파라메트릭 테셀레이션의 기하학 원리를 적용한 3-D 텍스타일 디자인 프로세스

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(1)투고일_2018.08.10. 심사기간_2018.09.01-16. 게재확정일_2018.10.05. 파라메트릭 테셀레이션의 기하학 원리를 적용한 3-D 텍스타일 디자인 프로세스 3-D Textile Design Processes with Geometric Principles of Parametric Tessellation 윤순란, 이화여자대학교 섬유패션학부 교수 Youn, Soonran(prof.)_Division of Fiber & Fashion, Ewha Womans University. 차례. 1. 서론 2. 파라메트릭 테셀레이션의 이론적 탐구 2.1. 템플레이트: 베시카 피시스가 파생시킨 도형들 2.2. 파라메트릭 테셀레이션의 여섯 가지 유형 2.2.1. 주기적인 연속무늬: 플라톤, 라브스, 아르키메데스, 데미레귤러 테셀레이션 2.2.2. 비주기적인 연속무늬: 펜로즈 테셀레이션 2.2.3. 모듈 유닛의 주기적/비주기적인 연속무늬: 폴리오미노 테셀레이션 2.3. 파라메트릭 테셀레이션 형성의 원리 3. 파라메트릭 테셀레이션이 적용된 3-D 텍스타일 디자인의 네 가지 유형 3.1. 천에 주름으로 새기는 기하무늬 3.1.1. 오리가미 테셀레이션 3.1.2. 그림자 접기 테셀레이션 3.2. 독립 개체들의 연결에 의한 기하무늬 3.2.1. 모듈 조합에 의한 테셀레이션 3.2.2. 인터로킹에 의한 테셀레이션 4. 결론 참고문헌.

(2) 파라메트릭 테셀레이션의 기하학 원리를 적용한 3-D 텍스타일 디자인 프로세스 3-D Textile Design Processes with Geometric Principles of Parametric Tessellation 윤순란, 이화여자대학교 섬유패션학부 교수 Youn, Soonran(prof.)_Division of Fiber & Fashion, Ewha Womans University. 요약 중심어 3-D 텍스타일 디자인 파라메트릭 테셀레이션 접이 구조 모듈 조합 인터로킹. 파라메트릭 테셀레이션은 대칭, 순열, 관계를 고려한 반복 확장으로 틈새가 벌어지거나 겹치지 않게 연속무늬를 구성하는 것이다. 연구의 목적은 그와 같은 기하학적 원리와 원형적 패턴이 3-D 텍스타일 디자인에 접목된 사 례를 학제 간 연구의 경로를 통해 검토함으로써, 기하학적 질서가 나타내는 아름다움을 유용하게 활용한 선행 연구의 방법론을 확보하는 것이다. 연구의 내용과 방법은 크게 두 부분으로 나뉘어 구성된다. 본문의 전반부는 유클리드기하학 관련문헌을 바탕으로 하는 이론적 탐구로서, 반복주기와 기본영역의 양태에 따라 주기적 연속 무늬인 플라톤, 라브스, 아르키메데스, 데미레귤러, 비주기적 연속무늬인 펜로즈, 모듈 유닛에 의한 폴리오미노 테셀레이션으로 구분하여 각각의 원리를 밝히고, 파라메트릭 패턴의 형성 원리를 고찰한다. 이어서 후반부는 3-D 텍스타일 디자인의 사례를 재료와 패턴 형성의 원리에 따라 입체적인 오리가미, 평면적인 그림자 접기, 슬 릿과 클램프로 연결하는 모듈 조합, 인터로킹 등 네 가지 프로세스로 분류하여 방법론적 특성과 패턴의 기하구 조를 분석한다. 오리가미는 이중 곡면을 활용한 조형에, 그림자 접기는 역광의 투과 효과에, 모듈 조합은 표준 화된 대량생산에, 인터로킹은 개방구조에 적합한 프로세스이다. 파라메트릭 테셀레이션의 원리에 기초한 디자인 은 대상의 비가시적인 실체, 즉 전체 속에서 부분이 어떻게 조직화되는지를 나타내는 관계성을 표현내용의 핵심 으로 취하며, 차이와 반복이 창출하는 리듬으로 질서정연한 구조를 나타낸다. 이는 다종다양한 자연의 세밀한 패턴으로 우리의 시선을 이끌어, 물질세계의 거시적 차원뿐 아니라 미시적 차원으로까지 양 방향으로 확장된 시 야에서 대상을 주의 깊게 관찰하는 훈련을 추동하는 효과가 있다. 추상적이고 기하학적인 설계의 산물인 테셀레 이션이 창출하는 눈에 보이지 않는 세계의 관념적인 아름다움을 새로운 시각에서 바라볼 수 있게 하는 독창적 인 시도에 작은 보탬이 될 기초자료로 쓰이길 기대한다.. Parametric tessellation is a patterning method in repetitive expand measured by symmetry, sequence and relation without placing gaps or overlaps. Through interdisciplinary research path, Keyword this paper examines 3-D textile design applied such principles and prototypical patterns in order to obtain precedent means to utilize the beauty of the geometric order. The content and method 3-D textile design of the study are divided into two sections. As a theoretical exploration based on Euclidean Parametric tessellation geometry books and researches, the first half explains the principles of Platonic, Laves, Archimedean and demiregular as periodic patterning, Penrose as aperiodic and polyomino with Folded structure module units categorized by their repeat cycles and fundamental regions, and clarifies the Modular combining composing principles of parametric tessellation. The second analyzes technical aspects and Interlocking geometric configurations of 4 distinguishing textile processes, 3-D origami, 2-D shadowfold, modular combining with slits and clamps, and interlocking categorized by their materials and patterning principles. Origami is suited for constructing double curvature surfaces while shadowfold for transparency effects of the backlight, modular combining for standardized mass-production, and interlocking for intermediate mesh structures. As the essential content, parametric tessellation represents the invisible reality of the object, ie, the relation in between components and the whole, and embodies orderly structure in rhythms created by repetitions and differences. Parametric tessellation leads us to see elaborate patterns in various forms in nature and encourages us to train our eyes to observe objects carefully in both directions, the macroscopic and microscopic dimensions of the material world. The paper is expected to serve a small benefit as a basic material contributing to the artistic attempts visualizing the conceptual beauty of the unseen world unfolded by geometric designs from a new perspective.. ABSTRACT. 본 연구는 이화여자대학교 교내 학술연구비 지원과제임. 514.

