구조신뢰론(Theory of Structural Reliability) 개설

구조신뢰론(Theory of Structural Reliability) 개설

- 강도저감계수(strength reduction factor) 및 초과하중계수 (overload factor)의 구조신뢰론적 이해 -

Steel Structures and Seismic Design Lab, Dept. of Arch and Archi Engrg, SNU

내 용

1. 서론

2. 강도설계법(LRFD)의 등장배경

3. 강도설계법과 허용응력도설계법의 비교 4. 설계포맷

5. 구조신뢰성 기본개념

6. 강도설계포맷 0.90M > 1.4D + 1.7L에 대한 구조 신뢰성 해석

7. 결어

1. 서론

• 구조물 (structures)의 예 (Structural Engineering 대상)

건물(building), 교량(transportation), 댐(water), 발전소(power), 송신탑(communication)…….

* 구조물: 지구의 인공적 외관 형성하는 동시에 우리의 생활(문명)을

유지하고 담아내는 그릇의 역할

“건물에 작용하는 하중 (Loads)”

F= mg

F

북극

남극

적도

고정하중 (DL) 적재하중 (LL) 풍하중 (WL) 지진하중 (EL) 온도하중 (TL) 수압/토압 등…

PLUS 인공하중

“접합부 강도의 불확실성 일례”

“구조물(structures)의 안전(safety): 유사 이래의 관심사”

1) 함무라비 법전(the code of Hammurabi, the King of Babylonia) 가장 오래된 건축법(BC 2200, 4000년전)/“Builder”에 대한 “처벌조항”만 언급.

2) 오늘 날: 최소한 구조적 요구사항 또는 권장기술지침이 “설계규준(design code)”

또는 “설계시방서(design specification)”라는 형태로 구조기술자에게 제공됨.

If a builder build a house for a man and do not make its construction firm and the house which he has built collapse and cause the death of the owner of the house – that builder shall be put to death.

“an eye for an eye and a son for a son (철저한 동해보복형에 의한 처벌을 규정)”

구조설계(“structural” design)의 특성

* 실제 세계: 여러 불확실성이 상존(uncertainties in loading, strength and workmanship…………)

* 구조설계에 있어서 안전성은, 통상 구조설계 규준 또는 시방서(code, specification)에서 규정한 한계치를 넘지 않도록 조처해서 확보함.

* 그러나 설계규준의 제조항을 적용하는 과정에서 “independent

professional judgment”의 중요성이 항상 강조됨 (최종책임은 결국 구조설계 자의 몫임)

* 여러 불확실성이 상존하는 상황에서 건물의 사용연한(useful lifetime, 가령 50년) 동안의 사용성(serviceability)과 안전성(safety)을 경제적으로

(economy) 만족시킬 것이 요구됨 (구조설계의 이런 속성은 왕왕 당혹감을 불 러 일으킴)

The great liability of the engineer…compared to men of other professions… is that his works are out in the open where all can see them.

His acts… step by step… are in hard substance.

He cannot bury his mistake in the grave like doctors.

He cannot argue them into thin air… or blame the judge… like the lawyers.

He cannot, like the architect , cover his failure with trees and vines.

He cannot, like politicians, screen his shortcomings by blaming his opponents… and hope the people will forget.

The engineer simply cannot deny he did it.

If his works do not work… he is dammed. ( H. Hoover 전 미국 대통령 )

“다음의 글귀는 구조기술자가 직면하고 있는 불리함과 어려움을 잘 요약하고 있음”

A profession that never has accidents is unlikely to be serving its country efficiently.

( A. G. Pugsley )

Structural engineering is the art of molding materials we do not really

understand, into shapes we cannot really analyze, so as to withstand forces we cannot really assess, in such a way that the public does not really suspect. ( R.

