1
다항식의 연산
정답 및 풀이
확인!
001
답 -3x#+x@-2x+4002
답 4-2x+x@-3x#003
답 x@-{y+3}x-3y#+2y+1004
답 -3y#+2y+1-{y+3}x+x@005
답 -3y#-{x-2}y+x@-3x+1006
답 x@-3x+1-{x-2}y-3y#007
답 -x#-2x@+x-4 {x#-2x@-3}+{-2x#+x-1} =x#-2x@-3-2x#+x-1 ={1-2}x#-2x@+x+{-3-1} =-x#-2x@+x-4008
답 x#+5x@+3x-6 {2x#+5x@+x-1}-{x#-2x+5} =2x#+5x@+x-1-x#+2x-5 ={2-1}x#+5x@+{1+2}x+{-1-5} =x#+5x@+3x-6009
답 4x@-4xy+y@ {3x@-2y@}-{-x@+3xy}+{3y@-xy} =3x@-2y@+x@-3xy+3y@-xy ={3+1}x@+{-3-1}xy+{-2+3}y@ =4x@-4xy+y@010
답 x#-5x+7 A+B-C ={x#+4x@-2}+{-3x@-2x+5}-{x@+3x-4} =x#+4x@-2-3x@-2x+5-x@-3x+4 =x#+{4-3-1}x@+{-2-3}x+{-2+5+4} =x#-5x+7I.
다항식
다항식의 연산
본책 6쪽~11쪽011
답 x#+7x@-5x A-{2B+3C} =A-2B-3C ={x#+4x@-2}-2{-3x@-2x+5}-3{x@+3x-4} =x#+4x@-2+6x@+4x-10-3x@-9x+12 =x#+{4+6-3}x@+{4-9}x+{-2-10+12} =x#+7x@-5x012
답 x#-3x@+5 {2A+3B}-{A-2C} =2A+3B-A+2C=A+3B+2C ={x#+4x@-2}+3{-3x@-2x+5}+2{x@+3x-4} =x#+4x@-2-9x@-6x+15+2x@+6x-8 =x#+{4-9+2}x@+{-6+6}x+{-2+15-8} =x#-3x@+5013
답 2x@-xy-3y@ {x+y}{2x-3y} =2x@-3xy+2xy-3y@ =2x@-xy-3y@014
답 2x#+x@-5x+2 {x+2}{2x@-3x+1} =2x#-3x@+x+4x@-6x+2 =2x#+x@-5x+2015
답 2a#-9a@+2 {a@-4a-2}{2a-1} =2a#-a@-8a@+4a-4a+2 =2a#-9a@+2016
답 x#-5x@y+2xy@+2y# {x@-4xy-2y@}{x-y} =x#-x@y-4x@y+4xy@-2xy@+2y# =x#-5x@y+2xy@+2y#017
답 2a#-3a@b-7ab@+3b# {2a+3b}{a@-3ab+b@} =2a#-6a@b+2ab@+3a@b-9ab@+3b# =2a#-3a@b-7ab@+3b#018
답 풀이 참조 AB ={2x+1}{x-2}=2x@-4x+x-2 =2x@-3x-2 BA ={x-2}{2x+1}=2x@+x-4x-2 =2x@-3x-2 / AB=BA019
답 풀이 참조 {AB}C =9{2x+1}{x-2}0{x@+3} ={2x@-3x-2}{x@+3} =2x$+6x@-3x#-9x-2x@-6 =2x$-3x#+4x@-9x-6 A{BC} ={2x+1}9{x-2}{x@+3}0 ={2x+1}{x#+3x-2x@-6} =2x$+6x@-4x#-12x+x#+3x-2x@-6 =2x$-3x#+4x@-9x-6 / {AB}C=A{BC}020
답 풀이 참조 A{B+C} ={2x+1}9{x-2}+{x@+3}0 ={2x+1}{x@+x+1} =2x#+2x@+2x+x@+x+1 =2x#+3x@+3x+1 AB+AC ={2x+1}{x-2}+{2x+1}{x@+3} ={2x@-3x-2}+{2x#+6x+x@+3} =2x#+3x@+3x+1 / A{B+C}=AB+AC021
답 (ㄱ) 분배법칙, (ㄴ) 결합법칙022
답 x@+6x+9023
답 4x@-20x+25024
답 4a@-b@ {2a+b}{2a-b}={2a}@-b@=4a@-b@025
답 x@-x-12 {x+3}{x-4} =x@+{3-4}x+3\{-4} =x@-x-12026
답 12x@-5x-2 {4x+1}{3x-2} ={4\3}x@+94\{-2}+1\30x+1\{-2} =12x@-5x-2027
답 a@+b@+9c@+2ab-6bc-6ca {a+b-3c}@ = a@+b@+{-3c}@+2\a\b+2\b\{-3c} +2\{-3c}\a =a@+b@+9c@+2ab-6bc-6ca028
답 x#+6x@+12x+8 {x+2}# =x#+3\x@\2+3\x\2@+2# =x#+6x@+12x+8029
답 x#-12x@y+48xy@-64y# {x-4y}# =x#-3\x@\4y+3\x\{4y}@-{4y}# =x#-12x@y+48xy@-64y#030
답 x#+125 {x+5}{x@-5x+25}=x#+5#=x#+125031
답 8x#-27 {2x-3}{4x@+6x+9} ={2x}#-3#=8x#-27032
답 x#+3x@-13x-15 {x+1}{x-3}{x+5} =x#+91+{-3}+50x@+91\{-3}+{-3}\5+5\10x +1\{-3}\5 =x#+3x@-13x-15033
답 81x$+36x@y@+16y$ {9x@+6xy+4y@}{9x@-6xy+4y@} ={3x}$+{3x}@\{2y}@+{2y}$ =81x$+36x@y@+16y$034
답 a#+8b#-c#+6abc {a+2b-c}{a@+4b@+c@-2ab+2bc+ca} =a#+{2b}#+{-c}#-3\a\2b\{-c} =a#+8b#-c#+6abc035
답 58 a+b=8, ab=3이므로 a@+b@={a+b}@-2ab=8@-2\3=58036
답 57 a-b=-7, ab=4이므로 a@+b@={a-b}@+2ab={-7}@+2\4=57037
답 100 a+b=4, ab=-3이므로 a#+b# ={a+b}#-3ab{a+b} =4#-3\{-3}\4=100038
답 81 a-b=3, ab=6이므로 a#-b# ={a-b}#+3ab{a-b} =3#+3\6\3=811
다항식의 연산
039
답 12 a+b+c=6, ab+bc+ca=12이므로 a@+b@+c@ ={a+b+c}@-2{ab+bc+ca} =6@-2\12=12040
답 37 a-b=3, b-c=4, c-a=-7이므로 a@+b@+c@-ab-bc-ca =2!9{a-b}@+{b-c}@+{c-a}@0 =2!\93@+4@+{-7}@0=37041
답 7 x+x!=3이므로 x@+ 1 x@=[x+x!]@-2=3@-2=7042
답 6 x-x!=-2이므로 x@+x@1 =[x-x!]@+2={-2}@+2=6043
답 52 x+x!=4이므로 x#+x# 1 =[x+x!]#-3[x+x!] =4#-3\4=52044
답 140 x-x!=5이므로 x#- 1 x# =[x-x!]#+3[x-x!] =5#+3\5=140045
답 4 x@+x@1 =14이므로 [x+x!]@=x@+ 1x@+2=14+2=16 이때 x>0이므로 x+x!=4046
답 j7 x@+x@1 =9이므로 [x-x!]@=x@+ 1x@-2=9-2=7 이때 x>1이므로 x-x!=j7047
답 14 x+y={1+j2}+{1-j2}=2 xy={1+j2}{1-j2}=-1 / x#+y# ={x+y}#-3xy{x+y} =2#-3\{-1}\2 =14048
답 10j2 x-y={1+j2}-{1-j2}=2j2 xy={1+j2}{1-j2}=-1 / x#-y# ={x-y}#+3xy{x-y} ={2j2}#+3\{-1}\2j2 =10j2049
답 x, x@-x, -4 x@+ x -1 x-1rx# -2x-3 y x#-x@ x@-2x x@-x -x-3 -x+1 -4050
답 5, x, 10x, 11x+10 x- 5 x@+2x+1rx#-3x@+2x ` +5 y x#+2x@+ x -5x@+x +5 -5x@- 10x -5 11x+10051
답 몫 : 2x@+2x+1, 나머지 :-2 2x@+2x+1 2x-1r4x#+2x@ `-3 y 4x#-2x@ 4x@ 4x@-2x 2x-3 2x-1 -2 따라서 몫은 2x@+2x+1이고, 나머지는 -2이다.052
답 몫 : 2x-3, 나머지 :-6x+10 2x-3 x@-x+3r2x#-5x@+3x+1 y 2x#-2x@+6x -3x@-3x+1 -3x@+3x-9 -6x+10 따라서 몫은 2x-3이고, 나머지는 -6x+10이다.053
답 몫 : 3x@+3x-2, 나머지 :-9x+3 3x@+3x-2 2x@-2x+3r6x$ -x@ +4x-3 y 6x$-6x#+ 9x@ 6x#-10x@+4x 6x#- 6x@+9x -4x@ -5x-3 -4x@ +4x-6 -9x+3 따라서 몫은 3x@+3x-2이고, 나머지는 -9x+3이다.054
답 Q=x@+x-3, R=-1 3x#+4x@-8x-4={3x+1}{x@+x-3}-1 x@+x-3 3x+1r3x#+4x@-8x-4 y 3x#+x@ 3x@-8x 3x@+x -9x-4 -9x-3 -1 따라서 몫 Q=x@+x-3, 나머지 R=-1이므로 3x#+4x@-8x-4={3x+1}{x@+x-3}-1055
답 Q=2x@+x+1, R=-x-5 4x$+x@-2x-5={2x@-x}{2x@+x+1}-x-5 2x@+x+1 2x@-xr4x$ +x@-2x-5 y 4x$-2x# 2x#+x@ 2x#-x@ 2x@-2x 2x@-x -x-5 따라서 몫 Q=2x@+x+1, 나머지 R=-x-5이므로 4x$+x@-2x-5={2x@-x}{2x@+x+1}-x-5056
답 몫 : x@-x+2, 나머지 :-2 1 1 -2 3 -4 1 -1 2 1 -1 2 -2 따라서 몫은 x@-x+2이고, 나머지는 -2이다.057
답 몫 : x@-2x+1, 나머지 : 5 -2 1 0 -3 7 -2 4 -2 1 -2 1 5 따라서 몫은 x@-2x+1이고, 나머지는 5이다.058
답 몫 : x@+2x-2, 나머지 :-3 2! 2 3 -6 -1 1 2 -2 2 4 -4 -3 2x#+3x@-6x-1 =[x-2!]{2x@+4x-4}-3 =[x-2!]\2{x@+2x-2}-3 ={2x-1}{x@+2x-2}-3 따라서 몫은 x@+2x-2이고, 나머지는 -3이다.059
답 몫 : 2x@-2x-1, 나머지 : 2 -3 2 4 -7 -1 -6 6 3 2 -2 -1 2 따라서 몫은 2x@-2x-1이고, 나머지는 2이다.060
답 몫 : 4x#-4x@+x-1, 나머지 : 3 -1 4 0 -3 0 2 -4 4 -1 1 4 -4 1 -1 3 따라서 몫은 4x#-4x@+x-1이고, 나머지는 3이다.061
답 몫 : 2x@-4x-4, 나머지 : 3 2! 2 -5 -2 5 1 -2 -2 2 -4 -4 3 따라서 몫은 2x@-4x-4이고, 나머지는 3이다.1
다항식의 연산
062
답 몫 : x@+2x-3, 나머지 : 5 -2! 2 5 -4 2 -1 -2 3 2 4 -6 5 2x#+5x@-4x+2 =[x+2!]{2x@+4x-6}+5 =[x+2!]\2{x@+2x-3}+5 ={2x+1}{x@+2x-3}+5 따라서 몫은 x@+2x-3이고, 나머지는 5이다.063
답 몫 : x@-3x-1, 나머지 : 0 3! 3 -10 0 1 1 -3 -1 3 -9 -3 0 3x#-10x@+1 =[x-3!]{3x@-9x-3} =[x-3!]\3{x@-3x-1} ={3x-1}{x@-3x-1} 따라서 몫은 x@-3x-1이고, 나머지는 0이다. 2A=4x@-6xy / A=2x@-3xy ㉠-㉡을 하면 2B=2x@+4xy+2y@ / B=x@+2xy+y@067
답 ④ 2X-3A=2B+X에서 X=3A+2B이므로 X =3{2x@-3x-1}+2{x+1} =6x@-9x-3+2x+2 =6x@-7x-1068
