2 조건부확률

조건부확률

이 단원에서는 조건부확률의 뜻, 사건의 독립과 종속의 의미와 그 활용에 대하여 알아본다.

야구 경기에서 타율이란 안타 수를 타격수로 나눈 백분율로 타자가 안타를 칠 확 률을 의미한다. 한편 득점권 타율이란 주자가 2루나 3루에 있는 경우의 타율로 안 타 하나로 쉽게 득점할 수 있는 상황에서 타자가 안타를 칠 확률을 의미한다. 보통 타율이 높으면 강타자로 인정받지만 팀이 득점을 필요로 하는 순간에 능력을 발휘 할 선수는 득점권 타율을 고려하여 뽑는 경우가 많다. 이와 같이 주어진 조건에 따 라 확률이 달라지는 경우는 일상생활에서도 흔히 볼 수 있다.

❶조건부확률의 의미를 이해하고, 이를 구할 수 있다.

❷사건의 독립과 종속의 의미를 이해하고, 이를 설명할 수 있다.

❸확률의 곱셈정리를 이해하고, 이를 활용할 수 있다.

01 조건부확률 02 사건의 독립과 종속

성취 기준

2

학습 계획 다음 빈칸에 스스로 학습 계획을 세워 꼭 실천해 보자.

복습할 내용 ^수학 경우의 수, 순열과 조합

확률과 통계 확률의 뜻과 활용 01 조건부확률

02 사건의 독립과 종속 이 단원의 내용

민소매 3벌과 바지 4벌을 가지고 있을 때, 민소매와 바지를 각각 하나씩 택하 여 착용하는 방법의 수를 구하시오.

1

스스로 점검 하고 계획 하기

곱의 법칙을 이해하고, 이를 이용 하여 경우의 수를 구할 수 있다.

수학 경우의 수 성취 기준❸

V

7가지 피자 토핑 중에서 서로 다른 3가지를 고르는 경우의 수를 구하시오.

2

그 수를 구할 수 있다.

수학 순열과 조합 성취 기준❷

V

서로 다른 두 개의 주사위를 동시에 던질 때, 두 눈의 수가 같을 확률을 구하

3

를 이해한다.

확률과 통계 확률의 뜻과 활용 성취 기준❶

V

4개의 문자 M, A, T, H를 일렬로 나열할 때, M이 맨 처음이나 맨 마지막에 위치할 확률을 구하시오.

4

활용할 수 있다.

확률과 통계 확률의 뜻과 활용 성취 기준❷

V

0 1

생각의 싹

민홍이가 한국사 수행평가를 위해 어느 박 물관이 소장하고 있는 지정 문화재 현황을 조사하였더니 오른쪽 표와 같았다. 이 박물 관의 지정 문화재 중 임의로 한 점을 선택 할 때, 다음 물음에 답해 보자.

생각의 싹에서 지정 문화재를 선택할 사건을 S, 국보를 선택할 사건을 A, 금속 공예품을 선택할 사건을 B라고 하자.

국보를 선택할 확률은 이고, 국보인 금속 공예품을 선택할 확률은 이다. 그런데 국보 중 한 점을 선택할 때, 그 국보가 금속 공예품일

확률은 이다. 이와 같이 어떤 확률을 구할 때에는 조건에 따라서 표본 공간이 달라진다는 점을 고려해야 한다.

일반적으로 사건 A가 일어났다고 가정할 때 사건 B가 일어날 확률을 사건 A가 일어났을 때의 사건 B의조건부확률이라고 하며, 이것을 기호로

P P((BB||AA)) 와 같이 나타낸다. 이때

P(B|A)=

이고, 이 식의 우변의 분자와 분모를 각각 n(S)로 나누면 다음과 같다.

P(B|A)= = P(A;B) P(A) n(A;B)

n(S) n(A) n(S) n(A;B)

n(A) n(A;B)

n(A) n(A;B)

n(S)

n(A) n(S)

조건부확률

•조건부확률의 의미를 이해하고, 이를 구할 수 있다

•확률의 곱셈정리를 이해하고, 이를 활용할 수 있다.

조건부확률

국보를 선택할 확률을 구해 보자.

1

국보인 금속 공예품을 선택할 확률을 구해 보자.

2

국보 보물 합계

22 29 51

20 19 39

42 48 90

금속 공예품 도자기

합계

국보 중 한 점을 선택할 때, 그 국보가 금속 공예품일 확률을 구해 보자.

3

사건 A를 새로운 표본공 간으로 보면

는 A에서 A;B가 일어 날 확률을 뜻한다.

n(A;B) n(A)

A S

B

[단위: 점]

이상을 정리하면 다음과 같다.

P(B|A)는 사건 A가 일 어났을 때의 사건 B의 확 률이므로 P(A)=0일 때 는 다루지 않는다.

