개념완성
확률과 통계
VITAEDU-ACADEMY
노박사수학교실
제1장
경우의 수
01 경우의 수
1. 경우의 수
빠짐없이, 중복되지 않게 ⇨ 사전식 배열, 수형도
복잡한 경우의 수를 셀 때는 점화식을 이용하는 경우도 있다.
(1) 합의 법칙
한 사건
가
가지의 방법으로 일어나고,다른 사건
가
가지의 방법으로 일어난다고 할 때
또는
가 일어나는 경우의 수는
,
가 동시에 일어나지 않을 때 ⇨
,
가 동시에 일어나는 경우가
가지 있을 때 ⇨(2) 곱의 법칙
한 사건
가
가지의 방법으로 일어나고, 그 각각에 대하여 다른 사건
가
가지의 방법으로 일어난다고 할 때
와
가 동시에 일어나는 경우의 수 ⇨▶ 화폐의 지불방법과 지불금액
원짜리 동전 개, 원짜리 동전 개, 원짜리 동전 개를 사용하여 거스름돈 없이 지불할 때, 지불 방법과 지불금액의 수를 구하시오.
① 지불방법
곱의 법칙에 따라 100원 □ 개, 50원 △ 개, 10원 ○ 개라 할 때 (□, △, ○) 의 개수를 구한다. ⇨
② 지불금액
50원 두 개로 100원을 지불 할 수 있을 때는 100원짜리를 50원 짜리로 바꾸어 50원 7개, 10원 4개로 지불하는 방법과 같다. ⇨
1.
에서 까지의 자연수 중에서 또는 로 나누어떨어지는 수의 개수를 구하시오.1)2.
방정식 를 만족하는 자연수 의 순서쌍 의 개수를 구하시오.2)3.
×× 의 양의 약수의 개수 ＊ 를 구하시오.3)2. 점화식을 이용한 풀이
경우의 수를 구하는 데
점화식을 이용하면 편리한 경우가 있다.
【예제】○, × 기호 다섯 개를 같은 기호는 연속하여 세 번 이상 이어지지 않게 나열하는 경우의 수
× ○ ○ × ○
⇨
○, × 기호 네 개를 나열하고 맨 앞은
○, × 기호 세 개를 나열하고 맨 앞은
를 추가하면, 다섯 개의 기호가 연속하여 세 번 이상 이어지지 않게 나열되는 것을 알 수 있다.
⋯
× ○ ○ × ×
× ○ × ○ ○
× ○ × ○ ×
× ○ × × ○
○ × ○ ○ ×
○ × ○ × ○
○ × ○ ○ ×
○ × × ○ ○
○ × × ○ ×
× × ○ ○ ×
× × ○ × ○
× × ○ × ×
○ ○ × ○ ○
○ ○ × ○ ×
○ ○ × × ○
▶ 피보나치의 수열 ⇨
4.
를 일렬로 늘어놓은 네 자리의 수 중에서1.≠ ≠ ≠ ≠ 를 전부 만족하는 경우의 수를 구하시오.4)
5.
단으로 된 계단을 한 걸음에 단 또는 단씩 올라간다면, 이 계단을 오르는 방법의 수를 구하시오.5)6.
단으로 된 계단을 한 걸음에 단, 단, 또는 3 단씩 올라간다면, 이 계단을 오르는 방법의 수를 구하시오.6)■ 약수의 개수와 총합
1. 약수와 배수
세 개의 정수
사이에
인 관계가 있을 때,
를
의 배수,
를
의 약수라 한다.2. 배수 판정법
① 2 의 배수 판정법 : ××××□
② 3 의 배수 판정법 : □+□+□
③ 4 의 배수 판정법 : ×××□□
④ 5 의 배수 판정법 : ××××□
⑤ 6 의 배수 판정법 : ××××□, □+□+□
⑥ 7 의 배수 판정법 : ○ ○ ○ □ ⇨ ○ ○ ○ -2× □
⑦ 8 의 배수 판정법 : ××□□□
⑧ 9 의 배수 판정법 : □+□+□
⑨ 11 의 배수 판정법 : □●□●□ ⇨ (□+□+□)-(●+●)
3. 약수의 개수와 총합 :
정수 가
과 같이 소인수 분해될 때
① 양의 약수의 개수 ⇨ N=
② 양의 약수의 총합 ⇨ S=
③ 양의 약수 전체의 곱 ⇨ P=
4. 약수의 개수로 정수 분류
① 약수의 개수가
개⇨
② 약수의 개수가
개⇨
③ 약수의 개수가
개⇨
④ 약수의 개수가
개⇨
⑤ 약수의 개수가 홀수 개
⇨
■ 완전순열
1 에서 n 까지의 번호가 붙은 n 개의 상자와 ①에서 ⓝ까지의 번호가 붙은 n 개의 공이 있다. 다음은 각 상자마다 1 개씩의 공을 임의로 넣을 때 상자의 번호와 공의 번호가 맞는 것이 하나도 없는 경우의 수는
a
n=n
!{
2! -1 13! + 1
4! - 1
5! + ․ ․ ․ + (-1) n
n
!}
임을 증명한 것이다.
