Engineering Mathematics II

(1)

Bong-Kee Lee

School of Mechanical Engineering Chonnam National University

Engineering Mathematics II

9. Vector Differential Calculus. Grad, Div, Curl

9.1 Vectors in 2- and 3-Spaces

 스칼라와 벡터

– 스칼라(scalar)

• 적당한 측도를 단위로 하여 그것의 크기에 의하여 결정되는 양

• 길이, 온도, 전압 등

– 벡터(vector)

• 크기와 방향에 의하여 결정되는 양

• 힘, 속도 등

• 표시: 방향성분(directed line segment)을 포함하는 화살표로 표기

• 노름(norm, 유클리드 노름): 벡터의 길이 또는 크기

• 단위 벡터(unit vector): 길이가 1인 벡터 a

(2)

School of Mechanical Engineering Engineering Mathematics II

9.1 Vectors in 2- and 3-Spaces

 벡터

– 상등(equality)

• 두 벡터 a, b가 같다. → 두 벡터 a, b의 방향과 크기가 같다.

→ 평행 이동한 벡터는 본래의 벡터와 상등이다.

• 두 벡터의 관계

상등관계 길이는 같지만

방향이 다른 벡터 방향은 같지만

길이가 다른 벡터 길이와 방향이 모두 다른 벡터



^x ^y ^z



A: , ,



1, 1, 1



: x y z P



2, 2, 2



: x y z Q

9.1 Vectors in 2- and 3-Spaces

 벡터

– 성분(component)

• x, y, z 직교좌표계(Cartesian coordinate system) 상의 시작점 P와 끝점 Q를 갖는 벡터 a의 성분 → 세 개의 좌표상의 차이

– 위치 벡터(position vector)

• 직교좌표계에서 점 A의 위치벡터 r

→ 시작점이 원점이고 끝점이 A인 벡터

 

2 3 2 2 2 1

3 2 1

1 2 3 1 2 2 1 2 1

, ,

a a a

z z a y y a x x a























a a

(3)

9.1 Vectors in 2- and 3-Spaces

 벡터

– 벡터의 합

• 벡터 합의 기본 성질

(순서를 갖는 실수로 된 삼중수로서의 벡터)

□ 고정된 직교좌표가 주어지면 각 벡터는 해당하는 성분으로 된 순서를 갖는 삼중 수로 유일하게 결정됨

□ 실수로 이루어진 순서를 갖는 삼중수에 대하여 정확하게 한 개의 벡터가 대응됨

□ 원점은 방향이 없고 길이가 영인 영벡터(zero vector)에 대응됨



a1,a2,a3



& 



b1,b2,b3



  



a1b1,a2b2,a3b3



 b a b

a

   

 

u v



w u



v w

    

a a 0 a a 0 0 a a

b b a























d b

c a

교환법칙 결합법칙

9.1 Vectors in 2- and 3-Spaces

 벡터

– 스칼라 곱(실수에 의한 곱)

• 스칼라 곱의 기본 성질

→ 벡터 합과 스칼라 곱의 기본 성질에 의하여,



a1,a2,a3



&c c 



ca1,ca2,ca3



 R a

a

         

  

a a a

 

a a

a a b

a b a

















1 d k

c k c b

ck k c c c

c c

a

    

a a 0 a







 1 0 b a

(4)

9.1 Vectors in 2- and 3-Spaces

 벡터

– i, j, k: 직교좌표계에서 각 축의 양의 방향에 놓인 단위 벡 터

– 벡터공간 R

³

• 모든 벡터 a=[a₁, a₂, a₃]=a₁i+a₂j+a₃k (a₁, a₂, a₃: 실수)의 집합은 벡 터의 합과 스칼라 곱이 정의된 3차원 실수 벡터공간 R³을 형성함 (일반 벡터공간의 하나) → i, j, k: R³의 표준기저(standard basis)

  

^j



^k

 

^a

 

