불균형 모멘트의 전달

한상환교수

불균형 모멘트의 전달

(1) 불균형 모멘트

수직하중 작용시 : 뚫림전단 설계에서 위험단면에서 전단응력이 등분포되는 것으로 가정

수직하중 및 횡하중작용시 : 전단응력의 분포는 등분포되지 않으며, 슬래브와 기둥의 연결부에 발 생하는 불균형 모멘트발생

휨에 의해 전달되는 불균형 모멘트: 전체 불균형 모멘트 Mu중 γfMu 만큼 슬래브 유효폭에 전달 되는 것으로 간주. 슬래브의 유효폭은 기둥 또는 전단머리 측면에서 양쪽으로 슬래브나 지판 두 께의 1.5배 떨어진 사이폭으로 정의.

(2) 휨에 의해 전달되는 모멘트 비 γf

γ_f = 1 1 + 23 b₁

b₂

(10.32)

여기서, b1 : 모멘트가 작용방향의 위험단면의 전체 폭 ( b1= c1+ d ) b2 : b1에 수직한 방향의 위험단면의 전체 폭 ( b2= c2+ d )

▪외부 받침부에서 단부와 평행한 축(Edge column: moment about an axis parallel to the edge) 에 대한 불균형 모멘트에 대해서는 if Vu < 0.75φVc, γf를 25% 증가 시킬 수 있음

▪내부 받침부와 외부 받침부에서 단부에 수직한 축 (Edge column: moment about an axis

perpendicular to the edge)에 대한 불균형 모멘트에 대해서는, if V

_u< 0.4φV_c, γ_f 값은 25%까지 증가

▪Corner column: γ_f=1.0 if V_u<0.5φV_c

▪일반적인 정사각형 기둥과 슬래브 사이에 모멘트가 전달되는 접합부에서 불균형 모멘트의

60%

는 휨에 의하여 전달되고, 나머지

40%는 위험단면에서

전단응력에 의하여 전달되는 것으로 나타 나 있다.

(3) 전단에 의하여 전달되는 모멘트 γvMu

이 모멘트는 (Mu- γfMu)가 되므로 전단에 의하여 전달되는 모멘트의 비 γv는 (1 - γf)와 같다. 즉,

γ_v = 1 - 1 1 + 23 b₁

b₂

(10.33)

(4)전단편심에 의해 전달된 모멘트에 의한 전단응력

①그림 10.29 및 그림 10.30과 같이 위험단면의 중심에 대하여 선형적으로 변화한다고 가정

기둥 주위의 위험단면에는 계수하중에 의한 전단력 Vu에 의한 전단응력 이외에도 전단에 의해 전 달된 불균형 모멘트 γvMu에 의한 응력이 추가되므로 모멘트가 작용하는 방향에 면한 위험단면에 발생하는 전단응력은 다음과 같다.

한상환교수 υ = V_u

b_od ±

γ_vM_uc

J_c (10.34)

여기서, c : 중심축 c-c에서 전단응력이 계산되는 점까지의 거리 Jc : 중심축 c-c에 대한 위험단면의 단면극2차모멘트

② 단면상수 J :

모멘트 방향에 평행한 b1d의 양 단면에서는 단면중심에 대한 비틀림 거동을 하고 그에 직각인 b2d의 양 단면에서는 b1/2의 모멘트팔을 가진 휨거동을 함

(i) 내부 기둥의 경우

J_c = 2

[

^b12^1d3 + d b³₁

12 + b₂d

(

^b2¹

)

²

]

^(10.35a)

여기서, b1 : 모멘트 방향의 전단위험단면의 폭으로서 b1 = c1 + d

b2 : 모멘트 방향에 직각방향의 전단위험단면의 폭으로서 b2 = c2 + d (ii) 외부 기둥의 경우

J_c = 2

[

^b12^1d3 + d b³₁

12 + b₁d

(

^b2 - C^{1 AB}

)

²

]

^{+ b2d C2AB (10.35b)}

여기서, b1 : 모멘트 방향의 전단위험단면의 폭으로서 b1 = c1 + d/2

b2 : 모멘트 방향에 직각방향의 전단위험단면의 폭으로서 b2 = c2 + d 단, 모서리 기둥의 경우는 b2 = c2 + d/2

한상환교수

③ 식 (10.34)에 의해 계산된 최대 전단응력은 다음과 같이 정의된 설계 전단응력 φ υn 이하이어야 한다.

[예제 10.15]

예제 10.7의 Ⓑ에서 슬래브와 외부 기둥 및 내부 기둥 접합부에서 슬래브의 최대 전 단응력도를 구하라.

