1 서술형 대비 문제

(1)

정답과

해설

서술형 대비 문제

1 ^{서로 다른 직선은}

ABu, ACu, BCu

의 3개이므로 a=3 y`!

서로 다른 반직선은

AXBV, BXAV, AXCV, CXAV, BCV, CXBV

의 6개이므로 b=6 y`@

서로 다른 선분은 ABZ, ACZ, BCZ

의 3개이므로 c=3 y`#

∴ a+b+c=3+6+3=12 y`$

채점 기준 배점

! a의 값 구하기 1점

@ b의 값 구하기 2점

# c의 값 구하기 1점

$ a+b+c의 값 구하기 2점

2 ^AMZ=2MBZ이므로 AMZ=2

3ABZ=2

3\18=12{cm} y`! MBZ=ABZ-AMZ=18-12=6{cm}

MNZ=2NBZ이므로 MNZ=2

3 MBZ=2

3\6=4{cm} y`@

∴ ANZ =AMZ+MNZ

=12+4=16{cm} y`#

! AMZ의 길이 구하기 4점

@ MNZ의 길이 구하기 4점

# ANZ의 길이 구하기 2점

3 30+{x+70}+{2x-40}=180 y`! 3x+60=180, 3x=120

∴ x=40 y`@

! 식 세우기 4점

@ x의 값 구하기 4점

4 ^ACZ와 꼬인 위치에 있는 모서리는

DHZ, BFZ, EFZ, FGZ, GHZ, HEZ이고, y`! ACZ와 수직으로 만나는 모서리는 AEZ, CGZ이다. y`@

! ACZ와 꼬인 위치에 있는 모서리 구하기 5점

@ ACZ와 수직으로 만나는 모서리 구하기 5점

5 ⑴ ABZ와 만나는 모서리는 ADZ, AEZ, BCZ, BFZ이다.

⑵ ABZ와 평행한 모서리는 DCZ, EFZ, HGZ이다.

⑶ ABZ와 꼬인 위치에 있는 모서리는 ABZ와 만나지도 않고 평행하지도 않은 모서리이므로 DHZ, CGZ, EHZ, FGZ이다.

6 {x+20}+40+{3x-40}=180 y`! 4x+20=180, 4x=160

∴ x=40 y`@

7 오른쪽 그림과 같이 두 직선 L, m

pq x-50!

30! m 30!

50!

y-30! 50!

L

에 평행한 두 직선 p, q를 그으면 y`! 엇각의 크기가 같으므로

Cx-50!=Cy-30! y`@

∴ Cx-Cy=50!-30!=20! y`#

! 두 직선 L, m에 평행한 보조선 긋기 3점

@ 엇각의 크기가 같음을 이용하여 식 세우기 3점

# Cx-Cy의 값 구하기 2점

8 오른쪽 그림과 같이 두 직선 L, m에 a a b

c

c n

m L

평행한 직선 n을 그으면 y`! 엇각과 동위각의 크기가 각각 같으 므로

Ca+Cb+Cc=180! y`@

! 두 직선 L, m에 평행한 보조선 긋기 4점

@ Ca+Cb+Cc의 값 구하기 6점

9 오른쪽 그림에서 BCZ|L이므로 엇각 ^A

B C

b a c

b c

E

D L

의 크기는 같다. y`! 즉, CDAB=Cb, CEAC=Cc 이때 CDAB+Ca+CEAC=180!

이므로 y`@

Ca+Cb+Cc=180! y`#

기본 도형

1

P. 104 ~ 106

1 12 2 16 cm 3 40

4 꼬인 위치에 있는 모서리: DHZ, BFZ, EFZ, FGZ, GHZ, HEZ 수직으로 만나는 모서리: AEZ, CGZ

5 ⑴ ADZ, AEZ, BCZ, BFZ ⑵ DCZ, EFZ, HGZ ⑶ DHZ, CGZ, EHZ, FGZ

6 40 7 20! 8 180! 9 풀이 참조 10 Cx=60!, Cy=60!

11-1 35! 11-2 90! 11-3 75!

(2)

1 ㈎ a가 가장 긴 변의 길이인 경우 a<4+6

∴ a<10 y`!

㈏ 6이 가장 긴 변의 길이인 경우 6<4+a

∴ a>2 y`@

따라서 ㈎, ㈏에서 2<a<10 y`#

! a가 가장 긴 변의 길이인 경우, a의 값의 범위 구하기 2점

@ 6이 가장 긴 변의 길이인 경우, a의 값의 범위 구하기 2점

# a의 값의 범위 구하기 2점

2 세 변의 길이 사이의 관계를 알아보면 4=1+3, 5>1+3, 5=1+4, 5<3+4 이므로 삼각형을 만들 수 있는 세 변의 길이는

{3 cm, 4 cm, 5 cm}뿐이다. y`! 따라서 만들 수 있는 삼각형의 개수는 1개이다. y`@

! 삼각형을 만들 수 있는 세 변의 길이 구하기 6점

@ 만들 수 있는 삼각형의 개수 구하기 4점

3 ACZ의 길이를 추가하면 두 변의 길이와 그 끼인각의 크기가 주어진 경우이므로 △ABC는 하나로 정해진다. y`! CB의 크기를 추가하거나 CC의 크기를 추가하면

CB=180!-{CA+CC}에서 CB의 크기를 알 수 있으므 로 한 변의 길이와 그 양 끝 각의 크기가 주어진 경우이므로

△ABC는 하나로 정해진다. y`@

따라서 필요한 한 조건이 될 수 있는 것은 ACZ의 길이 또는 CB의 크기 또는 CC의 크기이다. y`#

! 변의 길이 중 필요한 조건 구하기 3점

@ 각의 크기 중 필요한 조건 구하기 3점

# 삼각형이 하나로 정해지기 위해 필요한 조건 모두 구

하기 2점

4 △ABC+△FED에서 BCZ의 대응변은 EDZ이므로

BCZ=EDZ=7 cm ∴ x=7 y`! 또 CE의 대응각은 CB이므로

CE=CB=30!

△FED에서

CF =180!-{CD+CE}

=180!-{44!+30!}=106!

작도와 합동

2

P. 107 ~ 109

1 2<a<10 2 1개

3 ACZ의 길이 또는 CB의 크기 또는 CC의 크기 4 113

5 ⑴ △AOC+△BOD ( SAS 합동) ⑵ 풀이 참조 6 ㄷ - SAS 합동, ㄹ - SSS 합동 7 풀이 참조

! 평행선의 성질 알기 4점

@ 식 세우기 3점

# Ca+Cb+Cc=180!임을 보이기 3점

10 평행한 두 직선에서 엇각의 크기는 서로 같으므로

Cy=180!-120!=60! y`!

Cx =180!-{Cy+Cy}

=180!-{60!+60!}=60! y`@

! Cy의 크기 구하기 5점

@ Cx의 크기 구하기 5점

11-1 55!+90!+Cx=180!이므로 y`! Cx+145!=180!

∴ Cx=35! y`@

11-2 CAOB=CBOC, CCOD=CDOE이므로 CAOC+CCOE =2CBOC+2CCOD

=2{CBOC+CCOD}

=2CBOD=180! y`!

∴ CBOD=90! y`@

@ CBOD의 크기 구하기 4점

11-3 Cb+Cd =180!\ 4+1

5+4+2+1 y`!

=180!\ 5

12 =75! y`@

@ Cb+Cd의 값 구하기 5점

8 △ACE+△BCD ( SAS 합동)

9 ⑴ △ABE+△BCF ( SAS 합동) ⑵ 90!

