 기각하는 오류(확률) 제 2종오류(type 2 error) : 귀무가설이 거짓일 때 귀무가설을 채택하는 오류

 유의수준(significance level) 𝛼 : 제 1종오류의 허용최대 한계 𝛼 = 𝑃(제 1종오류) = 𝑃(𝐻₀를 기각 | 𝐻₀가 참)

 유의수준(significance level), 𝛼 : 제 1종오류가 발생할 확률의 최대허용치.

 제 2종오류의 확률을 𝛽로 표기한다.

 𝛽 위험 : 제 2종 오류의 발생확률, 𝛽 = 𝑃(제 2종 오류)= 𝑃(𝐻₀를 채택 | 𝐻₀가 참)

 제 1종 오류와 제 2종 오류 사이에는 역의 관계가 성립한다.

(제1종오류를 줄이면 2종오류가 늘어난다)

구분 실제상황

𝐻₀ : 참 𝐻₁ : 참 검정결과 𝐻₀ 기각안함 옳은 결정 2종 오류

𝐻₀ 기각 1종 오류 옳은 결정

 통계적 가설검정에 있어서는 제 1종오류가 발생할 확률의 허용한계인 𝛼 를 고 려하여 검정을 하게 된다.

 귀무가설이 사실이 아닐 때 귀무가설을 기각하게 될 확률은 1 − 𝛽가 되는데 이 값을 검정력(power)이라고 한다.

 검정통계량(test statistic) : 귀무가설의 타당성 여부를 결정하는데 사용되는 통 계량

 기각값(critical value) : 주어진 유의수준에서 귀무가설을 채택하거나 기각하는 기준이 되는 값

검정통계량 = 표본통계량 − 귀무가설에서 설정된 모수값 표본 통계량의 표준오차

9.3 𝑝 −값과 가설검정의 절차

 𝑝 −값 : 귀무가설이 참일 때 표본과 같이 나올

 𝑝 −값이 작을수록 귀무가설에 반대되는 강한 증거.

 가설검정에서 기각 혹은 채택을 결정하기 위한 판정에 가장 많이 사용되는 측도로서 𝑝 −값이 작을수록 𝐻₁의 강력한 증거가 됨

 𝒑 −값을 유의확률이라고도 함

 표본을 근거로 귀무가설 𝐻₀를 기각하게 되는 가장 작은 유의수준

𝐻₁ 에 대한 증거의 강도를 수치로 나타낸 것

𝑷값 < 유의수준 𝜶 ⇒ 유의수준 𝜶 에서 𝑯𝒐기각

가설검정의 절차

1) 검정하고자 하는 목적에 맞는 귀무가설 𝐻₀와 대립가설 𝐻₁을 설정한다.

2) 유의수준 𝛼를 정한다.

3) 검정통계량(test statistic)을 계산한다.

4) 기각역(reject region)을 구한다.

5) 검정통계량과 기각역을 비교하여 판정한다.

또는 𝑝 −값을 구하여 유의수준 𝛼와 비교한다.

9.4 모평균과 모비율의 검정 9.4.1 모평균(𝜇)의 검정

모분산을 알 때

 평균이𝜇, 분산이 𝜎²인 모집단으로부터의 랜덤표본 𝑋₁, 𝑋₂, ⋯ , 𝑋_𝑛을 얻을 때

 표본의 크기 𝑛이 크면,

표본평균 𝑋�는 근사적으로 평균이 𝜇, 분산이 𝜎²/𝑛인 정규분포를 따른다.

 이 결과를 이용하여 모평균의 검정이 이루어진다.

𝑍 = 𝑋� − 𝜇

𝜎/ 𝑛

모분산을 모를 때

 평균이𝜇, 분산이 𝜎²인 정규모집단으로부터의 랜덤표본 𝑋₁, 𝑋₂, ⋯ , 𝑋_𝑛을 얻을 때

 표본의 크기 𝑛이 작고 (보통 30 이하) 모분산 𝜎²이 알려져 있지 않은 경우에

 모평균의 검정은 표본분산 𝑆²을 추정하여 사용하는 통계량

가 자유도가 𝑛 − 1인 𝑡분포를 따른다는 사실을 이용하여 검정한다.

𝑇 = 𝑋� − 𝜇

𝑆/ 𝑛

 𝜇₀ : 귀무가설에서 주장되는 모평균

 𝑆 : 표본표준편차

 𝑧 : 𝑍의 관측값

 𝑧_𝛼 : 표준정규분포에서 𝑃 𝑍 ≥ 𝑧_𝛼 = 𝛼를 만족하는 값

 𝑡 : 𝑇의 관측값

 𝑡_𝛼: 자유도 𝑛 − 1인 𝑡분포에서 𝑃 𝑇 ≥ 𝑡_𝛼 = 𝛼를 만족하는 값

 일표본 𝑍검정 : 단일 모평균의 검정방법 - 𝜎²을 알 경우

1.

𝐻₀: 𝜇 = 𝜇₀와 𝐻₁: 𝜇 ≤ 𝜇₀일 때, 𝑍 ≤ −𝑧_𝛼이면 귀무가설 기각

2.

