(가)
아래 그림과 같이 원 는 중심이 축 위에 있고 반지름이 1인 원이다. 원 는 다음과 같은 조건 을 만족한다.
(1) 원 는 반지름이 이고, 원 에 접한다. (단, …) (2) 원 의 중심은 축 위에 있다.
(3) 원 는 원 에 접한다. (단, … ) (4) 원 은 원 에 접한다.
그림 1
2011학년도 고려대학교 모의 논술고사 해설
Ⅰ. 2011학년도 고려대학교 모의 논술(자연계)
※주의사항 : 논제 1은 필수로 풀고 논제 2, 3, 4 중 두 문제를 선택해서 답안을 작성하시오.
논제 1(필수).
(a) 와 사이의 관계를 구하시오.
(b) 조건 을 만족하는 의 범위를 구하시오.
(c) 원 ⋯들의 둘레의 합을 이라 할 때, 극한값 lim
→ ∞
을 구하시오.
(d) 원 ⋯들을 축으로 회전시킨 회전체의 부피의 합을 이라 할 때, 극한값 lim
→ ∞
을 정 적분 형태로 표현하시오.
2
(나)
생물체는 다양한 방법으로 유전자의 발현을 조절한다. 1960년대 초반 프랑스의 생화학자 자콥과 모 노는 대장균에서 젖당분해에 관여하는 효소를 연구하던 중에 유전자의 발현 조절 과정을 발견하였다.
대장균은 평상시에는 젖당을 분해하는 효소를 만들지 않으나, 젖당이외의 다른 에너지원이 없으면 대장 균은 젖당을 분해하는 효소를 만들어낸다. 이 때, 만들어진 효소들(효소 A, B, C)은 하나의 조절 부위 에 의해 조절되며 이러한 복합체를 젖당 오페론이라고 부른다 (그림 2).
(다)
젖당 오페론에서 세 가지 효소에 대한 유전 정보를 가지고 있는 유전자를 구조 유전자라 하며, 이 유전자는 근처에 위치한 작동 유전자에 의하여 발현이 조절된다. 젖당이 세포 속에 없으면, 조절 유전 자의 산물인 억제 단백질이 작동 유전자에 결합하여 구조 유전자의 전사를 억제한다. 젖당이 세포 속에 많이 존재하게 되면 젖당이 억제 단백질과 결합, 억제 단백질의 구조를 변형시켜 작동 유전자와 결합하 는 것을 방해하고, 작동 유전자가 활성화되어 구조 유전자의 전사가 시작된다. 작동 유전자 옆에 위치 한 프로모터는 RNA 중합 효소와 결합하는 부위로 구조 유전자의 전사를 조절한다.
그림 2 젖당오페론과 유전자 발현 조절
(라)
위와 같은 전사 과정에서 전사가 얼마나 일어나는지 관측하기 위해 과학자들은 녹색형광단백질을 많이 이용한다. 즉, 전사과정을 관찰하고 싶은 유전자에 녹색형광단백질을 만드는 유전자를 삽입시켜 함께 발현 이 가능하도록 유전자 조작을 할 수 있다. 이렇게 발현된 녹색형광단백질은 자외선을 쬐어주면 이를 흡수 하여 녹색 빛을 방출한다. 방출된 녹색 빛의 세기를 측정하면 전사가 얼마나 일어나는지 알 수 있다.
3 논제 2.
(a) 제시문 (나)는 젖당이 존재할 때 세 가지 효소의 전사가 일어남을 설명하고 있다. 그러나 자외선이나 화 학 물질 등은 유전자의 돌연 변이를 유발하며 이 변이가 일어나면 젖당이 없어도 위 효소들의 전사가 일어나는 변형 대장균이 만들어질 수 있다. 어떠한 돌연 변이가 생겼을 때 이러한 현상이 나타날 수 있 는지 논술하시오.
(b) 유전자 재조합과 같은 현대의 발달된 생명공학 기술을 이용하면 대장균에서 인슐린과 같은 인체에 유용 한 단백질을 대량으로 생산할 수 있다. 제시문 (다)를 근거로 원하는 시기에 대장균으로부터 인슐린을 대량으로 생산할 수 있는 방법을 논술하시오.