10 △ADM+△ECM ( ASA 합동)

11-1 풀이 참조 11-2 풀이 참조 11-3 풀이 참조

(3)

∴ y=106 y`@

∴ x+y=7+106=113 y`#

! x의 값 구하기 3점

@ y의 값 구하기 3점

# x+y의 값 구하기 2점

5 ⑴ △AOC와 △BOD에서

점 O가 ABZ의 중점이므로 AOZ=BOZ 점 O가 CDZ의 중점이므로 COZ=DOZ CAOC=CBOD (맞꼭지각) ∴ △AOC+△BOD ( SAS 합동)

⑵ △AOC+△BOD에서 대응각의 크기는 같으므로 COAC=COBD

따라서 엇각의 크기가 같으므로 ACZ|BDZ

6 △ABC와 △DEF에서 ABZ=DEZ, BCZ=EFZ이므로 ㄷ. CB=CE인 경우 대응하는 두 변의 길이가 각각 같고,

그 끼인각의 크기가 같으므로

△^ABC+△DEF ( SAS 합동) y`! ㄹ. ACZ=DFZ인 경우 대응하는 세 변의 길이가 각각 모두 같

으므로

△^ABC+△DEF ( SSS 합동) y`@

! ㄷ인 경우 두 삼각형이 합동인 이유를 설명하고 합동

조건 구하기 4점

@ ㄹ인 경우 두 삼각형이 합동인 이유를 설명하고 합동

조건 구하기 4점

7 △PAM과 △PBM에서 PMZ은 공통, AMZ=BMZ CPMA=CPMB

∴ △PAM+△PBM ( SAS 합동) y`!

△PAM+△PBM이므로 두 삼각형의 대응변의 길이는 같 다.

∴ PAZ=PBZ y`@

따라서 △PAB는 이등변삼각형이다. y`#

! 합동인 두 삼각형 찾기 5점

@ PAZ=PBZ임을 보이기 3점

# △PAB가 어떤 삼각형인지 구하기 2점

8 △ACE와 △BCD에서

△ABC와 △DCE는 정삼각형이므로

ACZ=BCZ, CEZ=CDZ, y`! CACE =CACD+CDCE=CACD+60!

=CACD+CACB=CBCD y`@

∴ △ACE+△BCD ( SAS 합동) y`#, $

! ACZ=BCZ, CEZ=CDZ임을 보이기 3점

@ CACE=CBCD임을 보이기 3점

# 합동임을 기호로 나타내기 2점

$ 합동 조건 구하기 2점

9 ⑴ △ABE와 △BCF에서 ABZ=BCZ, BEZ=CFZ CABE=CBCF이므로

△ABE+△BCF ( SAS 합동)

⑵ CBAE=CCBF이고, CBAE+CAEB=90!이므로

△BEG에서

CBGE =180!-{CEBG+CBEG}

=180!-{CBAE+CAEB}

=180!-90!=90!

∴ CAGF=CBGE=90! (맞꼭지각)

10 △ADM과 △ECM에서

ADZ|BEZ이므로 CADM=CECM (엇각) y`!

CAMD=CEMC (맞꼭지각) y`@

점 M은 CDZ의 중점이므로 DMZ=CMZ y`#

∴ △ADM+△ECM ( ASA 합동) y`$, %

! CADM=CECM임을 보이기 2점

@ CAMD=CEMC임을 보이기 2점

# DMZ=CMZ임을 보이기 2점

$ 합동임을 기호로 나타내기 2점

% 합동 조건 구하기 2점

11-1 ACZ는 공통이고 y`!

ABZ|DCZ이므로

CBAC=CDCA (엇각) y`@

ADZ|BCZ이므로

CBCA=CDAC (엇각) y`#

∴ △ABC+△CDA ( ASA 합동) y`$

! ACZ가 공통임을 알기 1점

@ CBAC=CDCA임을 보이기 2점

# CBCA=CDAC임을 보이기 2점

11-2△ABE와 △DCE에서

사각형 ABCD는 정사각형이므로

ABZ=DCZ y`!

△EBC는 정삼각형이므로

BEZ=CEZ y`@

CABE=CDCE=90!-60!=30! y`#

∴ △ABE+△DCE ( SAS 합동) y`$

(4)

! ABZ=DCZ임을 보이기 2점

@ BEZ=CEZ임을 보이기 2점

# CABE=CDCE임을 보이기 2점

11-3 사각형 AEDB는 정사각형이므로

DBZ=ABZZ y`!

사각형 BFGC는 정사각형이므로

BCZ=BFZ y`@

CDBC =CDBA+CABC

=90!+CABC

=CCBF+CABC

=CABF y`#

∴ △DBC+△ABF ( SAS 합동) y`$

! DBZ=ABZ임을 보이기 2점

@ BCZ=BFZ임을 보이기 2점

# CDBC=CABF임을 보이기 4점

1 양 옆에 있는 사람들과 서로 악수하는 횟수는 칠각형의 변의

개수와 같으므로 7번이다. y`!

양 옆에 있는 사람을 제외한 모든 사람들과 서로 악수하는 횟수는 칠각형의 대각선의 개수와 같으므로

7\{7-3}

2 =14(번)이다. y`@

따라서 모두 7+14=21(번)의 악수를 해야 한다. y`#

! 양 옆에 있는 사람들과 서로 악수하는 횟수 구하기 2점

@ 양 옆을 제외한 모든 사람들과 서로 악수하는 횟수 구

하기 4점

# 악수하는 횟수 구하기 2점

2 CACB=180!-120!=60!

∴ CDCB =CACD=1

2CACB

=1

2 \60!=30! y`!

3 다각형

P. 110 ~ 112

1 21번 2 210! 3 40! 4 44개 5 55! 6 360!, 풀이 참조

7 ⑴ 정구각형 ⑵ 140! 8 ⑴ 정십이각형 ⑵ 1800!

9 ⑴ 108! ⑵ 108! 10 96!

11-1 60! 11-2 25! 11-3 55!

△DBC에서 Cx+50!+30!=180!

∴ Cx=100! y`@

△ABC에서

Cy =CABC+CACB

=50!+60!=110! y`#

∴ Cx+Cy=100!+110!=210! y`$

! CDCB의 크기 구하기 3점

# Cy의 크기 구하기 3점

$ Cx+Cy의 값 구하기 2점

3 △ABC에서 ABZ=ACZ이므로

CACB=CABC=Cx y`!

∴ CCAD =CABC+CACB

=Cx+Cx=2Cx y`@

△ACD에서 ACZ=DCZ이므로

CCDA=CCAD=2Cx y`#

△DBC에서 CDCE=CDBC+CBDC이므로 120!=Cx+2Cx, 3Cx=120!

∴ Cx=40! y`$

! CACB를 Cx를 사용한 식으로 나타내기 2점

@ CCAD를 Cx를 사용한 식으로 나타내기 2점

# CCDA를 Cx를 사용한 식으로 나타내기 2점

$ Cx의 크기 구하기 4점

4 내각의 크기의 합이 1620!인 다각형을 n각형이라고 하면

180!\{n-2}=1620! y`!

n-2=9 ∴ n=11, 즉 십일각형 y`@ 따라서 십일각형의 대각선의 개수는

11\{11-3}

2 =44(개) y`#

@ 다각형 구하기 2점

# 다각형의 대각선의 개수 구하기 3점

5 오른쪽 그림과 같이 CEZ를 그으면

x 50! 60!

105!

86!

114!

A

B

C E

D F

y`! 오각형 ABCEF의 내각의 크기의 합은 180!\{5-2}=540!이므로 86!+114!+50!+CDCE

+CDEC+60!+105!

=540! y`@

∴ CDCE+CDEC=125! y`#

따라서 △CED에서

Cx =180!-{CDCE+CDEC}

=180!-125!=55! y`$

(5)

! 보조선 CE 긋기 2점

@ 오각형의 내각의 크기의 합을 이용하여 식 세우기 3점

# CDCE+CDEC의 값 구하기 2점

6 삼각형에서 한 외각의 크기는 그와 이

b a

f

c

d e

a+e

b+f

웃하지 않는 두 내각의 크기의 합과 같으므로 오른쪽 그림과 같이 나타낼

수 있다. y`!, @

사각형의 내각의 크기의 합은 360!이 므로

Ca+Cb+Cc+Cd+Ce+Cf=360! y`#

! 삼각형의 외각의 성질 설명하기 4점

@ 그림으로 나타내기 3점

# Ca+Cb+Cc+Cd+Ce+Cf 의 값 구하기 3점

7 ⑴ 대각선의 개수가 27개인 정다각형을 정n각형이라고 하면 n{n-3}

2 =27, n{n-3}=54=9\6 ∴ n=9

따라서 정구각형이다.