𝐻₀: 𝜇 = 𝜇₀와 𝐻₁: 𝜇 ≥ 𝜇₀일 때, 𝑍 ≥ 𝑧_𝛼이면 귀무가설 기각

3.

𝐻₀: 𝜇 = 𝜇₀와 𝐻₁: 𝜇 ≠ 𝜇₀일 때, |𝑍| ≥ 𝑧_𝛼/2이면 귀무가설 기각

 위의 경우에 대한 𝑝-값

1.

𝐻₁: 𝜇 ≤ 𝜇₀의 경우, 𝑝 = 𝑃(𝑍 ≤ −𝑧)

2.

𝐻₁: 𝜇 ≥ 𝜇₀의 경우, 𝑝 = 𝑃(𝑍 ≥ 𝑧)

3.

𝐻₁: 𝜇 ≠ 𝜇₀의 경우, 𝑝 = 𝑃(|𝑍| ≥ 𝑧)

 일표본 𝑇검정 : 단일 모평균의 검정방법 - 𝜎²을 모르고 𝑛이 작을 경우

1.

𝐻₀: 𝜇 = 𝜇₀와 𝐻₁: 𝜇 ≤ 𝜇₀일 때, 𝑇 ≤ −𝑡_{𝛼,𝑛−1}이면 귀무가설 기각

2.

𝐻₀: 𝜇 = 𝜇₀와 𝐻₁: 𝜇 ≥ 𝜇₀일 때, 𝑇 ≥ 𝑡_{𝛼,𝑛−1}이면 귀무가설 기각

3.

𝐻₀: 𝜇 = 𝜇₀와 𝐻₁: 𝜇 ≠ 𝜇₀일 때, |𝑇| ≥ 𝑡^𝛼

2,𝑛−1이면 귀무가설 기각

 위의 경우에 대한 𝑝 −값

1.

𝐻₁: 𝜇 ≤ 𝜇₀의 경우, 𝑝 = 𝑃(𝑇 ≤ −𝑡)

2.

𝐻₁: 𝜇 ≥ 𝜇₀의 경우, 𝑝 = 𝑃(𝑇 ≥ 𝑡)

3.

𝐻₁: 𝜇 ≠ 𝜇₀의 경우, 𝑝 = 𝑃(|𝑇| ≥ 𝑡)

정규분포에서의 기각값

 정규분포의 경우

 𝑇분포의 경우 자유도에 따라 달라지며 표본의 수가 작은 경우 같은 유의수준 에 대하여 𝑇분포의 기각값은 정규분포의 기각값보다 항상 큰 값을 가지지만 표본의 수가 커질수록 정규분포의 기각값으로 수렴하게 된다.

유의수준(𝛼) 단축검정(𝑧_𝛼) 양측검정(𝑧_𝛼/2)

0.10 1.282 1.645

0.05 1.645 1.960

0.01 2.326 2.576

𝑋�의 표본분포와 기각역 : 단측검정

𝑋�의 표본분포와 기각역 : 양측검정

예제 9.1

한 타이어 제조회사에서 생산중인 타이어의 수명이 평균 37,000km이하로 알려져 있다.

타이어의 수명을 증가시키는 공정을 개발하고 있는 이 회사의 연구소에서 개발 중인 새 공정에 의해 시제품을 100개 생산하여 조사한 결과 평균 수명이 𝑋� = 38,000km이었 고 표준편차가 𝑆 = 5,000km 이었다. 이 연구소의 조사결과 새 공정이 성공적임을 뜻하 는지를 알아보자.

(풀이) 이 문제는 가설 𝐻0: 𝜇 ≤ 37,000 대 𝐻1: 𝜇 > 37,000 로 귀결되고 사용되는 검정통 계량의 분포는 분산을 몰라도 𝑛이 크므로 정규분포를 따르므로 이용하여

𝑍 = ^{𝑋�−𝜇}_{𝑆/ 𝑛}⁰ = 38,000−37,000

5,000/ 100 = 2.0 를 얻는다. 이 값은 유의수준을 5%로 했을 때 단측검

정에 대한 기각값 1.645보다 크므로 5% 유의수준에서 귀무가설은 기각된다. 즉, 타이어 의 평균수명이 37,000km이상이라고 말할 수 있다.

수리정보과학과

9.4.2 모비율(𝑝)의 검정

 표본비율 𝑝�의 평균은 𝑝 이고, 표준편차는 ^{𝑝(1−𝑝)}_𝑛 이므로 대표본인 경우, 𝑝� 은 근사적으로 정규분포를 따른다.

 𝑝� ≈ 𝑁 𝑝,^{𝑝 1−𝑝}_𝑛 , ^{𝑝�−𝑝}

𝑝(1−𝑝)/𝑛 ≈ 𝑁(0,1)

 검정통계량 :

 검정통계량의 귀무가설하에서의 분포는 표준정규분포를 따른다. (𝑝₀ : 귀무가설이 참일 경우의 모비율)

기초통계학 - 김대학 25

𝑍 = 𝑝̂ − 𝑝

₀

𝑝

₀

(1 − 𝑝

₀

)/𝑛

 유의수준이 𝛼일 때 대립가설의 형태에 따른 모비율의 가설검정

1.

