기호의 역사(History of symbols in Mathmatics)
영호샘이 쓰는 수학이야기 2019년 7월 16일
기호를 쓰지 않고 말로만 증명하는 유클리드 ’원론’을 본 일이 있다면 기호가 얼마 나 고마운 존재인가 알 수 있다. 그러나 한편으론 기호 투성이가 된 수학책때문에 수학공부를 포기하는 사람도 많다. 오늘날 기호가 없는 수학은 상상하기 어렵다.
언제부터 기호가 시작되었을까 궁금하다. 구글링으로 찬찬히 기호의 역사를 찾는 기록을 남기려 한다.
차 례
차 례 . . . 1
1 숫자(Numbers) . . . 2
2 연산(Operations) . . . 3
2.1 사칙연산(`, ´, ˆ, ˜) . . . 3
2.2 지수(Exponents) . . . 4
2.3 거듭제곱근(Square root) . . . 5
2.4 합의 기호(Summation) . . . 5
3 관계(Relations) . . . 5
4 상수(Constants) . . . 6
5 변수(Variables) . . . 6
6 함수(Functions) . . . 6
7 미적분(Calculus) . . . 7
8 집합(Set) . . . 7
1 숫자(Numbers)
고대 그리스에선 알파벳 문자로 숫자를 나타냈다. 오늘날에도 서수(ordinal numbers)를 알 파벳으로 나타내고 있다. 0을 쓰지 않고 자릿수 개념이 없기 때문에 수를 나타내고 연산을 하는 일이 매우 어렵다. 로마 숫자도 마찬가지다. 고대 그리스에서 대수학이 제대로 발전하지 못하고 기하학이 대세가 된 까닭도 수를 나타내고 계산하는 방법이 매우 어려웠기 때문이다.
그 시절 동양에서 이미 자릿수 개념을 가진 주판으로 상당히 빠르게 계산할 수 있었다.
아라비아 숫자보다 위대한 발명품은 없다. 사실 이 숫자를 유럽에 전한 사람들이 아라비아 사람이지 사실은 인도 숫자라는 것이 정설이다. 인도 숫자는 기호 10개로 무한히 많은 수를 나타낼 수 있어서 위대하다. 로마 숫자는 제목 차례를 매길 때나 쓸까 수학에선 쓸모 없다.
먼저 숫자에 얽힌 역사를 찾아보자.
아라비아 숫자를 유럽에 전한 이는 피보나치다. 1202년 발간한 책 Liber Abaci에서 아라비아 숫자를 썼는데 널리 알려진 피보나치 수열이 나온다. 하지만 널리 퍼지진 못하다가 15세기에
이르러서야 유럽에서 본격적으로 쓰기 시작했다. 아라비아 숫자가 전파되는데 시간이 걸린 까닭은 손으로 계산을 하려면 종이가 필요한데 값이 매우 비쌌기 때문에 계산에는 주판이 주로 쓰였기 때문이다.
2 연산(Operations)
2.1 사칙연산(`, ´, ˆ, ˜)
수학하면 가장 먼저 떠오르는 기호가 있다. 바로 ’` 와 ´’다. 이 기호는 1489년 처음 나오 는 책은 독일 수학자 ’요하네스 비드만:Johannes Widmann’이 펴낸 ’Behende und h¨ubsche Rechenung auff allen Kauffmanschafft: 모든 거래에서 빠르고 깔끔한 계산’ 처음으로 나왔 다. 처음엔 단순한 과부족을 뜻하는 기호로 쓰다가 그 후, 1514년에 네덜란드 수학자 호이케
그림 1: Behende und h¨ubsche Rechenung auff allen Kauffmanschafft (1489) (Hoecke)가 최초로 ` 와 ´ 기호를 덧셈과 뺄셈의 의미로 사용한 것으로 알려져 있다. 그림을
보면 오늘날보다 상당히 ´ 를 길게 쓰고 있다. 곱셈 기호로 ˆ 는 윌리엄 오트레드: William Oughtred (1574-1660)가 1631년 ’Clavis Mathematicae: 수학으로 가는 열쇠’에서 처음으로 사용하였다. 여기에 ’˘’과 절댓값 |a|도 처음으로 나온다. 라이프니츠는 ˆ 기호가 미지수 x와 비슷해 실수할 때가 많아 싫다며 ’¨’를 곱셈 기호로 썼다. Johann Rahn (1622-1676)는 1659년
’Teutsche Algebra’에서 곱셈은 ’*’를 나눗셈은 ’˜’를 썼다. ’그러므로’를 ’6’로 쓰고 있으며 거듭제곱은 나선으로 적고 있는 것이 보인다. Michael Stifel는 1544년 펴낸 ’Arithmetica
그림 2: Teutsche Algebra 71쪽
integra’에서 나눗셈을 25q5 로 닫는 괄호로 썼고, 1633년 존슨은 ’Johnson Arithmetik’에서 분수를 ’3:4’로 쌍점을 써서 나타냈다. 1772년 존 힐은 그림 3처럼 분리된 괄호로 나눗셈을 표기하였다.