B. Corotis )

• 구조공학분야에 필연적으로 수반되는 불확실성을 논리적으로 취급하기 위해 구조신뢰론적 배경을 가진 설계규준(design code)이 정착. 되었거나 (콘크리트분야의 강도설계법 strength design code) 도입되는 단계에 있다 (강구조분야의 한계상태설계규준 limit state design code).

• 국내 강구조 한계상태설계규준(1998)의 경우 미국의 AISC-LRFD (Load and Resistance Factor Design, LRFD) 1986을 근간으로 제정 (명칭은 Eurocode 풍으로 작명)

• 강도설계법 또는 LRFD 규준의 실무적용에 확률론적 지식이 필수적이지

는 않지만, 그 핵심인 “강도저감계수”와 “초과하중계수”의 구조신뢰론적

배경의 이해는 설계규준의 올바른 이해와 현명한 적용에 긴요하리라 사료

됨.

2. 강도설계법 또는 LRFD의 등장배경

• 전통적 허용응력도법(Allowable Stress Design, ASD)의 경우 변동성(불확실성) 이 다른 하중에 대하여 동일 안전율을 사용하므로 합리적이지 않음 (가령 고정하 중 및 적재하중에 대해 단일 안전률= 1.5 사용): 소위 uniform reliability 확보가 곤 란

• 허용응력도법의 경우 항복강도의 적당 비율로 정의된 허용응력도에 의해 사용하 중하에서의 사용성만을 검토한다. 따라서 실제로 예기치 못한 초과하중 상태의 부재 또는 구조물의 극한내하력(ultimate resisting capacity)를 알 수가 없다.

• 탄성해석에 의한 응력도 계산으로는 콘크리트 구조물의 장기거동의 주요요소인 크립과 건조수축을 적절히 반영할 수 없다.

• 콘크리트 같은 구조재료의 응력도(stress)는 재료의 항복에 이를 때까지 변형도 (strain)에 직선적으로 비례하지 않는다. 따라서 허용응력 설계의 전제인 선형 탄성역학으로 취급하는 것은 무리가 있다, 등.

3. 강도설계법(LRFD)과 허용응력도설계법의 비교

“Service load”

“Ultimate load”

“Ultimate (plastic)capacity”

“Allowable (elastic) capacity”

“Plastic hinge”

A_s ^d=60cm

Cover (5cm)

b=30cm

* 등분포 고정하중(D)과 적재하중(L)을 받는 R/C 단순보의 휨설계

Critical Section (midspan) 6m

D (= 2 t/m) + L (= 1 t/m)

f

f

콘크리트와 철근의 전형적 응력도 – 변형도 곡선

0.4

f

f

ε

=

f

f

변형도 ε (㎝/㎝) 응력도 σ (㎏/㎠)

0.4f_c(=f_c/2.5) = 허용휨압축응력도

ε

=

취성재료)

f_y/1.5 = 허용인장(압축)응력도

(b) Reinforcing Steel (

연성재료)

“Sudden failure (no warning)” “Gradual failure (ample warning)”

휨에 대한 내력산정 및 안전도 검토 비교

허용응력도 설계법 강도설계법

설계하중

Service Load (사용하중)

= unfactored load D + L = 2t/m + 1t/m

= 3t/m

Ultimate Load (극한하중)

= factored load

1.4 D + 1.7 L = 1.4×(2t/m) + 1.7×(1t/m)

= 4.5 t/m

구조해석

통상의 선형해석에 의해 하중효과 (휨모멘트,전단력,축력 등)을 계산 M D+L

= 1/8 (3.0 t/m)(6m)²

= 13.5 t/m (at midspan)

허용응력설계법의 경우와 동일 M 1.4D+1.7L = 1.4×MD+1.7ML

= 1.4×1/8×(2t/m)(6m)²+ 1.7×1/8×(1t/m)(6m)²

= 1.4×(9 tm)+ 1.7×(4.5 tm)

= 20.25 tm (at midspan)

안전도검토

식 (1)에 의한 member level의 Serviceability limit state의 검토

(not system level)