⑵ 정구각형의 한 내각의 크기는 180!\{9-2}

9 =140!

8 ⑴ 한 외각의 크기가 30!인 정다각형을 정n각형이라고 하면 360!

n =30! ∴ n=12 따라서 정십이각형이다.

⑵ 정십이각형의 내각의 크기의 합은 180!\{12-2}=1800!

9 ⑴ 정오각형의 한 내각의 크기는 180!\{5-2}

5 =108!

⑵ CABC=108!이고 △ABC에서 ABZ=BCZ이므로 CBCA=1

2\{180!-108!}=36!

△BCD에서 BCZ=CDZ이므로 CCBD=1

2\{180!-108!}=36!

따라서 △BCF에서

Cx=180!-{36!+36!}=108!

10 오른쪽 그림에서 Ca의 크기는 정육

c b a x

각형의 한 외각의 크기이므로 Ca= 360!6 =60! y`! Cc의 크기는 정오각형의 한 외각의 크기이므로

Cc= 360!5 =72! y`@

Cb의 크기는 정오각형의 한 외각의 크기와 정육각형의 한 외각의 크기의 합이므로 Cb=72!+60!=132!

이때 사각형의 내각의 크기의 합은 360!이므로 Cx =360!-{Ca+Cb+Cc}

=360!-{60!+132!+72!}

=96! y`#

! 정육각형의 한 외각의 크기 구하기 3점

@ 정오각형의 한 외각의 크기 구하기 3점

# Cx의 크기 구하기 4점

11-1△ABD에서 {•+^×}+120!=180!

∴ •+^×=60! y`!

△ABC에서 2{•+^×}+Cx=180!

2\60!+Cx=180!, 120!+Cx=180!

∴ Cx=60! y`@

! CDAB+CDBA의 값 구하기 3점

11-2 CACE는 △ABC의 한 외각이므로

2×=50!+2• ∴ ×=25!+• y`! CDCE는 △DBC의 한 외각이므로

×=Cx+• y`@

따라서 25!+•=Cx+•이므로

Cx=25! y`#

! △ABC에서 식 세우기 3점

@ △DBC에서 식 세우기 3점

11-3△ABC에서

CABC+CACB=180!-70!=110! y`! 평각의 크기는 180!이므로

{CABC+2•}+{CACB+2^×}=180!+180!

{CABC+CACB}+2{•+^×}=360!

110!+2{•+^×}=360!

2{•+^×}=250!

∴ •+^×=125! y`@

△PBC에서 Cx+{•+^×}=180!

Cx+125!=180! ∴ Cx=55! y`#

! CABC+CACB의 값 구하기 2점

@ CPBC+CPCB의 값 구하기 5점

(6)

1 부채꼴의 호의 길이는 중심각의 크기에 정비례하므로 2`:`6={2x+10}`:`{7x+20} y`! 1`:`3={2x+10}`:`{7x+20}

7x+20=3{2x+10}

7x+20=6x+30

∴ x=10 y`@

2 ^ACZ|ODZ이므로

CDOB=CCAO=Cx (동위각) y`!

OCZ를 그으면 OAZ=OCZ (원의 반지름}이므로

COCA=COAC=Cx y`@

ACi`:`DBi=4`:`1이므로

CAOC=4Cx y`#

따라서 △AOC에서 4Cx+Cx+Cx=180!

6Cx=180! ∴ Cx=30! y`$

! CDOB를 Cx를 사용한 식으로 나타내기 2점

@ COCA를 Cx를 사용한 식으로 나타내기 3점

# CAOC를 Cx를 사용한 식으로 나타내기 3점

3 △OPC에서 CCOP=CCPO=25! y`!

∴ COCD =CCOP+CCPO

=25!+25!=50!

△OCD에서 CODC=COCD=50! y`@

△OPD에서

CBOD=COPD+CODP=25!+50!=75! y`# 이때 ACi`:`BDi=CAOC`:`CBOD에서

ACi`:`18=25!`:`75!, ACi`:`18=1`:`3

3ACi=18 ∴ ACi=6{cm} y`$

! CCOP의 크기 구하기 2점

@ CODC의 크기 구하기 2점

# CBOD의 크기 구하기 2점

$ ACi의 길이 구하기 4점

원과 부채꼴

4

P. 113 ~ 115

1 10 2 30! 3 6 cm 4 12p cm@

5 8p cm@ 6 ⑴ {4p+8} cm ⑵ {32-8p} cm@

7 {9p+16} cm 8 [ 103 p+4] cm 9 {144-24p} cm@ 10 121

4 p m@

11-1 12p cm@ 11-2 8p cm@ 11-3 {36p-72} cm@

4 ^ABi`:`BCi`:`CAi=5`:`4`:`3이므로

CAOB`:`CBOC`:`CCOA=5`:`4`:`3 y`! 부채꼴의 넓이는 중심각의 크기에 정비례하므로

(부채꼴 AOC의 넓이) =48p\ 3 5+4+3

=48p\ 3

12 =12p{cm@} y`@

! CAOB`:`CBOC`:`CCOA 구하기 4점

@ 부채꼴 AOC의 넓이 구하기 4점

5 AOZ를 지름으로 하는 반원의 넓이와 BOZ를 지름으로 하는

반원의 넓이가 같으므로 y`!

(어두운 부분의 넓이) =(반원 O의 넓이) ={p\4@}\1

2=8p{cm@} y`@

! 어두운 부분과 넓이가 같은 부분 설명하기 4점

@ 어두운 부분의 넓이 구하기 4점

6 ⑴ ADZ=2ABZ이므로 ABZ=1 2 ADZ=1

2\8=4{cm}

∴ (어두운 부분의 둘레의 길이) =[2p\4\ 90

360 ]\2+8=4p+8{cm}

⑵ (어두운 부분의 넓이) =8\4-[p\4@\ 90

360 ]\2=32-8p{cm@}

7 부채꼴의 호의 길이를 L이라고 하면 (부채꼴의 넓이)=1

2\8\L=36p이므로

L=9p{cm} y`!

∴ (부채꼴의 둘레의 길이)

=9p+8+8

=9p+16{cm} y`@

! 부채꼴의 호의 길이 구하기 4점

@ 부채꼴의 둘레의 길이 구하기 4점

8 (큰 부채꼴의 호의 길이) =2p\6\ 60 360

=2p{cm} y`!

(작은 부채꼴의 호의 길이) =2p\4\ 60 360 =4

3p{cm} y`@

∴ (어두운 부분의 둘레의 길이) =2p+4

3p+2+2 =10

3p+4{cm} y`#

(7)

! 큰 부채꼴의 호의 길이 구하기 3점

@ 작은 부채꼴의 호의 길이 구하기 3점

# 어두운 부분의 둘레의 길이 구하기 2점

9 △EBC는 정삼각형이므로

CABE=90!-60!=30!, CECD=90!-60!=30! y`!

∴ (어두운 부분의 넓이)

=(정사각형 ABCD의 넓이)-(부채꼴 ABE의 넓이)\2 =12\12-[p\12@\ 30

360 ]\2

=144-24p{cm@} y`@

! CABE, CECD의 크기 구하기 각 2점

10 소가 최대한 움직일 수 있는 영역은 _{3 m}

3 m 2 m4 m270! A C

오른쪽 그림과 같다. y`! B

A 부분의 넓이는

p\6@\ 270360=27p{ m@} y`@ B 부분의 넓이는

p\3@\ 90360=9

4p{ m@} y`# C 부분의 넓이는 p\2@\ 90

360=p{ m@} y`$

∴ {소가 최대한 움직일 수 있는 영역의 넓이) =27p+9

4p+p= 1214 p{ m@} y`%

! 소가 최대한 움직일 수 있는 영역을 그림으로 나타내기 4점

@ A 부분의 넓이 구하기 2점

# B 부분의 넓이 구하기 2점

$ C 부분의 넓이 구하기 2점

% 소가 최대한 움직일 수 있는 영역의 넓이 구하기 2점

11-1 (어두운 부분의 넓이)

=p\7@\ 12-p\4@\ 12-p\3@\ 12 y`!