2.2 지수(Exponents)
1484년 Nicolas Chuquet (1445?-1500?)는 ’Le Triparty en la Science des Nombres’에서 양 의 정수를 지수로 썼다. 요즘과는 조금 달라서 123은 12x3을 뜻했다. 1634년 Pierre H´erigone (1580-1643)는 a, a2, a3, ¨ ¨ ¨ 로 썼다. 1637년 오늘날과 같은 표기는 데카르트: Rene Descartes (1596-1650)가 ’Geometrie’에서 썼는데 다만 a2보다 aa로 써서 2를 지수로 쓰지 않으려 했다.
뉴턴은 1676년 헨리 올덴버그에게 보낸 편지에서 오늘날과 같은 뚯으로 음의 정수와 분수를 지수로 사용했다.
그림 3: Decimal division in Arithmetick by John Hill (1772)
2.3 거듭제곱근(Square root)
1525년 크리스토프 루돌프가 거듭제곱근을 기호로 사용했는데 가로로 선이 없는 ‘a 모양이 었다. 근을 뜻하는 radix의 첫 글자에서 따왔다. 1637년 데카르트가 가로로 선이 있는 ?
a 모양으로 적었다.
2.4 합의 기호(Summation)
합의 기호로 ř 을 처음 쓴 사람은 오일러다. 1775년 라틴어로 쓴 Institutiones calculi differ- entialis 1장 23쪽에 있다.
3 관계(Relations)
등호 “ 는 1557년 Robert Recorde (c. 1510-1558)가 ’The Whetstone of Witte:지혜의 숯 돌’에서 처음으로 사용하였다. 평행선만틈 서로 같은 것이 없다는 뜻으로 썼다고 하는데 그 뒤로 한 동안 보이지 않다가 1618년 네이피어가 쓴 책을 옮긴 책에서 다시 나타났다. 부등호 ă . ą 는 1631년 Thomas Harriot (1560-1621)이 쓴 책에 처음으로 등장한다. 1670년 Pierre Bouguer (1698-1758)가 ő, ŕ 를 처음으로 사용하였다. 오늘날은 같은 뜻으로 ď, ě 로 적는다.
선을 하나 빼도 같은 의미를 가지게 되니까 토너를 상당히 절약할 수 있다.
4 상수(Constants)
처음으로 원주율을 π 로 쓴 사람은 오트레드 William Oughtred (1574-1660)로 위에 나온
’수학의 열쇠’에서 사용하였다. 오일러는 p 로 나타내기도 했지만 차츰 π 가 대세가 되었다.
자연로그이 밑인 2.717281 ¨ ¨ ¨ 를 e 로 쓴 사람은 오일러다. 허수 단위로 i 를 쓴 사람도 오일 러다. 1777년에 쓴 회고록에서 ii “ ´1, 1{i “ ´i 와 같이 썼는데 1794년에 ’Institutionum calculi integralis’으로 발간하였다. 그리스 문자 φ 로 황금비를 나타내기도 하였다. 그리스 문자나 로마자가 대부분인데 이스라엘 문자인 상수가 하나 있는데 무한 기수를 나타내는 ℵ 이다. 칸토어가 처음으로 쓰기 시작한 이 기호는 알레프 aleph로 읽으면 된다.
5 변수(Variables)
아리스토넬레스는 자주 변수를 그리스 대문자로 나타냈다. 디오판토스도 미지수를 그리스 문자로 썼다. 오늘날처럼 미지수를 x, y, z 로 상수는 a, b, c 로 쓰기 시작한 사람은 데카르드다.
직선의 방정식을 ax ` by “ c 로 적었다. 오일러는 복소수를 a ` bi 로 적었다.
6 함수(Functions)
오일러가 1734년 ’Commentarii Academiae Scientiarum Petropolitanae’에서 처음으로 함 수를 f pxq 로 쓰기 시작했다. 오일러가 만든 함수를 Jacques P. M. Binet (1786-1856) 가 1839년에 β 함수로 표현하였다.
Bpx, yq “ ż1
0
tx´1p1 ´ tqy´1dt
Adrien-Marie Legendre (1752-1833)는 아래와 같이 Γ 함수로 표현하였다.