조건부확률

사건 A가 일어났을 때의 사건 B의 조건부확률은 P(B|A)=P(A;B) (단, P(A)>0)

P(A)

두 사건 A, B에 대하여 P(A)=;2!;, P(A;B)=;3!;일 때, 사건 A가 일어 났을 때의 사건 B의 조건부확률은

P(B|A)= =

P(A)

확인하기

두 사건 A, B에 대하여

P(A)=0.6, P(B)=0.7, P(A'B)=0.8 일 때, 다음을 구하시오.

(1) P(B|A) (2) P(A|B) (3) P(AÇ |B)

문제

1

한 개의 동전을 두 번 던지는 시행에서 다음을 구하시오.

(1) 첫 번째에서 앞면이 나왔을 때, 두 번 모두 앞면이 나올 확률 (2) 적어도 한 번은 앞면이 나왔을 때, 두 번 모두 앞면이 나올 확률

문제

2

어느 고등학교에서 자전거를 이용하여 등교 하는 학생은 전체의 35 %이고, 자전거를 이용하여 등교하는 남학생은 전체의 25 % 이다. 이 학교에서 임의로 뽑은 학생 한 명 이 자전거로 등교하는 학생이었을 때, 그 학생이 남학생일 확률을 구하시오.

문제

3

다른 방법으로 확률을 구할 수 있는가?

사건 A를 새로운 표본공간으로 보고 구한 확률은

= 이고, 이는 P(A;B)의 값과 일치한다.

P(A) 9

14 n(A;B)

n(A)

어느 학급에서 진로 체험의 날 참가 희망 프로그램을 조사하였더니 오른쪽 표와 같 았다. 이 학급에서 임의로 선택한 한 명이 남학생이었을 때, 그 학생이 직업 체험을 희망하는 학생일 확률을 구하시오.

1

함께 해결 하기

주어진 확률을 어떻게 구할 수 있는가?

선택한 학생이 남학생인 사건을 A, 직업 체험을 희망하는 학생인 사건을 B라고 할 때, P(B|A)를 구한다.

조건부확률을 이용하 여 확률을 구한다.

선택한 학생이 남학생인 사건을 A, 직업 체험을 희망하는 학생인 사건을 B라고 하면 P(A)=;2!9$;, P(A;B)=;2ª9;

따라서 구하는 확률은

P(B|A)= = =;1ª4; ;1ª4;

;2ª9;

;2!9$;

P(A;B) P(A)

영국의 한 여론 조사 기관에서 유권자를 대상으로 영국의 유럽 연합(EU) 탈퇴에 대한 연령별 찬반 투표 결과를 조사하였 더니 오른쪽 표와 같았다. 응답한 사람 중 임의로 선택한 한 명이 45세 이상이었을 때, 그 사람이 찬성하였을 확률을 구해 보시오.

문제

4

창의・융합

남학생 여학생 합계

5 7 12

9 8 17

14 15 29

진로 특강 직업 체험

합계

45세 미만 45세 이상 합계 20 % 28 % 48 % 15 % 37 % 52 % 35 % 65 % 100 % 반대

찬성 합계

[출처: www.lordashcroftpolls.com, 2016]

우리 반 학생들을 두 가지 기준을 정하여 분류하려고 한다. 다음 물음에 답해 보시오.

(1) 우리 반 학생들을 두 집단으로 명확히 구분할 수 있는 기준을 두 가지 정하

시오. 이 두 가지 기준을 각각 사건 A, B라고 할 때, 각 기준을 만족시키는 학생 수를 조사하여 위의 표를 완성하시오.

(2) P(A)와 P(A;B), P(B|A)가 뜻하는 것은 각각 무엇인지 말하시오.

(3) P(A)와 P(A;B), P(B|A)를 각각 구하시오.

문제

5

문제 해결

A AÇ 합계

B BÇ 합계

[단위: 명]

생각의 싹

확률의 곱셈정리

조건부확률을 이용하여 두 사건 A, B가 동시에 일어날 확률을 구하는 방법을 알아보자.

조건부확률 P(B|A)= 의 양변에 P(A)를 곱하면 다음이 성립한다.

P(A;B)=P(A)P(B|A)

같은 방법으로 P(A|B)에 대해서도 다음이 성립한다.

P(A;B)=P(B)P(A|B) 이상을 정리하면 다음과 같다.

P(A;B) P(A)

확률의 곱셈정리 두 사건 A, B에 대하여

P(A;B)=P(A)P(B|A)=P(B)P(A|B) (단, P(A)>0, P(B)>0) 소형차 중형차 합계

23 37 60

19 21 40

42 58 100

국산차 수입차

선택한 차량이 국산차일 확률을 구해 보자. 합계

1

선택한 차량이 국산차일 때, 그 차가 소형차 일 확률을 구해 보자.