답 ④ 곱해서 x항이 나오는 부분만 계산하기 다항식 {x@+5x-2}{3x@-x+a}의 전개식에서 x항은 5x\a+{-2}\{-x}=5ax+2x={5a+2}x 상수 a의 값 구하기 5a+2=7 / a=1069
답 ① 다항식 {x+a}{x@-3x+2}의 전개식에서 상수항이 -8이므로 2a=-8 / a=-4 x@항은 x\{-3x}+a\x@ =-3x@+ax@ =-3x@-4x@=-7x@ 따라서 x@의 계수는 -7이다.070
답 12 {2x-1}@{3x+2}@={4x@-4x+1}{9x@+12x+4} 위 식의 전개식에서 x#항은 4x@\12x-4x\9x@=48x#-36x#=12x# 따라서 x#의 계수는 12이다.071
답 ① 곱셈 공식을 이용하여 식을 전개하기 {2a+1}{4a@-2a+1}-{2a-1}{4a@+2a+1} =9{2a}#+1#0-9{2a}#-1#0 =1-{-1}=2072
답 ② ② {x+3}# =x#+3\x@\3+3\x\3@+3# =x#+9x@+27x+27 ④ {x-y}{x+y}{x@+y@}{x$+y$} =9{x-y}{x+y}0{x@+y@}{x$+y$} =9{x@-y@}{x@+y@}0{x$+y$} ={x$-y$}{x$+y$}={x$}@-{y$}@=x*-y* 단계 1 단계 2 단계 1064
답 ⑤ A, B에 각각 다항식을 대입하기 A-2B ={3x@-y}-2{-x@+2y} =3x@-y+2x@-4y =5x@-5y065
답 9x@+10x-1 2{A+B}-3{B-C} =2A+2B-3B+3C=2A-B+3C =2{x@+3x-2}-{2x@-x+3}+3{3x@+x+2} =2x@+6x-4-2x@+x-3+9x@+3x+6 =9x@+10x-1066
답 A=2x@-3xy, B=x@+2xy+y@ A+B=3x@-xy+y@ y㉠ A-B=x@-5xy-y@ y㉡ ㉠+㉡을 하면 단계 1 동류항끼리계산하기유형
연습하기
도전! 본책 12쪽~18쪽⑤ {x-1}{x+1}{x@-x+1}{x@+x+1} =9{x-1}{x@+x+1}09{x+1}{x@-x+1}0 ={x#-1}{x#+1}={x#}@-1@=x^-1
073
답 x#-4x@+x+6 {x+1}{x-2}{x-3} = x#+91+{-2}+{-3}0x+91\{-2}+{-2}\{-3} +{-3}\10x+1\{-2}\{-3} =x#-4x@+x+6074
답 ⑤ {2x+y}#{2x-y}# =9{2x+y}{2x-y}0# =9{2x}@-y@0#={4x@-y@}# ={4x@}#-3\{4x@}@\y@+3\4x@\{y@}@-{y@}# =64x^-48x$y@+12x@y$-y^075
답 x$+2x#+3x@+2x-3 공통부분인 x@+x를 치환하여 전개하기 x@+x=X로 놓으면 {x@+x+3}{x@+x-1} ={X+3}{X-1} =X@+2X-3 ={x@+x}@+2{x@+x}-3 =x$+2x#+x@+2x@+2x-3 =x$+2x#+3x@+2x-3076
답 ④ xy-y@=X로 놓으면 {x@-xy+y@}{x@+xy-y@} =9x@-{xy-y@}09x@+{xy-y@}0 ={x@-X}{x@+X} ={x@}@-X@ =x$-{xy-y@}@ =x$-{x@y@-2xy#+y$} =x$-x@y@+2xy#-y$077
답 ④ {x+1}{x-2}{x+3}{x-4} =9{x+1}{x-2}09{x+3}{x-4}0 ={x@-x-2}{x@-x-12} x@-x=X로 놓으면 (주어진 식) ={X-2}{X-12} =X@-14X+24 ={x@-x}@-14{x@-x}+24 =x$-2x#+x@-14x@+14x+24 =x$-2x#-13x@+14x+24 단계 1 원래의식 대입하기078
답 ⑤ ab의 값 구하기 {a+b}@=a@+b@+2ab에서 3@=5+2ab, 2ab=4 / ab=2a#+b#의 값 구하기
a#+b# ={a+b}#-3ab{a+b} =3#-3\2\3=9
079
답 52x@+y@={x-y}@+2xy에서
14=4@+2xy, 2xy=-2 / xy=-1 / x#-y# ={x-y}#+3xy{x-y} =4#+3\{-1}\4=52
080
답 22j2 x-y={j3+j2}-{j3-j2}=2j2 xy={j3+j2}{j3-j2}=3-2=1 / x#-y# ={x-y}#+3xy{x-y} ={2j2}#+3\1\2j2=22j2081
답 ② 주어진 식을 x-x!의 식으로 변형하기 x=0이므로 x@-2x-1=0의 양변을 x로 나누면 x-2-x!=0 / x-x!=2 x-x!을 이용하여 x@+x@ 의 값 구하기1 x@+ 1 x@=[x-x!]@+2=2@+2=6082
답 ⑴ 2j5 ⑵ 4 ⑴ x@+x@1 =[x+x!]@-2에서 3=[x+x!]@-2 / [x+x!]@=5 이때 x+x!>0이므로 x+x!=j5 / x#+ 1 x# =[x+x!]#-3[x+x!] ={j5}#-3\j5=2j5 ⑵ x@+x@1 =[x-x!]@+2에서 3=[x-x!]@+2 / [x-x!]@=1 이때 x-x!>0이므로 x-x!=1 / x#- 1x# =[x-x!]#+3[x-x!] =1#+3\1=4 단계 1 단계 2 단계 1 단계 21
다항식의 연산
083
답 ② x=0이므로 x@-4x+1=0의 양변을 x로 나누면 x-4+x!=0 / x+x!=4 x@+x@ =[x+x!]@-2=4@-2=141 x#+x# =[x+x!]#-3[x+x!]=4#-3\4=521 / x+x@+x#+x!+ 1 x@+ 1 x# =[x+x!]+[x@+ 1x@ ]+[x#+ 1x# ] =4+14+52=70084
답 48 xy+yz+zx의 값 구하기 {x+y+z}@=x@+y@+z@+2{xy+yz+zx}에서 5@=15+2{xy+yz+zx} / xy+yz+zx=5 x#+y#+z#의 값 구하기 x#+y#+z# ={x+y+z}{x@+y@+z@-xy-yz-zx}+3xyz =5\{15-5}+3\[-3@]=50-2=48085
답 ④ {a+b+c}@=a@+b@+c@+2{ab+bc+ca}에서 4@=8+2{ab+bc+ca} / ab+bc+ca=4 / {a-b}@+{b-c}@+{c-a}@ ={a@-2ab+b@}+{b@-2bc+c@}+{c@-2ca+a@} =2{a@+b@+c@}-2{ab+bc+ca} =2\8-2\4=8086
답 ④ a-b=j2+1 y㉠ b-c=j2-1 y㉡ ㉠+㉡을 하면 a-c=2j2 / c-a=-2j2 / a@+b@+c@-ab-bc-ca =2!{2a@+2b@+2c@-2ab-2bc-2ca} =2!9{a-b}@+{b-c}@+{c-a}@0 =2!\9{j2+1}@+{j2-1}@+{-2j2}@0 =2!\{2+2j2+1+2-2j2+1+8}=7 단계 1 단계 2087
답 j17k 가로의 길이, 세로의 길이, 높이를 문자로 나타내고 주어진 조건을 식으로 나타내기 직육면체의 밑면의 가로의 길이를 a, 세로의 길이를 b, 높이를 c 라 하면 모든 모서리의 길이의 합이 36이므로 4{a+b+c}=36 / a+b+c=9 겉넓이가 64이므로 2{ab+bc+ca}=64 직육면체의 대각선의 길이 구하기 a@+b@+c@ ={a+b+c}@-2{ab+bc+ca} =9@-64=17 따라서 직육면체의 대각선의 길이는 1a@+b@+c@3=j17k 세 모서리의 길이가 각각 a, b, c인 a b c 직육면체의 대각선의 길이는 1a@+b@+c@3 직육면체의 대각선의 길이 날선 특강088
답 12 직사각형의 가로의 길이를 a, 세로의 길이를 b라 하면 반지름의 길이가 5이므로 a@+b@=25 직사각형의 둘레의 길이가 14이므로 2{a+b}=14 / a+b=7 이때 a@+b@={a+b}@-2ab에서 25=7@-2ab, 2ab=24 / ab=12 따라서 직사각형의 넓이는 12이다. ⑴ 직사각형의 대각선의 길이는 사분원의 a b c 반지름의 길이와 같다. a@+b@=c@ ⑵ 직사각형의 넓이는 ab이다. a@+b@={a+b}@-2ab에서 ab의 값을 구한다. 사분원에 내접하는 직사각형 날선 특강089
답 152 두 정육면체의 한 모서리의 길이를 각각 a, b라 하면 두 정육면체의 한 모서리의 길이의 합은 8이므로 a+b=8 겉넓이의 합은 204이므로 6a@+6b@=204 / a@+b@=34 이때 {a+b}@=a@+b@+2ab에서 8@=34+2ab, 2ab=30 / ab=15 따라서 두 정육면체의 부피의 합은 a#+b# ={a+b}#-3ab{a+b}=8#-3\15\8=152
단계 1
090
답 ③10=a로 놓고 나머지 수를 a에 대한 식으로 나타내기
10=a라 하면
9=a-1, 11=a+1, 101=a@+1, 10001=a$+1
주어진 식을 곱셈 공식을 이용하여 전개하기 9\11\101\10001 ={a-1}{a+1}{a@+1}{a$+1} ={a@-1}{a@+1}{a$+1} ={a$-1}{a$+1} =a*-1=10*-1
091
답 ③ {3+2}{3@+2@}{3$+2$} ={3-2}{3+2}{3@+2@}{3$+2$} ={3@-2@}{3@+2@}{3$+2$} ={3$-2$}{3$+2$} =3*-2* 참고 3-2=1이므로 주어진 식에 {3-2}를 곱하고 곱셈 공식 {a-b}{a+b}=a@-b@을 이용한다.092
답 ⑤ 100=x라 하면 101=x+1, 99=x-1이므로 101#-99# ={x+1}#-{x-1}# ={x#+3x@+3x+1}-{x#-3x@+3x-1} =6x@+2 =6\100@+2=60002093
답 1 다항식의 나눗셈을 계산하여 상수 a, b, c, d, e의 값 구하기 x@\bx=-2x# / b=-2 -ax@=x@ / a=-1 abx=cx / c=ab={-1}\{-2}=2 x-cx=dx / d=1-c=1-2=-1 2-{-1}=e / e=3 a+b+c+d+e의 값 구하기 a+b+c+d+e={-1}+{-2}+2+{-1}+3=1 참고 x@+ -2 x+1 x@+ -1rx$-2x# +yx+2 y x$ + -1 x@ -2x#+x@+x -2x# + 2 x x@+ -1 x+2 x@ -1 -1 x+ 3 단계 1 단계 2 단계 1 단계 2094
답 -2 2x+1 2x@-x+1r4x# -3x+2 y 4x#-2x@+2x 2x@-5x+2 2x@- x+1 -4x+1 다항식 4x#-3x+2를 2x@-x+1로 나누었을 때의 몫이 2x+1, 나머지가 -4x+1이므로 a=2, b=1, c=-4, d=1 / ab+cd=2\1+{-4}\1=-2095
답 2 x+5 x@-1rx#+5x@-2x-6 y x# -x 5x@- x-6 5x@ -5 -x -1 따라서 Q{x}=x+5, R{x}=-x-1이므로 Q{1}+R{3}={1+5}+{-3-1}=2096
답 몫 : x@-3x+4, 나머지 :-5 A ={x-2}{2x@-x+3}+5=2x#-5x@+5x-1 다항식 A=2x#-5x@+5x-1을 2x+1로 나누면 x@-3x+4 2x+1r2x#-5x@+5x-1 y 2x#+x@ -6x@+5x -6x@-3x 8x-1 8x+4 -5 따라서 구하는 몫은 x@-3x+4, 나머지는 -5이다.097
답 6x@-6x 다항식 6x#-3x+7을 다항식 A로 나누었을 때의 몫이 x+1, 나머지가 3x+7이므로 6x#-3x+7=A{x+1}+3x+7 6x#-3x+7-{3x+7}=A{x+1} 6x#-6x=A{x+1}, 6x{x-1}{x+1}=A{x+1} / A=6x{x-1}=6x@-6x098
답 ② 다항식 6x#+ax@+b를 2x@+x로 나누었을 때의 몫이 Q{x}, 나 머지가 -4x+1이므로 6x#+ax@+b={2x@+x}Q{x}-4x+11
다항식의 연산 좌변이 삼차식이므로 Q{x}는 일차식 px+q 꼴이다. 즉, 6x#+ax@+b={2x@+x}{px+q}-4x+1 x#항을 비교하면 6x#=2x@\px / p=3 x항을 비교하면 0x=qx-4x / q=4 x@항을 비교하면 ax@=2x@\q+x\px 상수항을 비교하면 b=1 / a=2\4+1\3=11 / Q{x}=3x+4, ab=11\1=11