증 명
공 ① 을 2, 3, ․ ․ ․, n 의 어느 상자에 넣는 방법은 (가) 가지이고, 공 ① 이 2 번 상자에 들어갈 때, 다음과 같이 두 경우가 있다.
ⅰ) ① 이 2 번, ② 가 1 번 상자에 들어가는 경우는
a
n- 2 가지 ⅱ) ① 이 2 번, ② 가 1 번 상자에 들어가지 않는 경우는 (나) 가지 ∴a
1= 0,a
2= 1,a
n = (가) × (a
n- 1+a
n- 2) ․ ․ ․ ․ ㉠ ㉠ 을 변형하면
a
n-n a
n- 1 = - {a
n- 1- (n
- 1)a
n- 2} = ( - 1)2{a
n- 2- (n
- 2)a
n- 3} = ( - 1)3{a
n- 3- (n
- 3)a
n- 4} = ․ ․ ․ ․∴
a
n-n a
n- 1 = (다) ․ ․ ․ ․ ․ ․ ․ ․ ․․ ․ ㉡ ㉡ 의 양변을 n! 로 나누면
다
n 에 2, 3, ․ ․ ․ ․ ․․ , n 을 대입하여 변끼리 더하면
a n
! -na
1= 12! - 13! + 1
4! - 1
5! + ․ ․ ․ + (- 1) n
n
! ∴a
n=n
!{
2! -1 13! + 1
4! - 1
5! + ․ ․ ․ + (-1)n
n
!}
(가), (나), (다) 에 알맞은 것을 순서대로 적어라.
정답 : (가)
n
- 1 (나)a
n- 1 (다) ( - 1 ) n02 순열
1. 순열
서로 다른
개의 물건에서
개 를 택하여 한 줄로 배열하는 것을
개의 물건에서
개를 택하는 이라 하고 이 경우의 수를 기호로 와 같이 나타낸다.(1) P r
(2) 개를 다 뽑는 순열의 수
(3) , P
▶
P
r 의 계산아래 그림과 같이
개의 장소를 미리 만들어 놓는다.
① ② ③ ⓡ
□ □ □ ⋯⋯ □
□
안에 차례로 서로 다른 것을 택하여 한 개씩 넣는다.① 의 장소에는
개 중에서 어느 것이라도 좋으니 가지② 의 장소에는 ① 에 이미 한 개를 넣었으므로 가지 같은 방법을 되풀이하면 ⓡ 의 장소에는 가지
따라서, 구하는 순열의 수
P
r 는 곱의 법칙을 이용하여
P r × × × ⋯ ×
7.
다음 식을 만족하는 자연수 또는 의 값을 구하시오. 7)(1) P
(2) P
(3) P P
(4) P P
8.
명으로 구성되어 있는 동아리에서 회장, 부회장, 총무를 선출하는 방법의 수를 구하시오.8)9.
에서 서로 다른 네 숫자를 이용하여 네 자리 정수를 만들 때, 짝수의 개수를 구하시오.9)① ② ③ ④ ⑤ ⑥ ⑦ ⑧ ⑨ ⑩
2. 인접순열
(1) 특정한 원소끼리 인접할 때
인접하는 것들을 묶어서 하나로 생각하고, 묶인 부분의 자체 내에서의 순열의 수를 곱한다.
(2) 특정한 원소끼리 인접하지 않을 때
인접해도 좋은 것을 먼저 배열하고, 그 사이사이에
인접하지 못하는 것들을 배열하는 순열의 수를 곱해 준다.
▶ 서로 인접하지 않는 순열
서로 다른 n 개의 순서가 정해진 배열에서
서로 인접하지 않은 r 개를 선택하여 순서대로 배열하는 순열
▶ 모델링[modeling]
수리현상을 특정한 목적에 맞추어 이용하기 쉬운 형식으로 표현하는 것을 모델링[modeling] 이라고 한다.
【예제】주차구역 열 군데에 대형차 두 대와 소형차 세 대를 주차시키는 방법 (단, 대형차는 두 구역에 걸쳐 주차한다.)
10.
남학생 명, 여학생 명을 한 줄로 세울 때, 여학생끼리는 이웃하지 않도록 세우는 방법의 수는? 10)① ② × ③ ×P
④ ×P ⑤ ×
11.
한 줄로 놓여 있는 개의 의자에 명의 학생과 명의 선생님이 앉는데 먼저 선생님이 자리에 앉고 나중에 학생들이 앉는다고 한다. 세 선생님이 모두 두 학생 사이에 앉게 되도록 세 선생님의 자리를 정하는 방법의 수를 구하시오. 11)(단, 학생들의 순서는 고려하지 않는다.)
