우석대학교 에너지전기공학과

미적분학 (24)

우석대학교 에너지전기공학과

이우금 교수

(지난 시간 복습)  부분 적분 (integration by part) (정리) 𝑓′ 𝑥 𝑔(𝑥)𝑑𝑥 = 𝑓 𝑥 𝑔 𝑥 − 𝑓 𝑥 𝑔′(𝑥)𝑑𝑥 1) case 1: 대수함수와 지수함수의 곱  setting: 지수함수 = 𝑓′ 𝑥 & 대수함수 = 𝑔(𝑥) 2) case 2: 대수함수와 삼각함수의 곱  setting: 삼각함수 = 𝑓′ 𝑥 & 대수함수 = 𝑔(𝑥) 3) case 3: 대수함수와 로그함수의 곱  setting: 대수함수 = 𝑓′ 𝑥 & 로그함수 = 𝑔 𝑥 4) case 4: 지수함수와 삼각함수간의 곱  setting: 1𝑠𝑡 𝑠𝑒𝑡𝑡𝑖𝑛𝑔 & 2𝑛𝑑 𝑠𝑒𝑡𝑡𝑖𝑛𝑔 𝑠ℎ𝑜𝑢𝑙𝑑 𝑏𝑒 𝑐𝑜𝑛𝑠𝑖𝑠𝑡𝑎𝑛𝑐𝑡‼

예제) 𝑓′ 𝑥 𝑔(𝑥)𝑑𝑥 = 𝑓 𝑥 𝑔 𝑥 − 𝑓 𝑥 𝑔′(𝑥)𝑑𝑥 를 활용하여 다음의 부정적분을 구하라 (1) 𝑥2 + 𝑥 ∙ 𝑒𝑥 𝑑𝑥 ∴ 𝑥2 + 𝑥 ∙ 𝑒𝑥 𝑑𝑥 = 𝑥2 + 𝑥 ∙ 𝑒𝑥 − 2𝑥 + 1 ∙ 𝑒𝑥𝑑𝑥 2) 𝑓′ _{𝑥 = 𝑒}𝑥 _{& 𝑔 𝑥 = 2𝑥 + 1 𝑓 𝑥 = 𝑒}𝑥 _{& 𝑔}′ _{𝑥 = 2} ∴ _{2𝑥 + 1 ∙ 𝑒}𝑥𝑑𝑥 = 2𝑥 + 1 ∙ 𝑒𝑥 − 2𝑒𝑥 𝑑𝑥 = 2𝑥 + 1 ∙ 𝑒𝑥 − 2𝑒𝑥 + 𝐶 𝐹𝑟𝑜𝑚 1) & 2) 𝑥2 _{+ 𝑥 ∙ 𝑒}𝑥 _{𝑑𝑥 = 𝑥}2 _{+ 𝑥 ∙ 𝑒}𝑥 _{− 2𝑥 + 1 ∙ 𝑒}𝑥_𝑑𝑥

예제) 𝑓′ 𝑥 𝑔(𝑥)𝑑𝑥 = 𝑓 𝑥 𝑔 𝑥 − 𝑓 𝑥 𝑔′(𝑥)𝑑𝑥 를 활용하여 다음의 부정적분을 구하라 (2) 𝑥 ∙ sin 𝑥 𝑑𝑥

∴ _{𝑥 ∙ sin 𝑥 𝑑𝑥 = −𝑥 ∙ cos 𝑥 − −cos 𝑥 𝑑𝑥 = −𝑥 ∙ cos 𝑥 + sin 𝑥 + 𝐶}

(3) 𝑥2 ∙ cos 𝑥 𝑑𝑥

∴ 𝑥2 _{∙ cos 𝑥 𝑑𝑥 = 𝑥}2_{∙ sin 𝑥 − 2𝑥 ∙ sin 𝑥 𝑑𝑥 = 𝑥}2_{∙ sin 𝑥 − 2 𝑥 ∙ sin 𝑥 𝑑𝑥 + 𝐶}

𝐹𝑖𝑛𝑎𝑙𝑙𝑦, 𝑥2 ∙ cos 𝑥 𝑑𝑥 = 𝑥2∙ sin 𝑥 + 2𝑥 ∙ cos 𝑥 − 2 sin 𝑥 + 𝐶

 𝑓′ _{𝑥 = sin 𝑥 & 𝑔(𝑥) = 𝑥 𝑓 𝑥 = − cos 𝑥 & 𝑔′(𝑥) = 1}

 𝑓′ 𝑥 = cos 𝑥 & 𝑔 𝑥 = 𝑥2 𝑓 𝑥 = sin 𝑥 & 𝑔′(𝑥) = 2𝑥

※ 𝑛𝑜𝑡𝑒, 부분적분법: 𝑥 ∙ sin 𝑥 𝑑𝑥 = −𝑥 ∙ cos 𝑥 + sin 𝑥 case 2: 대수함수와 삼각함수의 곱

(4) 4𝑥 ∙ cos( 2𝑥 + 1) 𝑑𝑥

∴ 𝑓 𝑥 = cos(2𝑥 + 1) 𝑑𝑥 = cos 𝑡 ∙1₂𝑑𝑡 = 1₂sin 𝑡 = 1₂sin(2𝑥 + 1) 𝐹𝑟𝑜𝑚 1) & 2)