(3) 1. 서론 기하학은 셀 수 없는 수의 추상성을 눈에 보이게 나타내는 가장 순수한 표현 도구이자, 자연계 가 성장하고 운동하는 보편적인 원리를 도형과 패턴을 통해 일깨워주는 언어 수단이다. 물질세 계에서 아무리 미미한 존재라 할지라도 어느 것 하나 빠짐없이 미세한 원자들이 모인 형상으로 이루어져 있고, 그것들이 서로 연결되거나 결합되어 더 거시적인 차원이나 패턴의 일부가 된 다. 모든 것이 하나하나 서로 다르게 존재하면서 동시에 하나의 집합체로 수렴되어 일치하는 것이다. 기하학이 물리적 공간을 논리적으로 추론할 때 우리의 이해를 돕기 위해 점, 선, 면, 체를 이용하여 제공하는 도해는 상상 속에만 존재하는 대상을 어떻게 현실로 소환할지에 대한 단서와 영감을 선사한다. 관념적인 대상을 표현하는 것은 수학자뿐 아니라 시각요소를 도구로 삼는 창작자에게 주어진 하나의 과제이기도 하다. 따라서 기하학이 제공한 영감을 활용할 저마 다의 방안을 연구하기 위한 기초자료가 될 수 있도록, 예술가의 관점에서 수학적 단서의 요점 과 선행 연구의 표본을 연계하여 정리하는 것에 의의를 둔다. 연구의 목적은 첫째, 기하학적 모양들이 반복적으로 서로 맞물려 조화로운 패턴이 되는 파라메트 릭 테셀레이션의 원리를 탐구하는 것 둘째, 그러한 원형적 패턴과 원리가 실용적인 목적으로 섬유 라는 특정 물성과 만나 어떻게 이상적인 기하학의 변이체(變異體)를 만들어내는지, 요컨대 3-D 텍스타일 디자인이 어떻게 일상 공간에 자연계의 패턴을 더하는지 대표적인 프로세스를 알아봄 으로써, 기하학적 질서가 나타내는 아름다움을 구현한 선행 연구의 방법론을 확보하는 것이다. 그와 같은 목적에 상응하도록 연구의 내용과 방법은 크게 두 부분으로 나뉘어 구성된다. 본문 의 전반부는 유클리드기하학의 관련문헌을 바탕으로 하는 이론적 탐구이다. 반복주기와 기본 영역의 양태에 따라 주기적 연속무늬인 플라톤, 라브스, 아르키메데스, 데미레귤러 테셀레이 션, 비주기적 연속무늬인 펜로즈 테셀레이션, 모듈 유닛에 의한 주기적이거나 비주기적 연속무 늬인 폴리오미노 테셀레이션으로 분류하여 각각의 원리와 특성을 밝히고 난 후 파라메트릭 테셀레이션의 형성 원리를 고찰한다. 이어서 후반부는 전반부에서 탐구한 원리와 원형적 패턴 이 적용된 3-D 텍스타일 디자인의 사례를 추출하여 분석한다. 주재료의 네 가지 유형인 직물, 편물, 부직포, 선형재료의 물성 차이에 따라 오리가미, 그림자 접기, 모듈조합, 인터로킹으로 프로세스를 구분하여, 패턴의 형성 원리와 기하구조, 실내 환경미술로서의 조형성과 실용품으 로서의 기능성에 대해 분석한 내용을 서술한다. 그러므로 이 논문은 수학과 예술의 공통분모를 탐구하는 학제간적 연구의 성격을 갖는다. 이상적인 기하학은 수학이라는 관념의 세계에 원형으로 존재하지만, 이상과 현실이 하나의 쌍으로서 서로 불가분의 관계를 맺기에, 물질세계를 통해서 상상의 세계와 공통되는 근원으로 좀 더 가까이 접근할 수 있을 것이다. 현실태(現實態)와 잠재태(潛在態)라는 양극의 상호작용 은 창작을 추동하는 기제이기도 하다. 기하학은 부분과 전체, 이합과 집산, 차이와 반복, 주기, 구조, 관계, 질서, 균형, 리듬과 같은 보편적인 원리들을 상징적으로 드러낸다. 기하학에서 영 감을 받아 어떤 디자인이 섬유를 매개로 3-D 텍스타일에서 구현될 수 있는지 구상하는 데 도움이 될 기초자료로 쓰이길 기대한다. 패턴을 구성하는 요소 간의 무작위적인 관계가 아닌 어떤 일관적이고 논리적인 체계를 구상에 적용한다면, 디자인 변수에 따른 규칙성의 차이와 표현 가능한 경우의 수를 미리 예측할 수 있으므로, 그중에서 가장 효율적인 이미지와 제작 방식을 선택할 수 있을 것이다.. 2. 파라메트릭 테셀레이션의 이론적 탐구 닮은꼴의 작은 부분들이 하나의 집합으로 모여 커다란 전체를 이루는 파라메트릭 테셀레이션 (parametric tessellation)은 전자현미경으로 관찰한 자연계에서 풍부하게 나타난다. 최초의 생명체가 출현한 이후, 수십억 년에 걸쳐 진화해온 생태계가 선택한 가장 효율적인 디자인이라 는 점은 창작자에게 시사하는 바가 크다. 테셀레이션은 선과 꼭지 점(vertex), 두 가지의 핵심 요소로 구성된다. 선과 꼭지 점의 다종다양한 관계맺음으로 분화되는 테셀레이션의 유형을 분류해서 각각의 기하구조를 고찰하기에 앞서, 테셀레이션을 형성하는 가장 작은 단위인 템플 레이트(template)의 기초 원리를 먼저 살펴본다. 기초조형학연구 19권 5호 (통권89호). 515.

(4) 2.1. 템플레이트: 베시카 피시스가 파생시킨 도형들 상대의 중심점을 지나 교차하면서 완벽한 균형을 이루는 두 개의 원 내부에는 <표 1>과 같이 자연에서 발견되는 다각형을 만드는 데 필요한 모든 비율이 포함돼 있다. 베시카 피시스 (vesica piscis)를 작도하고 두 중심점을 연결하면 내부에 선이 생성되고, 두 원이 교차하는 지점을 향해 양 끝점에서 직선을 이어주면 정삼각형이 나타난다. 베시카 피시스의 입구를 통해 최초로 출현한 정삼각형은 직선으로 둘러싸인 최초의 면적이자 기하학의 가장 기본적인 형태 이다. 그래서 뒤를 이을 모든 도형의 기반으로서 변형을 수용하는 성질을 지닌다. 정삼각형은 균형 잡힌 구조로 스스로를 지탱하며 자기 너머에 있는 무언가를 가리킨다. 중심점과 교점(intersection) 사이에 교차하는 수평, 수직선을 기준으로 베시카 피시스 내부에 원을 그리고 나서 원과 선이 만나는 네 지점을 연결하면 두 번째 도형인 정사각형이 탄생한다. 모서리로 선 채 태어난 순간의 팽팽한 긴장감이 한쪽 방향으로 일단 기울고 나면, 평행하는 수직선과 수평선이 서로 단단하게 맞물리게 되는 정사각형은 흔들림 없이 한 자리에 머문다. 그러므로 정사각형의 에너지는 움직임이 아닌 정지이다. 세 번째 도형인 정오각형의 작도법은 다소 복잡하다. 양쪽 중심점과 교점을 지나는 원을 하나 더 그리고 나서, 세 번째 원이 수직선과 교차하는 지점을 원의 교점과 연결시킨 대각선이 원둘 레에 이르도록 연장해서 그린다. 그런 연후에 대각선의 끝점과 중심점을 연결한 것이 정오각형 의 변 세 개이다. 베시카 피시스에 내접하는 정오각형의 작도법은 이보다 더 복잡1)하다. 탄생 과정이 유별나 까다로운 정오각형은 자기 모양을 바꾸어야만 테셀레이션으로 성장한다. 원에 근접하는 도형인 정육각형의 한 변은 정삼각형의 그것과 일치한다. 이로 인해 정육각형은 원과 삼각형의 구조적 우월성을 제공하며, 최소한의 재료와 직선으로 평면을 덮을 수 있기 때문에 효율성이 가장 뛰어난 도형이다. “기하학자의 세 가지 도구인 컴퍼스, 자, 연필을 사용해서 베시카 피시스를 통해 정칠각형은 작도할 수 없다. 자연에서도 일곱 개의 면을 가진 모양이 매우 드물 뿐 아니라 정칠각형은 찾아볼 수 없기 때문에 단지 불완전하게 존재하는 도형이다.”2) “정팔각형은 사각형의 각과 변을 이등분해서 작도할 수 있다. 정삼각형, 정사각형, 정오각형의 제곱으로 늘어나는 다각형 들 중에서 정칠각형, 정구각형, 정십오각형은 빠져있다. 정구각형과 정십오각형은 두 가지 다 각형을 결합해 작도할 수 있으나, 정칠각형은 불가능하다.”3) 따라서 정칠각형은 인간적 범주 를 초월한 관념의 세계를 상징하는 도형으로 쓰일 수 있다. 7.4.3.4 배열이 쌍곡 공간을 나타내 는 푸앵카레 디스크모형에서 전개되므로, 황금 직사각형처럼 무한에 근접하는 도형으로 해석 할 수도 있을 것이다. <표 1> 베시카 피시스가 파생시킨 도형들. 베시카 피시스. 정삼각형의 출현. 정사각형의 출현. 정오각형의 출현. 정육각형의 출현. 베시카 피시스는 자연계의 모든 기하학적 도형과 패턴이 생성되는 원천이다. 그곳에서 최초로 출현한 세 가지 모양인 정삼각형, 정사각형, 정오각형은 그들 내부에 기하 도형의 구조적 패턴 을 만드는 데 필요한 모든 관계와 비율을 담고 있다. 다음 절에서 베시카 피시스가 낳은 도형들 이 모여 만들어내는 패턴의 유형을 반복주기와 기본영역(fundamental region)의 양태에 따라 여섯 종류로 구분하고, 각각의 배후에 작용하는 기하학적 원리와 특성을 논의하겠다. 1) <표 1>에 삽입된 예시와 다르게 베시카 피시스에 내접하는 정오각형을 작도하는 방법은 ‘마이클 슈나이더, 이충호 역, 『자연, 예술, 과학의 수학적 원형』, 경문사, 2002, pp.105-106’ 참조. 2) 마이클 슈나이더, 앞의 책, pp.225-232 3) 마이크 애스큐, 이영기 역, 『기하학 캠프』, 컬처룩, 2012, pp.24-25 516.