12.
남자 명, 여자 명을 일렬로 세울 때, 남자와 여자가 교대로 서는 경우의 수를 구하시오.12)3. 원순열
서로 다른
개의 물건을 원형으로 배열하는 순열(1) 개의 물건을 배열하는 원순열의 수 ⇨
(2) 개 중 개를 택한 원순열의 수 ⇨
▶ 원순열의 수
(1) (순열의 수) ÷ (자리 수)
∴
가지
(2) 하나를 고정한 순열
13.
남자 명, 여자 명이 원탁에 둘러앉을 때, 다음을 구하시오. 13) (1) 앉는 방법의 수(2) 남자, 여자가 번갈아 앉는 방법의 수
14.
서로 다른 가지 색을 모두 사용하여 오른쪽 그림과 같은 큰 원 내부의 칸을 칠하는 방법의 수를 구하시오.14)15.
오른쪽 그림과 같이 농구공을 개의 대원으로 등분하여 가지 색으로 칠하는 방법의 수를 구하시오.15)
4. 다각형순열 (대칭인 경우)
(1) 정사각형 식탁에 8 명이 앉는 방법 ⇨
(2) 정삼각형 식탁에 6 명이 앉는 방법 ⇨
(3) 직사각형 식탁에 10 명이 앉는 방법 ⇨
16.
오른쪽 그림과 같이 명의 학생을 정삼각형모양의 탁자에 앉히는 방법의 수를 구하시오.16)
17.
오른쪽 그림과 같이 정오각형의 식탁에 명이 둘러앉는 방법의 수를 구하면 × 이다. 이 때 안의 값을 구하시오.17)
18.
오른쪽 그림과 같이 명의 가족이 식탁에 앉아서 식사를 하려고 한다. 앉을 수 있는 모든 경우의 수는?18)① ② × ③
④ × ⑤ ×
5. 같은 것이 있는 경우의 순열
개 중에 같은 것이 각각
개,
개,
개 있을 때, 이
개를 모두 택하여 만든 순열의 수(단,
)▶ 순서가 정해진 순열 ⇨
▶ 최단거리 ⇨
B b
⇨
b
A a a a
1 3 6 10 B
1 2 3 4
1 1 1
A
A 에서 B 에 이르는 최단거리는 < 초딩 해법 >
오른쪽으로 세 칸, 위로 두 칸 이동하는 경우이다.
즉, a a a b b 를 나열하는 경우의 수와 같다.
19.
STUDY 를 구성하는 다섯 개의 문자를 일렬로 배열할 때, 세 문자 S T D 를 SUTYD YSUTD 등과 같이 반드시 STD 의 순서로 배열하는 방법의 수를 구하시오.19)20.
오른쪽 그림과 같은 도로망이 있다. 에서 출발하여 를 지나서 로 가는 최단 경로의 수를 구하시오.20)
21.
단으로 된 계단을 한 걸음에 단 또는 단씩 올라간다면, 이 계단을 오르는 방법의 수를 구하시오.21)6. 중복순열
서로 다른
개에서 중복을 허용하여
개를 택하는 순열을
개의 물건에서
개를 택하는 이라 하고 이 경우의 수를 기호로 와 같이 나타낸다.
▶ ∏ 의 계산
개를 배열할 자리를 다음과 같이 나타내면
첫째 칸에 가지, 둘째 칸에도 가지, …,
마지막 칸에도 가지가 들어갈 수 있으므로
∏
22.
중복을 허용하여 의 다섯 개의 숫자로 만들 수 있는 네 자리 정수와 다섯 자리 정수의 개수의 합을 구하시오.22)
23.
문자 에서 중복을 허용하여 세 개를 택해 만든 단어를 전송하려고 한다.단, 전송되는 단어에 가 연속되면 수신이 불가능하다고 한다. 예를 들면, 등은 수신이 불가능하고, 등은 수신이 가능하다. 이 때, 수신 가능한 단어의 개수를 구하시오.23)
24.
기호 ‘·’와 ‘ㅡ’를 개 이상 개 이하로 사용하여 만들 수 있는 신호의 가짓수를 구하시오.24)▶ 최단거리 문제
(1) A ⇨ PQ 위의 점 ⇨ B
A B A B
⇨
P Q P Q
B’
×
×
×
×
⇨
×
×
(2) A ⇨ PQ 위의 적어도 한 칸 ⇨ B
A B A A' B
⇨
P Q P Q
B B’
■ 같은 것을 포함하는 원순열
빨간 공 네 개와 파란 공 두 개를 원형으로 배열하는 방법은 그림과 같이 세 가지이다. 이를 구하는 식을 생각하여 보자.