099
답 ② 다항식 P{x}를 Q{x}와 R를 이용하여 식 세우기 P{x} =[x+3@] Q{x}+R =3!{3x+2}Q{x}+R ={3x+2}\3! Q{x}+R 다항식 P{x}를 3x+2로 나누었을 때의 몫과 나머지 구하기 따라서 다항식 P{x}를 3x+2로 나누었을 때의 몫은 3! Q{x}, 나머지는 R이다.100
답 몫 : 2Q{x}, 나머지 : R 다항식 P{x}를 2x-1로 나누었을 때의 몫이 Q{x}, 나머지가 R이므로 P{x} ={2x-1}Q{x}+R =2[x-2!]Q{x}+R =[x-2!]\2Q{x}+R 따라서 다항식 P{x}를 x-2!로 나누었을 때의 몫은 2Q{x}, 나머지는 R이다.101
답 몫 : Q{x}, 나머지 : {x-1}R 다항식 P{x}를 x+1로 나누었을 때의 몫이 Q{x}, 나머지가 R 이므로 P{x}={x+1}Q{x}+R 등식의 양변에 x-1을 곱하면 {x-1}P{x} ={x-1}{x+1}Q{x}+{x-1}R ={x@-1}Q{x}+{x-1}R 따라서 구하는 몫은 Q{x}, 나머지는 {x-1}R이다.102
답 ③ 조립제법을 이용하여 다항식의 나눗셈하기 다항식 x#-4x@+7x+1을 x-2로 나누었을 때의 몫과 나머지 를 조립제법을 이용하여 구하면 다음과 같다. 단계 1 단계 2 {x-1}R는나누는식인이차식x@-1 보다낮은차수이므로일차식이다. 단계 1 2 1 -4 7 1 2 -4 6 1 -2 3 7 / a=2, b=-4, c=-4, d=3, e=7 따라서 옳지 않은 것은 ③이다.103
답 6 다항식 3x#+ax+b를 x+2로 나누었을 때의 몫과 나머지를 조 립제법을 이용하여 구하면 다음과 같다. -2 3 0 a b -6 12 -2a-24 3 -6 a+12 -2a+b-24 이때 k=-2, c=-6, d=12, a+12=5, -2a-24=-10, -2a+b-24=-1이므로 k=-2, a=-7, b=9, c=-6, d=12 / a+b+c+d+k={-7}+9+{-6}+12+{-2}=6104
답 3 조립제법을 이용하여 몫과 나머지 구하기 다항식 x$+3x@-7을 x+1로 나누었을 때의 몫과 나머지를 조 립제법을 이용하여 구하면 다음과 같다. -1 1 0 3 0 -7 -1 1 -4 4 1 -1 4 -4 -3 Q{x}=x#-x@+4x-4, R=-3 Q{1}-R의 값 구하기 Q{1}-R={1-1+4-4}-{-3}=0+3=3105
답 x-3 조립제법을 이용하면 다항식 x#-2x@-5x+3을 x+2로 나누었을 때 의 몫은 x@-4x+3 이므로 Q{x}=x@-4x+3 따라서 Q{x}를 x-1로 나누었을 때의 몫은 x-3이다.106
답 ① 2x-1=2[x-2!]이므로 다항식 2x#+3x@-4x-5를 x-2! 로 나눌 때의 몫과 나머지를 먼저 구하면 다음과 같다. 단계 1 단계 2 -2 1 -2 -5 3 -2 8 -6 1 1 -4 3 -3 1 -3 1 -3 02! 2 3 -4 -5 1 2 -1 2 4 -2 -6 2x#+3x@-4x-5 =[x-2!]{2x@+4x-2}-6 =[x-2!]\2{x@+2x-1}-6 ={2x-1}{x@+2x-1}-6 따라서 Q{x}=x@+2x-1, R=-6 / Q{2}+R={2@+2\2-1}+{-6}=7-6=1
107
답 ④ 다항식 4x#+8x@+ax-1을 2x+3으로 나누었을 때의 몫과 나 머지를 조립제법을 이용하여 구하면 -2# 4 8 a -1 -6 -3 -2#{a-3} 4 2 a-3 -1-2#{a-3} 나머지가 -1이므로 -1-2#{a-3}=-1 / a=3 4x#+8x@+3x-1 =[x+2#]{4x@+2x}-1 =[x+2#]\2{2x@+x}-1 ={2x+3}{2x@+x}-1 따라서 Q{x}=2x@+x이므로 Q{-1}=2\{-1}@+{-1}=1108
답 ④ 2{A-B}-{A-3B} =2A-2B-A+3B=A+B ={2x+y}+{x-2y}=3x-y109
답 ⑤ 다항식 {x@+ax+b}{x@-ax+b}의 전개식에서 상수항이 1이므로 b@=1 이때 b는 양수이므로 b=1 x@의 계수가 -7이므로 bx@-a@x@+bx@=-7x@ 2b-a@=-7, 2-a@=-7, a@=9이때 a는 양수이므로 a=3 / a-b=2
기출
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실전! 본책 19 쪽~21쪽110
답 ⑤ {x+1}{x-a}{x+3} =x#+{1-a+3}x@+{-a-3a+3}x-3a x의 계수가 -5이므로-4a+3=-5, 4a=8 / a=2 따라서 x@의 계수는 1-a+3=1-2+3=2
111
답 1 {-2x#+7x@-5x+1}@에 x=1을 대입하면 {-2+7-5+1}@=1 따라서 상수항을 포함한 모든 계수들의 합은 1이다. 다항식 P{x}=anxN+an-1xN_!+an-2xN_@+y+a1x+a0에서 양변에 x=1을 대입하면 P{1}=an+an-1+an-2+y+a1+a0 전개식에서 상수항을 포함한 모든 계수의 합을 구할 때는 주 어진 식의 미지수에 1을 대입하여 값을 구한다. 전개식에서 계수의 총합 날선 특강112
답 ① {a-b-c}{a+b+c} =9a-{b+c}09a+{b+c}0 =a@-{b+c}@ =a@-{b@+2bc+c@} =a@-b@-c@-2bc113
답 ④ {x-5}{x-3}{x-1}{x+1} =9{x-5}{x+1}09{x-3}{x-1}0 ={x@-4x-5}{x@-4x+3} x@-4x=X로 놓으면 (주어진 식) ={X-5}{X+3} =X@-2X-15 ={x@-4x}@-2{x@-4x}-15 =x$-8x#+14x@+8x-15 따라서 A=-8, B=14, C=8이므로 A+B+C=-8+14+8=14114
답 0 {5-1}{5+1}{5@+1}{5$+1}{5*+1} ={5@-1}{5@+1}{5$+1}{5*+1} ={5$-1}{5$+1}{5*+1} ={5*-1}{5*+1}=5!^-1 즉, {5-1}{5+1}{5@+1}{5$+1}{5*+1}=5!^-1이므로 양변을 {5-1}로 나누면 {5+1}{5@+1}{5$+1}{5*+1}=5!^-1 5-1 따라서 a=4, b=16이므로 b-4a=16-4\4=01
다항식의 연산
115
답 384 x=1+j5, y=1-j5이므로 x+y={1+j5}+{1-j5}=2 xy={1+j5}{1-j5}=1@-{15}@=-4 / {x@+y@}{x#+y#} =9{x+y}@-2xy09{x+y}#-3xy{x+y}0 =92@-2\{-4}092#-3\{-4}\20 ={4+8}\{8+24}=384116
답 20 x=0이므로 2x@-2x-1=0의 양변을 x로 나누면 2x-2-x!=0 / 2x-x!=2 / 8x#- 1 x# ={2x}#-[x!]# =[2x-x!]#+3\2x\x!\[2x-x!] =2#+6\2=20117
답 ② 직육면체의 세 모서리의 길이를 각각 a, b, c라 하면 모든 모서리의 길이의 합이 20이므로 4a+4b+4c=20 / a+b+c=5 AGZ=1a@+b@+c@3=j13k이므로 a@+b@+c@=13 {a+b+c}@=a@+b@+c@+2{ab+bc+ca}에서 5@=13+2{ab+bc+ca} / ab+bc+ca=6 따라서 직육면체의 겉넓이는 2ab+2bc+2ca=2\6=12118
답 ② x#+ax-6={x@+2x+4}Q{x}+x+2로 놓으면 좌변이 삼차식이므로 Q{x}는 일차식 px+q 꼴이다. x#+ax-6={x@+2x+4}{px+q}+x+2 x#항을 비교하면 x#=x@\px / p=1 상수항을 비교하면 -6=4q+2 / q=-2 x항을 비교하면 ax=2qx+4px+x / a=-4+4+1=1 따라서 Q{x}=x-2이므로 Q{a}=Q{1}=1-2=-1119
답 ④ 조립제법을 이용하여 몫과 나머지를 계산하면 2 1 -3 5 -5 2 -2 6 1 -1 3 1 따라서 a=-1, b=3, c=1이므로 abc={-1}\3\1=-3120
답 ⑤ 2x+1=2[x+2!]이므로 다항식 2x#+5x@-4x+k를 2x+1 로 나눈 나머지는 x+2!로 나눈 나머지와 같다. 조립제법을 이용하여 다항식 2x#+5x@-4x+k를 x+2!로 나 눈 나머지를 구하면 -2! 2 5 -4 k -1 -2 3 2 4 -6 k+3 나머지가 5이므로 k+3=5 / k=2121
답 0 주어진 식을 이용하여 식 변형하기 {a+b+c}@=a@+b@+c@+2{ab+bc+ca}에서 1@=9+2{ab+bc+ca} / ab+bc+ca=-4 {a+b+c}{a@+b@+c@-ab-bc-ca}=a#+b#+c#-3abc에서 1\99-{-4}0=1-3abc / abc=-4 a+b+c=1에서a+b=1-c, b+c=1-a, c+a=1-b이므로
{a+b}{b+c}{c+a}={1-c}{1-a}{1-b} …… 50% 곱셈 공식을 이용하여 전개하기 {1-c}{1-a}{1-b} = 1#+{-c-a-b}\1@+{ca+ab+bc}\1-abc …… 30% 식의 값 구하기 (주어진 식) =1-{a+b+c}+{ab+bc+ca}-abc =1-1+{-4}-{-4}=0 …… 20%
122
답 5 P{x}와 Q{x}를 A=BQ+R 꼴로 나타내기 다항식 P{x}를 x-1로 나누었을 때의 몫이 Q{x}이고 나머지 가 5이므로 P{x}={x-1}Q{x}+5 y㉠ 다항식 Q{x}를 x-2로 나누었을 때의 몫을 Q1{x}라 하면 나머 지가 10이므로 Q{x}={x-2}Q1{x}+10 y㉡ …… 50% P{x}를 정리하기 ㉡을 ㉠에 대입하여 정리하면 P{x} ={x-1}9{x-2}Q1{x}+100+5 ={x-1}{x-2}Q1{x}+10{x-1}+5 ={x-1}{x-2}Q1{x}+10x-5 …… 30% R{x} 확인하기 다항식 P{x}를 {x-1}{x-2}로 나누었을 때의 나머지는 R{x}=10x-5이므로 a=10, b=-5 / a+b=10+{-5}=5 …… 20% 단계 1 단계 2 단계 3 단계 1 단계 2 단계 3123
답 d124
답 \125
답 d126
답 \ 등식의 우변을 전개하면 {x-1}@+3x=x@-2x+1+3x=x@+x+1 따라서 좌변과 우변이 같지 않으므로 항등식이 아니다.127
답 d128
답 a=-1, b=3 a+1=0, b-3=0 / a=-1, b=3129
답 a=2, b=-4 a=2, 5=-b+1에서 b=-4130
답 a=1, b=-1, c=2 a-1=0, b+1=0, 2-c=0 / a=1, b=-1, c=2131
답 a=-3, b=4, c=-1 a=-3, b-3=1, -1=c / a=-3, b=4, c=-1132
답 a=1, b=4, c=-2 주어진 등식의 우변을 전개하여 정리하면 x@+3x-2=ax@+{b-a}x+c 양변의 동류항의 계수를 비교하면 1=a, 3=b-a, -2=c / a=1, b=4, c=-2133
답 a=2, b=3, c=3 주어진 등식의 우변을 전개하여 정리하면 2x@-x+6=ax@+{a-b}x+2c 양변의 동류항의 계수를 비교하면 2=a, -1=a-b, 6=2c / a=2, b=3, c=3나머지정리와 인수분해
본책 22쪽~26쪽134
답 a=-1, b=1, c=-1 주어진 등식의 우변을 전개하여 정리하면 x@+ax-3=bx@+{b-2}x+c-2 양변의 동류항의 계수를 비교하면 1=b, a=b-2, -3=c-2 / a=-1, b=1, c=-1135