식 (2)에 의한 member level의 Ultimate limit state의 검토

(not system level)

허용응력도 설계법의 휨내력 산정 및 안전도 검토

M allowable >= M _D+L …(1)

압축측

인장측

D + L ( Service Load = 사용하중 = unfactored load )

C

T

C

T = As fs <= As (fy/1.5) jd

σ c,max <= 0.4fc

M allowable = T(=C) × jd

= 허용휨모멘트

b×d = 30㎝ × 60㎝

As = 4-D22 (15.48 ㎠ )

fb = 0.4fc = 0.4 (210) = 84 (㎏/㎠) ft = fy/1.5 = 3000/1.5 = 2000 (㎏/㎠)

Pt = As / (bd) = 15.48 / (30×60) = 8.6×10^-3 (=0.86%) > Pt,min=0.4%

k = nP_t [(1+2/n/P_t)^0.5 -1] = 15(0.0086)[(1+2/15/0.0086)^0.5 -1]=0.395 Ptb = [ fb / (fb+ft/n) ] × (fb) / (2ft) = [84/(84+2000/15)]×(84)/(2×2000)

= 8.12×10^-3 (=0.812%) < Pt = 8.6×10^-3 ( 평형철근비 이상이므로 콘크리트의 압축연이 허용응력도에 도달할 때 허용내력이 정해진다 )

M

= [ 0.395 (3-0.395) / 6 ] (84) (30) (60)²

= 1,555,810 (㎏·㎝) = 15.6 (t·m)

M

= 15.6 (t·m) > M

= 13.5 (t·m) => O.K.

“단면에서의 평형조건식 및 적합조건식에 의해 계산”

강도설계법의 휨내력 산정 및 안전도 검토

ΦMn >= M 1.4D+1.7L ……(2)

압축측

인장측

1.4 D + 1.7 L (ultimate Load = 극한하중 = factored load)

C

T

C

T = As fy

jd

Mn = T(=C) × jd

= 공칭(nominal)휨강도

(소성휨강도, plastic moment)

X

초과하중계수 (overload factor)

Φ : 강도저감계수(strength reduction factor)= 0.90 Φ Mn : 설계 휨강도(= strength supply)

M1.4D+1.7L = factored Load에 의한 휨모멘트(= strength demand)

강도설계법의 휨내력 산정을 위한 등가장방형 응력 분포

1.4 D + 1.7 L ( Ultimate Load = 극한하중 = factored load )

Mn = T(=C) × jd

= 공칭극한휨강도

초과하중계수 ( overload factor )

β1 (1930년대의 Whitney의 실험결과에 의함 ) β1 = 0.85 for fc < 280(㎏/㎠)

= 0.85 – 0.08 (fc-280) / 10 for 280(㎏/㎠) <= fc <= 530(㎏/㎠)

= 0.65 for fc > 530 (㎏/㎠)

압축측

인장측

C

T

C

T = As fy

jd X

a = β1x

b×d = 30㎝ × 60㎝

As = 4-D22 (15.48 ㎠ )

fc = 210 (㎏/㎠) fy = 3000 (㎏/㎠)

ρ = As / (bd) = 15.48 / (30×60) = 8.6×10^-3 (=0.86%) > ρmin= 14/fy =0.47 ρb = β1 [ (0.85 fc )/fy ] × [6300/(6300+fy)]

= 0.85 [(0.85×210) / 3000] × [(6300) / (6300+3000)] = 0.034 (3.4%) ρmax = 0.75 ρb = 0.75 (0.034) = 0.0256 = 2.56% > ρ = 0.86%

따라서, 철근의 항복이 우선되는 연성파괴모드를 기대할 수 있다.

수평방향의 평형조건에 의해 C=T 이어야 하므로 0.85 fc (ab) = Ab fy

a = As fy / (0.85 fc b ) = 15.48 (3000) / 0.85 / 210 / 30 = 8.67㎝

Mn = T(=C) × jd = As fy (d-a/2) = 15.48 (3000) (60-8.67/2)

= 2,585,083 (㎏·㎝) = 25.9 (t·m)

ΦMn = 0.90 (25.9) = 23.3 (t·m) > M

= 20.25 (t·m) => O.K.