● ● ●
○ ● ○ ○ ○ ○
○ ○ ○ ● ○ ○ ○ ○ ●
○○○○●● ○○●
03 조합
1. 조합
서로 다른
개 중에서 순서를 생각하지 않고
개를 택할 때, 이것을
개에서
개를 택하는 이라 하고,이 경우의 수를 기호로는 로 나타낸다.
(1) C r r
n P r
(2) C n r
(3) C r n C r
(4) C , C
▶ 의 계산
서로 다른 개 중에서 개를 택하는 조합을 한 줄로 나열하는 방법의 수는 이므로
Cr 개의 조합으로 만들 수 있는 순열의 총수는 ∴
양변을 으로 나누면 Cr
Pr 을 대입하면 Cr
25.
이 이 순서대로 등차수열을 이룰 때, 자연수 의 값을 구하시오.25)26.
야구 선수 명, 농구 선수 명 중 명의 대표를 뽑을 때,야구 선수와 농구 선수가 각각 적어도 한 명씩 포함되는 경우의 수를 구하시오.26)
27.
대각선의 개수가 개인 정 각형의 각 꼭지점을 이어 만들 수 있는 사각형의 개수를 라 할 때, 의 값을 구하시오.27)2. 조(組)로 나누는 방법 (분할․분배)
1) 서로 다른 9 개의 사과를 3 개, 3개 , 3 개씩 분할 ⇨
분배 ⇨
(2) 서로 다른 9 개의 사과를 5 개, 2 개, 2 개씩 분할 ⇨
분배 ⇨
(3) 서로 다른 9 개의 사과를 4 개, 3 개, 2 개씩 분할 ⇨
분배 ⇨
▶ 분할과 분배
주는 쪽 받는 쪽 해법 풀이
사과 5 개 3 무더기 집합의
분 할
과일 5 개 3 무더기 자연수의
분 할
사과 5 개 3 명
과일 5 개 3 명
28.
명으로 구성된 씨름부에서 자체 평가전을 하려고 한다.오른쪽 그림과 같이 부전승 자리에는 제일 실력이 뛰어난 가 배정될 때, 대진표를 작성하는 방법의 수를 구하시오.28)
29.
, , , 의 네 학교에서 두 명씩 배드민턴 선수를 뽑아 오른쪽 그림과 같이 토너먼트로 시합을 할 때, 같은 학교에서 나온 선수는 결승전이 이외에는 시합을 하지 않는 경우의 수를 구하시오.29)30.
다음은 명의 학생을 두 팀으로 나누는 방법의 수를 구하는 과정이다. 명 중에서 몇 명의 학생을 선택하여 한 팀을 만들면 나머지학생들은 자연히 다른 한 팀이 된다.
먼저, 한 팀의 구성원이 결정되는 경우의 수를 나누어 생각하자.
ⅰ) 한 팀의 구성원이 명인 경우의 수는 이다.
ⅱ) 한 팀의 구성원이 명인 경우의 수는 이다.
⋯ (중략)⋯
그러므로, 명의 학생을 두 팀으로 나누는 방법의 수는
가 ⋯ 이다.
그리고, ⋯ 나
이므로, 명의 학생을 두 팀으로 나누는 방법의 수는 다 이다.
* 배포 *
helpmemath
* 작성자 *
위에서 (가), (나), (다) 에 알맞은 것을 채우시오.30)
3. 자연수의 분할
(1) 자연수의 분할
자연수 4 를 순서를 고려하지 않고 자연수의 합으로 나타내는 방법은 4, 3+1, 2+2, 2+1+1, 1+1+1+1 와 같이 5 가지임을 알 수 있다.
이와 같이 자연수를 순서를 고려하지 않고 한 개 이상의 자연수의 합으로 나타내는 것을 이라 하고, 자연수
을
개의 자연수로 분할하는 경우의 수를( P : Partition ) 으로 나타낸다.
▶
⇦ 3+1, 2+2(2) 자연수의 분할에 관한 성질
①
②
③
⋯
④
▶
는
곳에
개를 배치하는 건데, 일단
곳에 한 개 씩 배치하고 나머지
개를 한 곳, 또는 2, 3, … , k 곳에 배치하면 된다.∴ ⋯
▶
는 자연수 1 을 포함하는 경우 ⇨ 자연수 1 을 포함하지 않는 경우 ⇨∴
31.
31)다음의 값을 구하시오.(1) (2)
32.
32)자연수 를 순서를 생각하지 않고 개의 자연수의 합으로 나타내는 경우의 수를 구하시오.33.
33)똑같은 개의 상자에 똑같은 개의 공을 넣을 때. 경우의 수를 구하시오.(단, 빈 상자는 없다.)4. 집합의 분할
(1) 집합의 분할
집합을 서로 소인 집합들의 합집합으로 나타내는 것을 이라 하고,
원소의 개수가
개인 집합을 서로 소인
개의 집합의 합집합으로 나타내는 경우의 수를 ( S : Stirling number) 으로 나타낸다.▶
⋯
∩
∅ ≠
▶
·
⇨
▶
·
·
⇨
(2) 집합의 분할에 관한 성질
①
②
③
·
▶ 특정한 원소 a 가 분할할 때 혼자 있는 경우 ⇨
a 가 분할할 때 다른 원소와 같이 있는 경우 ⇨
∴ ·
34.