[예제 10.7] 그림과 같이 보가 없는 2방향 슬래브 시스템(플랫 플레이트)에서 빗금친 설계대의 슬 래브를 직접설계법으로 설계하라. 단, 기둥의 치수는 40 cm × 40 cm 이고, 마감하중은 1kN/m², 활 하중은 5kN/m²이며, 콘크리트의 기준압축강도는 fck= 21MPa, 철근의 기준항복강도는 fy= 400MPa 로 가정한다. (4) 정 및 부 계수모멘트의 분배

① 외부 경간 : 표 10.3에서 내부 받침부 사이에 보가 없고 테두리보도 없는 경우이므로

외단의 부 계수 모멘트 : Mu- =0.26 Mo = 0.26 × 32.54 = 85 kN m 중앙의 정 계수 모멘트 : Mu+ =0.52 Mo = 0.52 × 32.54 = 169kN m 내단의 부 계수 모멘트 : Mu- =0.70 Mo = 0.70 × 32.54 = 228 kN m

② 내부 경간 : 식 (10.10)에 따라

단부의 부 계수 모멘트 : Mu- =0.65 Mo =0.65 × 32.54 = 212 kN m 중앙의 정 계수 모멘트 : Mu+ =0.35 Mo =0.35 × 32.54 = 114 kN m [해] ①

슬래브-외부 기둥 접합부에서의 슬래브의 전단응력 검토

예제 10.13에서 bo = 154 cm, Vu = 245kN

불균형 모멘트는 예제 10.7에서 외부 경간 외단부의

부모멘트이므로 Mu = 85 kN‧m wu = 15 kN/m², h = 20 cm, d = 17 cm Vu = 15 × (3.2 × 5.2 - 0.485 × 0.57) = 245kN

b1 = c1 + d / 2 = 48.5 cm, b2 = c2 + d = 57 cm 도심의 위치는

C_{A B}   b_d  b_d

 b_db_

  ×    × 

 ×  ×  ×



^





  cm

한상환교수

(moment of area of the sides about AB/areas of the sides)

CCD = 48.5 - 15.27 = 33.23 cm

위험단면의 도심축에 대한 단면 극2차모멘트는 식 (10.35b)에 의해

J_c 







b_d^

 

d b_^

 b_d



^ b_

 C_{A B}



^



_{ b}

d C_{A B}^

 







 × ^

 

 × ^

  ×  ×



^

  



^



  ×  × ^  cm^ 전단력에 의해 전달되는 모멘트 비는 식 (10.33)에 의해

γ

_v

= 1 - 1 1 + 23 b

₁

b

₂

= 1 - 1

1 + 23 48.5 57

= 0.38 b

1

= c

1

+ d/2

b

2

= c

2

+ d

최대 전단응력도는 식 (10.34)에 의해

_ b_od V_u

 J_c

_vM_u

C_{A B}   × 

 × ^

 

 ×  × ^

×   MP a

_ b_od V_u

 J_c

_vM_u

C_{C D}   × 

 × ^

 

 ×  × ^

×    P a

_  1.14 MPa  _  (OK)

_  



_  



×    





② 슬래브-내부 기둥 접합부에서의 슬래브의 전단응력 검토 예제 10.13에서 bo = 228 cm, Vu = 445kN

내부기둥에서 불균형 모멘트는 예제 10.7에서 외부 경간 내단부의 부 모멘트와 내부 경간 단부의 부 모멘트의 차이이므로

Mu = 228 - 212 = 16 kN‧m b1 = b2 = 57 cm

위험단면의 도심축에 대한 단면극 2차모멘트는 식 (10.35a)에 의해

J_c 







b_d^

 

d b_^

 b_d



^ b_



^



 







 × ^

 

 × ^

  ×  ×



^





^



  cm^ 전단력에 의해 전달되는 모멘트 비는 식 (10.33)에 의해

v   

  





^b

b_

    

  





^



  

where b1= c1+ d b2= c2+ d 최대 전단응력도는 식 (10.34)에 의해

한상환교수

_ b_od V_u

 J_c

vM_u

C_{A B}   × 

 × ^

 

 ×  × ^

×



^





^{ MP a}

_ b_od V_u

 J_c

vM_u

C_{C D}   × 

 × ^

 

 ×  × ^

×



^





^{ MP a}

_  1.15MPa (NG) _  



_  



×   





Full Process (1) 두께가정

(2) 1방향 2방향 수직하중에 대한

V

u 점검



_



_ 2방향 모멘트에 대한







 계산

(3) 모멘트 철근 배근

i) 모멘트 분배 (직접설계법, 등가골조법-모멘트분배법, 강성행렬법) ii) 주열대, 중간대 모멘트 분배

iii) 철근배근



_



__---> 



__--->



_



__  

iv) minimum reinforcement and maximum spacing check (4) Unbalance moment,



_에대한 휨철근과 전단 점검 I)



_계산

ii)



_,



_계산

iii) (2) 단계에서 구한



_



_에 따른 조정 iv) 



에 대한  안에 철근량 계산

v) 만약  >0.375 (혹은 >0.375 여기서      _),  는 조정 못함.

철근양은 임의로 선택하여  <0.375_ 작게하여 배근하고 (_가 계산한 값과 조정한 값 사이가 되도록), 이것이 



_= _



_ 이 된다. (현기준에서는  <0.375_ 대신 _  within

c

2

+3h

ACI 13.5.3.3. (b))



_=



_-



_이 된다.

Otherwise, _



_는 조정된 _로 계산된 값이다.

휨철근 배근  에 들어가는 철근 배근은 (3) 단계에서 구한 철근도 포함하여 계산한다.

즉 모멘트 철근도 불균형 모멘트에 대하여도 저항함.

vi) 



_에 대한 이방향 전단 점검

υ= V_u b _od ±

γ _vM _uc

J _c <  min 





^{  }



 ^

^{ , }



^{ b}o

sd

 

 ^

^{fck ,}

 





^ ) McGregor 703-719