답 a=0, b=2, c=4 주어진 등식의 우변을 전개하여 정리하면 x#-ax+8=x#+{2-b}x@+{c-2b}x+2c 양변의 동류항의 계수를 비교하면 0=2-b, -a=c-2b, 8=2c / a=0, b=2, c=4136
답 a=2, b=-1 등식의 양변에 x=1을 대입하면 2b=-2 / b=-1 등식의 양변에 x=-1을 대입하면 -2a=-4 / a=2137
답 a=-1, b=-2 등식의 양변에 x=-1을 대입하면 -4b=8 / b=-2 등식의 양변에 x=3을 대입하면 4a=-4 / a=-1138
답 a=7, b=6 등식의 양변에 x=2를 대입하면 b=6 등식의 양변에 x=0을 대입하면 4-2a+b=-4 / a=7139
답 a=-3, b=1 등식의 양변에 x=1을 대입하면 3a+b=-8 y㉠ 등식의 양변에 x=-2를 대입하면 18+b=19 / b=1 ㉠에 b=1을 대입하면 3a=-9 / a=-3140
답 7 P{1}=2\1#+3\1@+3\1-1=7141
답 -11 P{-2}=2\{-2}#+3\{-2}@+3\{-2}-1=-11142
답 -2 P[-2!]=2\[-2!]#+3\[-2!]@+3\[-2!]-1=-22
나머지정리와 인수분해
143
답 11 27 P[3!]=2\[3!]#+3\[3!]@+3\3!-1=1127144
답 -1 P{2}=1이므로 P{2}=2#+a\2@-2\2+1=1 4a+5=1 / a=-1145
답 2! P[-2!]=2이므로 P[-2!]=[-2!]#+a\[-2!]@-2\[-2!]+1=2 -8!+4A=0 / a=2!146
답 8 다항식 P{x}가 x-1로 나누어떨어지면 P{1}=0이므로 P{1}=1#-3\1@+a\1-6=0 a-8=0 / a=8147
답 -10 P{x}가 x+1로 나누어떨어지면 P{-1}=0이므로 P{-1}={-1}#-3\{-1}@+a\{-1}-6=0 -a-10=0 / a=-10148
답 5 P{x}가 x-2로 나누어떨어지면 P{2}=0이므로 P{2}=2#-3\2@+a\2-6=0 2a-10=0 / a=5149
답 -20 P{x}가 x+3으로 나누어떨어지면 P{-3}=0이므로 P{-3}={-3}#-3\{-3}@+a\{-3}-6=0 -3a-60=0 / a=-20150
답 {x+3}@151
답 {2a-1}@152
답 {x+6}{x-6}153
답 {4x+3y}{4x-3y}154
답 {a+7}{a-2}155
답 {x-2y}{3x-y}156
답 {x+2}{x@-2x+4} x#+8 =x#+2# ={x+2}{x@-x\2+2@} ={x+2}{x@-2x+4}157
답 {x-4}{x@+4x+16} x#-64 =x#-4# ={x-4}{x@+x\4+4@} ={x-4}{x@+4x+16}158
답 {x+3}# x#+9x@+27x+27 =x#+3\x@\3+3\x\3@+3# ={x+3}#159
답 {x-2y}# x#-6x@y+12xy@-8y# =x#-3\x@\2y+3\x\{2y}@-{2y}# ={x-2y}#160
답 {a+b-c}@ a@+b@+c@+2ab-2bc-2ca =a@+b@+{-c}@+2\a\b+2\b\{-c}+2\{-c}\a ={a+b-c}@161
답 {a-2b+1}@ a@+4b@+1-4ab-4b+2a =a@+{-2b}@+1@+2\a\{-2b}+2\{-2b}\1+2\1\a ={a-2b+1}@162
답 {x+y-2}{x+y-5} x+y=X로 치환하면 {x+y}@-7{x+y}+10 =X@-7X+10 ={X-2}{X-5} ={x+y-2}{x+y-5}163
답 {x+3}{x-1}{x@+2x+2} x@+2x=X로 치환하면 {x@+2x}{x@+2x-1}-6 =X{X-1}-6=X@-X-6 ={X-3}{X+2} ={x@+2x-3}{x@+2x+2} ={x+3}{x-1}{x@+2x+2}164
답 {x+2}{x-2}{x@+5} x@=X로 치환하면 x$+x@-20 =X@+X-20={X-4}{X+5} ={x@-4}{x@+5}={x+2}{x-2}{x@+5}165
답 {x@+2x-1}{x@-2x-1} x$-6x@+1 =x$-2x@+1-4x@ ={x@-1}@-{2x}@ ={x@+2x-1}{x@-2x-1} x@=X로 치환하고, X@+aX+b로 나타낸 후 인수분해되지 않 으면 A@-B@ 꼴로 변형한 후 인수분해한다. x$+ax@+b 꼴의 다항식의 인수분해 날선 특강166
답 {x+y}{2x-3y+z} 차수가 가장 낮은 z에 대하여 내림차순으로 정리하면 2x@-3y@-xy+yz+zx =z{x+y}+2x@-xy-3y@ =z{x+y}+{x+y}{2x-3y} ={x+y}{2x-3y+z}167
답 {x+y-2}{x+y-3} x에 대하여 내림차순으로 정리하면 x@+y@+2xy-5x-5y+6 =x@+{2y-5}x+y@-5y+6 =x@+{2y-5}x+{y-2}{y-3} ={x+y-2}{x+y-3}168
답 차례로 1, -1, -6, 1, -1, 1, 6 {x-1}{x+2}{x-3} 1 1 -2 -5 6 1 -1 -6 1 -1 -6 0 x#-2x@-5x+6 ={x- 1 }{x@-x- 6 } = {x-1}{x+2}{x-3}169
답 {x+1}{x+2}{3x-1} P{x}=3x#+8x@+3x-2라 하면 P{-1}=0이므로 조립제법을 이용하여 인수분해하면 -1 3 8 3 -2 -3 -5 2 3 5 -2 0 3x#+8x@+3x-2 ={x+1}{3x@+5x-2} ={x+1}{x+2}{3x-1}170
답 {x-2}{x+3}{2x+1} P{x}=2x#+3x@-11x-6이라 하면 P{2}=0이므로 조립제법을 이용하여 인수분해하면 2 2 3 -11 -6 4 14 6 2 7 3 0 2x#+3x@-11x-6 ={x-2}{2x@+7x+3} ={x-2}{x+3}{2x+1}171
답 ④ 양변의 계수를 비교할 수 있도록 우변을 정리하기 등식의 우변을 전개하여 정리하면 x#-3x@+ax-8=x#+{b+c}x@+{4+bc}x+4c 양변의 동류항의 계수 비교하기 양변의 동류항의 계수를 비교하면 -3=b+c, a=4+bc, -8=4c / a=6, b=-1, c=-2 a+b+c의 값 구하기 a+b+c=6+{-1}+{-2}=3172
답 -18 등식의 좌변을 전개하여 정리하면 {a+b}x@+{a-b+c}x-2a=5x@-2x-6 양변의 동류항의 계수를 비교하면a+b=5, a-b+c=-2, -2a=-6 / a=3, b=2, c=-3 / abc=3\2\{-3}=-18
173
답 ③ 양변의 동류항의 계수를 비교하면 a+b-c=0, 2a-b+c=0, c+1=0 c=-1이므로 두 식 a+b=-1, 2a-b=1을 연립하여 풀면 a=0, b=-1 / a-b+c=0-{-1}+{-1}=0174
답 -3 6x+a 2x-1=k ( k는 상수)로 놓으면 6x+a=k{2x-1} / {6-2k}x+a+k=0 단계 1 단계 2 단계 3유형
연습하기
도전! 본책 27쪽~36쪽2
나머지정리와 인수분해 이 등식이 x에 대한 항등식이므로 6-2k=0, a+k=0 두 식을 연립하여 풀면 k=3, a=-3 참고 6x+a 2x-1가 항상 일정한 값을 가지므로 상수 k로 놓는다.
175
답 24 등식이 간단한 수가 되거나 곱이 0이 되도록 적당한 수를 대입하기 등식의 양변에 x=1을 대입하면 1+4-1=c / c=4 등식의 양변에 x=2를 대입하면 4+8-1=a+b+c, 즉 a+b=7 y㉠ 등식의 양변에 x=0을 대입하면 -1=a-b+c, 즉 a-b=-5 y㉡abc의 값 구하기 ㉠, ㉡을 연립하여 풀면 a=1, b=6 / abc=1\6\4=24
176
답 ⑤ 등식의 양변에 x=2를 대입하면 8-20+14=c / c=2 등식의 양변에 x=3을 대입하면27-45+21=1+a+b+c, 즉 a+b=0 y㉠ 등식의 양변에 x=1을 대입하면
1-5+7=-1+a-b+c, 즉 a-b=2 y㉡ ㉠, ㉡을 연립하여 풀면 a=1, b=-1
/ 2a-b+c=2\1-{-1}+2=5
177
답 ②등식의 양변에 x=1을 대입하면 1+a+b=3, 즉 a+b=2 y㉠ 등식의 양변에 x=2를 대입하면 16+4a+b=6, 즉 4a+b=-10 y㉡ ㉠, ㉡을 연립하여 풀면 a=-4, b=6 / a+2!b={-4}+2!\6=-1
178
답 ③ k에 대한 항등식이므로 k에 대한 식으로 정리하기 k에 대한 항등식이므로 좌변을 k에 대한 식으로 정리하면 {x-y+2}k+{x+3y-6}=0 Ak+B=0이 k에 대한 항등식임을 이용하여 x+y의 값 구하기 x-y+2=0, x+3y-6=0 두 식을 연립하여 풀면 x=0, y=2 / x+y=2 단계 1 단계 2 단계 1 단계 2179
답 ① {2a+b-3}x+{a-2b+1}y=0 모든 실수 x, y에 대하여 성립하려면 2a+b-3=0, a-2b+1=0 두 식을 연립하여 풀면 a=1, b=1 / a-b=0 참고 주어진 등식이 x, y에 대한 항등식이므로 x의 계수끼리, y의 계 수끼리 묶는다.180
답 1 항상 1을 근으로 가지므로 주어진 식에 x=1을 대입하면 등식이 성립한다. 등식의 양변에 x=1을 대입하면 1-{2k+m}+{4-k}m+n=0 {-2-m}k+{1+3m+n}=0 이 등식이 k에 대한 항등식이므로 m+2=0, 3m+n+1=0 두 식을 연립하여 풀면 m=-2, n=5 / 2m+n=2\{-2}+5=1181
답 ④ 등식의 양변에 x=0, x=1을 각각 대입하여 식 구하기 주어진 등식의 양변에 x=0을 대입하면 1=a0 주어진 등식의 양변에 x=1을 대입하면 2!)=a0+a1+a2+y+a9+a10 a1+a2+y+a10의 값 구하기 a1+a2+y+a9+a10 ={a0+a1+a2+y+a9+a10}-a0 =2!)-1 =1024-1=1023182
답 1 주어진 등식의 양변에 x=-1을 대입하면 {1+1-1}%=a0-a1+a2-a3+y-a9+a10 / a0-a1+a2-a3+y-a9+a10=1183
답 -32 주어진 등식의 양변에 x=1을 대입하면 0=a0+a1+a2+y+a5+a6 y㉠ 주어진 등식의 양변에 x=-1을 대입하면 {-4}#=a0-a1+a2-y-a5+a6 y㉡ ㉠+㉡을 하면 -64=2{a0+a2+a4+a6} / a0+a2+a4+a6=-32 단계 1 단계 2184
답 7 다항식의 나눗셈의 성질을 이용하여 식 세우기 3x#+ax+b를 x@-x-2로 나누었을 때의 몫을 3x+c ( c는 상수) 라 하면 나머지는 2x+5이므로 3x#+ax+b ={x@-x-2}{3x+c}+2x+5 =3x#+{c-3}x@+{-c-4}x-2c+5 항등식의 성질을 이용하여 ab의 값 구하기 이 등식이 x에 대한 항등식이므로 c-3=0, -c-4=a, -2c+5=b / a=-7, b=-1, c=3 / ab={-7}\{-1}=7185
답 a=2, b=-1 다항식 x#-x@+5를 x@+ax+b로 나누었을 때의 몫이 x-3, 나머지가 7x+2이므로 x#-x@+5 ={x@+ax+b}{x-3}+7x+2 =x#+{a-3}x@+{b-3a+7}x-3b+2 이 등식이 x에 대한 항등식이므로 a-3=-1, b-3a+7=0, -3b+2=5 / a=2, b=-1186
답 1 다항식 x#+ax@+b를 x@+x-1로 나누었을 때의 몫을 x+c ( c는 상수)라 하면 x#+ax@+b ={x@+x-1}{x+c} =x#+{c+1}x@+{c-1}x-c 이 등식이 x에 대한 항등식이므로 c+1=a, c-1=0, -c=b / a=2, b=-1, c=1 / a+b=2+{-1}=1187