다음의 값을 구하시오.34)(1) (2)
35.
35)집합 을 공집합이 아닌 서로소인 개의 부분집합으로 분할하는 경우의 수를 구하시오.36.
집합 에 대하여 함수 → 중에서 치역의 원소가 개인 함수의 개수를 구하시오.36)1 2 3 4 5 1
2 3
5. 중복조합
서로 다른
개 중에서 순서를 생각하지 않고 중복을 허락하여
개를 택할 때, 이것을
개에서
개를 택하는 이라 하고,이 경우의 수를 기호로는 로 나타낸다.
H r
▶ 중복조합의 계산
1, 2, 3, 4, 5 다섯 개의 수에서 중복을 허용하여 세 개의 수를 선택하는 경우의 수를 구하여 보자.
(1) 각 자리숫자에 한 숫자를 대응시키면
111 ⇨ 123 112 ⇨ 124 113 ⇨ 125 114 ⇨ 126 115 ⇨ 127 122 ⇨ 134 123 ⇨ 135 124 ⇨ 136 125 ⇨ 137 133 ⇨ 145 134 ⇨ 146 135 ⇨ 147 144 ⇨ 156 145 ⇨ 157 155 ⇨ 167 222 ⇨ 234 223 ⇨ 235 224 ⇨ 236 225 ⇨ 237 233 ⇨ 245 234 ⇨ 245 235 ⇨ 246 244 ⇨ 256 245 ⇨ 257 255 ⇨ 267 333 ⇨ 345 334 ⇨ 346 335 ⇨ 345 344 ⇨ 356 345 ⇨ 357 355 ⇨ 367 444 ⇨ 456 445 ⇨ 457 455 ⇨ 467 555 ⇨ 567
(153 은 135 로 간주하더라도 경우의 수는 같다.) 에서 선택하는 경우의 수 ⇨
(2) 가로는 5 개의 선을 긋고 세로는 3 개의 칸으로 만든 바둑판 모양의 도형에서 좌상단 에서 우하단 에 이르는 최단거리는 가로 개, 세로 개 의 선분을 지난다.
가로축의 번호 ⇨
(3) 네 개의 슬로트 ／／／／ 와 세 개의 ○○○ 를 순서대로 나열하는 경우의 수 ⇨
／／○／○○／ ⇨ 1／2／③／④④／5 ⇨
37.
다음을 구하시오.37)(1) 에서 중복을 허락하여 다섯 개의 숫자를 택하는 방법의 수
(2) 명의 학생에게 같은 종류의 축구공 개를 나누어 주는 방법의 수
38.
에 대한 방정식 에 대하여 다음 물음에 답하시오.38)⑴ 음이 아닌 정수해의 개수를 구하시오.
⑵ 양의 정수해의 개수를 구하시오.
39.
집합 에서 집합 로의 함수 중에서 다음 조건을 만족시키는 함수의 개수를 구하시오.39)⑴ ≠ 이면 ≠
⑵ 이면
⑶ 이면 ≦
■ 도형의 해석
1. 삼각형
▶ 정십이각형의 꼭지점 위의 세 점을 잡아 만들어진 삼각형
직각삼각형 둔각삼각형 예각삼각형
▶ 원주 위의 세 점을 잡아 만들어진 삼각형 [심화]
직각삼각형 예각삼각형 둔각삼각형
2.직육면체
직육면체의 각 면에 수를 넣는 경우의 수 (뒤집거나 회전하여 같은 경우는 하나로 생각)
1 ~ 6 대면의 합 : 7
(1×1×1)
(1×1×2)
(3×1×2)
▶ 정팔면체
1 ~ 8 대면의 합 : 9
■ 토너먼트 대진
4강 8강 16강
○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○
경우의 수
3 3×3 2 7×(3×3 2 ) 2
분 할
·
·
×3 2
·
×(3×3 2 ) 2
배 열
▶ 명의 학생이 오른쪽 대진표에 따라 게임을 할 때, 대진표를 작성하는 방법
▶ 팀이 오른쪽 그림과 같이 시합을 할 때, 대진표를 작성하는 방법
▶ 다섯 학교에서 명씩 대표를 뽑아 다음 그림과 같은 대진표에 따라 경기를 하며 같은 학교 선수끼리는 결승전 외에는 만나지 않도록 할 때, 대진표를 작성하는 방법
04 이항정리
1. 이항정리 1
(1) 의 전개식에서 · 의 계수 ⇨
(2) ⋯
▶ 파스칼의 삼각형
(1)
(
각 수는 왼쪽 위와 오른쪽 위에 있는 두 수의 합)(2)
(각 행의 수는 중앙에 대하여 좌우 대칭)
(3) ⋯ ⋯
(1에서 시작하여 대각선 방향으로 수들을 더하면 꺽여진 곳의 수)
40.