(5) 2.2. 파라메트릭 테셀레이션의 여섯 가지 유형 하나의 패턴은 직관적인 아이디어를 통해 심미적인 기준으로 선택된 도형들의 모임이다. 어떤 주어진 대상들을 함께 본다는 것은, 그것들을 하나의 집합으로 묶어주는 상호관련성을 살펴본 다는 뜻이다. 기본영역의 반복으로 하나의 패턴을 구성하는 형식적 체계가 주기적인지 아니면 비주기적인지의 여부에 따라 두 그룹으로 나누고, 모듈 유닛을 기본영역으로 취해 주기적이거 나 비주기적인 반복을 나타내는 유형을 하나 더 덧붙인다. 테셀레이션의 분류는 반복주기에 따라 주기적이거나 비주기적인 것으로 구분하는 것이 보통이고 세 번째도 그와 같은 분류법을 따를 수는 있다. 하지만 세 번째의 경우 반복주기보다는 기본영역의 특성이 더 두드러지고 종류가 많기 때문에 3-D 텍스타일 디자인 프로세스에 활용할 수 있는 잠재적 가능성을 지닌 종류만을 따로 추려 하나의 항목으로 묶은 것이다. 상술한 세 가지 그룹을 <표 2>의 분류 기준에 따라 여섯 가지 하위 항목으로 세분한다. <표 2> 여섯 가지 파라메트릭 테셀레이션의 비교 유형. 테셀레이션 종류. 반복 주기. 플라톤. 주기적. 한 가지 정다각형. 모든 꼭지 점에서 동일한 배열, 수평 이동 가능. 라브스. 주기적. 한 가지 다각형. 모든 꼭지 점에서 동일한 배열, 수평 이동 가능. 아르키메데스. 주기적. 두세 가지의 정다각형. 모든 꼭지 점에서 동일한 배열, 수평 이동 가능. 데미레귤러. 주기적. 두세 가지의 정다각형. 일정한 간격을 두고 몇 가지 순열에 따라 배열, 수평이동 가능. 2. 펜로즈. 비주기적. 둘, 넷 또는 여섯 가지 정다각형. 회전 이동에 의한 배열, 수평/수직 이동 불가. 3. 폴리오미노. 주기적/비주기적. 한두 가지 정다각형의 모듈 유닛. 가장자리를 맞물리는 배열 방식. 1. 기본 영역. 배열 방식. 2.2.1. 주기적인 연속무늬: 플라톤, 라브스, 아르키메데스, 데미레귤러 테셀레이션 주기(週期)는 모든 생물에서 일어나는 자연계의 보편적인 특성이다. 주기적 반복의 핵심은 같으면서도 다른 것이 하나로 모여 공명하고, 규칙적인 리듬으로 순환한다는 것이다. “하나의 패턴 내부에서 반복이 되는 단위를 기본영역이라 부른다. 기본영역의 조건은 첫째, 가능한 크기가 가장 작아야 하고 둘째, 다른 영역과 겹치지 않아야 하고 셋째, 수평이동만으로도 동일 한 타일링을 만들어야 한다. 이와 같은 조건을 충족시키는 기본영역으로 만들어낸 연속무늬를 가리켜 주기적인 테셀레이션(periodic tessellation)이라 칭한다.”4) “평면 공간에서의 테셀레이션5)이 오직 한 가지 다각형(polygon)의 반복으로 이루어진 경우는 라브스 타일링(laves tiling)6) 또는 동질의 변으로 된 타일링(isohedral tiling)이라 불리고, 11가지 유형만 존재한다.”7) 한 점을 중심으로 모서리가 모여 평면을 완전히 채울 수 있는 정다각형은 오직 정삼각형, 정사각형, 정육각형 세 가지뿐이며, 플라톤 타일링(platonic tiling) 또는 레귤러 타일링(regular tiling)이라 불린다. 라브스 타일링은 세 가지 정다각형의 중심점 을 각각의 꼭지 점이나 각 변의 중점과 직선으로 연결해서 도출한 패턴 다섯 가지, 테셀레이션 이 가능하도록 변형한 오각형 패턴 세 가지, 레귤러 타일링 세 가지를 합한 것이다(<표 3> 참조). 자연에서 많이 나타나는 도형임에도 불구하고, 정오각형은 빈틈없이 2차원 평면을 덮 을 수 없다.8). 4) 마이크 애스큐(2012), 앞의 책, p.111 5) 고대 로마시대의 모자이크용으로 쓰였던 정사각형 돌을 가리키는 라틴어 용어인 ‘tessella’에서 유래되었다. 틈이나 포개짐 없이 반 복적으로 대칭 배열하여 전체 패턴을 구성하면서 평면이나 공간을 도형으로 완벽하게 덮는 방법이다. 일명 타일링(tiling)으로도 불 리며, 우리말 ‘쪽매맞춤 무늬’로 번역되기도 한다. 6) 라브스 타일링은 결정학자 프리츠 라브스(Fritz Laves)의 이름을 따 명명된 용어이다. 7) Yu-Sung Chang, 「Mass: Multiresolutional Adaptive Solid Subdivision」, State Univ. of NY, 2003, p.16 8) 한 가지 오각형에 의한 타일링은 독일의 수학자 칼 라인하르트(Karl Reinhardt)에 의해 1918년 5가지가 발견된 이후, 2015년 케이시 만(Casey Mann)과 두 명의 수학자가 공동으로 발표하여 추가한 것까지 근 100여 년간 15가지 발견만 이루어졌다. (David Freeman, ‘Historic Tile Discovery Gives Math World a Big Jolt’, Huffington Post, Aug. 20, 2015 참조) 9) 배열 순서대로 정다각형의 변의 개수를 차례로 적는 표기법이다. 기초조형학연구 19권 5호 (통권89호). 517.

(6) <표 3> 쌍대를 이루는 라브스 타일링과 아르키메데스 타일링의 비교 라브스 타일링(Laves Tiling). 아르키메데스 타일링(a.k.a. Anisohedral Tiling). Regular Tiling, 한 가지 정다각형의 반복 패턴. 플라톤 타일링(Platonic Tiling). 사각 격자. 삼각 격자. 육각 격자. quadrille/4,4,4,49). 한 가지 다각형(monohedral)의 반복 패턴. hextille/6,6,6. deltille/3,3,3,3,3,3. Semi-regular Tiling, 두 가지 정다각형의 반복 패턴. 나) Cairo pentagonal. 다) prismatic. A) turncated. B) snub quadrille/. C) isosnub quadrille/. (4-fold pentille). pentagonal. hextile/3,6,3,6. 3,3,4,3,4. 3,3,3,4,4. 라) triakis triangular. 마) tetrakis square. 바) floret pentagonal. (kisdeltille). (kisquadrille). (6-fold pentille). 가) trihexagonal. D) turncated hexatille/ E) turncated quadrille/ 3,12,12. trihexagonal. F) snub hextille/ 3,3,3,3,6. Semi-regular Tiling, 세 가지 정다각형의 반복 패턴. 사) deltoidal 삼각격자+육각격자. 8,8,4. 아) kisrhombille. G) turncated. H) 4,6,12/. hexadeltille/ 6,4,3,4. rhombihexadeltille. 라브스처럼 한 가지가 아닌, 두 가지 이상의 볼록 정다각형(convex polyhedra)이 모여 모든 꼭지점에서 동일한 배열 순서로 반복되는 타일링은 여덟 가지 패턴만 존재하며, 세 가지 플라 톤 테셀레이션과 합한 열한 가지의 유형을 일컬어 아르키메데스 테셀레이션(archimedean tessellation)10)이라 칭한다(<표 3> 참조). 아르키메데스 타일링은 라브스 타일링의 쌍대 타일링(dual tiling)이기도 하다. 쌍대 타일링은 각 도형의 중심에 점을 찍고 각 변의 중점을 잇는 수직선을 그리면 도출되는 패턴으로, 원래의 패턴과 도출된 패턴이 하나의 쌍을 이루는 것이다. 정사각형의 쌍대는 정사각형 자신이지만, 정삼각형과 정육각형은 서로가 쌍대이다. 라브스 타일링과 아르키메데스 타일링에서 쌍대가 되는 두 가지 패턴을 <표 4>11)와 같이 서로의 중심점에 맞춰 이중으로 겹쳐 테셀레이션을 만들 경우, 이슬람 문화권의 모자이크 문양 처럼 매우 복잡한 기하학적 패턴의 전개가 가능하다. 다각형의 중심과 각 변의 중점이 정확히 10) 1987년 수학자 브랑코 그린바움(Branko Grunbaum)이 라브스의 쌍대 타일링 8가지를 아르키메데스 다면체(solid polyhedra) 에 대응하는 패턴임을 근거로 아르키메데스 타일링이라 명명하였다. (https://en.wikipedia.org/wiki/List_of_convex_uniform_tilings) 11) 도해 출처 D’souza, Nicola Laila, 「Natural Forms Through Geometry And Structure: Design of the Parachute Pavilion」, University of Cincinnati, 2005, p.33 518.