𝐻₀: 𝑝 = 𝑝₀와 𝐻₁: 𝑝 ≤ 𝑝₀일 때, 𝑍 ≤ −𝑧_𝛼이면 귀무가설 기각

2.

𝐻₀: 𝑝 = 𝑝₀와 𝐻₁: 𝑝 ≥ 𝑝₀일 때, 𝑍 ≥ 𝑧_𝛼이면 귀무가설 기각

3.

𝐻₀: 𝑝 = 𝑝₀와 𝐻₁: 𝑝 ≠ 𝑝₀일 때, |𝑍| ≥ 𝑧_𝛼/2이면 귀무가설 기각

 위의 경우에 대한 𝑝 −값

1.

𝐻₁: 𝑝 ≤ 𝑝₀의 경우, 𝑝 = 𝑃(𝑍 ≤ −𝑧)

2.

𝐻₁: 𝑝 ≥ 𝑝₀의 경우, 𝑝 = 𝑃(𝑍 ≥ 𝑧)

3.

𝐻₁: 𝑝 ≠ 𝑝₀의 경우, 𝑝 = 𝑃(|𝑍| ≥ 𝑧)

예제 9.2

혈액을 주로 취급하는 100명의 병원근무자 표본을 대상으로 B형 간염 감염여부를 조사 하기 위한 혈청검사를 실시하였다. 그 중 20명이 양성으로 나타났다. 이 자료를 근거로 그 모집단의 양성률이 0.23보다 작다고 할 수 있는지 알아보자.

(풀이) 이 문제는 가설 𝐻₀: 𝑝 = 0.23 대 𝐻₀: 𝑝 ≤ 0.23을 검정하는 문제로 귀결된다.

𝑝� = 0.20이므로 검정통계량은 𝑍 = _𝑝 ^{𝑝�−𝑝0}

0(1−𝑝₀)/𝑛 = 0.23(1−0.23)/100^0.20−0.23 = −0.7129가 된다.

이 값은 5% 유의수준에서 단측검정에 대한 기각값 -1.645보다 크지 않으므로 5%

유의수준에서 귀무가설은 기각 되지 않는다.

9.4.3 엑셀을 이용한 𝑝 −값 계산

 엑셀 함수를 이용하여 표준정규분포에서의 확률을 계산하여 구할 수 있다.

• 𝑃(𝑍 ≤ 2.65) 계산방법

=𝑁𝑁𝑁𝑁𝑁𝑁𝑆𝑇(𝑋, 평균, 표준편차, 확률밀도(0) 혹은 누적(1)) =𝑁𝑁𝑁𝑁𝑁𝑁𝑆𝑇(2.65, 0, 1, 1)

=0.996

• 𝑝값 계산방법

=𝑃(𝑍 ≥ 2.65) = 1 − 𝑃(𝑍 ≤ 2.65) = 1 – 0.996 = 0.004

엑셀을 이용한 예제 9.1의 𝑝 −값 계산방법

① 표준도구모음줄에서 “함수마법사”단추를 누른다.

② 대화상자가 나타나면 함수종류 중에서 “통계”를 클릭한다. 함수이름에서는 오른쪽의 이동막대를 조정하여 뒤로 가서 “𝑁𝑁𝑁𝑁𝑆𝑁𝑁𝑆𝑇”를 클릭한다. 선택 이 끝나면 <확인>단추를 누른다.

③ 𝑍라고 쓰여진 란을 클릭하여 원하는 수치를 적는다. 여기서는 2.0을 이용한 다. <확인>을 누른다.

④ 0.977249938이라는 수가 보인다. 이 값은 표준정규분포의 누적확률값이다.

즉, 2보다 작거나 같을 확률이 계산된 것이다. 따라서 원하는 𝑝 −값은 1-

0.977249938=0.022750062이 된다. 비교적 작은 값이므로, 귀무가설을 반증하 는 증거가 된다.

엑셀화면

엑셀을 이용한 예제 9.2의 𝑝 −값 계산방법

① 표준도구모음줄에서 “함수마법사”단추를 누른다.

② 대화상자가 나타나면 함수종류 중에서 “통계”를 클릭한다. 함수이름에서는 오른쪽의 이동막대를 조정하여 뒤로 가서 “𝑁𝑁𝑁𝑁𝑆𝑁𝑁𝑆𝑇”를 클릭한다. 선택 이 끝나면 <확인>단추를 누른다.

③ 𝑍값을 쓰는 란에 -0.7129를 쓰면 0.237954라는 수가 계산된다. 이 값은 -

0.7129보다 작을 확률이므로 우리가 구하고자 하는 𝑝 −값이 된다. 이 값은 상 당히 큰 값으로 전혀 유의하지 않음을 알 수 있다.

엑셀화면