ⁱ ^j ^k

i1,0,0,  0,1,0,  0,0,1  a₁,a₂,a₃ a₁ a₂ a₃

9.2 Inner Product (Dot Product)

 벡터의 내적(점곱; inner product, dot product)

– (정의)두 벡터의 길이와 두 벡터가 이루는 사잇각의 코사 인 값의 곱

• 성분에 의한 표기

• 직교(orthogonal)

 









 

 a 0 b 0

0 b 0 a b

b a

a 0 or

, cos



a1,a2,a3



, 



b1,b2,b3



  a1b1a2b2a3b3

 b a b

a

0

b

a : 벡터 a와 벡터 b는 직교한다 → a와 b는 직교 벡터 (영벡터는 모든 벡터에 직교함)

(필요충분조건)

영벡터가 아닌 두 벡터의 내적이 영 ⇔ 두 벡터가 서로 직교

(5)

9.2 Inner Product (Dot Product)

 벡터의 내적(점곱; inner product, dot product)

– 길이 – 각도

– 내적의 일반적 성질

a a a a a

a a a b a b

a 0     cos0 ²  

b b a a

b a b a

b b a

a b

a  

 





 cos cos

 

 



² ²



2 2

2 1 2 1

2 )

7 ) 6

) 5

) 4

0 0 ) 0 3

) 2

) 1

b a b a b a

b a b a

c b c a c b a

a a a

a a

a b b a

c b c a c b a



















































q q q

q 선형성

대칭성

양의 성질

분배법칙

Cauchy-Schwarz 부등식 삼각부등식

평행사변형 등식

내적의 응용: 예제2~예제6

9.3 Vector Product (Cross Product)

 벡터의 외적(벡터곱; vector product, cross product)

– (정의)

• a, b가 같은 방향 또는 반대 방향이거나 두 벡터 중 하나가 영벡터,

• 그 이외의 경우,

• 성분에 의한 표기

 



  



 direction

sin length a b ab  b

a

0 b a 

오른손 법칙에 의하여 결정 : a, b와 동시에 수직인 벡터

   



2 3 3 2 31 13 12 21



3 2 1

3 2 1 3 2 1

, ,

, , , , ,

b a b a b a b a b a b a

b b b

a a a

b b b a a a











k j i b a

b a

(6)

9.3 Vector Product (Cross Product)

 벡터의 외적(벡터곱; vector product, cross product)

– 표준기저의 벡터곱

– 벡터곱의 일반 성질

j k i i j k k i j

j i k i k j k j i































     

 



b c

 

a b



c a

b a a b

c b c a c b a

c a b a c b a

b a b a b a











































) 4

) 3

) 2

)

1 l l l

분배법칙

반교환법칙 결합법칙 

외적의 응용: 예제3~예제5

9.3 Vector Product (Cross Product)

 벡터의 외적(벡터곱; vector product, cross product)

– 스칼라 삼중적(혼용 삼중적; scalar triple product, mixed triple product)

• 성질과 응용

– 내적 연산과 외적 연산을 서로 바꾸어도 불변이다.

– 기하학적 해석(geometric interpretation)

– 일차독립성(linear independence)

         

3 2 1

3 2 1 3

2 1 3 2 1 3 2

1, , , , , , , ,

c c c

b b b

a a a c

c c b b b a a

a       

 b c a b c a b c

a



a b c



a



bc

 

 ab



c



a b c



: 벡터 a, b, c에 의해 결정되는 평행육면체의 체적(부피) (필요충분조건)

For a, b, c  R³ : a, b, c 일차독립 ⇔ (a b c)  0

(7)

9.4 Vector and Scalar Functions and Fields. Derivatives

 벡터 미적분

– 벡터함수

• 임의의 점 P에서,

- 벡터함수(vector function) - 스칼라함수(scalar function)

(P: 정의역 내의 한 점 / 함수의 정의역: 3차원 공간, 곡면, 곡선)

– 벡터장(vector field): 주어진 영역에서의 벡터함수 – 스칼라장(scalar field): 주어진 영역에서의 스칼라함수

– 직교좌표를 이용한 표기

 