답 ① 나머지정리를 이용하여 나머지 구하기 P{x}=x#+ax@+bx+5로 놓으면 P{x}를 x+1로 나누었을 때의 나머지는 4, x-2로 나누었을 때의 나머지는 1이므로 P{-1}=4, P{2}=1에서 -1+a-b+5=4, 8+4a+2b+5=1 / a-b=0, 2a+b=-6 a, b의 값을 구하여 a+b의 값 구하기 두 식을 연립하여 풀면 a=-2, b=-2 / a+b=-4188
답 1 P{x}=x#-2x@+kx-6으로 놓으면 P{x}를 x-2로 나누었을 때의 나머지가 -4이므로 단계 1 단계 2 단계 1 단계 2 P{2}=-4에서 8-8+2k-6=-4 / k=1189
답 ① 다항식 P{x}를 x+1로 나누었을 때의 나머지는 1이므로 P{-1}=1 다항식 Q{x}를 x+1로 나누었을 때의 나머지는 2이므로 Q{-1}=2 따라서 다항식 3P{x}-Q{x}를 x+1로 나누었을 때의 나머지는 3P{-1}-Q{-1}=3\1-2=1190
답 ④ 나머지정리를 이용하여 P{2}, P{-3}의 값 구하기 다항식 P{x}를 x-2로 나누었을 때의 나머지는 1이므로 P{2}=1 다항식 P{x}를 x+3으로 나누었을 때의 나머지는 6이므로 P{-3}=6 다항식의 나눗셈의 성질을 이용하여 P{x}의 식 세우기 다항식 P{x}를 {x-2}{x+3}으로 나누었을 때의 몫을 Q{x}, 나머지를 ax+b ( a, b는 상수)라 하면 P{x}={x-2}{x+3}Q{x}+ax+b P{2}, P{-3}의 값을 이용하여 나머지 구하기 등식의 양변에 x=2를 대입하면 1=2a+b …㉠ 등식의 양변에 x=-3을 대입하면 6=-3a+b …㉡ ㉠, ㉡을 연립하여 풀면 a=-1, b=3 따라서 구하는 나머지는 -x+3이다.191
답 ④ 다항식 P{x}를 x+1로 나누었을 때의 나머지는 -4이고, x+2 로 나누었을 때의 나머지는 -7이므로 P{-1}=-4, P{-2}=-7 다항식 P{x}를 x@+3x+2로 나누었을 때의 몫을 Q{x}, 나머 지를 ax+b ( a, b는 상수)라 하면 P{x} ={x@+3x+2}Q{x}+ax+b ={x+1}{x+2}Q{x}+ax+b 등식의 양변에 x=-1을 대입하면 -4=-a+b `…㉠ 등식의 양변에 x=-2를 대입하면 -7=-2a+b …㉡ ㉠, ㉡을 연립하여 풀면 a=3, b=-1 따라서 구하는 나머지는 3x-1이다.192
답 ⑤ 다항식 P{x}를 x+3, x-3으로 나누었을 때의 나머지가 각각 2, 4이므로 P{-3}=2, P{3}=4 다항식 P{x}를 x@-9로 나누었을 때의 몫을 Q{x}, 나머지 R{x}를 R{x}=ax+b ( a, b는 상수)라 하면 단계 1 단계 2 단계 32
나머지정리와 인수분해 P{x} ={x@-9}Q{x}+ax+b ={x+3}{x-3}Q{x}+ax+b 등식의 양변에 x=-3을 대입하면 2=-3a+b …㉠ 등식의 양변에 x=3을 대입하면 4=3a+b …㉡ ㉠, ㉡을 연립하여 풀면 a=3!, b=3 따라서 나머지는 R{x}=3!x+3 / R{-1}=3!\{-1}+3=3*
193
답 -x@+2x+5 다항식의 나눗셈의 성질을 이용하여 P{x}의 식 세우기 다항식 P{x}를 {x@-4}{x+1}로 나누었을 때의 몫을 Q{x}, 나머지를 ax@+bx+c ( a, b, c는 상수)라 하면 P{x}={x@-4}{x+1}Q{x}+ax@+bx+c ax@+bx+c를 x@-4로 나누었을 때의 나머지가 2x+1임을 이용 하기 {x@-4}{x+1}Q{x}는 x@-4로 나누어떨어지므로 다항식 P{x}를 x@-4로 나누었을 때의 나머지는 ax@+bx+c 를 x@-4로 나누었을 때의 나머지와 같다. 즉, ax@+bx+c를 x@-4로 나누었을 때의 나머지가 2x+1이므 로 ax@+bx+c=a{x@-4}+2x+1 y㉠ / P{x}={x@-4}{x+1}Q{x}+a{x@-4}+2x+1 다항식 P{x}를 x+1로 나누었을 때의 나머지가 2이므로 P{-1}=-3a-1=2 / a=-1 나머지 구하기 ㉠에서 구하는 나머지는 -{x@-4}+2x+1=-x@+2x+5 다른 풀이 다항식 P{x}를 x+1로 나누었을 때의 나머지가 2이므로 P{-1}=2 다항식 P{x}를 x@-4로 나누었을 때의 몫을 Q1{x}라 하면 나 머지는 2x+1이므로 P{x} ={x@-4}Q1{x}+2x+1 ={x+2}{x-2}Q1{x}+2x+1 / P{-2}=-3, P{2}=5 다항식 P{x}를 {x@-4}{x+1}로 나누었을 때의 몫을 Q2{x}, 나머지를 ax@+bx+c {a, b, c는 상수}라 하면 P{x}={x@-4}{x+1}Q2{x}+ax@+bx+c 등식의 양변에 x=-1을 대입하면 2=a-b+c 등식의 양변에 x=-2를 대입하면 -3=4a-2b+c 등식의 양변에 x=2를 대입하면 5=4a+2b+c 위 식을 연립하여 풀면 a=-1, b=2, c=5 따라서 구하는 나머지는 -x@+2x+5194
답 ② 다항식 P{x}는 x{x-1}로 나누어떨어지므로 몫을 Q1{x}라 단계 1 단계 2 단계 3 하면 P{x}=x{x-1}Q1{x} / P{0}=0, P{1}=0 다항식 P{x}를 x-2로 나누었을 때의 나머지가 4이므로 P{2}=4 다항식 P{x}를 x{x-1}{x-2}로 나누었을 때의 몫을 Q2{x}, 나머지 R{x}를 R{x}=ax@+bx+c ( a, b, c는 상수) 라 하면 P{x}=x{x-1}{x-2}Q2{x}+ax@+bx+c 등식의 양변에 x=0, x=1, x=2를 각각 대입하면 P{0}=c, P{1}=a+b+c, P{2}=4a+2b+c c=0, a+b+c=0, 4a+2b+c=4 / a=2, b=-2, c=0 따라서 나머지는 R{x}=2x@-2x이므로 R{-1}=2\{-1}@-2\{-1}=4195
답 3 다항식 P{x}를 {x+1}{x@-x+1}로 나누었을 때의 몫을 Q{x}, 나머지 R{x}를 R{x}=ax@+bx+c ( a, b, c는 상수) 라 하면 P{x} ={x+1}{x@-x+1}Q{x}+ax@+bx+c 다항식 P{x}를 x@-x+1로 나누었을 때의 나머지가 2x+5이 므로 ax@+bx+c를 x@-x+1로 나누었을 때의 나머지가 2x+5이다. 즉, ax@+bx+c=a{x@-x+1}+2x+5 / P{x}={x+1}{x@-x+1}Q{x}+a{x@-x+1}+2x+5 다항식 P{x}를 x+1로 나누었을 때의 나머지가 -3이므로 P{-1}=3a+3=-3 / a=-2 따라서 구하는 나머지는 R{x}=-2x@+4x+3이므로 R{2}=3196
답 ④다항식 P{ax+b}를 x-a로 나누었을 때의 나머지는 P{aa+b} 임을 알기 다항식 P{3x-5}를 x-1로 나눌 때의 나머지는 P{3\1-5}=P{-2} 주어진 조건을 이용하여 P{-2}의 값 구하기 다항식 P{x}를 x+2로 나누었을 때의 몫을 Q{x}라 하면 나머 지가 4이므로 P{x}={x+2}Q{x}+4 따라서 등식의 양변에 x=-2를 대입하면 P{-2}=4 다른 풀이 P{x}={x+2}Q{x}+4에서 x 대신 3x-5를 대입하면 P{3x-5} =9{3x-5}+20Q{3x-5}+4 =3{x-1}Q{3x-5}+4 ={x-1}93Q{3x-5}0+4 단계 1 단계 2
197
답 ④ 다항식 xP{x+1}을 x-2로 나눌 때의 나머지는 2P{2+1}=2P{3} 다항식 P{x}를 x-3으로 나누었을 때의 몫을 Q{x}라 하면 나 머지가 2이므로 P{x}={x-3}Q{x}+2 등식의 양변에 x=3을 대입하면 P{3}=2 / 2P{3}=2\2=4198
답 ⑤ 다항식 P{3x}를 x-1로 나누었을 때의 나머지는 P{3\1}=P{3} 다항식 P{x}를 {x+1}{x-3}으로 나누었을 때의 몫을 Q{x} 라 하면 나머지가 2x-1이므로 P{x}={x+1}{x-3}Q{x}+2x-1 따라서 등식의 양변에 x=3을 대입하면 P{3}=2\3-1=5199
답 -2 다항식의 나눗셈의 성질을 이용하여 식 P{x} 세우기 다항식 P{x}를 x-2로 나누었을 때의 몫이 Q{x}, 나머지가 4 이므로 P{x}={x-2}Q{x}+4 Q{x}를 x+1로 나누었을 때의 나머지는 Q{-1}임을 이용하여 P{-1} 구하기 다항식 Q{x}를 x+1로 나누었을 때의 나머지가 2이므로 Q{-1}=2 따라서 다항식 P{x}를 x+1로 나누었을 때의 나머지는 P{-1}={-1-2}Q{-1}+4=-3\2+4=-2200
답 ① 다항식 P{x}를 x+1로 나누었을 때의 몫이 Q{x}, 나머지가 2 이므로 P{x}={x+1}Q{x}+2 y㉠ 다항식 P{x}를 x-3으로 나누었을 때의 나머지가 -2이므로 P{3}=-2 다항식 Q{x}를 x-3으로 나누었을 때의 나머지는 Q{3}이므로 ㉠의 양변에 x=3을 대입하면 -2=4Q{3}+2 / Q{3}=-1201
답 3 P{x}={x-3}Q1{x}+1 y㉠ P{x}={x-1}Q2{x}-2 y㉡ 단계 1 단계 2 Q1{x}+Q2{x}를 x-2로 나누었을 때의 나머지는 Q1{2}+Q2{2}이므로 ㉠, ㉡에 x=2를 대입하면 ㉠에서 P{2}=-Q1{2}+1 ㉡에서 P{2}=Q2{2}-2 즉, -Q1{2}+1=Q2{2}-2이므로 Q1{2}+Q2{2}=3202
답 ① 인수정리를 이용하여 상수 k의 값 구하기 P{x}=x#-2x@-5x-k로 놓으면 P{x}가 x-3으로 나누어 떨어지므로 인수정리에 의하여 P{3}=0 27-18-15-k=0 / k=-6 나머지정리를 이용하여 P{x}를 x-1로 나누었을 때의 나머지 구 하기 P{x}=x#-2x@-5x+6이므로 P{x}를 x-1로 나누었을 때의 나머지는 P{1}=1-2-5+6=0203
답 ② P{x}=2x#-x@+ax-1로 놓으면 P{x}가 2x+1로 나누어떨 어지므로 인수정리에 의하여 P[-2!]=0 2\[-2!]#-[-2!]@+a\[-2!]-1=0 -4!-4!-2!a-1=0 / a=-3204
답 4 다항식의 인수를 찾아 인수정리 이용하기 P{x}=x#+ax@-5x+b라 하면 P{x}가 x@-x-6, 즉 {x+2}{x-3}으로 나누어떨어지므로 P{-2}=0, P{3}=0 인수정리를 이용하여 상수 a, b의 값을 구해 a+b의 값 구하기 -8+4a+10+b=0, 27+9a-15+b=0 / 4a+b=-2, 9a+b=-12 두 식을 연립하여 풀면 a=-2, b=6 / a+b=4205
답 15 다항식 P{x}가 x@-1, 즉 {x+1}{x-1}로 나누어떨어지므로 P{-1}=0, P{1}=0 -4-3-a+b=0, 4-3+a+b=0 / -a+b=7, a+b=-1 두 식을 연립하여 풀면 a=-4, b=3 / P{x}=4x#-3x@-4x+3 따라서 다항식 P{x}를 x-2로 나누었을 때의 나머지는 P{2}=32-12-8+3=15 단계 1 단계 2 단계 1 단계 22
나머지정리와 인수분해
206
답 2 다항식 P{x}-2가 x@-2x-3, 즉 {x+1}{x-3}으로 나누어 떨어지므로 P{-1}-2=0, P{3}-2=0 / P{-1}=2, P{3}=2 y㉠ 다항식 P{x+3}을 x@+4x로 나누었을 때의 몫을 Q{x}, 나머지를 ax+b ( a, b는 상수)라 하면 P{x+3}=x{x+4}Q{x}+ax+b 등식의 양변에 x=0, x=-4를 각각 대입하면 P{3}=b, P{-1}=-4a+b ㉠에서 a=0, b=2 따라서 구하는 나머지는 2이다.207
답 ② 수를 적절한 문자로 바꾸기 9=x, P{x}=x%)이라 하면 3!))=x%), 8=x-1이므로 3!))을 8로 나눈 나머지는 x%)을 x-1로 나누었을 때의 나머지와 같다. 나머지정리를 이용하여 나머지 구하기 x%)을 x-1로 나누었을 때의 몫을 Q{x}, 나머지를 a라 하면 x%)={x-1}Q{x}+a 등식의 양변에 x=1을 대입하면 1%)=a 따라서 구하는 나머지는 1이다.208