(7) 일치하는 쌍대 타일링 끼리의 중첩만이 질서정연한 패턴을 생성한다. 쌍대가 아니라 무작위에 의한 두 가지 타일링의 중첩은 불규칙적인 패턴을 낳는다. <표 3, 4>와 같이 삼각형, 사각형, 육각형의 주기적인 배열로 모두 27가지의 테셀레이션이 도출 가능하다. <표 4> 쌍대 타일링의 겹치기 예시 A) + 가). B) + 나). C) + 다). D) + 라). E) + 마). F) + 바). G) + 사). H) + 아). 데미레귤러(demiregular) 테셀레이션은 두세 가지의 정다각형을 조합한 패턴으로, 아르키메 데스 테셀레이션처럼 모든 꼭지 점에서 동일한 배열로 전개되는 것이 아니라, 일정한 간격을 두고 몇 가지의 순열을 반복해서 패턴을 만들어낸다(<표 5> 참조). 수학자에 따라 데미레귤 러 테셀레이션의 가능태 수가 다르게 발표되었기에, 그 중에서 최대 가짓수를 발표한 그룬바움 과 셰퍼드(Grünbaum and Shephard, 1986)의 20가지 패턴12)을 표에 수록함을 밝혀둔다. <표 5> 20가지의 데미레귤러 테셀레이션(demiregular tessellation). 2.2.2. 비주기적인 연속무늬: 펜로즈 테셀레이션 비주기적(aperiodic) 테셀레이션은 인접하는 도형의 모서리가 완벽하게 맞물리지만, 원래의 패턴과 일치하도록 수평이나 수직으로 옮길 수 없는 배열을 일컫는다. ‘비주기적’이라 함은 반복이 불규칙적인 간격으로 일어난다는 뜻이다. 따라서 주기적인 연속무늬에 비해 훨씬 더 복잡한 양태의 패턴을 구성할 수 있다. 펜로즈 타일링(penrose tiling)이 가장 널리 알려진 패턴이며(<표 6> 참조), 그밖에도 다음 절에서 다룰 여러 가지 폴리오미노(polyomino) 타일 12) Grünbaum, B. and Shephard, G. C., 『Tilings and Patterns』, W. H. Freeman, 1986, PP.65-67 기초조형학연구 19권 5호 (통권89호). 519.

(8) 링이 비주기적 연속무늬를 나타낸다. 펜로즈 타일링(penrose tiling)은 영국의 이론물리학자인 로저 펜로즈(Roger Penrose, 1931-)가 패턴을 규칙적으로 반복하지 않으면서도 틈새 없이 연결해서 테셀레이션을 만들 수 있다는 것을 깨달아 ‘준대칭(quasi-symmetry)’ 타일링을 연구한 결과물을 칭하는 용어이 다. “초기 연구는 여섯 가지와 네 가지 서로 다른 도형으로 이루어졌고, 이어서 두 가지 도형의 회전대칭 테셀레이션을 만들어냈다. 내각이 72°와 108°, 36°과 144°인 펜로즈 사다리꼴 (penrose rhombs)로 알려진 세트와 연(kite)과 다트(dart) 세트이다. 연과 다트는 내각이 108°와 72°인 마름모꼴 도형의 중심선을 기준으로 양쪽에 황금삼각형이 생성될 수 있는 황금 비율로 이분해서 만든다. <표 6> 펜로즈 타일링의 종류와 모듈 도해. 네 가지 도형13). 두 가지 펜로즈 사다리꼴14). 연 5개(태양), 다트 5개(별). 연과 다트: 태양15). 연과 다트: 별. 연과 다트의 조합: 5가지 유형. 펜로즈 타일링에서 별과 태양, 단 두 가지 패턴만이 5겹의 회전 대칭(fivefold symmetry)을 결합원리로 취해 완벽한 오각 대칭을 형성하며 무한 확장한다. 비주기적인 연속무늬인 펜로즈 타일링은 모두 <표 6> 하단의 7가지 조합을 기본 단위로 취하며 하나의 꼭지점에서 출발하여 방사형으로 패턴이 뻗어나간다. 간헐적으로 틈새가 생성된다 하더라도 펜로즈 사다리꼴, 연 또는 다트로 채워 빈틈을 없앨 수 있다. 그러한 원리를 통해 도출할 수 있는 패턴은 무궁무진하 다.”16) 자연계에도 5겹 대칭 패턴의 준결정(quasi-crystal)이 광물의 분자구조에 풍부하게 존재한다. 비주기적 연속무늬는 펜로즈 타일링보다 500-800년 앞서 이슬람 문화권에서 기하 학을 이용해 우주의 원형적 패턴들을 기리(Girih)17)와 준결정 모자이크 타일링으로 다채롭게 표현해왔다. 2.2.3. 모듈 유닛의 주기적/비주기적인 연속무늬: 폴리오미노 테셀레이션 폴리오미노(polyomino)18) 테셀레이션은 여러 개의 다각형을 이어 붙여 만든 타일을 공통의 유닛(unit)으로 취해, 가장자리를 맞물려 배열함으로써 주기적이거나 비주기적인 패턴을 만드 는 것이다(<표 7> 참조). 펜토미노(pentomino)는 다섯 개의 정사각형을 이어 붙여 만들며, 12가지의 모듈이 존재한다. 모듈 하나의 조합은 주기적인 연속무늬를, 다수의 조합은 비주기 적인 연속무늬를 만들어낸다. 여러 가지의 모듈을 조합할 때에도 일정한 개수를 모은 유닛이 13) 도해 출처 https://tex.stackexchange.com/questions/61437/penrose-tiling-in-tikz 14) 도해 출처 https://www.iconspng.com/image/43146/penrose-tiles 15) ‘별’과 ‘태양’, 그리고 나머지 도해 출처 http://intendo.net/penrose/info_3.html 16) Eric Hwang, ‘Penrose Tilings and Quasicrystals’, http://intendo.net/penrose/info_2.html 17) 기리(girih) 타일링은 이슬람 건축에서 5 가지 타일을 한 세트로 하여 ‘기리’라 불리는 띠 형식의 타일과 혼합해서 적용한 이슬람 기하학 패턴을 칭하는 용어이다. (자세한 내용은 https://en.wikipedia.org/wiki/Girih_tiles 참조) 18) 폴리오미노 테셀레이션은 테트리스를 포함해서 매우 다양한 양식과 난이도를 지닌 기하학 퍼즐로 대중화되었다. 520.