“단면에서의 평형조건식 및 적합조건식에 의해 계산”

4. 설계포맷 고찰

허용응력도 설계법

(구조재료의 허용응력도) >= (사용하중하에서 유발되는 위험단면에서의 최대응력도)

* 허용응력도 = (항복강도) / (안전계수)

* 안전계수 = Factor of Safety = Factor of Ignorance, 건축구조 규준 등에서 ‘적당히’ 경험적으로 정해진 값으로 진정한 의미의 안전도 마진 (safety margin)은 아님

critical section의 extreme fiber 응력도를 기준 (매우 “국지적” 응답지표)

강도설계법 또는 LRFD

(좌변) =ΦRn = 설계강도(design strength)

(우변) = Σ Wi = 초과하중효과 (factored load effect)의 총합

여기서 하중효과( load effect)는 휨모멘트, 전단력, 축력 등의 설계대상이 되는 단면력을 지칭

Φ = 강도저감계수 (strength reduction factor)

= 사용하중효과 Wi에 곱하는 초과하중계수(overload factor)

Rn= 강도설계법의 가정과 산정공식에 의한 공칭강도(nominal strength)

(*) 식에 함축된 구조공학적 개념과 산정근거는 ?

...(*)

n i i

i

R W

f ³ å g

g

g

f ^및 g

* 강도저감계수 φ

(*)식 좌변의 강도저감계수 φ는 1보다 작으므로 설계과정에서는 결과적으로 초과하중계수와 유사하게 작용하는 것 같이 보인다. 그러나 강도저감계수 φ는 다음과 같은 점을 반영하는 것임에 유의할 필요가 있다:

(1) 구조재료의 물성변동에 따른 부재강도의 변동

(2) 부재치수의 변동에 따른 부재강도의 변동 (가령 철근의 배근위치)

(3) 설계규준공식의 유도에서 사용한 이상화된 가정에 의한 부재강도의 변동 (가령 실제 비선형응력분포 대신 Whitney의 등가장방향 응력분포의 사용) (4) 경고(warning)없는 파괴의 위험성의 고려 (연성파괴 대 취성파괴)

(5) 구조체 내에서의 부재의 중요성 (가령, 보 대 기둥) 등.

...(*)

n i i

i

R W

f ³ å g

강도저감계수 Φ

부재 및 하중 종별 Φ

축하중이 없는 순수한 휨 0.90

축인장, 축인장+휨 0.90

축압축, 축압축+휨 나선철근에 의한 횡보강

기타

0.75 0.75 0.70

전단, 비틀림 0.85

콘크리트의 지압 0.70

초과하중계수

하중조합의 예

(load combination) 초과하중계수

D + L 1.4 D + 1.7 L

D + L + W

(1) 1.4 D + 1.7 L

(2) 0.75 ( 1.4 D + 1.7 L + 1.7 W )

= 1.05 D + 1.275 L + 1.275 W (3) 0.9 D + 1.3 W

가장 불리한 경우로 설계

D + L + E

(1) 1.4 D + 1.7 L

(2) 0.75 ( 1.4 D + 1.7 L + 1.87 E )

= 1.05 D + 1.275 L + 1.402 E (3) 0.9 D + 1.43 E

가장 불리한 경우로 설계

D + L + W + E ?