답 ② 12=x라 하면 11=x-1이므로 12%)+12$(+1을 11로 나누었을 때의 나머지는 x%)+x$(+1을 x-1로 나눈 나머지와 같다. 다항식 x%)+x$(+1을 x-1로 나누었을 때의 몫을 Q{x}, 나머 지를 a라 하면 x%)+x$(+1={x-1}Q{x}+a 등식의 양변에 x=1을 대입하면 1%)+1$(+1=a 따라서 구하는 나머지는 3이다.209
답 ② 공식을 이용하여 각각 인수분해하기 ① 4x$-x@=x@{4x@-1}=x@{2x+1}{2x-1} ③ {x-1}@+{1-x} ={x-1}@-{x-1} ={x-1}{x-2} ④ x{x+2}+xy+2y =x{x+2}+{x+2}y ={x+2}{x+y} ⑤ x{x-y}+{y-x}y-{y-x}={x-y}{x-y+1}210
답 ① a@-ab+ac-bc =a{a-b}+{a-b}c ={a-b}{a+c} 따라서 인수인 것은 ①이다. 단계 1 단계 2 단계 1 공통인수로묶기211
답 ⑤ 공식을 이용하여 인수분해하기 x#-y#+x@y-xy@ ={x-y}{x@+xy+y@}+xy{x-y} ={x-y}{x@+2xy+y@} ={x-y}{x+y}@ 따라서 인수가 아닌 것은 ⑤이다.212
답 ⑤ ⑤ 8x#+y# ={2x}#+y# ={2x+y}{4x@-2xy+y@}213
답 ⑤ 2x@+{a-7}x-{a+1}{a-3}={2x-a-1}{x+a-3} 2x -{a+1} ! -{a+1}x x +{a-3} ! 2{a-3}x 따라서 일차식인 두 인수의 합은 {2x-a-1}+{x+a-3}=3x-4214
답 ③ a@+4b@+9c@+4ab-12bc-6ca =a@+{2b}@+{-3c}@+2\a\2b+2\2b\{-3c} +2\{-3c}\a ={a+2b-3c}@215
답 ④ x#-{x-2y}# =9x-{x-2y}09x@+x{x-2y}+{x-2y}@0 =2y{3x@-6xy+4y@}216
답 ② 공통부분이 생기도록 짝을 지어 전개하기 {x-1}{x-2}{x+3}{x+4}-36 =9{x-1}{x+3}09{x-2}{x+4}0-36 ={x@+2x-3}{x@+2x-8}-36 공통부분을 치환하여 인수분해하기 x@+2x=X로 치환하면 {X-3}{X-8}-36 =X@-11X-12 ={X+1}{X-12} ={x@+2x+1}{x@+2x-12} ={x+1}@{x@+2x-12} a-b의 값 구하기 a=1, b=2이므로 a-b=-1 단계 1 {a-7}x 단계 1 단계 2 단계 3217
답 ② x@-3x=X로 치환하면 {x@-3x-1}{x@-3x-2}-6 ={X-1}{X-2}-6 =X@-3X-4 ={X+1}{X-4} ={x@-3x+1}{x@-3x-4} ={x@-3x+1}{x+1}{x-4} 따라서 인수가 아닌 것은 ②이다.218
답 ④ x@-x=X로 치환하면 {x@-x}@+2x@-2x-15 =X@+2X-15 ={X+5}{X-3} ={x@-x+5}{x@-x-3} / a+b+c=1219
답 12 x@=X로 치환하여 인수분해하기 x@=X로 치환하면 x$-13x@+36 =X@-13X+36 ={X-4}{X-9} ={x@-4}{x@-9} ={x+2}{x-2}{x+3}{x-3} ={x-3}{x-2}{x+2}{x+3} ab+cd의 값 구하기 a=-3, b=-2, c=2, d=3이므로 ab+cd=6+6=12220
답 ③ x@=X로 치환하면 2x$-3x@+1 =2X@-3X+1 ={X-1}{2X-1} ={x@-1}{2x@-1} ={x+1}{x-1}{2x@-1} / abcd=2221
답 {x@+2x+3}{x@-2x+3} x$+2x@+9 ={x$+6x@+9}-4x@ ={x@+3}@-{2x}@ ={x@+3+2x}{x@+3-2x} ={x@+2x+3}{x@-2x+3}222
답 -7 x$-9x@+16 ={x$-8x@+16}-x@ 단계 1 단계 2 ={x@-4}@-x@ ={x@-4+x}{x@-4-x} ={x@+x-4}{x@-x-4} 따라서 a=-4, b=-1, c=-4이므로 a-b+c=-7223
답 ② 차수가 낮은 문자에 대해 내림차순으로 정리한 후 인수분해하기 x@+3xy+2y@-x-3y-2 =x@+{3y-1}x+2y@-3y-2 =x@+{3y-1}x+{2y+1}{y-2} ={x+2y+1}{x+y-2} a+b+c+d의 값 구하기 a+b+c+d=2224
답 ④ xy{x-y}+yz{y-z}+zx{z-x} =x@y-xy@+y@z-yz@+xz@-x@z x에 대하여 내림차순으로 정리하면 (주어진 식) ={y-z}x@-{y@-z@}x+yz{y-z} ={y-z}x@-{y+z}{y-z}x+yz{y-z} ={y-z}9x@-{y+z}x+yz0 ={y-z}{x-y}{x-z}225
답 ② a@b+2ab+a@+2a+b+1=245 {b+1}a@+2{b+1}a+{b+1}=245 {b+1}{a@+2a+1}=245 {b+1}{a+1}@=5\7@ b+1=5, a+1=7 / a=6, b=4 / a+b=10226
답 ④ 조립제법을 이용하여 인수분해하기 P{x}=x#+4x@+x-6으로 놓으면 P{1}=0, P{-2}=0이므로 조립제법을 이용하여 인수분해하면 1 1 4 1 -6 1 5 6 -2 1 5 6 0 -2 -6 1 3 0 / x#+4x@+x-6={x-1}{x+2}{x+3} 단계 1 x에대하여내림차순으로 정리하기 1 {2y+1} 1 {y-2} 단계 2 단계 12
나머지정리와 인수분해 모든 일차식인 인수들의 합 구하기 모든 일차식인 인수들의 합은 {x-1}+{x+2}+{x+3}=3x+4
227
답 {x-1}{x+2}{x-3}{x+4} P{x}=x$+2x#-13x@-14x+24로 놓으면 P{1}=0, P{-2}=0, P{3}=0이므로 조립제법을 이용하여 인수분해하면 1 1 2 -13 -14 24 1 3 -10 -24 -2 1 3 -10 -24 0 -2 -2 24 3 1 1 -12 0 3 12 1 4 0 / x$+2x#-13x@-14x+24 ={x-1}{x+2}{x-3}{x+4}228
답 ③ P{x}=2x#-3x@-12x-7로 놓으면 P{-1}=0이므로 조립제법을 이용하여 인수분해하면 -1 2 -3 -12 -7 -2 5 7 2 -5 -7 0 2x#-3x@-12x-7 ={x+1}{2x@-5x-7} ={x+1}{x+1}{2x-7} ={x+1}@{2x-7} 따라서 a=1, b=2, c=-7이므로 a+b+c=-4229
답 빗변의 길이가 a인 직각삼각형 주어진 식을 인수분해하여 a, b, c 사이의 관계식 구하기 주어진 등식의 좌변을 인수분해하면 b#-a@b-a@c+b@c+c#+bc@ =b@{b+c}-a@{b+c}+c@{b+c} ={b+c}{b@-a@+c@} 즉, {b+c}{b@-a@+c@}=0이고 a, b, c가 삼각형의 변의 길이 이므로 b+c=0이다. 즉, b@-a@+c@=0 / b@+c@=a@ 삼각형의 모양 판단하기 주어진 조건을 만족시키는 삼각형은 빗변의 길이가 a인 직각삼각 형이다. 단계 2 단계 1 단계 2230
답 ⑤ a#+b#+c#=3abc에서 a#+b#+c#-3abc=0 {a+b+c}{a@+b@+c@-ab-bc-ca}=0 a, b, c가 삼각형의 변의 길이이므로 a+b+c=0이다. 즉, a@+b@+c@-ab-bc-ca=0 2!{2a@+2b@+2c@-2ab-2bc-2ca}=0 2!9{a-b}@+{b-c}@+{c-a}@0=0 a-b=0, b-c=0, c-a=0 / a=b=c 따라서 구하는 삼각형은 정삼각형이다.231
답 ④ 주어진 식을 인수분해하기 x+y=6, xy=2이므로 x$+x@y@+y$ ={x@+y@}@-{xy}@ ={x@+y@+xy}{x@+y@-xy} =9{x+y}@-xy09{x+y}@-3xy0 ={6@-2}{6@-6} =34\30=1020232
답 40 x=1+j2, y=1-j2에서x+y=2, x-y=2j2, xy=-1이므로 x$-x#y-xy#+y$ =x#{x-y}-y#{x-y} ={x-y}{x#-y#} ={x-y}{x-y}{x@+xy+y@} ={x-y}@{x@+xy+y@} ={x-y}@9{x+y}@-xy0 ={2j2}@\92@-{-1}0 =40
233
답 ③ 7=a로 치환한 후 인수분해하여 정리하기 7=a라 하면 7^-1 =a^-1 ={a#}@-1@ ={a#+1}{a#-1} ={a+1}{a@-a+1}{a-1}{a@+a+1} 문자에 수를 대입하여 소인수분해한 후, 소인수가 아닌 것 찾기 a=7을 대입하면 (주어진 식) =8\43\6\57 =2#\43\{2\3}\{3\19} =2$\3@\19\43 따라서 소인수가 아닌 것은 ③이다. 단계 1 x+y,xy 꼴로 식을변형하기 단계 1 단계 2238
답 ③ 다항식 f{x}의 차수를 n이라 하고 주어진 식의 양변의 차수를 비교하면 다항식 f{x}는 이차식이다. f{x}=ax@+bx+c라 하고 주어진 식에 대입하면 29a{x+1}@+b{x+1}+c0-{ax@+bx+c}=x@ {a-1}x@+{4a+b}x+2a+2b+c=0 x에 대한 항등식이므로a-1=0, 4a+b=0, 2a+2b+c=0 a=1, b=-4, c=6 따라서 f{x}=x@-4x+6이므로 f{1}=1-4+6=3
239
답 ① 다항식 f{x}를 {x-2}{x+1}로 나누었을 때의 나머지를 ax+b라 하면 ㈐에 의하여 f{x}={x-2}{x+1}{ax+b}+ax+b ㈎, ㈏에 의하여 f{2}=2a+b=7 ``y㉠ f{-1}=-a+b=1 y㉡ ㉠, ㉡을 연립하여 풀면 a=2, b=3 따라서 f{x}={x-2}{x+1}{2x+3}+2x+3이므로 f{0}={-2}\1\3+0+3=-3240
답 ⑤ P{x}=x#-3x@+x+a라 하면 다항식 P{x}를 x+1로 나누 었을 때의 나머지가 -3이므로 P{-1}=-3 -1-3-1+a=-3 / a=2 따라서 P{x}=x#-3x@+x+2이므로 다항식 P{x}를 2x-1 로 나누었을 때의 나머지는 P[2!]=8!-4#+2!+2=158241
답 ③ P{x}=x#-4ax@+ax+6으로 놓으면 다항식 P{x}가 x+1로 나누어떨어지므로 P{-1}=0 -1-4a-a+6=0 / a=1 / P{x}=x#-4x@+x+6 -1 1 -4 1 6 -1 5 -6 1 -5 6 0 x#-4x@+x+6 ={x+1}{x@-5x+6} ={x+1}{x-2}{x-3} 따라서 인수가 아닌 것은 ③이다.242
답 {2x-y+4}{x+3y-5} x+1=X, y-2=Y로 치환하면235
답 42 3x@+x-2=a{x-1}@+b{x-1}+c 등식의 양변에 x=1을 대입하면 3+1-2=c / c=2 등식의 양변에 x=0을 대입하면-2=a-b+c / a-b=-4 y㉠ 등식의 양변에 x=2를 대입하면
12+2-2=a+b+c / a+b=10 y㉡ ㉠, ㉡을 연립하여 풀면 a=3, b=7, c=2 / abc=3\7\2=42
236
답 ⑤ {2k+1}x+{k-1}y-5k+2=0에서 {2x+y-5}k+{x-y+2}=0 k의 값에 관계없이 항상 성립하므로 2x+y-5=0, x-y+2=0 두 식을 연립하여 풀면 x=1, y=3 / x+y=4237
답 512 등식의 양변에 x=2를 대입하면 2!)=a10+a9+y+a1+a0 y㉠ 등식의 양변에 x=0을 대입하면 0=a10-a9+a8-y-a1+a0 y㉡ ㉠+㉡을 하면 2!)=2a10+2a8+y+2a0 양변을 2로 나누면 2(=a10+a8+y+a0 / a0+a2+a4+a6+a8+a10=2(=512기출