(c) 실제 녹색형광단백질은 쬐어준 빛에너지 중 일부만 방출한다. 쬐어준 총 빛에너지에 대한 방출한 총 빛 에너지의 비율을 방출효율이라 하자. 자외선 광자(파장 nm ) 개를 쬐었을 때 평균적으로 개 의 녹색 빛 광자(파장 nm )를 방출하는 녹색형광단백질의 방출효율은 얼마인지 구하여라. 단, 플랑 크 상수 × J⋅ s 이다.
4
(마)
일반적인 화학반응에서 반응물과 생성물사이에는 동적인 화학평형이 이루어지며 이러한 평형은 평형 상수로 나타내어진다. 다음 화학식은 A분자 a개와 B분자 b개가 반응을 하여 c와 d개의 C, D 생성물을 각각 만들어 내는 화학반응식이다.
a A + b B c C + d D
여기서 양쪽 화살표( )는 가역반응을 의미하며 이때 화학평형상수 K는 다음과 같이 표현된다.
K A B
C D
[A], [B], [C], [D]는 각 화학종의 몰농도이다. 주어진 화학반응에 대하여 K는 상수이지만 평형상태 에서 개별 화학종의 농도는 조건에 따라 변할 수 있다.
(바)
구강 내 세균은 음식물에 들어 있는 여러 탄수화물 중 포도당, 과당, 또는 자당을 먹고 산다. 세균은 당을 분해(해당작용)하여 발생하는 화학에너지를 얻고 부산물로서 산을 만들어 낸다. 이 산의 작용에 의해서 충치가 발생할 수 있다.
(사)
염화나트륨[NaCl(s)]과 같은 이온성 고체는 물[H2O(l)]에 잘 용해되어 물속에서는 거의 대부분 Na+(aq)와 Cl-(aq)의 형태로 존재한다. 한편 치아의 표면(에나멜)을 이루고 있는 수산화인산칼슘 [Ca5(PO4)3OH]은 이온성 고체이지만 중성조건에서 물에 거의 녹지 않는다.
(아)
우리 몸은 혈중 pH가 7.35~7.45 범위에서 유지되어야 정상적인 생체활동을 할 수 있다. 체내의 탄산 (H2CO3)과 짝염기인 탄산염이온(HCO3-)의 완충효과는 이러한 정상적인 pH 유지에 핵심적인 역할을 한 다. 이산화탄소는 혈액 내 탄산의 주원료로서, 다음과 같은 가역반응에 의하여 탄산 및 탄산염이온으로 바뀐다.
CO2(g) + H2O(l) H 2CO3(aq) HCO 3-(aq) + H+(aq)
하지만 외부의 변화가 너무 클 경우 이러한 완충작용을 할 수 없다. 예를 들면 호흡을 너무 빠르게 하는 과호흡증후군을 가진 환자의 경우, 정상 pH가 유지되지 못하여 현기증, 무기력감, 기절, 발작이 유 발되거나 심지어 사망에 이를 수도 있다.
5 논제 3.
(a) Ca5(PO4)3OH가 물에 녹아 이온으로 해리될 때 가역적인 화학 평형식을 쓰시오.
(b) 초콜릿이나 설탕 같은 단 음식을 섭취하고 양치질을 충분히 하지 않을 경우 충치가 발생하는 이유를 제 시문 (마), (바)와 (사)에 근거하여 설명하시오.
(c) 제시문 (아)에 언급한 과호흡증후군을 가진 환자의 혈중 pH가 정상인에 비하여 어떻게 다를 것인가에 대해 논술하시오.
6
(자)
몸무게에서 지방이 차지하는 비율을 체지방률이라고 하는데, 체지방률이 지나치게 높으면 대장암을 포함한 다양한 질병에 걸리기 쉽다. 체지방률은 사람의 몸에 전극을 연결하고 약한 전류를 흘려 저항을 측정함으로써 간편하게 추정할 수 있다. 이 방법은 우리 몸의 다양한 구성 성분들이 밀도 차이는 크지 않지만 지방의 비저항이 뼈를 제외한 다른 성분에 비해 10배 이상 크다는 물리적 성질을 이용한 것이 다.