(9) 주기적인 연속무늬를 만들 수 있다. 조셉 마이어스(Joseph Myers)가 발견한 폴리헥스 (polyhex)는 같은 크기의 육각형 여러 개로 만든 타일이다. 육각형의 개수와 위치는 다양하게 설계할 수 있다. 존 콘웨이(John Conway)가 만든 바람개비(pinwheel)는 직각삼각형의 개수 가 5배수로 늘어나 같은 비율의 더 큰 직각삼각형을 만들며 확장하는 테셀레이션이다. 패턴을 만든 두 수학자의 이름을 딴 아만 빈커(ammann-beenker)는 삼각형과 마름모의 조합으로, 인접한 삼각형 한 쌍을 하나의 사각형으로 취급하고 여러 가지 색을 패턴에 도색할 경우 입체 효과가 생성된다. <표 7> 폴리오미노 테셀레이션의 대표적인 종류. pentomino19). polyhex20). pinwheel21). ammann-beenker. 모듈 유닛. 패턴 예시. 2.3. 파라메트릭 테셀레이션 형성의 원리 파라메트릭 테셀레이션 형성의 원리는 대칭, 순열, 비중, 관계를 고려한 반복을 통해 틈새가 벌어지거나 겹치지 않게 기하학적 무늬를 구성하는 것이다. 대칭은 균형을, 순열은 연속성을, 비중은 차이를, 관계는 조화를 창출한다. 대칭의 종류는 반사대칭(reflective symmetry)과 회전대칭(rotational symmetry), 확대나 축소에 따른 비례대칭(scaling symmetry), 이동대칭 (translational symmetry) 등이다. 그 중에서 이동대칭이 연속성과 상등성을 동반하는 가장 간결한 배치 방식이기에 테셀레이션에서 많이 적용된다. 틈새나 겹침 없이 평면을 뒤덮으려면, 정삼각형은 내각의 크기가 60°이므로 한 꼭지 점에 여섯 개가 모여야 360°가 되고, 90°의 정사각형은 네 개, 120°의 정육각형은 세 개가 모여 평면이 된다. 그러나 정오각형은 내각의 크기가 108°이므로, 세 개가 모일 경우 324°여서 36°가 모자 라 틈새가 벌어지고 네 개는 432°여서 겹침이 발생한다. 평면에서 하나의 정다각형으로 테셀 레이션을 이루려면 한 꼭지 점에서 만나는 내각의 합이 반드시 360°가 되어야 한다. 따라서 정육각형보다 큰 다각형 단독으로는 테셀레이션을 만들 수 없다. 평면에서 도형을 움직일 수 있는 방법은 네 가지이다. 등거리 사상(isometry) 또는 경직 운동 (rigid motion)이라 부르는 기본 이동으로서 수평/수직, 회전, 반사, 미끄럼 반사(glide reflection)이다. 이들에 의해서는 도형의 모서리 길이나 각의 크기가 그대로 유지되기 때문에 대칭성을 갖는다. 수평과 회전 이동은 직접 대칭(direct symmetry), 반사와 미끄럼 반사는 간접 대칭(indirect symmetry)이다. 회전 이동에서 테셀레이션이 가능한 회전수는 2, 3, 4, 6(180°, 120°, 90°, 60°)의 네 가지 밖에 없다. 대칭축이 없는 미끄럼 반사대칭, 확대나 축소에 따른 비례대칭(scaling symmetry)은 테셀레이션에서 제외된다.. 19) 도해 출처 http://puzzleparasite.blogspot.com/2016/, http://tuans.info/flash/m/metal-ring-puzzle-solutions.awp 20) 도해 출처 https://www.sciencedirect.com/science/article/pii/S0166218X08002357 21) 바람개비, 아만 빈커의 도해 출처 http://www.mdpi.com/2073-8994/4/4/566 기초조형학연구 19권 5호 (통권89호). 521.

(10) 3. 파라메트릭 테셀레이션이 적용된 3-D 텍스타일 다자인 사례 사례를 수집하고 분석한 결과, 파라메트릭 테셀레이션이 적용된 3-D 텍스타일 디자인은 모듈 을 다시 해체할 수 있는지의 여부에 따라 크게 두 가지 유형으로 구분된다. 모듈이 독립된 개체가 아니어서 해체가 불가능한 유형에는 한 장의 천을 접어 기하무늬를 나타내는 입체적인 오리가미와 평면적인 그림자 접기가 하위 항목으로 속한다. 독립된 모듈의 집합에 의한 기하무 늬로서 해체와 재조립이 가능한 유형은 슬릿이나 클램프로 연결하는 모듈 조합 방식과 인터로 킹과 플레이팅 기법을 응용한 방식이 하위 항목이다. 상술한 바와 같이 네 가지 유형을 선정하게 된 경위는 첫째, 3차원으로 구현되는 텍스타일 디자인에 집중하면서 둘째, 텍스타일 디자인의 네 가지 주재료인 선과 면(실, 직물, 편물, 부직 포)을 포괄할만한 다양성을 확보하고 셋째, 재료를 2차 가공함으로써 대량생산이 가능한 디자 인 프로세스를 찾는 것이다. 그렇게 함으로써 파라메트릭 테셀레이션의 기하학적 질서와 아름 다움을 형상화 하는 프로세스에 재료의 차원성이 개입하는 차이를 비교할 수 있도록 하나의 기준을 세우기 위함이다. 오리가미와 그림자 접기는 직물을, 모듈 조합은 부직포를, 인터로킹 은 선형 재료를 활용하는 대표적인 방식이다. 편물의 경우 고유의 탄력성을 활용한 곡면 형상 으로 위상기하학에 준하는 패턴을 조형예술에서 전개한 사례가 있는 반면, 테셀레이션 원리가 적용된 디자인 사례를 수집하지 못하여 유형 분류에서 제외했음을 밝혀둔다. 편물조직에 의한 기하학적 이미지의 구현은 가능하나, 2차 가공 프로세스에 의한 완성품이 아니므로 표본 추출 대상에 속하지 않기 때문이다. 상술한 네 가지의 대표적인 프로세스를 비교하여 표로 정리하면 아래와 같다. <표 8> 파라메트릭 테셀레이션의 기하학 원리가 적용된 3-D 텍스타일 디자인의 대표적인 프로세스 비교 오리가미 테셀레이션. 그림자 접기 테셀레이션. 모듈 조합 테셀레이션. 인터로킹 테셀레이션. 주재료. 열가소성 직물. 반투명한 직물. 부직포, 타이벡, 가죽. 선형 재료. 2차 가공법. 접기, 열 가공. 스모킹(smocking), 다림질. 커팅, 맞물림(interlocking). 맞물림, 엮기(plaiting). 반복주기. 주기적. 주기적, 비주기적. 주기적. 주기적. 특성. 입체감과 탄성이 우수한 구조이며 중첩 횟수에 따라 빛의 투과율이 무한 확장이 가능하여 파라메트릭 틈새의 개입으로 패턴의 외곽선만 곡면 조형에 대입 가능한 형식 조정되어 패턴이 구성되는 형식 시스템에 가장 적합한 형식 부각되는 형식. 3.1. 천에 주름으로 새기는 기하무늬 3.1.1. 오리가미 테셀레이션 오리가미(Origami)는 자르거나 이어붙이기 없이 한 장의 종이를 여러 가지 기하학적 형태로 접는 공예기법을 지칭하는 용어이다. 오리가미에 의한 테셀레이션은 2차원에서 3차원 다면체 (polyhedron)로의 전이가 발생하고, 표면에 틈새가 벌어지면 구조적으로 유연해져서 이중 곡 면(double-curved surface)의 생성이 가능하다. <표 9>는 타치 토모히로(Tachi Tomohiro) 가 론 레쉬(Ron Resch)의 별 모양 접기 패턴을 활용해 만든 정삼각형의 3차원 그물망 테셀레 이션이다. 앞면에는 삼각 격자구조나 삼각형에 의한 육각 격자구조가 생성되는 반면, 뒷면에는 두세 가지의 도형이 맞물린 패턴이 형성된다. 이와 같은 오리가미 패턴을 천에 새길 경우 프랑 스 텍스타일 디자이너 로그넌(Gerard Lognon)의 방법처럼, 열가소성 섬유를 두 겹의 카드보 드 포장지로 만든 오리가미 몰드 사이에 샌드위치로 넣어 압착 고정한 후 섬유조직의 밀도와 두께에 맞는 적정한 온도와 시간에 맞춰 열처리한다. 이차적으로 발생하는 곡면 형상의 지속력을 위해 종이나 천보다 경도가 높은 재료를 사용할 수도 있다. 두께가 얇은 스테인리스 철판처럼 단단한 재료는 워터젯 절삭 기계(water jet cutting machine)로 경계선의 일부만 남기고 절개하여 접거나, 고밀도의 철망에 패턴대로 도 형을 약간의 간격을 두고 부착한 후 접는다. 경질의 플라스틱은 연질의 플라스틱이나 타이벡 (tyvek)에 간격을 벌려 도형을 부착하고 틈새를 접는다. 접이구조 고유의 유연성으로 인해 적용 가능한 형상이나 디자인 품목에는 거의 제한이 없다. 다만, 몰딩(molding)으로 입체 패턴 522.