다음 물음에 답하시오.40)⑴ 의 전개식에서 의 계수를 구하시오.
⑵ 의 전개식에서 의 계수를 구하시오.
41.
의 전개식에서 의 계수가 일 때, 양수 의 값을 구하시오.41)42.
다음 파스칼의 삼각형을 이용하여 ⋯의 값을 구하면?42)① ②
③ ④
⑤
2. 이항계수의 성질
⋯ ⋯
(1) x=1 : C n C n C n C ⋯ n C n
(2) x=-1 : C n C n C n C ⋯ n ⋅ n C n
(3) C n C n C ⋯
(4) C n C n C ⋯
▶
⋯
⋯
의 양변을 미분하면,
에서 을 대입하면
·
·
⋯ ·
⋯ ·
43.
43)다음 식의 값을 구하시오.(1)
∞
C
(2) log
CCC ⋯ C
(3) log
Cr
44.
의 전개식을 이용하여 다음 식의 값을 구하시오.44) (1) C C C ⋯ C(2) C
C
C
⋯
C
(3) CCCC ⋯ C
45.
다음은
을 간단히 하는 과정을 나타낸 것이다.45) 이므로
⋯ 이것은 가에서 (나) 의 계수이므로
(다)* 배포 *
helpmemath
* 작성자 *
위의 과정에서 (가), (나), (다)에 알맞은 것을 차례로 적은 것은?
① ②
③ ④
■ 대진표
⋅ 의 계산
·
·
·
⋯
·
(1)
의 전개 ⇨
⋯
⋯
⋯
에서
의 계수⇨
(2) 상자에서 공을 꺼내는 방법
각각 20 개, 15 개의 공이 든 A , B 두 상자에서 10 개의 공을 꺼내는 방법
A B
10 개
20개 15개
A B 경우의 수
0개 10개
1개 9개
2개 8개
…
10개 0개
계
⋅
제2장
확률
01 확률
1. 확률
하나의 사건이 일어날 수 있는 가능성을 수치 로 나타낸 것
⇨ 사건 가 일어날 확률을 로 나타낸다.
(1) 수학적 확률
어떤 시행에서 얻어지는 근원사건이 모두 같은 정도로 일어날 것이라고 기대될 때 전사건 에 속하는 근원사건의 총수를 , 사건 에 속하는 근원사건의 개수를 라 하면, 사건 가 일어날 확률 는
(2) 통계적 확률(경험적 확률)
한 사건 가 일어날 확률을 라 할 때, 번의 반복시행에서 사건 가 일어난 횟수를 이라 하면, 상대도수
는 이 커짐에 따라 확률 에 가까워짐을 볼 수 있다. 를 사건 의 통계적 확률이라고 한다.
(4) 기하학적 확률
전체 영역 중에서 주어진 사건이 차지하는 영역의 비율로써 구하는 확률
▶ 확률의 성질
(1) 어떤 사건 에 대하여 ≦ ≦ (2) 전사건 에 대하여
(3) 공사건 에 대하여
46.
주머니 속에 흰 공 3개와 검은 공 3개가 들어 있다. 이 주머니에서 임의로 2개의 공을 꺼낼 때, 흰 공 1개와 검은 공 1개가 나올 확률을 구하시오.46)47.
프로농구에서 은 팀과의 경기에서 승 패, 팀은 팀과의 경기에서승 패의 성적을 거두고 있다. 이번 주 수요일 서울에서 있게 될 팀과 팀의 경기에서 팀이 이길 확률을 , 이번주 토요일 대전에서 있게 될 팀과 팀의 경기에서 팀이 이길 확률을 라 할 때, 의 값을 구하시오. 47)(단, 비기는 경우는 없다.)
48.
길이가 인 위에 임의의 두 점 를 잡을 때, ≦ 일 확률을 구하시오.48)
2. 확률의 덧셈 정리
∪ : 또는 가 일어날 확률
∩ : 와 가 동시에 일어날 확률
(1) 확률의 덧셈정리
∪
(2) ∩ 일 때 ⇨
∪ ▶ 여사건의 확률
(1) 여사건 () : 가 일어나질 않을 사건
(2)
(3) 문장 속에 ‘적어도 하나…’
라는 문구가 있으면 여사건으로 해결한다.
⇨
(‘적어도 하나…’의 확률) (반대인 사건의 확률)
49.
개의 숫자 가 각각 하나씩 적힌 장의 카드에서 한 장을 꺼낼 때, 다음 사건 중 서로 배반사건끼리 짝지어진 것은? 49) : 짝숙가 나오는 사건 : 소수가 나오는 사건
: 의 약수가 나오는 사건 : 제곱수가 나오는 사건.