^P 



^v1

     

^P,^v2 ^P,^v3 ^P



 v v

 

P f f 

         



x y z



f f

z y x v z y x v z y x v z y x

, ,

, , , , , , , , ,

, ₁ ₂ ₃



 v v 예제1~예제3

9.4 Vector and Scalar Functions and Fields. Derivatives

 벡터 미적분

– 수렴(convergence)

• “벡터열 a_(n)은 수렴한다”

: 무한수열 a_(n)에 대하여 한 벡터 a가 존재하여 이 성립

→ 극한벡터(limit vector)

•

– 연속성(continuity)

• “벡터함수 v(t)는 t=t₀에서 연속(continuous)이다”

⇔ v(t)가 t₀ 부근(t₀를 포함하여도 무방)에서 정의되고 을 만족

• v(t)=[v₁(t), v₂(t), v₃(t)]가 t₀에서 연속

⇔ 성분함수 v₁(t), v₂(t), v₃(t)]가 t₀에서 연속

  0

lim  



 a_n a

n

 n

n a

a lim

 

lim

 

0

lim

0 0







 

 vt l vt l

t t t

t

   

0 0

lim t t

t

t v v



(8)

9.4 Vector and Scalar Functions and Fields. Derivatives

 벡터함수의 도함수(derivative)

– 벡터함수 v(t)가 t에서 미분가능(differentiable)

• 벡터 미분 공식

      

^v

     

^t ^v ^t ^v ^t



t t t t t

t ' , ' , '

lim

' ₁ ₂ ₃

0 







 

 

v v v

   

  

' '

 

'

 

'



) 5

' '

' ) 4

' ' ' ) 3

' ' ' ) 2

' ' ) 1

w v u w v u w v u w v u

v u v u v u

v u v u

v v





























 c  c

9.4 Vector and Scalar Functions and Fields. Derivatives

 벡터함수의 편도함수(partial derivative)

 

 

k j

v i k

j v i

k j i v

m l m l m l m l l

l l l

n

t t

v t t

v t t t

v t v t v t

t t v

v v

v v v v v v



 



 



 





















3 2 2 2 1 2 2 3

2 1

0 3

2 1

3 2 1 3 2 1

&

, , at able differenti : , ,

, ,



(9)

9.5 Curves. Arc Length. Curvature. Torsion

 미분기하학(differential geometry)

– 공간곡선이나 곡면을 연구하는 학문

• 상대성이론, 항공, 지리학, 측지학, 기존 공학설계 및 컴퓨터를 이 용한 설계, 역학 등의 분야에서 중요한 역할 수행

– 매개변수 표현법(parametric representation)

• 공간에서 움직이는 물체의 경로인 곡선(C)을 표현

• 예: 원(예제1), 타원(예제2), 직선(예제3), 원나선(예제4)

               

 

t

t z t y t x t z t y t x t

'

, , r

k j i r







: 공간곡선 상의 임의의 점에서의 접선벡터(tangent vector)

9.5 Curves. Arc Length. Curvature. Torsion

 곡선

– 접선(tangent)

• 곡선 C 위의 한 점 P에서의 접선

→ 점 P에 근접한 곡선 C 상의 점 Q에 대하여 P, Q를 지나는 직선 L 의 극한

• 접선벡터

• 점 P에서의 곡선 C의 접선 방정식(벡터로 표현)

     

t t t t t

t 





 





r r r

lim0

'

   

' ' '

0 ' if

r u r r r





 t

t

: 점 P에서의 곡선 C의 접선벡터 : 점 P에서의 곡선 C의 단위접선벡터

 

r r' qw  w

매개변수

(10)

9.5 Curves. Arc Length. Curvature. Torsion

 곡선

– 길이(length)

• n개로 나누어진 선분들의 길이의 합으로 이루어진 수열의 극한

– 호의 길이

• 선소(linear element), ds

– 선소를 매개변수로 이용할 경우 (매개변수 t → s),



 