Γpzq “ ż8
0
xz´1e´xdx
리만 Bernhard Riemann (1826-1866)은 리만-제타 함수를 만들었다.
ζpsq “
8
ÿ
n“1
1 ns
1583년 Thomas Fincke는 Geometria rotundi에서 sine, cosine, tangent, secant, cotangent 를 쓰기 시작했다. 1632년 오트레드가 sin, tan, sec으로 1674년 조나스 무어가 cos, cot로 쓰 기 시작했다. Thomas Fincke는 cosecant를 sec, com으로 썼지만 오트레드가 1632년 cosec로 쓰기 시작햐였고 1881년 scs로 쓰인 책은 Treatise on Trigonometry이다. Vincenzo Riccati (1707-1775)는 Sh, Ch로 쌍곡함수를 소개하였고 나중에 람버트가 sinh, cosh로 쓰기 시작했 다.
7 미적분(Calculus)
뉴턴과 함께 미적분을 완성한 사람으로 알려지 라이프니츠는 기호를 만드는 일에도 뛰어난 재능이 있었다. 1675년 그가 쓴 원고 Analyseos tetragonisticae pars secunda에서 소개한 기호 dy, dx, dy{dx 는 미적분을 직관으로 쉽게 공부하는데 큰 도움을 준다. 처음에 라이프 니츠는 피적분함수 앞에 omnia를 적어서 적분을 나타내다가 이 원고에서 ş 를 사용하였다.
f1pxq, f2pxq 는 1797년 라그랑제가 Th´eorie des fonctions analytiques에서 사용하였다. 라그 랑제는 편도함수를 Bu
Bx로 쓰고 u1 “ du{dx 와 같은 표현도 썼다.
뉴턴은 문자 위에 수직선을 그어서 표현했는데 식자공이 글자를 찍기가 어려웠고 x1과 혼동되었기 때문에 영국에서도 잘 쓰이지 않았다. 요즘은 위에 점을 찍어서 9x, :x 로 쓴다. 1822 년 푸리에는 ’The Analytical Theory of Heat’에서 오늘날과 같이 정적분의 아래끝과 위끝 을 표현하였다. 1850년 바아어스트라스가 극한을 limx“c로 쓰기 시작하였고 John Gaston Leathem가 1905년 ’Volume and Surface Integrals Used in Physics’에서 요즘과 같이 화살 표를 써서 limxÑc로 나타냈다. 1665년 John Wallis (1616-1703)는 ’De sectionibus conicis’
에서 8 기호를 처음으로 사용하였다. 1821년 코시는 ’Cours d’analyse’에서 ε, δ 로 작은 차를 나타냈다.
8 집합(Set)
1895년 칸토어 Georg Cantor가 쓴 원고에 집합기호인 tu 가 처음으로 나온다. 집합은 A,B,C,
¨ ¨ ¨ 와 같이 대문자로 원소는 a,b,c, ¨ ¨ ¨ 와 같이 소문자로 썼다. 1903년 러셀은 집합에서 el- ement의 머리글자를 따서 P 처음으로 사용하였다. 공집합은 프랑스 수학자 웨일(Weil)이 노르웨이어 알파벳의 한 문자를 도입하여 사용하였으나, 그 후 활자가 없어져 그리스어인
ϕ 를 사용하게 되었다. 이는 ‘영(0)이 아니다(/)’를 결합하여 만들었다고 한다. 부분집합을 나타내는 기호인 ⊂ 또는 ⊃는 1898년 이탈리아의 수학자 페아노(Peano)가 처음으로 도입 하였다. 이것은 ‘포함하다’의 contain의 머리글자에서 비롯되었다고 한다. 아울러, 합집합과 교집합을 각각 나타내는 ∪과 ∩의 최초 사용은 알려져 있지 않지만, 1877년 이탈리아의 수학자가 처음으로 사용한 논리기호인 ∨와 ∧에서 발전하여 변형된 것으로 보고 있다.
1895년 페아노 Giuseppe Peano는 ’Formulaire de math´ematiques’에서 양의 정수의 집 합은 N , 0을 포함한 양의 정수는 N0, 양의 유리수의 집합은 R, 유리수는 r, 양의 실수는 Q, 실수는 q, 0을 포함한 실수는 Q0로 나타냈다. 부르바키 Nicolas Bourbaki는 독일어 유리수 Quotient와 정수 Zahlen에서 Q 를 유리수, Z 를 정수로 나타냈는데 오늘날도 이를 따른다.
워터하우스 William C. Waterhouse는 복소수를 C 로 나타냈다.
참고한 글
1. Earliest Uses of Various Mathematical Symbols 2. https://en.wikipedia.org/wiki/Arabic numerals