 𝑓′ _{𝑥 = cos(2𝑥 + 1) & 𝑔(𝑥) = 4𝑥 𝑓 𝑥 =} 1

2sin(2𝑥 + 1) & 𝑔′(𝑥) = 4

∴ 4𝑥 ∙ cos( 2𝑥 + 1) 𝑑𝑥 = 4𝑥 ∙1₂sin 2𝑥 + 1 − 4 ∙1₂sin(2𝑥 + 1) 𝑑𝑥 = 2𝑥 ∙ sin(2𝑥 + 1) − 2 sin( 2𝑥 + 1) 𝑑𝑥 + 𝐶

𝐹𝑖𝑛𝑎𝑙𝑙𝑦, 4𝑥 ∙ cos( 2𝑥 + 1) 𝑑𝑥 = 2𝑥 ∙ sin 2𝑥 + 1 − 2 −1₂cos(2𝑥 + 1) + 𝐶 = 2𝑥 ∙ sin 2𝑥 + 1 + cos(2𝑥 + 1) + 𝐶

7. 적분

1) 𝑓′ 𝑥 = cos(2𝑥 + 1) & 𝑔(𝑥) = 4𝑥 𝑓 𝑥 = cos(2𝑥 + 1) 𝑑𝑥 & 𝑔′(𝑥) = 4 𝑓(𝑎𝑥 + 𝑏) 형: 치환적분 case 1

※ 𝑛𝑜𝑡𝑒: 𝑓(𝑎𝑥 + 𝑏) 형 (case 1): sin(2𝑥 + 1) 𝑑𝑥 = −1

2cos(2𝑥 + 1)

(5) ln 𝑥 𝑑𝑥 ∴ ln 𝑥 𝑑𝑥 = 𝑥 ∙ ln 𝑥 − 𝑥 ∙ 1_𝑥𝑑𝑥 = 𝑥 ∙ ln 𝑥 − 𝑑𝑥 = 𝑥 ∙ ln 𝑥 − 𝑥 + 𝐶 (6) 𝑥 ∙ ln 𝑥 𝑑𝑥 ∴ _{𝑥 ∙ ln 𝑥 𝑑𝑥 =} 1 2𝑥 2 _{∙ ln 𝑥 −} 1 2𝑥 2 _∙1 𝑥𝑑𝑥 = 1 2𝑥 2 _{∙ ln 𝑥 −} 1 2 𝑥𝑑𝑥 = 1 2𝑥 2 _{∙ ln 𝑥 −} 1 4𝑥 2 _{+ 𝐶} 𝑜𝑟  만약 setting 을 바꾸면: ∴ 𝑥 ∙ ln 𝑥 𝑑𝑥 = 𝑥 ∙ 𝑥 ∙ ln 𝑥 − 1 − 𝑥 ∙ ln 𝑥 − 1 𝑑𝑥 = 𝑥2 ∙ ln 𝑥 − 1 − 𝑥 ∙ ln 𝑥 𝑑𝑥 + 𝑥 𝑑𝑥  𝑓′ _{𝑥 = 𝑥 & 𝑔(𝑥) = ln 𝑥 𝑓 𝑥 =} 1 2𝑥 2 _{& 𝑔′(𝑥) =} 1 𝑥  𝑓′ _{𝑥 = 1 & 𝑔(𝑥) = ln 𝑥 𝑓 𝑥 = 𝑥 & 𝑔′(𝑥) =} 1 𝑥 𝑓′ _{𝑥 = ln 𝑥 & 𝑔(𝑥) = 𝑥 𝑓 𝑥 = 𝑥 ∙ ln 𝑥 − 1 & 𝑔′(𝑥) = 1} case 3: 대수함수와 로그함수의 곱의 형태 ln 𝑥 = 1 × ln 𝑥 case 3: 대수함수와 로그함수의 곱의 형태