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① ② ③
④ ⑤
50.
두 사건 에 대하여
∪
일 때,
∪ 의 값을 구하시오.50)
51.
어느 공장에서 생산한 개의 제품 중 개의 제품이 합격품 이다. 개의 제품 중 개를 꺼낼 때, 적어도 한 개가 합격품일 확률을 구하시오.51)02 확률의 계산
1. 확률의 곱셈정리
(1) 조건부확률
확률이 0 이 아닌 두 사건
A
,B
에 대하여사건
A
가 일어났다는 가정하에 사건B
가 일어날 확률을 사건A
가 일어났을 때의 사건B
의 이라 하고, 기호로 와 같이 나타낸다.
P
(단, P
)(2) 확률의 곱셈정리
P
, P
일 때,
P ∩
▶ P (
B
|A
) 는 ‘피비 기븐(given) 에이’라고 읽는다.▶ P
∩
와 P
의 차이점n
(S
) =m
,n
(A
)=a
,n
(A
∩B
) =c
일 때P
∩
P
52.
두 사건 , 에 대하여 P
, P
, 일 때, P∪의 값을
구하시오.52)
53.
우산을 가지고 외출하여 어떤 장소에 들르면 번에 번꼴로 우산을 잃어버리는 학생이 있다. 이 학생이 어느 날 우산을 가지고 나가나 후 서점과 독서실과 제과점에 차례로 들른 후 집에 돌아와 보니 우산이 없었다. 이 때, 이 학생이 우산을 독서실에서 잃어버렸을 확률을 라 할때, 의 값을 구하시오. (단, 는 서로소인 자연수)53)
54.
A, B 두 사람이 흰 공 개와 검은 공 개가 들어 있는 주머니에서 A부터 시작하여 교대로 개씩 공을 꺼낼 때, 흰 공을 먼저 꺼내는 쪽이 이기는 시합을 한다. 승부가 날 때까지 계속한다고 할 때, A가 이길 확률을 구하시오. (단, 꺼낸 공은 다시 넣는다.)54)2. 종속사건과 독립사건
(1) 종속사건
두 사건
A
,B
에 대하여 사건A
가 일어날 경우와 사건A
가 일어나지 않을 경우에 따라사건
B
가 일어날 확률이 다를 때
⇨
(2) 독립사건
두 사건
A
,B
에 대하여 사건A
가 일어날 경우와 사건A
가 일어나지 않을 경우에 관계없이사건
B
가 일어날 확률이 달라지지 않을 때
⇨
▶ 종속·독립사건의 곱셈정리
사건 와 사건 가 독립사건 ⇨ 사건 와 사건 가 종속사건 ⇨
▶ 사건 와 사건 가 독립 ⇨
55.
가 독립사건이고 ∩
, ∪
일 때, 의 값을
구하시오.55)
56.
다음 세 사건 , , 는 한 개의 주사위를 던지는 시행의 사건이다. 서로 종속인 것은?56) : 짝수의 눈이 나오는 사건 : 소수의 눈이 나오는 사건 : 의 약수의 눈이 나오는 사건
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① 와 ② 와 ③ 와
④ 와 ⑤ 와
57.
표본공간 ⋯ 에 대하여 사건 가사건 와 서로 독립이라고 한다. 이 때, 가능한 의 값의 합을 구하시오.57)
3. 독립시행의 확률
(1) 독립시행
주사위나 동전을 여러 번 던질 때와 같이 매회 같은 조건에서 어떤 시행을 여러 번 반복할 때, 각 시행의 결과가 다른 시행의 결과에 영향을 주지 않을 경우 즉, 매번 일어나는 사건이 모두 서로 독립일 경우에 이 시행을 이라 한다.
(2) 독립시행의 정리
1 회의 시행에서 사건
A
가 일어날 확률을p
라 할 때,이 시행을 독립적으로
n
회 반복할 때, 사건A
가r
회 일어날 확률 P 은
P
(단,p
+q
= 1, , 1, ⋯,n
)▶ 독립시행의 확률의 이해
한 개의 주사위를 3 번 던질때, 1 의 눈이 2 번 나올 확률은?
사건 : ○○×
사건 : ○×○
사건 : ×○○
사건 가 서로 배반사건이므로
58.
한 발의 탄환이 표적에 명중할 확률은 이다. 발의 탄환을 발사하였을 때,
발 이상 표적에 명중할 확률을
라 할때, 의 값을 구하시오.(단, 는 서로소인 자연수)58)
59.
한 개의 동전을 계속하여 던질 때 적어도 한 번 앞면이 나올 확률이 이상이 되도록 하려면 동전을 몇 회 이상 던져야 하는지 구하시오.59)60.