문제 정복하기
실전! 본책 37쪽~39쪽234
답 ⑤ 11=a, 5=b라 하면 111#+5#+33\16\553 =1a#+b#+33{a+b}ab3 =1a#+3a@b3+3ab@+b#3 =1{a+b}#3 =1{11+5}#3=116#3 =1{4@}#3=1{4#}@3 =4#=642
나머지정리와 인수분해 2{x+1}@+5{x+1}{y-2}-3{y-2}@ =2X@+5XY-3Y@ ={2X-Y}{X+3Y} =92{x+1}-{y-2}09x+1+3{y-2}0 ={2x-y+4}{x+3y-5}
243
답 ③ x@+2x=X로 치환하면 {x@+2x}{x@+2x-3}+2 =X{X-3}+2 =X@-3X+2 ={X-1}{X-2} ={x@+2x-1}{x@+2x-2} 따라서 a=2, b=-1이므로 a+b=1244
답 ③ x{x+1}{x-1}{x-2}-3 =9x{x-1}09{x+1}{x-2}0-3 ={x@-x}{x@-x-2}-3 x@-x=X로 치환하면 (주어진 식) =X{X-2}-3=X@-2X-3 ={X+1}{X-3} ={x@-x+1}{x@-x-3} 따라서 두 이차식인 인수들의 합은 {x@-x+1}+{x@-x-3}=2x@-2x-2245
답 ① x$+7x@+16 ={x$+8x@+16}-x@ ={x@+4}@-x@ ={x@+4+x}{x@+4-x} ={x@+x+4}{x@-x+4} 따라서 a=1, b=4이므로 a+b=5246
답 ④ ab-ac-b@+2bc-c@ =ab-ac-{b@-2bc+c@} =a{b-c}-{b-c}@ ={b-c}9a-{b-c}0 ={b-c}{a-b+c} 따라서 인수인 것은 ④이다.247
답 ③ 등식의 좌변을 인수분해하면 a#-b#-a@b+ab@+ac@-bc@ ={a#-b#}-ab{a-b}+{a-b}c@ ={a-b}{a@+ab+b@}-ab{a-b}+{a-b}c@ ={a-b}{a@+ab+b@-ab+c@} ={a-b}{a@+b@+c@} a, b, c가 삼각형의 세 변의 길이이므로 a@+b@+c@=0이다. 즉, a-b=0에서 a=b 따라서 구하는 삼각형은 a=b인 이등변삼각형이다.248
답 ① 2018=a, 3=b로 놓으면 2018#-27 2018\2021+9 = a#-b# a{a+b}+b@ ={a-b}{a@+ab+b@}a@+ab+b@ =a-b =2018-3=2015249
답 x@-x+4 A=BQ+R 꼴의 관계식 세우기 다항식 P{x}를 {x@+1}{x-2}로 나누었을 때의 몫을 Q{x}, 나머지를 ax@+bx+c라 하면 P{x}={x@+1}{x-2}Q{x}+ax@+bx+c …… 30% 조건식을 이용하여 나머지의 형태 변환하기 다항식 P{x}를 x@+1로 나누었을 때의 나머지가 -x+3이므로 ax@+bx+c를 x@+1로 나누었을 때의 나머지도 -x+3이다. P{x}={x@+1}{x-2}Q{x}+a{x@+1}-x+3 y㉠ …… 40% 나머지 구하기 다항식 P{x}를 x-2로 나누었을 때의 나머지가 6이므로 P{2}=6 ㉠의 양변에 x=2를 대입하면 P{2}=5a+1 6=5a+1 / a=1 따라서 구하는 나머지는 {x@+1}-x+3=x@-x+4 …… 30%250
답 -6 주어진 조건을 정리하기 다항식 P{x}를 x+1, x-2, x+3으로 나누었을 때의 나머지 가 모두 2이므로 나머지정리에 의하여 P{-1}=2, P{2}=2, P{-3}=2 즉, P{-1}-2=0, P{2}-2=0, P{-3}-2=0 …… 30% 각 식의 공통점을 찾아 인수정리 적용하기 위 세 식의 좌변은 다항식 P{x}-2에 x=-1, x=2, x=-3 을 각각 대입한 것이다. 즉, x=-1, x=2, x=-3일 때 P{x}-2=0이므로 P{x}-2는 x+1, x-2, x+3을 인수로 갖는 x#의 계수가 1인 삼차식이다. / P{x}-2={x+1}{x-2}{x+3} …… 50% 나머지 구하기 위의 식의 양변에 x=1을 대입하면 P{1}-2={1+1}\{1-2}\{1+3} / P{1}=-6 …… 20% 단계 1 단계 2 단계 3 단계 1 단계 2 단계 3251
답 실수부분 : 1, 허수부분 :j3252
답 실수부분 : 2, 허수부분 :-5253
답 실수부분 :-2, 허수부분 : 1254
답 실수부분 : 5, 허수부분 : 0255
답 실수부분 : 0, 허수부분 :-1256
답 실수부분 :-3+j6, 허수부분 : 0257
답 실수부분 :4!, 허수부분 :- j2 4258
답 실수259
답 실수260
답 허수261
답 허수262
답 ㄱ, ㄷ263
답 ㄴ, ㄹ, ㅁ, ㅂ264
답 ㄴ, ㅁ, ㅂ265
답 x=1, y=-1 x+1=2 / x=1 y-2=-3 / y=-1266
답 x=1, y=0 5x=5 / x=1 2y-1=-1 / y=0267
답 x=2, y=-2 {x-2y}-{x+y}i=6에서 x-2y=6, x+y=0 위의 두 식을 연립하여 풀면 x=2, y=-2268
답 x=-1, y=3II.
방정식
복소수
본책 42쪽~45쪽269
답 x=2, y=-2 x-2=0 / x=2x+y=0에서 2+y=0 / y=-2
270
답 x=1, y=3 {3x-y}+{x-y+2}i=0에서 3x-y=0, x-y+2=0 위의 두 식을 연립하여 풀면 x=1, y=3271
답 3-4i272
답 2+5i273
답 -4274
답 -i275
답 a=6, b=26-2iZ=6+2i이므로 a=6, b=2
276
답 a=0, b=-4 4iX=-4i이므로 a=0, b=-4277
답 a=5, b=0 5C=5이므로 a=5, b=0278
답 6-2i {1+i}+{5-3i}={1+5}+{1-3}i=6-2i279
답 1 {-2+4i}+{3-4i}={-2+3}+{4-4}i=1280
답 4+4i 5i+{4-i}=4+{5-1}i=4+4i281
답 6+2i {7-2i}-{1-4i}={7-1}+{-2+4}i=6+2i282
답 4-7i {2-3i}-{-2+4i} ={2+2}+{-3-4}i=4-7i283
답 -9+8i 3i-{9-5i}=-9+{3+5}i=-9+8i284
답 15i {-6+3i}{1-2i} =-6+12i+3i-6i @ =-6+12i+3i+6=15i1
복소수
285
답 9 {2+j5i}{2-j5i}=2@-{j5i}@=4-5i @=4+5=9286
답 8-6i {-3+i}@=9-6i+i @=9-6i-1=8-6i287
답 -1-2j2i{1-j2i}@ =1-2j2i+2i @=1-2j2i-2=-1-2j2i
288
답 2!+2!i 1 1-i= 1+i {1-i}{1+i}= 1+i 1-i @= 1+i 2 =2!+2!i289
답 10 13 -11 13i 4-i 3+2i= {4-i}{3-2i} {3+2i}{3-2i} = 12-8i-3i+2i @ 9-4i @ =10-11i13 =1013-1113i290
답 3!-2j2 3 i j2-i j2+i = {j2-i}{j2-i} {j2+i}{j2-i}= 2-2j2i+i @ 2-i @ =1-23j2i=3!-2j23 i291
답 3!-2i 6+i 3i = {6+i}\3i 3i\3i = -3+18i -9 =3!-2i292
답 i i (={i $}@\i=i293
답 1 {-i}@)=i @)={i $}%=1294
답 -1+ii=i %=i (, i @=i ^=i !)=-1, i #=i &=-i, i $=i *=1 이므로
i+i @+i #+y+i !) ={i-1-i+1}+{i-1-i+1}+i-1 =-1+i
295
답 -i 1 i @%= 1 {i $}^\i=i!= i i\i=-i296
답 j5i297
답 3i j-9l=j9i=3i308
답 ③ ㄱ, ㄴ, ㄷ 중 옳은 것 찾기 ㄱ. 허수부분은 b이므로 옳지 않다. ㄴ. a=0, b=0인 경우에는 실수이므로 옳지 않다. ㄷ. a+0i=a이므로 실수이다.309
답 4 허수는 j-1l, i+4, i #, 2-j5i의 4개이다.310
답 ② ② 0은 실수이므로 복소수이다. 단계 1유형
연습하기
도전! 본책 46쪽~52쪽298
답 -2j3i -j-12l=-j12ki=-2j3i299
답 -5$i -q-16 25 e=-q 16 25 ei=-5$i300
답 -2i301
답 -5i302
답 -3j2i303
답 -4#i304
답 2j15ki j-6kj10k=j6i\j10k=2j15ki305
답 -9 j-3k l j-27l =j3i\3j3i=9i @=-9306
답 -3i j18k j-2k= 3j2j2i= 3i= 3ii @=-3i307
답 2 j-16l j-4k = 4i2i=2 답 ⑤
복소수의 덧셈, 뺄셈하여 옳지 않은 것 찾기
⑤ {-2+i}-{4-3i}=-2+i-4+3i=-6+4i
답 ④
{4+2i}+3{2-i}-2{1-5i }
=4+2i+6-3i-2+10i=8+9i
답 ③
z1+z2=2+3i, z1-z2=4-5i
위의 두 식을 연립하여 풀면 z1=3-i, z2=-1+4i
/ 4z1+z2 =4{3-i}+{-1+4i}
=12-4i-1+4i=11
답 ③
주어진 식 간단히 하기
(27){1-3i}{1+i}+1-3i1+i
=1+i-3i-3i @+{1-3i}{1-i}{1+i}{1-i} =4-2i+1-i-3i+3i @
1-i @ =4-2i-1-2i=3-4i
답 ④{2+j5i}@+{2-j5i}@ =4+4j5i+5i @+4-4j5i+5i @=-2
답 ② (주어진 식)={j2+i}@+{j2-i}@ {j2-i}{j2+i} = 2 2-i @=3@ 답 ① z가 실수가 되기 위한 조건식 세우기 z={-x@+3x-1}+{x@+x-2}i이므로 z가 실수가 되려면 x@+x-2=0 양수 x의 값 구하기 {x-1}{x+2}=0 / x=1 또는 x=-2 이때 x가 양수이므로 x=1 답 -3 z =i{x-i}@=i{x@-2xi+i @} =i{x@-2xi-1}=2x+{x@-1}i y㉠ ㉠이 실수가 되려면 x@-1=0 / x=-1 이때 x가 음수이므로 a=-1 x=-1을 ㉠에 대입하면 z=-2이므로 b=-2 / a+b=-3 단계 1 단계 1 분모와분자에모두같은 복소수곱하기 단계 1 단계 2 답 -2! {1+i}{1-i}x@+{3i-1}x-1-3i ={2x@-x-1}+{3x-3}i 이 복소수가 순허수가 되려면 2x@-x-1=0이고 3x-3=0 2x@-x-1=0에서 {2x+1}{x-1}=0 / x=-2! 또는 x=1 y㉠ 3x-3=0에서 x=1 y㉡ 따라서 ㉠, ㉡에서 x=-2! 답 ① 식 정리하기 {1+2i}x+{5-3i}y=-4+5i에서 {x+5y}+{2x-3y}i=-4+5i 복소수가 서로 같을 조건에 의하여 x+5y=-4, 2x-3y=5 x+y의 값 구하기 위의 두 식을 연립하여 풀면 x=1, y=-1 / x+y=0 답 9 복소수가 서로 같을 조건에 의하여 x-5=0, 2x+y-6=0 따라서 x=5, y=-4이므로 x-y=9 답 ③ 2x 1+i+ y 1-i=12-9i에서 2x{1-i}+y{1+i} {1+i}{1-i} =12-9i {2x+y}+{-2x+y}i 2 = 24-18i 2 복소수가 서로 같을 조건에 의하여 2x+y=24, -2x+y=-18 위의 두 식을 연립하여 풀면 x=212 , y=3 / 2x+3y=2\212 +3\3=30 답 4! x 1+2i+ y 1-2i= 1 2-i 에서 x{1-2i}+y{1+2i} {1+2i}{1-2i} = 2+i {2-i}{2+i} {x+y}+{-2x+2y}i 5 = 2+i 5 단계 1 단계 21
복소수 복소수가 서로 같을 조건에 의하여 x+y=2, -2x+2y=1 두 식을 연립하여 풀면 x=4#, y=4% / 2x-y=4^-4%=4!