(11) 을 한꺼번에 성형하는 방식이기 때문에 가장자리에서 기하학적 특성이 다소 약화되고 여러 장의 유닛을 연결할 경우 완벽하게 맞물리지 않는 한계가 있다. <표 9> 타치 토모히로의 정삼각형 3차원 그물망 테셀레이션. star. turncated star. curly star. twist fold. 접기 패턴. 표면 (앞). 표면 (뒤). 3.1.2. 그림자 접기 테셀레이션 그림자 접기(shadowfold) 기법은 오리가미 종이 접기와 스모킹(smocking) 바느질 기법이 혼 합된 것이다. 오리가미의 세 가지 핵심 요소인 격자(grids), 주름(pleats), 비틀기(twists)에 스모킹의 격자, 주름, 바느질이 포개지고, 거기에 열처리(heat-press)를 더한 다섯 가지 공정 이 그림자 접기에 관여한다. 종래의 전형적인 스모킹 기법은 인위적으로 천에 탄성을 조성하기 위한 실용적인 목적에서 시원하여, 밋밋한 천에 입체감과 장식성을 부여할 수 있는 효과적인 방법으로 대중화되었다. 기하학적 패턴의 꼭지 점마다 일련의 순서에 의해 바늘땀을 넣은 후 실을 잡아당겨 모서리를 하나로 묶으면 앞면은 볼록하고 뒷면은 오목한 입체감이 생성되면서 장식적인 패턴을 나타내게 된다. 그림자 접기 기법은 다리미질로 표면에 압력을 가하면서 열처 리하는 공정을 마지막에 더함으로써 입체감과 곡면효과를 제거하는 대신, <그림 1>과 같이 직선의 특성이 압도적으로 강화된 기하학적 패턴을 생성한다. 테셀레이션을 이루는 각각의 도형을 임의의 간격으로 흩어지게 종이 위에 그리고 나서 꼭지 점을 천에 옮긴 후, 각 도형의 모서리를 바늘땀으로 모아 묶고 비틀어서 다림질한다. 접혀서 압착된 부분의 겹 수에 따라 빛의 투과율이 차이를 보이면서 패턴을 드러내는 원리이므로 두께 가 얇고 반투명한 천이 상대적으로 더욱 명확한 시각효과를 전달하게 된다. 조명 갓이나 창 가리개와 같이 역광을 위치시킬 수 있는 품목에서 활용도가 높은 프로세스이다. 일정한 시간이 지나면 공기 중의 수분을 흡수하여 선명한 접힘 효과가 저하되므로 주기적으로 다림질로 열처 리를 해야 한다. 실크나 폴리에스터 섬유와 같은 열가공 섬유를 활용해서 시보리 주름(shibori pleats) 가공을 더할 경우, 주름이 반영구적으로 정착되어 그와 같은 주기적 후처리 관리는 생략될 수 있다. 3.2. 독립된 개체들의 연결에 의한 기하무늬 3.2.1. 모듈 조합에 의한 테셀레이션 모듈(module)22)은 기하학적, 구조적 패턴의 양태를 결정하는 핵심 요소이다. 모듈은 하나의 22) 모듈의 어원은 계수를 뜻하는 라틴어 modulus에서 유래했다. 기초가 되는 치수나 기준이 되는 척도를 가리키는 개념으로 건축 분야에서 최초로 사용하기 시작하여, 좀 더 복잡한 구조에 사용될 수 있는 표준화된 부분이나 독립된 유닛을 지칭하는 용어로 정 기초조형학연구 19권 5호 (통권89호). 523.

(12) <그림 1> 크리스 팔머(Chris Palmer)의 샤도우폴드 디자인의 네 가지 예시. 전체가 각 요소로 분해될 수 있는 가장 작은 단위를 일컫는다. 평균적 균일성을 갖는 모듈로 만든 테셀레이션은 표준화되어 대량생산이 가능하다. 하나의 단순한 형태에 일련의 간단한 규칙을 반복 적용하여 얻은 최종 형태는 배열과 조립 방식에 따라 간결한 것에서부터 복잡한 것까지 구조적 다양성을 나타낼 수 있고, 주어진 공간에 따라 표면적을 조정할 수 있다. 벽지 대용인 월 패널(wall panel)이나 가벽(space divider)처럼 표면적이 넓은 곳에 3차원적 테셀 레이션을 적용하면, 밋밋한 건축 내장재에 풍부한 질감과 입체감을 부여하는 동시에 실내 환경 미술의 역할을 충족시키는 장점이 있다. 모듈러 디자인의 매개변수(parameter)는 모듈의 형태와 가짓수, 슬릿(slit)과 클램프(clamp) 의 모양과 위치, 유닛(unit)을 형성하는 모듈의 수와 배열과 조립 방식, 모듈이 단색조인지 다색조인지의 여부 등, 하나의 집합 내에 존재하는 관계의 양상이다. 매개변수에서 차이를 보이는 다섯 가지 사례를 제시하고 원리와 특성을 개략적으로 살펴보겠다. 스웨덴 디자이너 미아 컬린(Mia Cullin)이 디자인한 <그림 2>는 동일한 육각별 모양의 모듈 을 타이벡(tyvek)에 레이저 커팅하여 만든 후, 육각격자 형식으로 조립한 것이다. 육각별의 오목 꼭지 점에 내접하는 육각형을 따라 12개의 슬릿을 양쪽에 넣으니, 볼록 꼭지 점이 포함된 삼각뿔이 화살촉 형태가 된다. 인접하는 모듈의 슬릿을 끼워 조립하고 나면 중첩에 의한 투과 율의 차이를 통해 세 개의 마름모꼴이 생성되면서 라브스의 삼중육각(trihexagonal) 패턴을 나타낸다(<표 3> 참조). 불규칙적인 간격으로 모듈 하나씩을 생략한 부분에는 눈꽃 결정 문 양이 음각으로 자리하면서 테두리 선과 공명한다. 런던에서 활동하는 핀란드 태생의 앤 키로 퀸(Anne Kyyro Quinn)이 디자인한 <그림 3>은 출입문을 포함한 벽 전면을 타일링 형식으로 뒤덮은 3-D 텍스타일 벽지이다. 모듈은 일정한 폭의 띠를 둥글게 구부려 양 끝을 원통으로 봉합한 후 사등분한 지점을 모아 중심점이 되도록 꿰매고 나서, 여덟 등분 된 변의 중점을 두 개씩 테두리에서 꿰맨 사각 형태이다. 예시와 다르 게 중심점을 기준으로 네 쌍의 루프가 돌출되는 후면을 활용한 디자인도 있다. 모듈 조합에 의한 연속무늬는 주기적인 사각격자 구조이며, 사각형 내부에서 여덟 방향으로 뻗은 선에 의해 라브스 타일링 ‘아’(krishombille)의 그림자가 덧씌워진다(<표 3> 참조). 모듈 하나하나 수작 업으로 제작해야 하므로 시간 효율성이 다소 떨어진다고 하겠으나, 슬릿과 클램프로 연결하는 조합 방식에 비해 모듈의 형태가 그대로 남아 결과물이 훨씬 간결하게 완성된다. 벽 전면을 덮은 3차원적인 모듈은 소리를 흡수하는 방음효과를 수반한다.. <그림 2> 미아 컬린, Snowflake Screen, 2006. <그림 3> 앤 키로 퀸, Dani Auditorium, 2015. 착했다. (https://en.oxforddictionaries.com/definition/module 참조) 524.

