1) 지수함수 개념
지수함수(exponential function)
여기서 b는 밑수(base)라 함.
b=e=2.71828….이면 자연(natural) 지수함수
0 ,
)
(
f x b b
y
x) exp(
)
( x e x
f
y x
-4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6
-4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6
y=exp(x) y=ln x
점 (0,1)을 통과.
b>1이면 급속한 증가.
2) 밑수 e의 정의 및 그 경제적 설명 복리이자 계산법
원금 1원, 1년간 이자율(r) 100%(=1.0), 복리계산 회수 m회. 연간 이자가 고르게 증식된다고 가정. 1년후 원리금=y
m=1: y=1(1+1)=2
m=2: y=1(1+0.5)(1+0.5)=(1+0.5)2
m=2
전반기말 원리금=1(1+1/2) 후반기말 원리금
=(1.5)(1+1/2)
=(1+1/2)2=2.25
m=4
1분기말 원리금 2분기말 원리금 3분기말 원리금
=1(1+1/4) =1.25(1+1/4) =1.252(1+1/4)
4분기말 원리금
=1.253(1+1/4)
=(1+1/4)4
=2.414⋯
연간이자율 100%
1분기 25% 2분기 25% 3분기 25% 4분기 25%
연간 m회
e의 정의
) ( 1 )
1
(
f m
y
m
m 1) 1년간 예금시
연간 m회 복리계산시, 단위기간당 이자율은 r/m.
따라서
여기서 r/m=1/n으로 정의하면, n=m/r이므로
“m→∞”일 때 “n→∞”도 성립하며 m=nr이다.
) ( )
1
(
f m
m
y
r
m n r nr
n y n
1
1 1 1
2) x년간 예금시 복리계산 회수=mx
nr m
n n m
r
m
1 1 1 lim
lim
r n r
n n r
n e n n
1 1 1 lim
lim 1
rx nrx
mx
n e m n
r m
1 1 1 lim
lim
자연지수함수 y=f(x)=ex의 역함수
x=f-1(y)=ln y. “ln” 기호 사용함.
자연대수(natural log=ln)
도시
y=f(x)=ex y=ln x
ln ea =a ln e = a
a=-1, 0, 1,2일 때 계산해 보라.
ln a + ln c = ln ac
ln a - ln c = ln (a/c)
ln ac = c ln a
3 2
2
3 ( ) ( )
3 x x x x x
3
)
3( )
( )
( x x f x x x x
f
y
2
2
( ) [ 3 ]( )
3 x x x x x
우변은 “∆x”에 관한 수식인데, 그 첫항은 ∆x의 1차항이고, 둘째 및 세째항은 ∆x의 2차 및 3차항으로서 2차 이상인 항이다.
∆x→0일 때 (∆x)2 <|∆x|으로서 매우 작아지기 때문에, 1차항 을 ∆y의 주선형(principal linear) 부분이라 하고, 그 나머지는 오 차항이라 한다. 이 1차항을 y의 미분(differential)이라 하고 “dy”
로 표기한다. dy를 ∆y의 “1차 근사치”라 함.
) (
3 x
2x
dy
(1) ∆y(=y의 차분)=dy+오차
는 dy(=y의 미분)과 다른 개념이지만, x의 경우
∆x =x의 차분=dx 라 정의한다.
(2) dy를 dx로 나누면
(3) dy/dx비율이 1계 도함수. 1계도함수에 dx를 곱 하면 y의 미분
) ( 3 3
3
2 2 2x f
dx x dx x
dx x x
dx
dy
) ( )
( f x
dx dx dy
x f
dy
dx만큼 변화시, 함수 f(x)까지의 높이는 ∆y(BB”).
접선까지의 높이는 dy(B’B”).
나머지 BB’=오차
A점 기준 dx-dy(∆y) 평면에서 접선의 방정식:
dy=f’(x) dx
∆x=dx=2이면 dy=12,
∆x=dx=0.1이면 dy=0.6,
∆x=dx=-2이면 dy=-12,
∆x=dx=-0.5이면 dy=-3 등
2계 미분
n계 미분
) ( )
(
22 2
2
f x
dx y dx d
x f
y
d
] )
( [ ]
2
y d [ dy d f x dx
d
)
2( ]
) ( [ )]
(
[ f x dx f x dx dx f x dx
d
) ( )
(
( ))
(
f x
dx y dx d
x f
y
d
nn n n
n
n
1. 평균비용과 한계비용
(총)비용함수 C=C(Q)에서
AC=AC(Q)=C(Q)/Q, MC=MC(Q)=C’(Q) 양자간의 관계: AC(Q)를 Q로 미분(몫의 미분법)
따라서
AC(Q)곡선의 기울기가 음이면, 그러한 Q에서는 MC보다 AC가 더 크 고[MC(Q)의 기울기가 음이라는 말은 아님], 그 역도 성립.
마찬가지로……
80 100 120 140 160 180 200 220
0 20 40 60 80 100 120
MC AC
E
2. 평균수입과 한계수입
시장수요가격 함수 pd=g(x)가 주어지면, x단위 판매시 독점기업의 총수입
TR=pdx=xg(x)≡TR(x)
평균수입은 AR=TR/x=pd=g(x)이므로
xd=α-βp일 때, pd=α/β –(1/β)x
TR=xpd=αx/β-(1/β)x2 MR=α/β –(2/β)x
경쟁기업의 총수입
AR=p=“일정”. TR=px. MR=dTR/dx=p AR=MR=p.
MR=AR
x
1) 시장수요량이 시장가격의 변화에 대해 민감하게 변화하는 정도
측정단위에 따라 값이 변화.
2) 탄력성
각 변화량을 해당 원래의 수량으로 나누어 “백분율 변화율”로 대체한 다음, 양의 값으로 만들기 위해 그 절대치를 계산한 것이 수요의 가격 탄력성(彈力性)이 다:
변화율 계산시 원 수량과 가격을 평균 수량과 평균 가격으로 대치하면 “호”탄력성이라 함.
“점”탄력성은
시장수요함수 xd=f(p).
x단위 판매시 기업들의 총수입=TR=pxd =pf(p)=TR(p)