어떤 농구팀이 시합을 할 때, 게임에서 이기니 후 다음 게임에도 이길 확률은이고, 게임에서 진 후 다음 게임에도 질 확률은 이라고 한다. 번째 게임에서 이길 확률을 P이라 할 때,
lim
→∞
P
라 할때, 의 값을 구하시오.(단, 는 서로소인 자연수)60)
제3장
통계
01 평균과 분산
1. 대푯값과 평균
(1) 용어의 정의
① 변량 : 자료를 수량으로 나타낸 것
② 계급 : 변량을 일정한 간격으로 나눈 구간
③ 계급의 크기 : 계급의 구간의 너비
④ 계급값 : 계급의 중앙값, 계급의 양 끝값의 합의
⑤ 도수 : 각 계급에 속하는 자료의 수
⑥ 도수분포표 : 각 계급에 속하는 도수를 조사하여 나타낸 표
(2) 대푯값과 평균
자료 전체의 특징을 하나의 수로 나타낸 값을 이라 하고, 평균, 중앙값, 최빈값 등이 있다.
① 평균(Mean) : 변량의 을 변량의 로 나눈 값
② 중앙값(Median) : 변량을 크기 순으로 나열하여 중앙에 있는 값
③ 최빈값(Mode) : 도수가 가장 높은 계급의 계급값
(3) 평균
① 개의 변량
⋯
⇨ 평균 :
② 도수 분포표가 주어질 때 ⇨ 평균 :
계급값 ⋯ 합계
도수 ⋯
계급(시간) 도수(명)
이상～미만
～
～
～
～
61.
다음은 혜수의 회에 걸친 수학 성적을 나타낸 것이다. 회 때의 성적은?61)
횟 수 평균
성적(점)
① 점 ② 점 ③ 점
④ 점 ⑤ 점
62.
다음 표는 두 그룹의 학생 수와 수학 성적의 평균을 나타낸 것이다.이 때, 전체 학생의 수학 성적의 평균을 구하시오.62)
학생 수 (명)
평균 (점)
63.
오른쪽 표는 A 반의 수학 성적을 나타내는 도수분포표이다.수학 성적의 평균이 점일 때, 의 값을 구하시오.63)
2. 산포도와 표준편차
(1) 산포도
변량의 흩어져 있는 정도를 수치로 나타낸 값을 라 하고, 의 값이 클수록 변량의 값들이 고르지 못하다.
(2) 편차
편 차 : 변량에서 평균을 뺀 값 (편차)= (변량)-(평균) 평균편차 : 편차의 절댓값의 평균
표준편차 : 의 평균인 의 양의 제곱근
분 산 : 의 평균 ⇨ 의 제곱
▶ 편차의 합은 0 이다.
(3) 도수분포에서의 평균과 표준편차
① 개의 변량 ⋯ 의 분산
분산 :
② 도수 분포표가 주어질 때의 분산과 표준편차
계급값 ⋯ 합계 도수 ⋯
평균 :
분산 :
64.
다음 중 옳은 것은?64) ① 편차는 항상 양수이다.② 산포도로 가장 많이 쓰이는 것은 평균이다.
③ 편차의 제곱의 합은 항상 이다.
④ 편차는 변량에서 평균을 뺀 값이다.
⑤ 표준편차가 클수록 분포상태가 고르다고 할 수 있다.
65.
아래의 자료에서 평균M과 표준편차 S는?65)
계급값 4 6 7 8 9 계
도 수 2 1 2 3 2 10
① M S ② M S
③ M S ④ M S
⑤ M S
66.
A 반의 학생 수가 명, B 반의 학생 수가 명이고 두 학급의 수학 성적의 평균이 같다. 두 학급의 분산은 각각 이고 전체 분산이 일 때, 의 값을 구하시오.66)02 확률분포
1. 확률변수와 확률분포
한 시행에서 표본공간의 각 원소에 하나의 실수값을 대응시키고 그 값을 가질 확률이 정해지는 변수
X
를 라고 한다.(1) 이산확률변수
확률변수 가 유한개의 값을 갖고,
그 값을 취할 확률이 주어진 확률변수 를 이산확률변수라 한다.
(2) 이산확률분포
확률변수 가 … 을 갖고,
이들 값을 취할 확률이 각각 … 일 때 P ⋯
를 확률변수 의 이산확률분포라 하고,
(3) 확률분포표
위의 이산확률분포를 다음과 같이 나타낸 것을 확률분포표라 한다.
… 계
… 1
▶ 확률분포의 성질
P
(i
= 1, 2, ⋯,n
) 일 때,≦ ≦
⋯
67.
확률변수 가 취할 수 있는 값은 0, 2, 4, 6이고 확률분포표가 다음과 같을 때, ≧ 의 값을 구하시오. 67)(단, 는 상수)
68.
확률변수 의 확률분포가
⋯ 일 때,
의 값을 구하시오.68)
69.
확률변수 의 확률분포가 log ⋯, 는 상수)
일 때, ≥ 라 할 때, 의 값을 구하시오. 단, log , log 69)