=49

2p-8p- 92p=12p{cm@} y`@

11-2 주어진 도형을 변형하면 오른쪽 그

O2 cm 2 cm

6 cm

림과 같다. y`!

=p\3@-p\1@ y`@

=9p-p=8p{cm@} y`#

1 밑면을 n각형이라고 하면 대각선의 개수가 5개이므로

n{n-3}

2 =5에서 n{n-3}=10=5\2

∴ n=5

따라서 밑면이 오각형인 각뿔은 오각뿔이고, y`!

오각뿔은 육면체이다. y`@

! 밑면의 대각선의 개수가 5개인 각뿔 구하기 5점

@ 주어진 각뿔이 몇 면체인지 구하기 3점

2 주어진 입체도형의 꼭짓점의 개수는 16개이므로 v=16 모서리의 개수는 24개이므로 e=24

면의 개수는 10개이므로 f=10 y`!

∴ v-e+f=16-24+10=2 y`@

! v, e, f 의 값 구하기 각 2점

@ v-e+f 의 값 구하기 2점

다면체와 회전체

5

P. 116 ~ 118

1 육면체 2 2 3 30 4 6개 5 풀이 참조 6 ⑴ 12개 ⑵ 정이십면체 ⑶ 30개 7 8 8 72 cm@ 9 144

25p cm@

10 ⑴ 10p cm ⑵ 150!

11-1 풀이 참조 11-2 18 11-3 정팔면체

! 도형을 변형하여 그림으로 나타내기 3점

# 어두운 부분의 넓이 구하기 2점

11-3 주어진 도형을 변형하면 오른쪽

6 cm O

그림과 같다. y`!

=p\6@-[1

2 \12\6]\2 y`@

=36p-72{cm@} y`#

! 도형을 변형하여 그림으로 나타내기 5점

# 어두운 부분의 넓이 구하기 2점

(8)

3 ㈎, ㈏에서 주어진 입체도형은 각뿔대이다.

이 입체도형을 n각뿔대라고 하면

㈐에서 n+2=8이므로 n=6, 즉 육각뿔대 y`! 육각뿔대의 꼭짓점의 개수는 6\2=12(개)이므로

a=12 y`@

모서리의 개수는 6\3=18(개)이므로

b=18 y`#

∴ a+b=12+18=30 y`$

! 입체도형의 이름 구하기 4점

@ a의 값 구하기 2점

# b의 값 구하기 2점

$ a+b의 값 구하기 2점

4 주어진 각뿔을 n각뿔이라고 하면

면의 개수는 {n+1}개, 모서리의 개수는 2n개이므로 y`! {n+1}+2n=16, 3n=15

∴ n=5, 즉 오각뿔 y`@

따라서 오각뿔의 꼭짓점의 개수는

5+1=6(개) y`#

! n각뿔의 면의 개수, 모서리의 개수 구하기 4점

@ 입체도형의 이름 구하기 4점

# 꼭짓점의 개수 구하기 2점

5 정다면체는 입체도형이므로 한 꼭짓점에 3개 이상의 면이 모 여야 하고, 한 꼭짓점에 모인 각의 크기의 합이 360!이면 평 면이 되므로 360!보다 작아야 한다. y`! 이때 정육각형의 한 내각의 크기는 180!\{6-2}

6 =120!이 므로 정육각형이 한 꼭짓점에 3개 이상 모이면 그 꼭짓점에 모인 각의 크기의 합이 360!보다 크거나 같게 되기 때문에 면의 모양이 정육각형인 정다면체는 만들 수 없다. y`@

! 입체도형이 되기 위한 조건 설명하기 4점

@ 정육각형의 한 내각의 크기가 120!임을 이용하여 면의 모양이 정육각형인 정다면체가 없는 이유 설명하기 6점

6 ⑴ 정십이면체의 면의 개수만큼 꼭짓점의 개수가 생기므로 만들어지는 정다면체의 꼭짓점의 개수는 12개이다.

⑵ 꼭짓점의 개수가 12개인 정다면체는 정이십면체이다.

⑶ 정이십면체의 모서리의 개수는 30개이다.

7 주어진 주사위의 전개도에서 면 A와 마주 보는 면에 있는 점 의 개수는 1개이므로

a+1=7 ∴ a=6 y`!

면 B와 마주 보는 면에 있는 점의 개수는 3개이므로

b+3=7 ∴ b=4 y`@

면 C와 마주 보는 면에 있는 점의 개수는 5개이므로

c+5=7 ∴ c=2 y`#

∴ a+b-c=6+4-2=8 y`$

! a의 값 구하기 2점

@ b의 값 구하기 2점

# c의 값 구하기 2점

$ a+b-c의 값 구하기 2점

8 직선 L 을 회전축으로 하여 1회전할 때

8 cm

6 cm 3 cm3 cm

생기는 회전체는 오른쪽 그림과 같다.

y`! 따라서 구하는 단면의 넓이는

- 1

2\{3+6}\8 =\2=72{cm@} y`@

! 1회전할 때 생기는 회전체의 모양 알기 5점

@ 단면의 넓이 구하기 5점

9 회전체를 회전축에 수직인 평면으

5 cm 3 cm

4 cm r cm

B

C

로 자른 단면 중 가장 큰 단면은 오 A

른쪽 그림과 같이 점 B를 지나는 원이다.

이 원의 반지름의 길이를 r cm라 고 하면

1

2\3\4=1 2\5\r

∴ r=12

5{cm} y`!

따라서 구하는 가장 큰 단면의 넓이는 p\[12

5 ]@=144

25p{cm@} y`@

! 가장 큰 단면의 반지름의 길이 구하기 5점

@ 가장 큰 단면의 넓이 구하기 5점

10 ⑴ 원뿔의 전개도에서 옆면인 부채꼴의 호의 길이는 밑면인 원의 둘레의 길이와 같으므로

2p\5=10p{cm}

⑵ 원뿔의 전개도에서 옆면인 부채꼴의 중심각의 크기를 x!

라고 하면 2p\12\ x

360=10p ∴ x=150{!}

11-1 면의 모양이 정삼각형인 정다면체는

정사면체, 정팔면체, 정이십면체이고, y`! 면의 모양이 정사각형인 정다면체는 정육면체이며, y`@ 면의 모양이 정오각형인 정다면체는 정십이면체이다. y`#

(9)

! 면의 모양이 정삼각형인 정다면체 찾기 2점

@ 면의 모양이 정사각형인 정다면체 찾기 2점

# 면의 모양이 정오각형인 정다면체 찾기 2점

11-2 a=3, b=3, c=4, d=3, e=5이므로 y`! a+b+c+d+e =3+3+4+3+5

=18 y`@

! a, b, c, d, e의 값 구하기 각 1점

@ a+b+c+d+e의 값 구하기 3점

11-3 x`:`z=3`:`4이므로 x=3 4 z y`:`z=3`:`2이므로 y=3

2 z y`!

이때 x-y+z=2이므로 3

4 z-3

2 z+z=2, 1

4 z=2 ∴ z=8 y`@

따라서 정팔면체이다. y`#

! x, y를 z를 사용한 식으로 나타내기 각 2점

@ 면의 개수 구하기 4점

# 정다면체 구하기 2점

1 ⑴ (밑넓이)=1

2\4\3=6{cm@}

⑵ (옆넓이)={3+4+5}\6=72{cm@}

⑶ (겉넓이) =(밑넓이)\2+(옆넓이)

=6\2+72=84{cm@}

2 (밑넓이)=p\5@\216

360=15p{cm@} y`! (옆넓이) =[2p\5\216

360+5+5]\10

=60p+100{cm@} y`@

입체도형의 겉넓이와 부피

6

P. 119 ~ 121

1 ⑴ 6 cm@ ⑵ 72 cm@ ⑶ 84 cm@

2 {90p+100} cm@ 3 4p cm@ 4 56 cm@

5 216 cm# 6 4p cm# 7 32 3 cm#

8 30p cm# 9 27p cm#

10 ⑴ 2pr#, 4

3pr# ⑵ 3`:`2

11-1 144p cm@, 288p cm# 11-2 8개 11-3 16p cm#

∴ (겉넓이) =(밑넓이)\2+(옆넓이)

=15p\2+{60p+100}

=90p+100{cm@} y`#

! 기둥의 밑넓이 구하기 3점

@ 기둥의 옆넓이 구하기 3점

# 기둥의 겉넓이 구하기 3점

3 (부채꼴의 호의 길이) ={2p\3}\120 360

=2p{cm} y`!