(13) 영국 디자이너 벤저민 허버트(Benjamin Hubert)의 <그림 4>는 최소한의 도형인 삼각형으로 이루어진 격자 구조를 나타내는 스크린이다. 최소한의 둘레 길이로 최대의 면적을 차지하는 원과 정반대로, 삼각형은 최대한의 둘레로 최소한의 면적을 차지한다. 모듈 삼각형의 중심에서 세 방향으로 뻗은 골격은 인접한 삼각형을 서로 연결하여 육각 패턴을 형성한다. 삼각형의 모든 꼭지 점은 육각형의 중심이 되고, 삼각형의 모든 중심은 골격이 그리는 육각형의 꼭지 점이 되어 주변으로 메아리친다. 또한 육각형의 중심마다 ‘음’의 공간인 구멍이 빛의 통로가 되어 삼각형 격자 틈새에 숨은 마름모와 육각형을 발견하도록 유도한다. “육각형 골격은 열가 소성 플라스틱(thermoplastic)이고, 삼각형의 세 모서리에서 자석으로 부착되는 삼각 타일은 삼베를 재활용하여 압착하면서 몰드로 성형한 부직포이다.”23) 슬로바키아의 알트(Allt) 스튜디오가 디자인한 <그림 5>는 네 개의 마름모꼴 다각형을 이어 붙인 타일로 전개하는 폴리오미노 테셀레이션으로 주기적인 반복 패턴을 형성한다. 미끄럼 방지용 고무패드를 포함해서 세 겹을 겹쳐 만든 단단한 타일이 톱니 형식으로 맞물리는 원리이 므로 조립이 간단하고, 부수적인 연결 장치가 없음에도 불구하고 쉽사리 해체되지 않는다. 타일의 수와 배열 방식에 따라 다양한 최종형태로 변형이 가능하고 이동이 자유로운 장점이 있지만, 바닥 전면을 덮어 시공하려면 가장자리에 불규칙적인 틈새가 발생하므로 여분을 잘라 내야 한다.. <그림 4> 벤자민 허버트, Adapt and Thrive, 2015. <그림 5> 알트 스튜디오, Cityscape tile. 2차원에서 두 개의 형태가 상호 침투하여 발생하는 면이 나머지 부분과 균형을 이루는 것과 반대로, 매리엔 윌리엄스(Mary-Ann Williams)의 디자인은 클램프와 슬릿이 맞물려 추가로 생성되는 도형이 나머지 면을 뒤덮거나 음각으로 후퇴하도록 하여 입체적인 패턴을 형성한다. <그림 6>의 첫 번째 디자인은 슬릿과 클램프로 구분되어 서로 다른 두 가지의 원 모양 모듈을 필요로 한다. 가죽으로 만든 모듈의 원 둘레에 내접하는 삼각형에 클램프와 슬릿이 위치하는 데, 모듈 하나는 클램프만, 나머지는 슬릿만 세 개씩 넣은 한 쌍이여야 연속적인 조립이 가능하 다. 조립 후 육각격자 구조를 생성한다. 두 번째 디자인은 정사각형 모듈에 내접하는 정사각형 에서 대각선으로 마주보는 변에 슬릿과 클램프를 평행하게 넣은 한 가지 모듈을 사용한다. 조립 후 삼각격자 구조를 생성한다. 모듈의 네 모서리와 중심부에 여덟 개의 구멍이 뚫려 있어 중첩에 의한 깊이감이 패턴에 추가됨을 알 수 있다. 세 번째 디자인은 첫 번째와 동일한 형태의 모듈을 사용하지만 조립 방식에 차이를 두어 입체 효과를 창출한다. 모듈 여섯 개를 연결하여 유닛을 완성하는 첫 번째 패턴과 달리, 네 개만으로 유닛을 만들며 조립 시에 사각 테두리를 향하는 슬릿과 클램프만 나머지 조인트와 반대편으로 연결하는 원리이다. 삼각을 이루는 슬릿과 클램프는 첫 번째 디자인처럼 여섯 개가 회전 대칭 을 이루어야 평면이 된다. 네 개만으로 유닛이 만들어지는 데다 사각 테두리 쪽만 전면을 향하 고 나머지는 후면을 향하도록 조립되어 자연스레 입체효과가 생성되면서 사각격자 구조를 나 타낸다. 네 번째 디자인은 세 번째와 동일한 원리이고, 모듈 형태만 원이 아닌 오각형이다. 정오각형은 평면 테셀레이션이 불가능한 다각형인 데다가 슬릿과 클램프가 세 번째 디자인처 럼 내접하는 삼각 구조에 위치하고, 조립을 앞과 뒤 양 방향에서 하며 모듈 네 개만으로 유닛을 완성하기에 입체효과가 생성되는 것이다. <그림 3,4,6>과 같이 모듈 조합에 의한 3-D 텍스 23) https://www.dezeen.com/2015/12/04/layer-benjamin-hubert-large-hemp-tiles-hexagonal-scalepartition-system-woven-image/ 기초조형학연구 19권 5호 (통권89호). 525.

(14) 타일 디자인이 넓은 표면적으로 인테리어에 적용될 경우 풍부한 질감과 장식성뿐 아니라 탁월 한 방음효과를 제공하는 장점이 있다.. <그림 6> 매리엔 윌리암스 인테리어용 텍스타일 디자인의 네 가지 예시. 3.2.2.인터로킹에 의한 테셀레이션 9세기부터 전해 내려溫 이슬람 문화의 기하 문양24)은 정교하게 계산된 복잡성(complexity) 이 선사하는 아름다움의 표본으로 손꼽힌다. 인터로킹(interlocking) 기법으로 틈새를 벌려 엮을 경우, 띠는 기리(girih)를 대신하고 여러 가지 모양의 틈새는 타일을 대신하면서 이슬람 기하 문양의 복잡성을 현대적인 감각으로 재현할 수 있다. 네덜란드의 디자이너 마르셀 반더스 (Marcel Wanders)가 루이 비통을 위해 디자인한 <그림 7>의 모듈은 육각형, 내접하는 다이 아몬드 형, 중심에서 교차하는 직선 세 개가 모여 만든 기하구조를 나타낸다. 모듈 조합은 두 겹으로 박음질한 육각형의 겹 사이로 나머지 띠가 통과하고, 세 직선이 앞과 뒤에서 샌드위 치로 감싸며 여섯 끝점에서 리벳(rivet)으로 고정하는 원리이다. 따라서 엄밀한 의미에서 인터 로킹 기법이 단독으로 활용된 사례는 아니지만, 유사한 구조를 인터로킹으로 제작하는 것은 얼마든지 가능하다. 상대적으로 간결한 패턴이기는 하지만 미아 컬린의 <그림 8>이 그러한 경우이며, 도넛 형상의 모듈이 직선의 교차점을 고정하는 리벳 구실을 대신하고 있다.. <그림 7> 마르셀 반더스, Diamond Screen, 2017. <그림 8> 미아 컬린, Fay for Adea, 2017. 4. 결론 기하학은 관찰을 통해 물리적 세계를 구성하는 질서와 구성요소 간의 관계를 규명하기 위해 모양, 크기, 위치, 공간을 연구하는 객관적인 체계이다. 그러나 수학적 엄밀성으로 완성된 공간 은 실제 세계의 표상이라기보다 베시카 피시스의 입구 너머에, 즉 가시성의 저편인 관념의 세계에 존재하므로 평면적인 도해만으로 핵심을 파악하기가 쉽지 않다. 기하학에 기초한 시각 예술의 산물은 그와 같은 가능성의 세계를 부분적으로 드러내는 형상적 환원이다. 파라메트릭 테셀레이션이 대표적인 형식 중 하나로 손꼽힌다. 몇 가지의 기본 도형으로부터 만들어낸 기하 학적 패턴의 영역을 확장시켜가는 방식인 파라메트릭 시스템은 본문에서 살펴본 바와 같이 3-D 텍스타일 디자인 분야에서 수학과 예술과 실내 환경 디자인을 융합하는 매개체로서 활발 하게 연구가 진행되고 있음을 알 수 있다. 파라메트릭 테셀레이션의 기하학 원리를 적용한 3-D 텍스타일 디자인의 사례 분석으로 도출한 결론은 다음과 같다. 첫째, 섬유의 물성에서 비롯되는 특성이 입체적인 테셀레이션의 구성 원리에 더해지며 발생되 는 변수는 섬유 고유의 유연성으로 인해 구조적인 안정성이 약화되는 반면, 표면에 이중 곡면 24) 제이 보너(Jay Bonner), 에릭 브로그(Eric Broug), 마크 펠레티어(Mark Pelletier), 제임스 가이어(James Gyre) 등이 이슬람 기 하 문양 패턴을 연구하는 전문가이다. 그들의 저술서나 인터넷으로 풍부한 자료를 얻을 수 있다. 526.