324
답 -4 z=2+j3i에서 우변에 허수부분만 남겨두고 좌변으로 이항한 후 양변을 제곱하여 이차방정식 만들기 z=2+j3i에서 z-2=j3i 양변을 제곱하면 z@-4z+4=-3 / z@-4z=-7 이차방정식을 이용하여 식의 값 구하기 z@-4z+3=-7+3=-4325
답 ⑴ 0 ⑵ -1 ⑴ z=4-2i에서 z-4=-2i 양변을 제곱하면 {z-4}@={-2i}@ z@-8z+16=-4 / z@-8z+20=0 ⑵ z#-8z@+20z-1=z{z@-8z+20}-1=z\0-1=-1326
답 6-iz=1+i2i ={1+i}i2i @ =-1+i-2 =1-i2 에서 2z-1=-i 양변을 제곱하면 4z@-4z+1=-1 / 2z@-2z+1=0 / 2z#-2z@+3z+5 =z{2z@-2z+1}+2z+5=2z+5 =2\1-i2 +5=6-i
327
답 ② z1+z2, z1z2의 값 구하기 z1+z2={2+j3i}+{2-j3i}=4 z1z2={2+j3i}{2-j3i}=4-3i @=7 z2@ z1 + z1@ z2 의 값 구하기 z2@ z1 + z1@ z2 = z2#+z1# z1z2 = {z1+z2}#-3z1z2{z1+z2} z1z2 =4#-3\7\4 7 =-20 7328
답 18 7 z1+z2={3+j5i}+{3-j5i}=6 z1z2={3+j5i}{3-j5i}=9-5i @=14 / {z1+z2}[ 1z1+z2 ] 1 =1+ z1 z2+ z2z1+1=2+ z1@+z2@z1z2 =2+{z1+z2}@-2z1z2 z1z2 =2+6@-2\14 14 = 18 7 단계 1 단계 2 단계 1 단계 2329
답 ① z1+z2={1+j2i}+{1-j2i}=2 z1z2={1+j2i}{1-j2i}=1-2i @=3 z1@+z2@={z1+z2}@-2z1z2=2@-2\3=-2 따라서 주어진 식을 인수분해한 후, 식의 값을 대입하면 z1$+z1@z2@+z2$ ={z1@+z1z2+z2@}{z1@-z1z2+z2@} ={-2+3}\{-2-3}=-5330
답 ㄴ, ㄷ z+zC, zzC의 값 구하기 z=a+bi ( a, b는 실수)로 놓으면 z+zC={a+bi}+{a-bi}=2a zzC={a+bi}{a-bi}=a@-b@i @=a@+b@ ㄱ, ㄴ, ㄷ 확인하기 ㄱ. z+1 zC =a+bi+ 1 a-bi=a+bi+ a+bi {a-bi}{a+bi} =a+bi+a+bia@+b@=[a+ aa@+b@ ]+[b+ ba@+b@ ]i 따라서 z+ 1 zC은 실수가 아닐 수도 있다. ㄴ. z@+{zC}@ ={z+zC}@-2zzC={2a}@-2\{a@+b@} =2a@-2b@ 따라서 z@+{zC}@은 항상 실수이다. ㄷ. z#+{zC}# ={z+zC}#-3zzC{z+zC} ={2a}#-3\{a@+b@}\2a=2a#-6ab@ 따라서 z#+{zC}#은 항상 실수이다.
331
답 ⑤ ① z=i이면 z+zC=i+{-i}=0으로 실수지만 z는 실수가 아니 다. ② z=i이면 zzC=i\{-i}=1로 실수지만 z는 실수가 아니다. ③ z=i이면 z@=i @=-1로 실수지만 z는 실수가 아니다. ④ z=i이면 iz=i\i=-1로 실수지만 z는 실수가 아니다. ⑤ zC+z!=z+1 zCe=(실수 ) Z=(실수) (참) 참고 z+1 zC이 실수이면 z+ 1 zCe=zC+ 1 z도 실수이다.332
답 ㄱ, ㄴ, ㄷ z=a+bi일 때 iz=zC이므로 i{a+bi}=a-bi 즉, -b+ai=a-bi / a=-b ㄱ. z+zC={a+bi}+{a-bi}=2a=-2b (참) ㄴ. izC=i{a-bi}=b+ai=-a-bi=-z (참) ㄷ. zzC+ z zC = a-bi a+bi+ a+bi a-bi= a+ai a-ai+ a-ai a+ai =1+i 1-i+ 1-i 1+i= {1+i}@+{1-i}@ {1-i}{1+i} =2)=0 (참) 단계 1 단계 2333
답 34 켤레복소수의 성질을 이용하여 식의 값 구하기 z1z1X+z2z2X+z1z2X+z1Xz2 =z1{z1X+z2X}+z2{z2X+z1X} ={z1+z2}{z1X+z2X} ={z1+z2}{z1+z2Z} ={5+3i}{5-3i}=25-9i @=34334
답 ② 1 z1X+ 1 z2X= z2X+z1Xz1z2Z =[ z2+z1z1z2 ]y=[ 5-i2-3i ]y={1+i}Z=1-i
335
답 2 z1X-z2X=z1-z2Z=2i / z1-z2=-2i z1X\z2X=z1z2Z=3 / z1z2=3 / z1@+z2@={z1-z2}@+2z1z2={-2i}@+2\3=2336
답 ④ 좌변을 정리하면 {z+2}{zC+1}Z={zC+2}{z+1}={zC+2}z+zC+2 따라서 주어진 등식은 {zC+2}z+{zC+2}=z{zC+2}+4+i이므로 zC+ 2=4+i, zC=2+i / z=2-i337
답 ⑤ z=a+bi로 놓고 z와 zC를 등식에 대입하여 식 정리하기 z=a+bi ( a, b는 실수)로 놓으면 주어진 식은 {3+i}{a-bi}+2i{a+bi}=5+3i {3a-b}+{3a-3b}i=5+3i 복소수가 서로 같을 조건을 이용하여 z 구하기 3a-b=5, 3a-3b=3 위의 두 식을 연립하여 풀면 a=2, b=1 / z=2+i338
답 ② z+zC={a+bi}+{a-bi}=2a=-2 / a=-1 zzC={a+bi}{a-bi}=a@+b@=3 / b@=2 / {ab}@=a@b@=1\2=2339
답 1 z=a+bi ( a, b는 실수, b=0 )로 놓으면 z@+zC={a+bi}@+{a-bi}={a@-b@+a}+{2ab-b}i z@+zC가 실수이므로 2ab-b={2a-1}b=0 a=2! 또는 b=0 이때 z가 실수가 아니므로 b=0 / a=2! / z+zC={a+bi}+{a-bi}=2a=2\2!=1 단계 1 z1X+z2X=z1+z2Z이용하기 단계 1 단계 2340
답 ② 괄호 안의 식 정리하기 1+i 1-i= {1+i}{1+i} {1-i}{1+i}= 2i 1-i @= 2i 2=i i $=1임을 이용하여 식을 간단히 하기[1+i1-i ]@)@)=i @)@)={i $}%)%=1%)%=1
341
답 ①i=i %=i (=y=i (&, i @=i ^=i !)=y=i (*=-1,
i #=i &=i !!=y=i ((=-i, i $=i *=i !@=y=i !))=1이고, i-i @+i #-i $=i+1-i-1=0이므로
i-i @+i #-i $+…+i ((-i !))
={i+1-i-1}+{i+1-i-1}+y+{i+1-i-1}=0
342
답 ③ i!+i @1+1 i #+y+ 1 i ( = 1i !)\{i (+i *+i &+y+i} = 1
i !)\{i+i @+i #+y+i (} =1
i @\9{i-1-i+1}+{i-1-i+1}+i0 =-1i =-i
343
답 16주어진 식의 좌변은
i{1+i}+i @{1+i}+i #{1+i}+…+i !*{1+i} ={1+i}{i+i @+i #+…+i !*}
={1+i}9{i-1-i+1}+{i-1-i+1}+y +{i-1-i+1}+i-10 ={1+i}{i-1}=-2 / a=-2, b=0 / 4{a+b}@=4\{-2}@=16
344
답 ① 복소수의 거듭제곱을 이용하여 식의 값 구하기 [1-ij2 ]!)) =-[1-ij2 ]@=%) =[ -2i 2 ]%)={-i}%)={i @}@%=-1345
답 0 z=1-i 1+i= {1-i}{1-i} {1+i}{1-i}= -2i 1-i @=-i / 1+z@+z$+z^ =1+{-i}@+{-i}$+{-i}^ =1-1+1-1=0 단계 1 단계 2 단계 1 괄호안의식을제곱하도록변형하기1
복소수
354
답 ② 주어진 식을 정리하면 {x+y}+{2x-y}i=4-i / x+y=4, 2x-y=-1 위의 두 식을 연립하여 풀면 x=1, y=3 / y-x=2355
답 ② z=a+bi ( a, b는 실수)로 놓으면 ① z=2이면 zC=z이지만 z는 실수이다. ② zzC=0이면 {a+bi}{a-bi}=a@+b@=0, 즉 a=b=0 / zC=z=0 ③ z=i이면 z+zC=i+{-i}=0이고 zzC=i\{-i}=1=0 ④ z=i이면 zzC=-ii =-1, 즉 실수이지만 z는 허수이다. ⑤ z@+{zC}@={a+bi}@+{a-bi}@=2a@-2b@ / 항상 실수 복소수 z의 켤레복소수를 zC라 할 때 ⑴ z+zC=(실수) ⑵ zzC=(실수) ⑶ z=zC z는 실수 ⑷ z=-zC z는 순허수 또는 0 켤레복소수의 성질 날선 특강356
답 j5i z=1+4j5i에서 4z-1=j5i 양변을 제곱하면 {4z-1}@={j5i}@ 16z@-8z+1=-5, 16z@-8z+6=0 / 8z@-4z+3=0 / 8z#-4z@+7z-1 =z{8z@-4z+3}+4z-1 =z\0+1+j5i-1=j5i기출
문제 정복하기
실전! 본책 53쪽~55쪽346
답 ④ {1+i}*=9{1+i}@0$={2i}$=16 {1-i}*=9{1-i}@0$={-2i}$=16 / {1+i}*+{1-i}*=16+16=32347
답 ④ z@=[ 1+ij2i ]@= 2i2i @=-i, z$={z@}@={-i}@=-1 z*={z$}@={-1}@=1이므로 zN=1이 되도록 하는 자연수 n의 최솟값은 8이다.
348
답 ④ 음수의 제곱근의 계산을 하여 옳은 것 찾기 ① j-3l j2=j3i\j2=j6i=j-6l ② j-2l j-8l=j2i\j8i=j16ki @=-4 ③ j18k j-2k= j 18k j2i=i#=-3i ④ j-4k j-16k= j 4i j16ki=4@=2! ⑤ {j-5k}@={j5i}@=-5349
답 24 j-8l-j-27l j-3l+{j-5l}@ =2j2i-3j3i\j3i+{j5i}@ =2j2i+9-5=4+2j2i / a=4, b=2j2 / a@+b@=4@+{2j2}@=16+8=24350
답 ⑤ j-32l j-2l+ j45k j-5l+ j -32l j-2l =4j2i\j2i+ 3j5j5i+ 4j2i j2i =-8-3i+4 =-4-3i351
답 ② a, b의 부호 알기 jajb=-jabk이므로 a<0, b<0 식 간단히 하기 즉, 2-a>0, a+b<0이므로 1{2-a}@3-|a+b|+1b@2 =|2-a|-|a+b|+|b| ={2-a}+{a+b}-b=2352
답 ② ㄱ. a-b<0이므로 1{a-b}@3=-{a-b}=-a+b ㄴ. a<0, b>0이므로 jajb=jabk ㄷ. -a>0, -b<0이므로 j-ak j-bk=-q -a-b e=-qbA 단계 1 j-al=jai{a>0}이용하기 단계 1 단계 2353
답 -2a+2ba-b<0, b-c<0이므로 a<b<c / c-a>0 / 1{a-b}@3-1{b-c}@3+1{c-a}@3
=|a-b|-|b-c|+|c-a| =-{a-b}+{b-c}+{c-a} =-2a+2b
363
답 10-10ii+2i @+3i #+4i $=i-2-3i+4=2-2i 5i %+6i ^+7i &+8i *=5i-6-7i+8=2-2i ⋮
4개씩 묶어 계산한 값이 모두 2-2i로 같으므로 i+2i @+3i #+y+20i @) ={i+2i @+3i #+4i $}\5
={2-2i}\5 =10-10i
364
답 ① [1-i j2 ]@= -2i 2 =-i, [ 1+i j2 ]@= 2i 2=i이므로 f{n}=-[ 1-i j2 ]@=N+-[ 1+ij2 ]@=N={-i}N+i N n=1=3=5=y이면 f{n}=0 n=2=6=10=y이면 f{n}=-2 n=4=8=12=y이면 f{n}=2 따라서 f{n}의 값으로 가능한 모든 값을 더하면 0+{-2}+2=0365
답 ⑤ [ j1+i ]@2i =2i @2i =i이므로 zn=-[ j2i 1+i ]@= 2N =i 2N ㄱ. z2=i 2@=i ㄴ. z6=i 2^=i #=-i=-z2 ㄷ. zn'8=i n+82 =i 4+2N=i 2N=zn366
답 5j3 (주어진 식) =j3i+ 3i j3i\5+ j6j2i =j3i+5j3-j3i =5j3367
답 ②x+y<0, xy>0이므로 x<0, y<0 ㄱ. jxk jy=-jxyk ㄴ. -y>0, x<0이므로 j-yl jx =-q -yx e ㄷ. x@>0, y<0이므로 1x@y3=1x@2 1y=-xjy