∴ (밑면인 원의 둘레의 길이)=2p{cm}

밑면인 원의 반지름의 길이를 r cm라고 하면 2pr=2p

∴ r=1{cm} y`@

∴ (원뿔의 겉넓이) =p\1@+1

2\3\2p

=p+3p=4p{cm@} y`#

! 부채꼴의 호의 길이 구하기 3점

@ 밑면인 원의 반지름의 길이 구하기 3점

# 원뿔의 겉넓이 구하기 3점

4 (두 밑면의 넓이의 합) =2\2+4\4

=20{cm@} y`! (옆넓이)=- 1

2\{2+4}\3 =\4=36{cm@} y`@

∴ (겉넓이) =20+36=56{cm@} y`#

! 두 밑면의 넓이의 합 구하기 3점

@ 옆넓이 구하기 4점

# 사각뿔대의 겉넓이 구하기 2점

5 (밑넓이)=1

2\{4+8}\3=18{cm@} y`!

(높이)=12 cm y`@

∴ (부피) =18\12=216{cm#} y`#

! 사각기둥의 밑넓이 구하기 3점

@ 사각기둥의 높이 구하기 2점

# 사각기둥의 부피 구하기 1점

6 ACZ를 회전축으로 하여 1회전하면 오른 ^{3 cm}

4 cm

쪽 그림과 같은 원뿔이 생기므로 (부피) =1

3\{p\4@}\3

=16p{cm#} y`!

BCZ를 회전축으로 하여 1회전하면 오른쪽

3 cm 4 cm

그림과 같은 원뿔이 생기므로

(10)

(부피) =1

3\{p\3@}\4

=12p{cm#} y`@

따라서 두 회전체의 부피의 차는

16p-12p=4p{cm#} y`#

! ACZ를 회전축으로 하여 1회전할 때 생기는 회전체의

부피 구하기 4점

@ BCZ를 회전축으로 하여 1회전할 때 생기는 회전체의

부피 구하기 4점

# 두 회전체의 부피의 차 구하기 1점

7 (밑넓이) =(△ABC의 넓이) =1

2\4\4

=8{cm@} y`!

(높이)=( BFZ의 길이)=4 cm y`@ (삼각뿔의 부피) =1

3\8\4 =32

3 {cm#} y`#

! 삼각뿔의 밑넓이 구하기 4점

@ 삼각뿔의 높이 구하기 2점

# 삼각뿔의 부피 구하기 3점

8 주어진 평면도형을 직선 L 을 회전축으

3 cm

4 cm

로 하여 1회전할 때 생기는 입체도형 은 오른쪽 그림과 같다. y`!

∴ (입체도형의 부피)

=(반구의 부피)+(원뿔의 부피) =1

2\[4

3p\3#]+1

3\{p\3@}\4 y`@

=18p+12p

=30p{cm#} y`#

! 입체도형의 겨냥도 그리기 3점

@ 입체도형의 부피 구하는 식 세우기 4점

# 입체도형의 부피 구하기 2점

9 (구의 부피) =4 3 p\3#

=36p{cm#} y`!

주어진 입체도형은 구의 1

4 을 잘라 낸 것이므로 구의 부피의 3

4 이다.

∴ (입체도형의 부피) =36p\3 4

=27p{cm#} y`@

! 구의 부피 구하기 4점

@ 입체도형의 부피 구하기 5점

10 ⑴ (원기둥의 부피)=pr@\2r=2pr#

(구의 부피)=4 3pr#

⑵ (원기둥의 부피)`:`(구의 부피)=2pr#`:`4

3pr#=3`:`2

11-1 (겉넓이) =4p\6@

=144p{cm@} y`!

(부피) =4 3p\6#

=288p{cm#} y`@

! 구의 겉넓이 구하기 5점

@ 구의 부피 구하기 5점

11-2 반지름의 길이가 4 cm인 쇠공의 부피는 4

3p\4#= 2563 p{cm#} y`! 반지름의 길이가 2 cm인 쇠공의 부피는

4

3p\2#= 323 p{cm#} y`@ 따라서 반지름의 길이가 2 cm인 쇠공을

256

3 p_ 323 p=8(개) 만들 수 있다. y`#

! 반지름의 길이가 4 cm인 쇠공의 부피 구하기 4점

@ 반지름의 길이가 2 cm인 쇠공의 부피 구하기 4점

# 반지름의 길이가 2 cm인 쇠공의 개수 구하기 4점

11-3 (원기둥의 높이) =2\6=12{cm}

(원기둥의 부피) ={p\2@ }\12

=48p{cm#} y`!

(구 한 개의 부피) =4 3p\2#

=32

3 p{cm#} y`@

∴ (빈 공간의 부피) =48p-32 3p\3

=48p-32p

=16p{cm#} y`#

! 원기둥의 부피 구하기 5점

@ 구 한 개의 부피 구하기 5점

# 빈 공간의 부피 구하기 4점

(11)

6 (도수분포다각형과 가로축으로 둘러싸인 부분의 넓이)

=(계급의 크기)\(전체 학생 수)

=10\40 y`!

=400 y`@

! 도수분포다각형과 가로축으로 둘러싸인 부분의 넓이

를 구하는 식 세우기 5점

@ 도수분포다각형과 가로축으로 둘러싸인 부분의 넓이

구하기 2점

7 ⑴ 사회 성적이 70점 이상 80점 미만인 학생 수는 40-{2+6+9+7}=16(명)

⑵ 사회 성적이 60점 미만인 학생은 2명, 70점 미만인 학생은 2+6=8(명), 80점 미만인 학생은 8+16=24(명)이다.

따라서 사회 성적이 낮은 쪽에서 10번째인 학생이 속하는 계급은 70점 이상 80점 미만이고 이 계급의 도수는 16명

이다. y`!

∴ (상대도수)=16

40=0.4 y`@

! 사회 성적이 낮은 쪽에서 10번째인 학생이 속하는 계

급 구하기 2점

@ 사회 성적이 낮은 쪽에서 10번째인 학생이 속하는 계

급의 상대도수 구하기 2점

8 상대도수가 가장 큰 계급은 80점 이상 90점 미만인 계급이다.

즉, 상대도수가 0.32인 계급의 도수가 16명이므로 (전체 학생 수)= 16

0.32=50(명) y`! 영어 성적이 70점 미만인 계급의 상대도수의 합은

0.02+0.06+0.16=0.24 y`@ 따라서 영어 성적이 70점 미만인 학생 수는

50\0.24=12(명) y`#

! 전체 학생 수 구하기 2점

@ 영어 성적이 70점 미만인 계급의 상대도수의 합 구하기 2점

# 영어 성적이 70점 미만인 학생 수 구하기 3점

9 각 계급의 상대도수는 그 계급의 도수에 정비례하므로 몸무 게가 45 kg 이상 50 kg 미만인 계급의 상대도수를 x라고 하 면 몸무게가 50 kg 이상 55 kg 미만인 계급의 상대도수는

2x이다. y`!

x+2x=1-{0.12+0.16+0.08+0.04}에서 3x=0.6 ∴ x=0.2

즉, 몸무게가 45 kg 이상 50 kg 미만인 계급의 상대도수는

0.2이다. y`@

따라서 몸무게가 50 kg 미만인 학생 수는

350\{0.12+0.16+0.2}=168(명) y`#

1 ⑴ 잎이 가장 많은 줄기는 잎이 7개인 8이다.

⑵ 체육 성적이 83점 이상 92점 미만인 학생은 83점, 85점, 87점, 88점, 89점의 5명이다.

⑶ 체육 성적이 좋은 학생의 성적부터 차례로 나열하면 98 점, 92점, 89점, 88점, 87점, y이므로 체육 성적이 좋은 쪽에서 5번째인 학생의 성적은 87점이다.