(15) 이 생성되어 유동적인 형상의 구현 가능성이 강화된다는 점이다. 이는 오리가미 테셀레이션에 서 두드러지게 드러나는 변수이며, 직물이 결여한 탄성을 접힘 구조의 주름으로 보완한 데서 비롯된다. 절단면에 올이 쉽게 풀리는 편물을 대체할 만한 프로세스이다. 위상기하학의 곡면 형상을 직물로 구축할 수 있는 가능성을 열어주었기 때문에 건축적인 규모의 파사드(facade) 나 캐노피(canopy), 가벽(space divider) 등과 같은 인테리어 구조물에 파라메트릭 테셀레이 션을 적용할 수 있을 것이다. 다만, 프로세스 고유의 물리적인 특성으로 인해 한 번에 가공할 수 있는 면적에 제한이 있으므로 여러 조각으로 표면적을 확장할 경우 이음새를 처리할 방법을 고안해야만 한다. 이는 그림자 접기 방식에도 적용되는 제약이다. 둘째, 3-D 텍스타일 디자인에서 모듈의 레이아웃을 표준화하고 대칭에 기초한 파라메트릭 시스템을 적용한다면, 주기적인 간격으로 패턴을 반복하는 데 효율적일뿐 아니라, 대량생산 시 프로세스가 간결하고 경제적인 장점이 있다. 파라메트릭 시스템은 질서정연하고 예측 가능 하지만, 모듈의 조합을 사용자에게 일임함으로써 개별적 기호를 충족시키는 비율이 높아지고 표준 모델로 제시된 것 외에도 최종 형태의 가짓수가 획기적으로 늘어나게 된다. 이는 결합과 분리가 가능한 모듈의 물리적 특성이 수반하는 유연성에서 기인한다. 자연계에 내재하는 기하 학적 질서도 주어진 환경에 맞춰 조합과 순열을 조정하여 다양한 결과물을 도출하는 유연성을 지니므로, 모듈조합에 의한 테셀레이션25)이 자연법칙에 가장 근접하는 형식이라고 하겠다. 모듈조합에 의한 3-D 텍스타일 디자인은 절개선에서 올이 풀리지 않고 경도(hardness)와 두께가 다양한 부직포(industrial felt)가 적용 재료로 선호되고 있으며, 가죽이나 폴리(poly) 계열의 인공합성물 활용이 그 뒤를 따르는 추세이다. 가벽, 바닥깔개, 창 가리개, 벽지 대용 패널 뿐 아니라 조명이나 의자와 같은 인테리어 품목에 이르기까지 폭넓은 쓰임새로 공간 디자 인에 적용되어, 보온이나 방음과 같은 기능성과 실내 환경미술로서의 장식성을 동시에 충족시 킨다. 셋째, 파라메트릭 테셀레이션의 핵심인 모듈화와 반복에 관한 연구는 다종다양한 자연의 세밀 한 패턴으로 우리의 시선을 이끌어, 물질세계의 거시적 차원뿐 아니라 미시적 차원으로까지 양 방향으로 확장된 시야에서 대상을 주의 깊게 관찰하는 훈련을 추동한다. 모듈화는 구조적 차원에서 측정 가능한 최소 단위로 대상을 분할하는 것이고, 반복은 선과 면적과 부피가 만들 어내는 관계성을 파악하는 것이다. 유기체의 세포 구조처럼 전자현미경을 통해 대면하게 되는 미시세계(microscope world)는 육안으로 지각될 수 없는 아주 작은 대상들의 성질을 드러내 며, 부분이 모여 만드는 하나의 집합체를 한눈에 조망할 수 있게 한다. 기하학이 제시한 이상적 인 집합체, 즉 테셀레이션을 수십억 년 동안 진화해온 자연계가 어떻게 예증하는지 확인하여 이상과 현실의 공통되는 근원을 파악할 수 있게 하는 방법이다. 이미 충분히 안다고 생각했던 대상을 전혀 새로운 시각으로 바라볼 수 있게 되는 것이다. 대상을 지각하는 방식은 관찰 조건 에 의존한다. 기하학적 연속무늬인 테셀레이션의 원리를 조건으로 하는 디자인은 대상의 비가 시적인 실체를, 즉 부분과 부분이 하나의 전체 속에서 어떻게 조직화되고 구조화되는지를 나타 내는 관계성을, 표현 내용의 핵심으로 취한다. 그러한 범주의 인과로서 발현되는 관계는 항상 성(constancy)과 일관성(coherence)의 지배를 받는다. 파라메트릭 테셀레이션은 부분과 전체, 이합과 집산, 차이와 반복, 주기, 구조, 관계, 질서, 균 형, 리듬과 같은 원리들이 작동하는 구성형식이다. 추상적이고 기하학적인 설계의 산물인 테셀 레이션이 창출하는 눈에 보이지 않는 세계의 관념적인 아름다움을 새로운 시각에서 바라볼 수 있게 하는 독창적인 시도에 작은 보탬이 될 기초자료로 쓰이길 기대한다.. 참고문헌 슈나이더, 마이클, 이충호 역, 󰡔자연, 예술, 과학의 수학적 원형󰡕, 경문사, 2002. 애스큐, 마이크, 이영기 역, 󰡔기하학 캠프󰡕, 컬처룩, 2012. 25) 3장 2절 1항 참조. 기초조형학연구 19권 5호 (통권89호). 527.

(16) Conway, John H. 외 2인, 󰡔The Symmetry of Things󰡕, A K Peters Ltd., 2008. Grünbaum, B. and Shephard, G. C., 󰡔Tilings and Patterns󰡕. W. H. Freeman, 1986. Macnab, Maggie, 󰡔Design by Nature󰡕, New Riders, 2012. Rutzky, Jeffrey & Palmer, Chris K.,『Shadowfolds󰡕, Kodansha International, 2011. Chang, Yu-Sung, 「Mass: Multiresolutional Adaptive Solid Subdivision｣, State Univ. of New York, 2003. D’souza, Nicola Laila, ｢Natural Forms Through Geometry And Structure: Design of the Parachute Pavilion｣, University of Cincinnati, 2005. Tachi, Tomohiro, ｢Designing Freeform Origami Tessellations by Generalizing Resch's Patterns｣, 󰡔Journal of Mechanical Engineers󰡕, Vol. 153, Nov. 2013. Freeman, David, Historic Tile Discovery Gives Math World a Big Jolt , Huffington Post, Aug. 20, 2015. https://en.oxforddictionaries.com/definition/module https://en.wikipedia.org/wiki/List_of_convex_uniform_tilings https://en.wikipedia.org/wiki/Girih_tiles http://homeli.co.uk/cityscapes-modular-felt-carpet-tiles-by-allt http://intendo.net/penrose/info_2.html http://layerdesign.com/projects/woven-image http://puzzleparasite.blogspot.com/2016 https://tex.stackexchange.com/questions/61437/penrose-tiling-in-tikz http://tuans.info/flash/m/metal-ring-puzzle-solutions.awp http://www.annekyyroquinn.com https://www.dezeen.com/2015/12/04/layer-benjamin-hubert-large-hemp-tiles-hexagonal-scale -partition-system-woven-image https://www.illu-stration.com/Heim/Wallpanel-2.htm https://www.marcelwanders.com/work/marcel-wanders-for-objets-nomades http://www.mdpi.com/2073-8994/4/4/566 http://www.miacullin.com https://www.iconspng.com/image/43146/penrose-tiles https://www.sciencedirect.com/science/article/pii/S0166218X08002357 http://www.wikiwand.com/en/Demiregular_tiling. 528.

(17)