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1) 지수함수 개념

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Academic year: 2022

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(1)

1) 지수함수 개념

지수함수(exponential function)

여기서 b는 밑수(base)라 함.

b=e=2.71828….이면 자연(natural) 지수함수

0 ,

)

(  

 f x b b

y

x

) exp(

)

( x e x

f

y

x

(2)

-4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6

-4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6

y=exp(x) y=ln x

(3)

점 (0,1)을 통과.

b>1이면 급속한 증가.

(4)

2) 밑수 e의 정의 및 그 경제적 설명 복리이자 계산법

원금 1원, 1년간 이자율(r) 100%(=1.0), 복리계산 회수 m회. 연간 이자가 고르게 증식된다고 가정. 1년후 원리금=y

m=1: y=1(1+1)=2

m=2: y=1(1+0.5)(1+0.5)=(1+0.5)2

(5)

m=2

전반기말 원리금=1(1+1/2) 후반기말 원리금

=(1.5)(1+1/2)

=(1+1/2)2=2.25

m=4

1분기말 원리금 2분기말 원리금 3분기말 원리금

=1(1+1/4) =1.25(1+1/4) =1.252(1+1/4)

4분기말 원리금

=1.253(1+1/4)

=(1+1/4)4

=2.414⋯

연간이자율 100%

1분기 25% 2분기 25% 3분기 25% 4분기 25%

(6)

연간 m회

e의 정의

) ( 1 )

1

(

f m

y

m

m

(7)

1) 1년간 예금시

연간 m회 복리계산시, 단위기간당 이자율은 r/m.

따라서

여기서 r/m=1/n으로 정의하면, n=m/r이므로

“m→∞”일 때 “n→∞”도 성립하며 m=nr이다.

) ( )

1

(

f m

m

y

r

m

n r nr

n y n







 

 

 

 

 

 1

1 1 1

(8)

2) x년간 예금시 복리계산 회수=mx

nr m

n n m

r

m



 

 

 



 

 

1 1 1 lim

lim

r n r

n n r

n e n n

 





 

 

 





 

 

 

1 1 1 lim

lim 1

rx nrx

mx

n e m n

r m

 

 

 

 



 

 

1 1 1 lim

lim

(9)

자연지수함수 y=f(x)=ex의 역함수

x=f-1(y)=ln y. “ln” 기호 사용함.

자연대수(natural log=ln)

도시

y=f(x)=ex y=ln x

(10)

ln ea =a ln e = a

a=-1, 0, 1,2일 때 계산해 보라.

ln a + ln c = ln ac

ln a - ln c = ln (a/c)

ln ac = c ln a

(11)
(12)
(13)
(14)
(15)

3 2

2

3 ( ) ( )

3 x x x x x

3

)

3

( )

( )

( x x f x x x x

f

y

2

2

( ) [ 3 ]( )

3 x x x x x

우변은 “∆x”에 관한 수식인데, 그 첫항은 ∆x의 1차항이고, 둘째 및 세째항은 ∆x의 2차 및 3차항으로서 2차 이상인 항이다.

∆x→0일 때 (∆x)2 <|∆x|으로서 매우 작아지기 때문에, 1차항 을 ∆y의 주선형(principal linear) 부분이라 하고, 그 나머지는 오 차항이라 한다. 이 1차항을 y의 미분(differential)이라 하고 “dy”

로 표기한다. dy를 ∆y의 “1차 근사치”라 함.

(16)

) (

3 x

2

x

dy

(1) ∆y(=y의 차분)=dy+오차

는 dy(=y의 미분)과 다른 개념이지만, x의 경우

∆x =x의 차분=dx 라 정의한다.

(2) dy를 dx로 나누면

(3) dy/dx비율이 1계 도함수. 1계도함수에 dx를 곱 하면 y의 미분

) ( 3 3

3

2 2 2

x f

dx x dx x

dx x x

dx

dy

     

) ( )

( f x

dx dx dy

x f

dy     

(17)

dx만큼 변화시, 함수 f(x)까지의 높이는 ∆y(BB”).

접선까지의 높이는 dy(B’B”).

나머지 BB’=오차

A점 기준 dx-dy(∆y) 평면에서 접선의 방정식:

dy=f’(x) dx

(18)

∆x=dx=2이면 dy=12,

∆x=dx=0.1이면 dy=0.6,

∆x=dx=-2이면 dy=-12,

∆x=dx=-0.5이면 dy=-3 등

(19)
(20)

2계 미분

n계 미분

) ( )

(

2

2 2

2

f x

dx y dx d

x f

y

d     

] )

( [ ]

2

y d [ dy d f x dx

d   

)

2

( ]

) ( [ )]

(

[ f x dx f x dx dx f x dx

d     

) ( )

(

( )

)

(

f x

dx y dx d

x f

y

d

n

n n n

n

n

  

(21)

1. 평균비용과 한계비용

(총)비용함수 C=C(Q)에서

AC=AC(Q)=C(Q)/Q, MC=MC(Q)=C’(Q) 양자간의 관계: AC(Q)를 Q로 미분(몫의 미분법)

(22)

따라서

AC(Q)곡선의 기울기가 음이면, 그러한 Q에서는 MC보다 AC가 더 크 고[MC(Q)의 기울기가 음이라는 말은 아님], 그 역도 성립.

마찬가지로……

(23)

80 100 120 140 160 180 200 220

0 20 40 60 80 100 120

MC AC

E

(24)
(25)
(26)

2. 평균수입과 한계수입

시장수요가격 함수 pd=g(x)가 주어지면, x단위 판매시 독점기업의 총수입

TR=pdx=xg(x)≡TR(x)

평균수입은 AR=TR/x=pd=g(x)이므로

(27)

xd=α-βp일 때, pd=α/β –(1/β)x

TR=xpd=αx/β-(1/β)x2 MR=α/β –(2/β)x

(28)

경쟁기업의 총수입

AR=p=“일정”. TR=px. MR=dTR/dx=p AR=MR=p.

MR=AR

x

(29)

1) 시장수요량이 시장가격의 변화에 대해 민감하게 변화하는 정도

측정단위에 따라 값이 변화.

(30)
(31)

2) 탄력성

각 변화량을 해당 원래의 수량으로 나누어 “백분율 변화율”로 대체한 다음, 양의 값으로 만들기 위해 그 절대치를 계산한 것이 수요의 가격 탄력성(彈力性)이 다:

(32)

변화율 계산시 원 수량과 가격을 평균 수량과 평균 가격으로 대치하면 “호”탄력성이라 함.

“점”탄력성은

(33)
(34)
(35)

시장수요함수 xd=f(p).

x단위 판매시 기업들의 총수입=TR=pxd =pf(p)=TR(p)

참조

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