2 ⑴ A+B =40-{2+6+8+6+4}=14

⑵ A=14\ 4 4+3=8 B=14\ 3

4+3=6

3 ⑴ (전체 학생 수)=2+2+7+5+6+5+3=30(명)

⑵ 과학 성적이 65점 이상 70점 미만인 학생은 2명, 70점 이 상 75점 미만인 학생은 7명이므로 2+7=9(명)

⑶ 과학 성적이 90점 이상인 학생은 3명, 85점 이상인 학생은 5+3=8(명), 80점 이상인 학생은 6+8=14(명)이므로 과학 성적이 좋은 쪽에서 10번째인 학생이 속하는 계급은 80점 이상 85점 미만이다.

4 원반던지기 기록이 30 m 이상 40 m 미만인 학생 수는 50-{4+14+10+2}=20(명) y`!

∴ 20

50\100=40{%} y`@

! 기록이 30 m 이상 40 m 미만인 학생 수 구하기 3점

@ 기록이 30 m 이상 40 m 미만인 학생은 전체의 몇 %

인지 구하기 3점

5 (전체 학생 수)=2+3+5+8+9+7+6=40(명) y`! 국어 성적이 80점 이상인 학생은

7+6=13(명) y`@

∴ 13

40\100=32.5{%} y`#

@ 국어 성적이 80점 이상인 학생 수 구하기 2점

# 국어 성적이 80점 이상인 학생은 전체의 몇 %인지 구

하기 2점

자료의 정리와 해석

7

P. 122 ~ 124

1 ⑴ 8 ⑵ 5명 ⑶ 87점 2 ⑴ 14 ⑵ A=8, B=6 3 ⑴ 30명 ⑵ 9명 ⑶ 80점 이상 85점 미만

4 40 % 5 32.5% 6 400

7 ⑴ 16명 ⑵ 0.4 8 12명 9 168명 10 남학생 2명, 여학생 6명 11 16 % 12 ⑴ A 반 ⑵ B 반 13-1 50명

13-2 A=50, B=7, C=0.04, D=1 13-3 58 %

1차

(12)

! 45 kg 이상 50 kg 미만, 50 kg 이상 55 kg 미만인 계

급의 상대도수를 문자로 나타내기 2점

@ 45 kg 이상 50 kg 미만인 계급의 상대도수 구하기 3점

# 몸무게가 50 kg 미만인 학생 수 구하기 3점

10 중간고사성적이90점이상인남학생의상대도수는0.1이

므로성적우수상을받는남학생수는

20\0.1=2(명) y`!

중간고사성적이90점이상인여학생의상대도수는0.2이

므로성적우수상을받는여학생수는

30\0.2=6(명) y`@

! 성적우수상을 받는 남학생 수 구하기 3점

@ 성적우수상을 받는 여학생 수 구하기 3점

11 (전체학생수)=20+30=50(명) y`!

중간고사성적이90점이상인학생은남학생이2명,여학생 이3명이므로성적우수상을받는학생은전체의

2+6

50 \100=8

50\100 y`@

=16{%} y`#

@ 성적우수상을 받는 학생은 전체의 몇 %인지를 구하는

식 세우기 4점

# 성적우수상을 받는 학생은 전체의 몇 %인지 구하기 3점

12 ⑴읽은책의수가3권이상4권미만인계급의A반과B반 의상대도수는각각0.4,0.3이므로A반의학생의비율 이더높다.

⑵B반에대한그래프가A반에대한그래프보다전체적으 로오른쪽으로치우쳐있으므로B반이A반보다책을더

많이읽었다고할수있다.

13-1인터넷사용시간이4시간이상6시간미만인계급의도수 가15명,상대도수가0.3이므로

(전체학생수)=15

0.3 y`!

=50(명) y`@

! 전체 학생 수를 구하는 식 세우기 4점

@ 전체 학생 수 구하기 2점

13-2A=15

0.3=50 y`!

B=50\0.14=7 y`@

C= 2

50 =0.04 y`#

D=1 y`$

! A의 값 구하기 2점

@ B의 값 구하기 2점

# C의 값 구하기 2점

$ D의 값 구하기 2점

13-3전체학생수가15

0.3=50(명)이고, y`!

인터넷사용시간이2시간이상4시간미만인학생수는

50\0.24=12(명)이므로 y`@

인터넷사용시간이6시간미만인학생수는

2+12+15=29(명) y`#

∴29

50\100=58{%} y`$

@ 인터넷 사용 시간이 2시간 이상 4시간 미만인 학생 수

구하기 2점

# 인터넷 사용 시간이 6시간 미만인 학생 수 구하기 4점

$ 인터넷 사용 시간이 6시간 미만인 학생은 전체의 몇 %

인지 구하기 3점

1차

(13)

정답과 해설

CBAD =1

2CBAC =1

2\80!=40!

△ABD에서

Cx =CABD+CBAD

=45!+40!=85!

14 오른쪽 그림에서

b e

f g h

c x y d a

Cx+Cy`=Cd+Ce 이므로

Ca+Cb+Cc+Cd

+Ce+Cf +Cg +Ch

=Ca+Cb+Cc+Cx+Cy+Cf +Cg +Ch

=180!\{6-2}

=720!

15 다각형의 외각의 크기의 합은 항상 360!이므로 60!+{180!-95!}+{180!-100!}+Cx+80!=360!

60!+85!+80!+Cx+80!=360!

∴ Cx=55!

16 내각의 크기의 합이 1260!인 정다각형을 정n각형이라고 하면 180!\{n-2}=1260!

n-2=7 ∴ n=9

따라서 정구각형이므로 한 외각의 크기는 360!

9 =40!

17 호의 길이는 부채꼴의 중심각의 크기에 정비례하므로 x`:`6=120!`:`40!, x`:`6=3`:`1

∴ x=18

10`:`4=90!`:`y`!, 5`:`2=90`:`y

∴ y=36

18 오른쪽 그림에서 어두운 부분의 넓이는

4 cm 4 cm

p\4@\ 90360-1 2\4\4

=4p-8{cm@}

따라서 주어진 그림에서 어두운 부분의 넓이는

{4p-8}\8=32p-64{cm@}

19 점 M은 ABZ의 중점이고 AXMZ=9 cm이므로 ABZ=2AXMZ=18{cm}, MBZ=9 cm ABZ=3BCZ이므로 BCZ=1

3ABZ=1

3\18=6{cm}

점 N은 BCZ의 중점이므로 BNZ=1

2 BCZ=1

2\6=3{cm}

∴ MNZ=MBZ+BNZ=9+3=12{cm}

중간/ 기말고사 예상 문제

1 ③ 2 ② 3 ③ 4 ② 5 ⑤ 6 ④ 7 ① 8 ①, ④ 9 ②, ③ 10 ③, ⑤ 11 ② 12 ④ 13 ④ 14 ⑤ 15 ② 16 ④ 17 ⑤ 18 ④ 19 12 cm 20 52! 21 80!

22 △ABE+△BCF ( SAS 합동), 과정은 풀이 참조 23 96!, 과정은 풀이 참조

중간고사 예상 문제 1회

P. 125 ~ 127

3 맞꼭지각의 크기는 서로 같으므로 Ca=Cb+90! ∴ Ca-Cb=90!

4 오른쪽 그림과 같이 L\m이고 L|n이 ⁿ

m L

면 m\n이다.

6 오른쪽 그림과 같이 140!

60!

40!

y

m n

L|m|n인 직선 n을 그으면 L

Cx=60!+40!=100!

Cy=180!-60!=120!

∴ Cx+Cy =100!+120!

=220!

8 ① 11>3+7

④ 6=3+3

따라서 삼각형의 세 변의 길이가 될 수 없는 것은 ①, ④이다.

9 ㄴ과 ㅁ: 대응하는 두 변의 길이가 각각 같고, 그 끼인각의 크기가 같으므로 합동이다. ( SAS 합동)

ㄷ과 ㄹ: 대응하는 한 변의 길이가 같고, 그 양 끝 각의 크기가 각각 30!, 80!로 같으므로 합동이다. ( ASA 합동) 따라서 합동인 것끼리 짝지은 것은 ②, ③이다.