 







^dt ^d_dt

l ^b

a

r r r r' ' '

 





 

 







^d^t _d^d_t

t

s ^t

a r'r' ~ r' ~r

 

² ² ² ² ² ² ² ²

2

' ds d d dx dy dz

dt dz dt dy dt t dx dt d dt d dt

ds       



 







 







 









 



 



 r r r r r

       

ds s d t s

t u r r

r

u r   ' 

' '

9.5 Curves. Arc Length. Curvature. Torsion

 역학에서의 곡선. 속도와 가속도

– r(t): 움직이는 물체의 경로 C

– v(t)=r’(t): 곡선 C의 접선벡터인 속도 벡터(velocity vector) – a(t)=v’(t)=r’’(t): 속도의 도함수인 가속도 벡터(acceleration)

• 접선가속도(tangential acceleration), a_tan

• 법선가속도(normal acceleration), a_norm

– 원심력(예제7), Coriolis 가속도(예제8)

         

 

s

 

t

 

t

 

t ds

d

dt s s d dt ds ds d dt s ds dt d dt t d dt s ds dt ds ds d dt t d

tan norm

2 2 2

a a a u u

u u v u

a r u

v r









 



 

 



 



 



 



 







(11)

9.5 Curves. Arc Length. Curvature. Torsion

 곡선의 곡률과 비틀림

– 곡률(curvature)

• 곡선 C의 P점에서의 단위접선벡터의 변화율

– 비틀림(torsion)

• C상의 P점에서의 접촉평면(osculating plane, u와 u’에 의해 구성 된 평면)의 변화율

 

^s ^^u^'

 

^s ^^r^''

 

^s ^



^'^^d_ds



 : P점에서 곡선 C의

직선(접선)에서의 이탈 정도

: P점에서 곡선 C의 평면에서의 이탈 정도

         

   

         





















s s s s s

s s

s s s

s s

1 ' 1 '

'

&

'

u u p u b

u p

b b

p





단위 주법선벡터 (unit principal normal vector) 단위 종법선벡터 (unit binormal vector)

9.6 Calculus Review: Functions of Several Variables

 연쇄법칙

 평균값 정리

     

           

v z z w v y y w v x x w v w u z z w u y y w u x x w u w

v u z z v u y y v u x x z y x f w v

u z v u y v u x f w



































&

, , , , , , , ,

, , , , ,

     

           

dt dz z w dt dy y w dt dx x w dt dw

t z z t y y t x x z y x f w t

z t y t x f w



















 , , , , , , ,

함수 f(x, y, z)가 xyz 공간 내의 정의역 D에서 연속이고, 연속인 1차 편도함수를 가진다. 두 점 P₀:(x₀, y₀, z₀), P(x₀+h, y₀+k, z₀+l)이 D에 속해 있고, 이 두 점을 연결한 선분 P₀P도 D에 속해 있다. 그러면 선분 P₀P 상의 임의의 점에서 편미분 값들은 다음을 만족한다.

   

z l f y k f x h f z y x f l z k y h x

f 

 



 



 





 ₀ ₀ ₀ ₀ ₀

0 , , , ,

(12)

9.7 Gradient of a Scalar Field. Directional Derivative

 기울기(gradient)

– f(x, y, z)의 x, y, z 각 방향으로의 길이(거리)에 대한 변화율 (기울기)의 벡터합

• 미분연산자 ∇ (nabla)

k j

i z

f y f x f z f y f x f f

f 













 







 



 , ,

grad

k j

i y z

x 

 



 



 



9.7 Gradient of a Scalar Field. Directional Derivative

 방향도함수(directional derivative)

– 공간상의 임의의 방향으로의 함수의 변화율을 확인

• 공간상의 P점에서 단위벡터 b 방향으로의 함수 f 의 방향도함수

– 직선 L,

   

s P f Q f ds f df

D s

 

 lim0 b

s: P-Q 사이의 거리

Q: b방향으로의 직선 위의 점

       

 