그림 3과 같은 단순한 모형을 이용하여 이와 같은 방법으로 얼마나 정확하게 체지방률을 측정할 수 있는지 알아보자. 한 모서리의 길이가 cm인 정육면체 모양의 두 가지 시료 A와 B를 준비한다. 두 시 료는 무게가 같고, 저항은 각각 1Ω과 Ω이다. 시료 A 두 개, 시료 B 여섯 개를 가지고 실험 (a)와 같 이 부도체로 만들어진 십자형 격자에 채우고 윗면과 아랫면 사이의 저항을 측정한다. 두 시료를 지방과 비지방으로 생각하면 어떤 방식으로 채워도 동일한 체지방률을 갖는다. 하지만 체지방의 공간적인 분포 에 따라 저항은 달라질 수 있다. 가능한 모든 경우에 대해 측정한 결과, 최대 저항과 최소 저항의 비가 약 5:3이 되었다.
그림 3
(차)
비지방성 체액은 대부분 Na+, K+, 미네랄과 같은 체내 이온과 물로 구성된 반면, 지방조직 내부에는 이온이 거의 없다. 땀을 많이 흘릴 경우 물과 이온이 체내에서 빠져나가 전체적인 저항이 변한다. 이런 이유로, 체지방률 측정기의 사용설명서에는 측정 전에 심한 운동을 삼가라고 권장한다.
논제 4.
(a) 제시문 (자)의 실험 (a)의 결과를 통해 시료 B의 저항을 구하고, 최대 저항과 최소 저항의 경우 각각 시 료 A와 B가 쌓인 모양을 추정하시오.
(b) 실험 (b)와 같이 시료 A의 비율을 로 유지하면서 16개의 시료를 4층 높이로 쌓는 경우, (a)의 결과 로부터 저항이 최대나 최소가 되도록 쌓는 방법을 추정하고 최대 저항과 최소 저항의 비율을 구하시오.
(c) 제시문 (차)에서 서술한 바와 같이 체내 이온이 지방조직에는 없고 체액에는 많이 존재하는 이유에 대 하여 설명하시오.
7
Ⅱ. 출제의도와 문제해설(자연계)
논제 1.
출제의도:
이 논제에서는 주어진 도형의 조건을 이용하여 두 변수 와 사이의 관계식을 구하고 큰 원주변의 작은 원 들의 둘레의 합과 그 원들을 축으로 회전시켰을 때 생성되는 회전체의 부피를 구할 수 있는지를 묻고 있 다. 이 논제를 해결하기 위해서 삼각비, 삼각부등식, 원의 성질, 극한, 회전체의 부피 그리고 정적분의 정의와 같은 수학의 전반적인 이론을 주어진 상황에서 적절하게 활용할 수 있는지를 묻고 있으며 단순한 공식의 암 기가 아닌 변화된 상황에서도 위의 이론을 적용할 수 있는지 묻고 있다.
논제해설:
(a)
두 변수 사이의 관계식을 구하기 위해서는 삼각비와 원이 접했을 때의 접선과 반지름이 수직으로 만나야 한다는 기초적인 수학적 지식과 이를 실제문제에 적용할 수 있는 능력이 있어야 한다.
아래 그림에서 관계식 sin
를 얻을 수 있다.
(b)
이 논제는 기본적이 삼각부등식에 대한 논제로 간단한 삼각부등식을 풀 수 있는지를 묻고 있다.
(a)에서 얻은 관계식을 에 관해서 풀면,
8
sin
sin
을 얻을 수 있으므로 이기 위한 조건은 sin
이다. 따라서, .
(c)
이 논제는 원의 둘레의 길이의 합을 구하고 그 극한을 구할 수 있는지를 묻고 있으며 학생들이 간단한 삼각 함수의 극한을 알고 있는지도 묻고 있다.