10 ③ 모든 변의 길이가 같고, 모든 내각의 크기가 같은 다각형 을 정다각형이라고 한다.

⑤ 칠각형의 한 꼭짓점에서 그을 수 있는 대각선의 개수는 7-3=4(개)이다.

11 ^16\{16-3}₂ =104(개)

12 3Cx-21!=45!+Cx 2Cx=66! ∴ Cx=33!

13 △ABC에서

CBAC =180!-{45!+55!}=80!

(14)

20 ^ADZ|BCZ이므로

CDGI=CGIH=26! (엇각) CHGI=CDGI=26! (접은 각)

∴ CGHB =CDGH (엇각)

=2\26!=52!

21 (부채꼴의 호의 길이)=4p cm이므로 2p\9\ x360=4p ∴ Cx=80!

22 △ABE와 △BCF에서

사각형 ABCD가 정사각형이므로

ABZ=BCZ, y`!

CABE=CBCF=90! y`@

또 BEZ=CFZ이므로 y`#

△ABE+△BCF ( SAS 합동) y`$

! ABZ=BCZ임을 보이기 2점

@ CABE=CBCF임을 보이기 2점

# BEZ=CFZ임을 나타내기 1점

$ 합동임을 기호로 나타내고, 합동 조건 구하기 2점

23 △ABC에서

CACB=CABC=24!

∴ CCAD=24!+24!=48! y`!

△CDA에서

CCDA=CCAD=48!

△DBC에서

CDCE=24!+48!=72!

△DCE에서

CDEC=CDCE=72! y`@

따라서 △DBE에서

Cx=24!+72!=96! y`#

! CCAD의 크기 구하기 2점

@ CDEC의 크기 구하기 2점

1 ⑤ 2 ③ 3 ⑤ 4 ①, ④ 5 ① 6 ②, ③ 7 ③ 8 ② 9 ④ 10 ②, ⑤ 11 ④ 12 ④ 13 ① 14 ② 15 ③ 16 ④ 17 ③ 18 ③ 19 4 cm 20 55!

21 28개 22 10 cm, 과정은 풀이 참조 23 24 cm, 과정은 풀이 참조

중간고사 예상 문제 2회

P. 128 ~ 130

1 ⑤ DXBV와 DXCV는 시작점과 뻗어 나가는 방향이 같으므로 같 은 반직선이다.

2 맞꼭지각의 크기는 서로 같으므로 x+20=3x-40, 2x=60

∴ x=30

y =180-{x+20}

=180-{30+20}=130

3 ⑤ 점 C와 ABu 사이의 거리는 CHZ의 길이이다.

4 ② 한 직선에 수직인 서로 다른 두 직선은 평행하거나 한 점 에서 만나거나 꼬인 위치에 있을 수 있다.

③ 한 평면에 평행한 서로 다른 두 직선은 평행하거나 한 점 에서 만나거나 꼬인 위치에 있을 수 있다.

⑤ 두 직선이 서로 만나지 않으면 이 두 직선은 평행하거나 꼬인 위치에 있을 수 있다.

5 주어진 전개도를 접으면 오른쪽 그림과 같은 ^A{F}

H

C

D G

B{E}

삼각기둥이 된다.

따라서 모서리 CD와 꼬인 위치에 있는 모서 리는 AXHZ, AXBZ, AXGZ이다.

6 ② L|m인 경우에만 Cb+Ce=180!가 성립한다.

③ 엇각은 Cb와 Ch, Cc와 Ce이다.

7 오른쪽 그림과 같이 두 직선 L, m에 평

30!30!

105! 105!

25! 25! p x-30!q

m L

행한 두 직선 p, q를 그으면 105!+{Cx-30!}=180!

∴ Cx=105!

8 ㄱ. 5+3<10이므로 삼각형이 그려지지 않는다.

ㄷ. 두 변의 길이와 그 끼인각이 아닌 다른 각의 크기가 주어 졌으므로 삼각형이 하나로 정해지지 않는다.

9 △ADF, △BED, △CFE에서

△ABC가 정삼각형이므로 CFAD=CDBE=CECF=60!

ABZ=BCZ=CAZ이고 ADZ=BEZ=CFZ이므로 AFZ=BDZ=CEZ{②}

∴ △ADF+△BED+△CFE ( SAS 합동)

따라서 DFZ=EDZ=FEZ, CAFD=CBDE=CCEF{③}

이때 △DEF는 정삼각형이므로

CDEF=CEFD=CFDE=60!{①}이고, CBDE+CADF =180!-CFDE

=180!-60!=120!{⑤}

따라서 옳지 않은 것은 ④이다.

(15)

10 곡선이 있는 평면도형{②}이나 입체도형{⑤}은 다각형이 아 니다.

11 주어진 다각형을 n각형이라고 하면 n-3=5 ∴ n=8

따라서 팔각형이므로 a=8, b=8\{8-3}

2 =20

∴ a+b=8+20=28

12 오른쪽 그림과 같이 AXDV를 그으면

25!

B

D

E C

A

30!

b+30!

a+25!

Cx =CBDE+CCDE a b

={Ca+25!}+{Cb+30!}

={Ca+Cb}+55!

=70!+55!

=125!

13 삼각형에서 한 외각의 크기는 그와 이웃하지 않는 두 내각의 크기의 합과 같으므로

Cc=23!+30!=53!

Ce=42!+35!=77!

삼각형의 내각의 크기의 합은 180!이므로 Cd=180!-{53!+77!}=50!

Cb=180!-{23!+50!}=107!

Ca=180!-{35!+50!}=95!

14 다각형의 외각의 크기의 합은 항상 360!이므로

50!+{180!-85!}+45!+60!+65!+{180!-Cx}=360!

50!+95!+45!+60!+65!+180!-Cx=360!

∴ Cx=135!

15 주어진 정다각형을 정n각형이라고 하면 한 외각의 크기가 180!\ 14+1=36!이므로

360!

n =36! ∴ n=10 따라서 정십각형이다.

16 ① 부채꼴의 넓이는 중심각의 크기에 정비례하므로 CAOC=4CBOC

② CAOC`:`CAOB=4`:`5이므로 CAOC=4

5CAOB

③ 부채꼴의 호의 길이는 중심각의 크기에 정비례하므로 BCi=1

4 ACi

④ 현의 길이는 중심각의 크기에 정비례하지 않는다.

∴ ACZ=4BCZ

⑤ CBOC`:`CAOB=1`:`5이므로 CBOC=1

5CAOB= 15\180!=36!

따라서 옳지 않은 것은 ④이다.

17 △EBC가 정삼각형이므로 CABE=90!-60!=30!

=(사각형 ABCD의 넓이) -(부채꼴 ABE의 넓이)\2 =10\10-[p\10@\ 30

360 ]\2 =100-50

3p{cm@}

18 (어두운 부분의 둘레의 길이)

=2p\4\ 120

360+2p\2\ 120 360+2+2

=8

3p+ 43p+4

=4p+4{cm}

19 ^ADZ=ACZ+CDZ=2CDZ+CDZ=3CDZ이므로 CDZ=1

3ADZ=1

3\24=8{cm}

∴ ACZ=2CDZ=2\8=16{cm}

ACZ=ABZ+BCZ=3BCZ+BCZ=4BCZ이므로 BCZ=1

4 ACZ=1

4\16=4{cm}

ACZ=2CDZ이므로 ACZ`:`CDZ=2`:`1이다.

∴ ACZ = 2

2+1\ADZ

=2 3 \24

=16{cm}

ABZ=3BCZ이므로 ABZ`:`BCZ=3`:`1이다.

∴ BCZ = 1

3+1\ACZ

=1 4 \16

=4{cm}

20 CBOF=180!-70!=110!

CBOC=CCOD, CDOE=CEOF이므로 2{CCOD+CDOE}=CBOF=110!

∴ CCOD+CDOE=55!

∴ CCOE=CCOD+CDOE=55!