ⁱ ^j ^k ^b

r

b p k j i r

















' ' ' '

0

z y x s

s s

z s y s x s

     

 

 

f f

D f f D

z f f y f x z f y x zz y f y x f x f ds f df D

zz y f y x f x s f z s y s x ds f

d ds f df D























 







 

 





























aa b

b

a b

b b

1

&

, , ' ,' ,' ' ' '

' ' ' ,

,

(13)

9.7 Gradient of a Scalar Field. Directional Derivative

 기울기의 특성. 최대증가

 곡면의 법선벡터로서의 기울기

f(P)=f(x, y, z): 연속인 1계 편도함수를 갖는 스칼라 함수

→ grad f 가 존재하며, 크기와 방향은 직교좌표계의 선택과 무관

& grad f(P)  0 → 점 P 에서의 f 의 최대 증가 방향을 나타냄 (가장 큰 변화를 일으키는 방향을 가리킴)

f: 공간상의 미분가능한 스칼라 함수 & f(x, y, z)=c (상수): 곡면 S의 표현

→ grad f(P)  0 → grad f(P): 점 P 에서의 곡면 S의 법선벡터 (접평면(tangent plane) 상의 모든 벡터와 수직)

         

     

 

' 0

' ' ' '

, ,

&

, , :

r r

r













 













f f

zz y f y x f x f

c t z t y t x f

t z t y t x t C

9.7 Gradient of a Scalar Field. Directional Derivative

 퍼텐셜(potential), 퍼텐셜함수

– 스칼라장의 기울기로부터 얻어지는 벡터장(벡터함수): 스 칼라장(스칼라함수) → 퍼텐셜(퍼텐셜함수)

• 보전적(conservative): 벡터장 내에서는 에너지 보존됨

• 인력장(Newton의 만유인력 법칙)

– 점 P₀:(x₀, y₀, z₀)와 P:(x, y, z)에 위치한 두 입자 사이의 인력

 

P gradf

 

P f

 

P v

     

0

&

, ,

2 2 2 2 2 2 2

2 0 2 0 2 3 0

0 3

 

















 





















 

 

   









z f y

f x f f r f

c

y y y y x x r r

z z r

y y r

x c x r

c

p r p

라플라스 연산자(Laplace operator)

2 2 2 2 2 2 2

z y

x 

 



 



 







: 라플라스 방정식

(14)

9.8 Divergence of a Vector Field

 발산(divergence)

– 미분 가능한 벡터함수 혹은 벡터함수로 정의된 벡터장의 발산

• 발산의 불변성

– div v의 값은 좌표계의 선택에 상관없이 공간내의 v 상의 점에 따름

• 라플라스 방정식: (기울기의 발산) = (라플라스 방정식)

   

 

z v y v x z v

y x

z v y v x v v v z v

y v x

v z v y x







































 







 



 



 





 







 





3 2 1

3 2 1 3 2 1 3

2 1

, , div

, , , ,

v v

k j i k j i v

 

*

* , *

,

div ¹ ² ³ ¹ ² ³

z v y v x v z v y v x z v

y

x 



























 v v

 

f

z f y

f x f f z

f y f x f f

f , , div ²₂ ²₂ ²₂ ²

grad 

























 







 





 v

v

9.9 Curl of a Vector Field

 회전(curl)

– 미분 가능한 벡터함수 혹은 벡터함수로 정의된 벡터장의 회전

• 기울기, 발산, 회전

– 기울기장(gradient field)는 비회전(irrotational)임(영벡터)

– 벡터함수의 회전에 대한 발산은 영임

• 회전의 불변성

– curl v는 벡터이며, 방향과 크기는 공간에서 직교좌표계의 선택과 무 관함

 

ⁱ ^j ^k

k j i v v

v 

 











 



 











 



 











 



 









 y

v x v x v z v z v y v v v

vx y z

v v

v ³ ² ¹ ³ ² ¹

3 2 1 3

2

1, , curl



gradf





 

f 0 curl



curl

  

0 div v  v 