5. 구조신뢰성 기본개념

선수지식

Note) 정규분포 (Normal 분포) 는 평균 (m)과 표준편차 (s)로 완전히 정의되며 N(m, s)로 표기. (s/m)을 변동계수(COV)라고 하고 통계적 분산도를 표시.

a

f_X(X)

φ[(a-m)/s]

m x

f_X (x) = 1 / [s(2π)0.5] × exp[-(x-m)2/2s2]

P[X< a] = [X가 a보다 작을 확률]

= [-∞에서 a사이의 면적]

= φ[(a-m)/s] (φ[ ]=표준정규 누적분포함수)

Ex) 가령 확률변수 X 가 A 레미콘 공장에서 생산되는 콘크리트의 압축강도로서 평균 m=210 (kg/cm^2)이고, 표준편차 s=42(kg/cm^2)인 정규분포를 갖는다고 하자.

이 경우 A 레미콘공장에서 생산된 콘크리트의 압축강도가 126(=210-2x42)(㎏/㎠)

이하로 떨어질 확률은,

P[X< 126] = φ[(a-m)/s] = φ[(126-210)/42] = φ[-2] = 1-φ[2]

= 1-0.997 = 3/1000

정규분포와 관련된 확률정리

If X= X₁ + X₂ + ··· + X_i + X_n and X_i is a N (m_i, s_i),

then X also has a normal distribution of N (m_x=Σm_i, s=√(s_i)² )

예) 3층 바닥하중 X₃= N (30t, 5t) ; COV=16.7%

2층 바닥하중 X₂= N (40t, 12t); COV=30%

이 경우 1층기둥축력은 X= X₃+X₂이고, X의 확률분포는 N (30+40,s= √(5²+12²)) = N(70t,13t)

COV=18.6%

x

무작위 축력과 무작위 축강도를 갖는 기둥의 신뢰성(안전도) 해석예

P (random column axial load) = N (m_P, s_P)

R (random column strength) = N (m_R, s_R)

CASE A : P= N (100ton, 10ton), R= N ( 2x100ton , 40ton ) CASE B : P= N (100ton, 30ton), R= N ( 2x100ton , 40ton ) CASE C : P= N (100ton, 30ton), R= N ( 2.5x100ton , 40ton )

파괴와 관련된 영역

m_P=100 ton 기둥하중 (CASE A,B) CASE A

기둥강도

CASE B

m_R= 2m_P= 200 ton

i) 한계상태방정식: M= R-P >0 이면, 즉 M > 0이면 ‘Safe' (M = Safety Margin = 안전도 마진 )

ii) M의 확률분포: N ( m=m_R-m_P, s=√(S_R²+S_P²) )

ii) 안전확률 P_S

P_S (probability of being Safe) = P [M > 0] = 1-P [ M < 0]

= 1-φ[(a-m)/s] = 1 – φ [ (0-(m_R-m_P)) / (S_R²+S_P²) ]

= φ [(m_R-m_P) / √(S_R²+S_P²)]

∴ P

= φ[β], β = (m

-m

) / √(S

+S

) = reliability index = 신뢰지수

2 2

R P

R P

m m S S

b = ^- =

+

강도마진의 평균

강도마진의 표준편차

P_S = φ[β]

β

1.0

0.5

1 2 3 4

0.97725 0.84315

0.99865 0.999968

2 2

R P

R P

m m S S

b = ^- =

+

강도마진의 평균

강도마진의 표준편차

iv) CASE A, B, C의 비교

CASE A : β = (2x200-100)/√(40²+10²) = 2.42

P_S= φ[2.42]=0.99224; P_F =1- P_S = 7.76/1000 CASE B : β = (2x200-100)/√(40²+10²) = 2.00

P_S= φ[2.00]=0.97725; P_F =1- P_S = 22.8/1000 CASE C : β = (2.5x200-100)/√(40²+10²)=3.00

P_S= φ[3.00]=0.99986; P_F =1- P_S = 1.35/1000

* 목표신뢰지수 β_target (또는 목표안전확률 P_s,target)이 정해지면 시행착오적 계산 에 의해 이에 상응하는 초과하중계수를 결정할 수가 있을 것이다. 이같은 접근 법을 ‘Reliability-based design'이라 한다.