21 설치할 회선의 개수는 팔각형의 대각선의 개수와 변의 개수의 합과 같으므로

8\{8-3}

2 +8=20+8=28(개)

22 △BCG와 △DCE에서 사각형 ABCD가 정사각형이므로 BCZ=DCZ

사각형 GCEF가 정사각형이므로 CGZ=CEZ

(16)

CBCG=CDCE=90!

∴ △BCG+△DCE ( SAS 합동) y`! 따라서 합동인 두 삼각형에서 대응변의 길이는 같으므로

DEZ=BGZ=10 cm y`@

! △BCG+△DCE임을 설명하기 4점

@ DEZ의 길이 구하기 3점

23 ^OAZ=OBZ이므로 △AOB에서

COAB= 12\{180!-120!}=30! y`! ABZ|CDZ이므로

CAOC=COAB=30! (엇각) y`@

2`:`(원의 둘레의 길이)=30!`:`360!이므로 2`:`(원의 둘레의 길이)=1`:`12

∴ (원의 둘레의 길이)=24{cm} y`#

! COAB의 크기 구하기 2점

@ CAOC의 크기 구하기 2점

# 원의 둘레의 길이 구하기 2점

1 ③, ⑤ 2 ④ 3 ①, ④ 4 ① 5 ③ 6 ④ 7 ④ 8 ② 9 ③ 10 ③ 11 ② 12 ② 13 ④ 14 ② 15 ② 16 ④ 17 ② 18 정팔면체

19 144 cm# 20 12명 21 18분, 과정은 풀이 참조

22 남자 선생님: 8명, 여자 선생님: 20명, 과정은 풀이 참조

기말고사 예상 문제 1회

P. 131 ~ 133

1 곡면을 포함한 입체도형{③}과 평면도형{⑤}은 다면체가 아 니다.

2 각각의 면의 개수를 구하면 다음과 같다.

① 6개 ② 6개 ③ 7개

④ 8개 ⑤ 9개

따라서 팔면체인 것은 ④이다.

3 ② 정육면체 - 정사각형 ③ 정팔면체 - 정삼각형

⑤ 정이십면체 - 정삼각형

4 주어진 전개도로 만들어진 정다면체는 정팔면체이므로 a=6, b=12

∴ b-a=12-6=6

5 회전체는 ㄴ, ㄹ, ㅁ의 3개이다.

6 ^L

7 구의 1

8 을 잘라 내었으므로 (겉넓이) ={4p\10@}\7

8+p\10@\ 90360\3

=350p+75p

=425p{cm@}

8 (부피) =(밑넓이)\{높이) =[1

2\6\4]\8

=96{cm#}

9 (반구의 부피) =1 2\[4

3 p\3#]

=18p{cm#}

(원기둥의 부피) ={p\3@}\4

=36p{cm#}

따라서 주어진 입체도형의 부피는 18p+36p=54p{cm#}

12 ② 각 계급에 속하는 자료의 개수를 도수라고 한다.

13 성공 횟수가 6회 이상인 학생 수는 4+4=8(명)이므로 전체의 8

20\100=40{%}

14 ㄱ. 계급의 크기는

50-40=60-50=y`=100-90=10(점) ㄴ. 성적이 70점 미만인 학생 수는

1+3+5=9(명)

ㄷ. (전체 학생 수)=1+3+5+8+6+2=25(명)

ㄹ. 도수가 가장 큰 계급은 도수가 8명인 70점 이상 80점 미 만이다.

따라서 옳은 것은 ㄴ, ㄹ이다.

15 (전체 학생 수) =13+11+11+10+3+2=50(명) 이때 상위 10 % 이내에 드는 학생은 50×10

100=5(명)이고, 80점 이상인 학생 수가 3+2=5(명)이므로 수학 성적을 최 소한 80점 이상 받아야 수학 경시대회에 참가할 수 있다.

16 B 반에서 국어 성적이 70점 이상 80점 미만인 계급의 상대도 수가 0.35이므로

(전체 학생 수)= 14

0.35=40(명)

(17)

17 ① 성적이 우수한 학생은 B 반이 A 반보다 더 많은 편이다.

② A 반에서 국어 성적이 80점 이상인 계급의 상대도수의 합 은 0.05+0=0.05이므로 전체의

0.05\100=5{%}

③ A 반과 B 반의 전체 학생 수는 알 수 없다.

④ 상대도수의 합은 항상 1이다.

⑤ 각 반의 전체 학생 수를 알지 못하므로 국어 성적이 70점 이상 80점 미만인 학생 수가 어느 반이 더 많은지 알 수 없다.

따라서 옳은 것은 ②이다.

18 모든 면이 합동인 정삼각형인 정다면체는 정사면체, 정팔면 체, 정이십면체이고, 이 중 모서리의 개수는 12개이고 한 꼭 짓점에 모이는 면의 개수가 4개인 것은 정팔면체이다.

19 (부피) =1 3\[1

2\6\12]\12

=144{cm#}

20 몸무게가 50 kg 이상 55 kg 미만인 계급의 상대도수는 1-{0.15+0.25+0.2+0.1}=0.3

따라서 이 계급의 학생 수는 40\0.3=12(명)

21 (그릇의 부피) =1

3\{p\6@}\9

=108p{cm#} y`!

따라서 빈 그릇에 물을 가득 채우는 데 걸리는 시간은

108p_6p=18(분) y`@

! 그릇의 부피 구하기 4점

@ 그릇을 채우는 데 걸리는 시간 구하기 3점

22 남자 선생님 중에서 상대도수가 가장 큰 계급은

50세 이상 60세 미만이므로 y`!

이 계급의 도수는 20×0.4=8(명) y`@ 여자 선생님 중에서 상대도수가 가장 큰 계급은

30세 이상 40세 미만이므로 y`#

이 계급의 도수는 50×0.4=20(명) y`$

! 남자 선생님 중에서 상대도수가 가장 큰 계급 구하기 2점

@ !에서 구한 계급의 도수 구하기 2점

# 여자 선생님 중에서 상대도수가 가장 큰 계급 구하기 2점

$ #에서 구한 계급의 도수 구하기 2점

1 ④ 2 ④ 3 ② 4 ④ 5 ③ 6 ③ 7 ⑤ 8 ⑤ 9 ② 10 ⑤ 11 ⑤ 12 ⑤ 13 ② 14 ④ 15 ④ 16 ④ 17 ② 18 45p cm@

19 768p cm# 20 10명 21 144p cm#, 과정은 풀이 참조 22 10권, 과정은 풀이 참조

기말고사 예상 문제 2회

P. 134 ~ 136

1 ④ 팔면체

2 ① 정사각뿔 - 삼각형

② 삼각기둥 - 직사각형

③ 육각뿔 - 삼각형

⑤ 삼각뿔 - 삼각형

3 각각의 꼭짓점의 개수를 구하면 다음과 같다.

①, ③, ④, ⑤ 6개 ② 8개

4 ④ 정이십면체는 정삼각형이 한 꼭짓점에 5개씩 모인 정다면 체이다.

5 주어진 전개도로 입체도형을

A{G}

L

E C

J

B{D, F}

N{H} M{K, I}

만들면 오른쪽 그림과 같다.

따라서 면 ABCN과 평행한 면은 ③ 면 LEJK이다.

6 ① 원뿔대의 전개도에서 옆면은 오른 쪽 그림과 같으므로 사다리꼴이 아 니다.

② 반원의 지름을 회전축으로 하여 1회전할 때 생기는 입체 도형은 구이다.

④ 원뿔대를 회전축을 포함하는 평면으로 자른 단면은 사다 리꼴이다.

⑤ 오른쪽 직각삼각형 ABC에서 변 AB를 _A

B C

회전축으로 하여 1회전할 때 생기는 회전 체는 원뿔이 아니다.

따라서 옳은 것은 ③이다.

7 (겉넓이) =6\6+{6+6+6+6}\8+[1

2\6\5]\4

=36+192+60

=288{cm@}

8 부채꼴의 중심각의 크기를 x!라고 하면 옆면인 부채꼴의 호 의 길이와 밑면의 둘레의 길이가 같으므로

2p\12\ x360=2p\4

∴ x=120{!}