각 원의 둘레의 길이는 이고 원의 개수는 개 이므로 다음을 얻는다.
sin
sin
따라서,
lim
→∞
.
(d)
이 논제에서는 회전체의 체적을 구할 수 있는지 그리고 정적분의 정의를 이용하여 합과 극한의 형식을 정적 분으로 표현할 수 있는지를 묻고 있다. 이 논제에서는 약간의 수식의 변화에도 잘 적응해서 문제를 해결할 수 있어야 올바른 결론을 얻을 수 있을 것이다.
아래 그림에서 원의 개수가 일 때 번 째 원의 중심의 축으로 부터의 거리는
sin
sin
이다. (단, … )
원 를 축으로 회전시켰을 때 생기는 회전체의 부피는 sin
이다. 따라서,
sin
sin sin
sin sin
sin
sin
이다. 그러므로
9
lim
→∞
lim
→∞
sin sin
lim
→∞
sin sin
sin
sin
sin 이다.
논제 2.
해설:
논제 2의 제시문은 고등학교 생물II 교과에 소개된 ‘유전정보의 발현과 그 조절’ “생명공학의 응용” 에 대 한 기술을 담고 있다.
논제 2의 3개의 문항은 이 제시문들을 바탕으로 수험생의 학업 성취력과 논리적 사고력을 평가하기 위한 의도로 출제되었다. 원핵세포에서 젖당 오페론의 유전자 발현의 조절 과정을 물어보는 1번 문제는 생물II 교 과 과정을 얼마나 충실히 공부했는지를 물어보기 위한 의도로 출제되었다. 1번 문제는 단순 암기의 차원을 넘어 수험생이 젖당 오페론의 조절 과정을 얼마나 자세히 이해하고 있으며, 각 과정을 분석할 수 있는 능력 이 있는지를 알아보기 위한 의도로 출제되었다. 수험생이 유전자 발현 조절 과정의 원리를 정확하게 이해하 고 있고 생물I에서 습득한 돌연 변이 현상을 접목시킨다면 어렵지 않게 문제를 풀 수 있을 것으로 판단된다.
2번 문제는 제시문에서 언급된 내용을 근거로 하여 실질적으로 우리가 원하는 단백질을 생산할 수 있는 방 법을 묻는 문제로서, 젖당 오페론의 조절과 유전자 재조합과정에 대해 이해하고 있는지를 알아보고자 하였 다. 3번 문제는 현대 생물학 연구 과정에서 흔히 쓰이는 녹색형광단백질이 유전자 발현 과정에서 유전자의 전사 능력을 측정하는 데에 유용하게 쓰여 질 수 있는데 이의 측정과 관련된 원리를 묻는 생물과 물리의 복합형문제이다.
10 예시답안:
(a) 젖당 오페론이 활성화 될 수 있는 다음의 경우들을 기술할 수 있어야 한다.
1. 조절유전자의 프로모터 돌연변이로 인해 억제단백질의 생성 자체가 안되는 경우 2. 억제단백질이 발현은 되지만 돌연변이로 인해 작동유전자에 결합을 하지 못하는 경우 3. 작동유전자의 돌연변이로 인해 억제단백질이 결합을 하지 못하는 경우
(b) 생물II 교과서에 언급된 유전자 재조합과정에 대한 기술이 필요하며 인슐린을 원하는 시기에 발현시키기 위해서는 재조합 플라스미드가 있는 대장균을 젖당 배지하에 키운다는 것을 언급해야 한다. 즉, 조절유 전자, 프로모터, 작동유전자가 있는 플라스미드에 인슐린 유전자가 도입된 플라스미드를 제작한 후, 대장 균에 생성한 플라스미드를 넣어 주고 젖당이 있는 배지에서 대장균을 증식시킨다.
(c) 파장이 인 광자의 에너지는 이다(는 광속). 따라서 녹색형광단백질의 방출효율은
방출효율 × nm
× nm
≅
이다.
논제 3.
