7-5 온도에 의한 처짐

7-5 온도에 의한 처짐

보의 온도에 의한 변화량은 다음과 같다.

( t l )

δ α = ∆

(α : 열팽창계수 ∆t : 온도변화량 l: 봉의 원래길이)

그림 7-14 온도에 의한 보의 처짐

길이변화:

α(t

-t

)dx

길이변화:

α(t

-t

)dx

2 0 1 0

( ) ( )

h d ⋅ θ α = t − t dx − α t − t dx

2 1

( )

d θ α = t − t

2 2

tan dy , 1 d y

dx dx

θ θ ^{≈ =} ρ ⁼

2

2 1

2

( )

d y t t

dx h

α −

=

2 2

z

d y M

dx = − EI

t₂>t₁으로 식 (7-28)로 되며 α(t₂-t₁)/h는 M/EI_z에 해당한다.

2

2 1 2

( )

d y t t

dx h

α −

= −

2 1 2

1 2

( )

2 t t

y x C x C

h

α −

= − − + +

2 1

1

( )

dy t t

dx h x C α −

= − +

(c)

(d)

(e)

(f) (7-28)

∴

또, 구조물의 조건에서 식 (g)의 조건을 얻고 식 (h)가 된다.

2

2 1

1

(0) 0 : 0

( )

( ) 0 :

2

y C

t t

y l C l

h α

= =

= = −

①

②

2 1

( )

( 2 ), 2

dy t t

l x

dx h

α −

= −

2 1

( )

( )

2

t t x

y l x

h

α −

= − −

(g)

(7-29)

[예제 7-21] 길이 l, 높이 h인 외팔보가 윗면에 온도t₁, 아랫면의 온도 t₂를 받고 있다. 회전각θ(시계방향을 +) 와 자유단에서의 처짐 y를 구하라.

2 1

( t t )

y h

α −

′′ = −

2 1

1

( t t )

y x C

h α −

′ = − +

2 1 2

1 2

( )

2 t t

y x C x C

h

α −

= − − + +

풀이

2 1

( )

( ) t t

y l l

h θ = ^′ = − α ⁻

2 1 2

( )

( ) 2

t t

y l l

h α −

∴ = −

경계조건대입 y′(0)=0=C₁ ∴C₁=0

y(0)=0=C₂ ∴C₂=0 그림 21

7-6 불균일 단면보의 처짐

(1) 균일강도의 보

기본이론을 배우기 위하여 균일단면보를 사용하였지만 현장에서는 불균일 단면보인 다단보(stepped beam) 및 테이퍼보(tapered beam) 등이 널리 사 용되므로 이 경우의 처짐을 구하는 방법을 알아본다.

① 원형단면보(그림 5-18) : 0 ³

d d x

= l

4

4 4 3

0 3 0

( ) ( )

64 64

z

d x x

I d I

l l

π π

= = =

2

2 4 3

0

( )

z z

d y M Px Px

dx EI EI EI x l

= − = =

(식 (5-28)에 의해)

그림 5-18 균일강도의 보

고정단의 지름

임의 단면의 지름

조건 :

자유단에서는

(a)

2 ),

( 3

0 3 / 4

C EI x

Pl dx

dy = + )

10

( 9

0 3 / 4

C x

C EI x

y = Pl + +

2 3 5 3

1 2

3 3

( ) 0 ( ) 0 : ,

2 5

y l ′ = 및 y l = C = − l C

= l

5 3 l C =

4 3

4 3 2 3 2 3 5 3 2 3 5 3

0 0

3 9 3 3

( ), ( )

2 10 2 5

P Pl

y l x l y x l x l

EI EI

′ = ( − ), = − +

2

3

0

l x

EI l

y ′ = P −

2 3

0 0

3 3

0 : ,

2 5

B B

Pl Pl

x y

EI EI

θ

= = − =

0 3

5 3

EI

y

= Pl

② 높이가 일정한 보(그림 5-19) : ₀

x b b

= l

(b)

2 A

y l

Eh

∴ = σ

σ=Pl/(b₀h²/6)

그림 5-19 균일강도의 보 (h가 일정한 사각형단면)

l I x l h

x b

I

bh

0 3 3

12

12 = =

=

0 0 2

2

EI Pl l

EI x Px EI

Px dx

y d

z

=

=

=

2

0 0

( ), ( )

2

Pl Pl

y l x y l x

EI EI

′ = − − = −

0

) 2 ( l x

EI

y = Pl −

2 3

0 0

, 2

A A

Pl Pl

EI y EI

θ

∴ = − =

0 3

2EI

y

= Pl