(7) 𝑒𝑥 ∙ cos 𝑥 𝑑𝑥

 setting: 1𝑠𝑡 𝑠𝑒𝑡𝑡𝑖𝑛𝑔 & 2𝑛𝑑 𝑠𝑒𝑡𝑡𝑖𝑛𝑔 𝑠ℎ𝑜𝑢𝑙𝑑 𝑏𝑒 𝑐𝑜𝑛𝑠𝑖𝑠𝑡𝑎𝑛𝑐𝑡‼

1𝑠𝑡 𝑠𝑒𝑡𝑡𝑖𝑛𝑔: 𝑒𝑥 _{= 𝑔 𝑥 𝑡ℎ𝑒𝑛 2𝑛𝑑 𝑠𝑒𝑡𝑡𝑖𝑛𝑔: 𝑒}𝑥 _{= 𝑔(𝑥)}

𝑜𝑟

1𝑠𝑡 𝑠𝑒𝑡𝑡𝑖𝑛𝑔: 𝑒𝑥 _{= 𝑓}′ _{𝑥 𝑡ℎ𝑒𝑛 2𝑛𝑑 𝑠𝑒𝑡𝑡𝑖𝑛𝑔: 𝑒}𝑥 _{= 𝑓′(𝑥)}

1) 𝑓′ _{𝑥 = 𝑒}𝑥 _{& 𝑔(𝑥) = cos 𝑥 𝑓 𝑥 = 𝑒}𝑥 _{& 𝑔}′ _{𝑥 = − sin 𝑥}

∴ 𝑒𝑥 _{∙ cos 𝑥 𝑑𝑥 = 𝑒}𝑥 _{∙ cos 𝑥 − 𝑒}𝑥 _{∙ − sin 𝑥 𝑑𝑥 = 𝑒}𝑥 _{∙ cos 𝑥 + 𝑒}𝑥 _{∙ sin 𝑥 𝑑𝑥 + 𝐶}

2) 𝑓′ _{𝑥 = 𝑒}𝑥 _{& 𝑔(𝑥) = sin 𝑥 𝑓 𝑥 = 𝑒}𝑥 _{& 𝑔}′ _{𝑥 = cos 𝑥}

∴ 𝑒𝑥 ∙ sin 𝑥 𝑑𝑥 = 𝑒𝑥 ∙ sin 𝑥 − 𝑒𝑥 ∙ cos 𝑥 𝑑𝑥

𝐹𝑟𝑜𝑚 1) & 2), 𝑒𝑥 _{∙ cos 𝑥 𝑑𝑥 = 𝑒}𝑥 _{∙ cos 𝑥 + 𝑒}𝑥 _{∙ sin 𝑥 − 𝑒}𝑥 _{∙ cos 𝑥 𝑑𝑥}

𝐹𝑖𝑛𝑎𝑙𝑙𝑦, 𝑒𝑥 _{∙ cos 𝑥 𝑑𝑥 =} 1 2 𝑒

𝑥 _{∙ cos 𝑥 + 𝑒}𝑥 _{∙ sin 𝑥}

7. 적분

7-2-3. 부분분수(partial fraction) 분해  유리함수: 분모와 분자가 다항함수로 구성되어 있는 분수 식  부분분수 분해: 여러 개의 분수 식의 합과 차로 변환하여 간단한 분수 식으로 표현 예제 1) 2 𝑥2−1𝑑𝑥 를 구하라  피적분 함수를 부분분수로 분해 2 𝑥2−1 = 2 (𝑥−1)(𝑥+1) = 𝐴 (𝑥−1) + 𝐵 (𝑥+1) = 𝐴 𝑥+1 +𝐵(𝑥−1) (𝑥−1)(𝑥+1) = 𝐴+𝐵 𝑥+(𝐴−𝐵) (𝑥−1)(𝑥+1)  항등식의 미정계수 법에 의해 A와 B를 구하면, 𝐴 + 𝐵 = 0 𝐴 − 𝐵 = 2  𝑇ℎ𝑒𝑟𝑒𝑓𝑜𝑟𝑒

,

예제 2) 𝑥−8 𝑥2_−𝑥−2𝑑𝑥 를 구하라  피적분 함수를 부분분수로 분해 𝑥−8 𝑥2_−𝑥−2 = 𝑥−8 (𝑥−2)(𝑥+1) = 𝐴 (𝑥−2)+ 𝐵 (𝑥+1) = 𝐴 𝑥+1 +𝐵(𝑥−2) (𝑥−2)(𝑥+1) = 𝐴+𝐵 𝑥+(𝐴−2𝐵) (𝑥−1)(𝑥+1)  항등식의 미정계수 법에 의해 A와 B를 구하면, 𝐴 + 𝐵 = 1 𝐴 − 2𝐵 = −8  𝑇ℎ𝑒𝑟𝑒𝑓𝑜𝑟𝑒, 𝑥−8 𝑥2_−𝑥−2 = 𝑥−8 (𝑥−2)(𝑥+1) = 𝐴 (𝑥−2)+ 𝐵 (𝑥+1) = −2 (𝑥−2) + 3 (𝑥+1)  𝐹𝑖𝑛𝑎𝑙𝑙𝑦, _𝑥2𝑥−8_−𝑥−2𝑑𝑥 = _𝑥−2−2 𝑑𝑥 + _𝑥+13 𝑑𝑥 = −2 ln 𝑥 − 2 + 3 ln 𝑥 + 1 + 𝐶 7. 적분 𝐴 = −2 & 𝐵 = 3