출제의도:
본 논제는 화학평형에 대한 이해, 분석, 그리고 간단한 생리현상으로의 적용을 하는 문제이다. 단순한 화학 평형상수의 수식을 암기하여 적용하는 것이 아니라, 평형상수의 화학적인 의미와 르샤틀리에의 원리를 이해 하여야 문제를 풀 수 있다. 화학평형개념을 생활 속에서 쉽게 접할 수 있는 충치에 관한 문제, 그리고 인간 의 호흡에 관여된 산소와 이산화탄소의 평형에 적용하여 논리적으로 현상을 예측, 설명할 수 있는가의 여부 를 측정하고자 하였다.
논제해설:
(a) Ca5(PO4)3(OH)(s) 5Ca 2+(aq) + 3PO43-(aq) +OH-(aq)
본 문제는 주어진 이온성 화합물 (Ca5(PO4)3(OH)(s)) 이 물에 용해 될 때 어떠한 형태로 해리되며 또한 이 정보를 정확한 화학평형식으로 나타낼 수 있는가를 묻는 문제이다. 평형식의 형태, 반응계수가 맞아야 되며, 그 외의 고체 (s), 액체 (aq) 상태를 명확히 기술하면 만점을 받을 수 있다.
(b) 제시문에 있는 바와 같이 박테리아(세균)은 입속에 당을 섭취하고 해당작용을 통해 산을 만들어낸다. 이 산이 화학평형식의 우변에 있는 수산기(OH-)와 반응하여 중성화되려고 한다. 그렇게 되면 화학평형식의 우변의 농도가 감소하게 되고, 따라서 르 샤틀리에 원리에 의해 정반응을 촉진하게 된다. 결국, 치아(에 나멜)을 구성하고 있는 Ca5(PO4)3(OH)가 감소하고 결국 점점 없어지고 만다. (key-words: 수산기 (OH-), 중성화, 르 샤틀리에 원리, 정반응)
(c) 호흡을 빠르게 할 경우, CO2(g) 의 압력이 감소하며, 화학평형식
11 CO2(g) + H2O(l) H2CO3(aq) HCO3-(aq) + H+(aq)
에 르샤틀리에 원리를 적용할 경우 화학반응은 CO2(g) 의 압력을 증가시키는 방향, 즉 의의 화학평형식의 왼쪽으로 진행하게 된다. 따라서 H+(aq) 이온의 농도가 감소되어 혈액내의 pH 가 높아진다.
논제 4.
출제의도:
논제 4의 (a)와 (b)문항은 물리 I의 전기와 자기 단원의 합성 전기 저항 내용을 실생활에서 접할 수 있는 체지방률 측정 문제와 연관시켜 묻고 있다. 이 논제는 직렬연결과 병렬연결의 기초적인 이해를 통해 얼핏 보 면 복잡해 보이는 문제를 간단히 정리하여 해결할 수 있는 능력과 나아가 이를 통해 더 복잡한 경우에서의 결과를 유추하고 추측의 타당성을 확인하는 추론 능력을 평가하는 의도로 출제하였다.
문항 (a)는 시료의 가능한 모든 배열에 대해 계산할 필요 없이 직렬연결과 병렬연결의 성질을 이용하여 가능한 합성 저항의 경우를 나누어 계산하고, 그 계산 결과를 시료 배열의 물리적 특성과 연관하여 이해할 수 있는지가 평가의 주안점이다.
문항 (b)는 (a)의 풀이과정과 결과를 이용하여 미리 결과를 예측하는 추론 능력과 추측한 결과의 타당성 을 확인할 수 있는지가 평가의 주안점이다.
예시답안:
(a)
그림 3의 실험 (a)와 같은 격자에 시료를 2층으로 쌓으면 두 개씩 직렬로 연결된 네 개의 저항을 병렬로 연 결한 모양이 된다. 직렬로 연결된 기둥의 저항은 포함된 시료 A와 시료 B의 개수에만 의존하고 순서에는 의 존하지 않는다. 네 기둥이 병렬로 연결될 때의 저항도 마찬가지로 기둥의 배열에 의존하지 않는다. 따라서 다른 저항을 갖는 경우는 시료 A가 한 기둥을 이루는 경우(경우 1)와 두 기둥에 하나씩 포함되는 경우(경우 2) 두 가지 뿐이다. 각 경우의 저항을 계산해보면 다음과 같다.