* 바로 강도설계법의 초과하중계수 및 강도저감계수가 이러한 설계개념에서 도입된 것으로 볼 수 있다. 강도설계법에서는 불확실성요인을 강도측 (강도저 감계수) 과 하중측 (초과하중계수)으로 구분하여 목표하는 안전확률을 확보한 다: 여러 하중간의 Uniform Reliability를 지향

6. 강도설계포맷 0.9M >= 1.4D+1.7L에 대한 신뢰성해석 (고정 하중과 적재하중을 받는 보의 휨설계식에 대한 신뢰도해석):

FOSM (First Order and Second Moment) Reliability Analysis

해석조건 :

* 건물 사용연한 내의 적재하중의 평균 = 고정하중(D) 평균의 75%

* M = 부재의 휨강도로서 N (m_M, 0.11m_M), 곧 변동계수가 11%

* D = 고정하중에 의한 휨모멘트로서 N (m_D, 0.1m_D),곧 변동계수가 10%

* L = 적재하중에 의한 휨모멘트로서 N (m_L, 0.25m_L), 곧, 변동계수가 25%

이상의 M, D, L에 대한 변동계수는 Galambos 등 (1982)의 통계자료에 의함 P_D + P_L

M (random strength)

D + L (random load)

i) M의 평균값

보가 강도설계포맷 0.9M =1.4D+1.7L에 의해 설계되었다면 M = (1.4D+1.7L)/0.9 = 1.556D + 1.889L 의 관계에서 m_M은

m_M = 1.556 m_D + 1.889 m_L = 1.556 m_D + 1.889(0.75 m_D)

= ( 1.556 + 1.889×0.75 ) m_D = 2.97 m_D ii) 한계상태방정식

S = M - (D+L) > 0 이면, 즉 S > 0 이면 ‘Safe' (S= safety margin)

)

b =

)

s

강도마진(S)의 평균(m

강도마진(S)의 표준편차(s

∴ P

= φ[β] = φ[3.13] = 0.9991, ∴ P

= 1 - P

≈ 1/1000

iii) 안전확률 P_s = φ[β] = φ[β=m_s/s_s]

m_s = m_M – m_D – m_L = (2.97-1-0.75) m_D = 1.22 m_D

s_s = √(S_M²+S_D²+S_L²) = √[(0.11m_M)²+(0.1m_D)²+(0.25m_L)²]

= √[(0.11×2.97m_D)²+(0.1×m_D)²+(0.25×0.75m_D)²]= 0.39m_D β = m_s/s_s = (m_M – m_D – m_L) / √(S_M²+S_D²+S_L²)

= (1.22m_D) / (0.39m_D) = 3.13

* 강도설계법 또는 LRFD에서의 중력하중에 대한 목표신뢰지수는 대략 3 내외

* 풍하중 또는 지진하중이 포함될 경우 신뢰지수는 낮아지는 경향

이 있음 (특히 불확실성이 큰 지진하중의 경우)

결어

1. 강도설계법 또는 LRFD는 구조공학에서 불가피하게 수반되는 불 확실성을 논리적/정량적으로 처리하는 구조신뢰론의 배경을 갖고 있다. 따라서 설계과정에서 안전도 검토에 있어 합리성이 확보되 고 있으며, 일반적으로 전통적 허용응력도설계법보다 물량이 경감 되는 것으로 알려짐.

2. 극한하중에 대응되는 소성강도를 근간으로 하는 강도설계법 또는

LRFD에 의할 설계할 때, 사용성 검토는 더욱 중요할 수 있다. 안전

과 관련된 강도요건을 만족시키더라도, 일반 사용하중하에서 사용

성의 문제를 야기할 수 있기 때문이다. 건물에서 검토되어야 하는

중요한 사용성 관련 요소로는 과도한 처짐, 과도한 진동, 또는 유해

한 균열을 들 수 있다. 이러한 측면에서, 사용성 검토에 동원되는

탄성해석은 그 중요성이 계속 유지될 것이다.