경우 1: 2Ω 기둥 1개와 2Ω 기둥 3개의 병렬연결이므로,
→
경우 2: (1+)Ω 기둥 2개와 2Ω 기둥 2개의 병렬연결이므로,
→
두 저항의 크기를 비교하기 위해 차이를 살펴보자. 물리적으로 저항의 크기는 항상 영보다 크므로 ( )
≤ . 따라서 경우 2의 저항이 더 큼을 알 수 있다. 또한 최대 저항과 최소
저항의 비가 5:3으로 측정되었으므로,
≈
이다. 이를 정리하면 ≈ 을 얻고, 양의 근을
12 취하면 ≈
≈ 이다.
답) 시료 B의 저항은 약 6Ω이고, 저항이 최대가 되는 경우는 시료 A가 두 기둥에 하나씩 포함될 때이고, 최 소가 되는 경우는 시료 A가 한 기둥을 이루는 경우이다.
(b)
그림 3의 (b)와 같은 격자에 시료를 4층으로 쌓는 경우를 생각하자. 실험 (a)와 같은 방법으로 생각하면, 가 능한 경우는 모두 5가지가 된다.
경우 1: 시료 A가 한 기둥을 이루는 경우.
네 기둥의 저항은 4Ω, 4Ω, 4Ω, 4Ω.
경우 2: 시료 A가 한 기둥에 3개, 다른 기둥에 1개 포함되는 경우.
네 기둥의 저항은 Ω, Ω, 4Ω, 4Ω.
경우 3: 시료 A가 2개씩 다른 기둥에 포함되는 경우.
네 기둥의 저항은 Ω, Ω, 4Ω, 4Ω.
경우 4: 시료 A가 한 기둥에 2개, 다른 두 기둥에 각각 1개씩 포함되는 경우.
네 기둥의 저항은 Ω, Ω, Ω, 4Ω.
경우 5: 시료 A가 네 기둥에 각각 1개씩 포함되는 경우.
네 기둥의 저항은 Ω, Ω, Ω, Ω.
각 경우에 대해 모두 계산을 수행하기 이전에 실험 (a)의 결과를 통해, 두 시료가 서로 다른 기둥으로 분리 될 때(경우 1) 최소 저항, 두 시료가 네 기둥에 골고루 섞여 있을 때(경우 5) 최대 저항을 가질 것을 추측할 수 있다.
최소 저항: 경우 1
→
≈ .
최대 저항: 경우 5
→
≈ .
답: 최대 저항은 시료 A가 네 기둥에 하나씩 포함되는 경우, 최소 저항은 시료 A가 한 기둥을 이루는 경우 일 것이다. 이 때 비율은 ≈ ≈ .
위 추측이 타당함을 확인해보자. 경우 n과 경우 n+1은 기둥 2개가 공통이므로, 나머지 두 기둥의 병렬 합성 저항의 대소만 비교하면 된다. 경우 n의 a와 b번째(위에 나열한 다섯 가지 경우에서) 저항에 의한 합성저항 을 로 표시하면,
경우 1과 경우 2:
.
경우 2와 경우 3:
.
13 경우 3과 경우 4:
.
경우 4와 경우 5:
.
따라서 1이 아닌 모든 양의 값에 대해 임을 보일 수 있다. 단, 가 1이면 두 시료가 동일하고 이 때 합성저항은 모두 같으므로 논의에서 제외한다.
(c)
지방조직은 무극성인 탄화수소로 구성되어 있는 반면, 비지방성분인 체액의 대부분은 극성분자인 물 (H2O)로 이루어져 있다. 양이온 및 음이온은 물분자내의 음전하 및 양전하와 결합을 하여 물분자에 잘 용해되는 반면 에 무극성탄화수소와는 이러한 결합을 하지 않으므로 잘 용해되지 않는다. 따라서 체내이온은 대부분 체액에 녹아있다.