2

선택한 차량이 국산 소형차일 확률을 구하고, 위의

1

2

3

어느 학교에서 학교 스포츠 클럽에 참가한 경험이 있는 학생은 전체의 20 %이고, 그 중 여학생의 비율이 43 %이었다. 이 학교에서 임의로 한 명을 선택할 때, 그 학생이 학교 스포츠 클럽에 참가한 경험이 있는 여학생일 확률을 구하시오.

2

함께 해결 하기

확률의 곱셈정리를 이 용하여 사건 A;B의 확률을 구한다.

임의로 뽑은 학생이 학교 스포츠 클럽에 참가한 경험이 있는 학생인 사건을 A, 여학생인 사건을 B라고 하면

P(A)=0.20, P(B|A)=0.43 따라서 구하는 확률은

P(A;B)=P(A)P(B|A)=0.20_0.43=0.086 0.086 [단위: 대]

어느 렌터카업체에서 보유한 차량을 유형별로 조사 하였더니 오른쪽 표와 같았다. 이 업체에서 임의로 차량 한 대를 선택할 때, 다음 물음에 답해 보자.

어떤 학생이 인터넷 강의로 국어 2강좌, 수학 3강좌를 수강하 고 있다. 이 중에서 임의로 2개의 강좌를 차례로 들을 때, 첫 번째에는 국어 강좌를 듣고 두 번째에는 수학 강좌를 들을 확 률을 구하시오. (단, 한 강좌를 두 번 듣지 않는다.)

문제

6

어느 도서관에서 이용자의 방문 목적을 조사하는 설문 을 실시하였더니 전체 이용자 중에서 30 %는 일반 열 람실을 이용하기 위하여 방문하였고, 70 %는 책을 보 거나 빌리기 위하여 방문하였다. 일반 열람실을 이용 하기 위하여 방문한 사람 중 청소년의 비율은 60 %이 고, 책을 보거나 빌리기 위하여 방문한 사람 중 청소년

의 비율은 40 %이었다. 전체 도서관 이용자 중에서 임의로 뽑은 한 명이 청소년이었 을 때, 이 청소년이 일반 열람실을 이용하기 위하여 방문하였을 확률을 구하시오.

문제

8

빨간색 상자에 흰 바둑돌 3개와 검은 바둑돌 5개, 노란색 상자에 흰 바둑돌 6개와 검은 바둑돌 2개가 들어 있다. 동전을 던져 앞면이 나오면 빨간색 상자를, 뒷면이 나 오면 노란색 상자를 선택하고, 그 상자에서 1개의 바둑돌을 뽑는다고 할 때, 다음 단 계에 따라 검은 바둑돌이 뽑힐 확률을 구해 보시오.

문제

7

단계형

단계 1 빨간색 상자가 선택되고 검은 바둑돌이 뽑힐 확률을 구하시오.

단계 2 노란색 상자가 선택되고 검은 바둑돌이 뽑힐 확률을 구하시오.

단계 3 사건 A, B에 대하여 P(B)=P(A;B)+P(AÇ ;B)가 성립함을 이용하여 검은 바둑돌이 뽑힐 확률을 구하시오.

추론 의사소통

추론

흰 공 2개와 파란 공 3개가 들어 있는 주머니가 있다. 다음 물음에 답해 보자.

(1) 이 주머니에서 한 개의 공을 꺼낼 때, 흰 공이 뽑힐 확률을 구해 보자.

(2) 이 주머니에서 한 개의 공을 꺼내어 그 색을 확인하고 같은 색의 공을 한 개 추가하여 뽑은 공과 함께 주머니에 다시 넣는다. 이 주머니에서 한 개의 공을 꺼낼 때, 흰 공이 뽑힐 확률을 구해 보자.

(3) (1)과 (2)의 결과를 비교해 보고, (2)에서 추가하는 공의 개수를 다르게 하면 어떤 결과가 나오는지 토의해 보자.

생각의 싹

사건의 독립과 종속

•사건의 독립과 종속의 의미를 이해하고, 이를 설명할 수 있다.

사건의 독립과 종속

0 2

어떤 사건이 일어나는 것이 다른 사건이 일어날 확률에 영향을 주는 경우가 있고, 그렇지 않은 경우가 있다.

생각의 싹

1

이와 같이 확률이 0이 아닌 두 사건 A, B에 대하여 P(B|A)=P(B)

일 때, 두 사건 A, B는 서로독립이라고 한다.

한편생각의 싹

2

이와 같이 두 사건 A, B가 서로 독립이 아닐 때, 즉 P(B|A)+P(B)일 때, 두 사건 A, B는 서로종속이라고 한다.

두 사건 A, B가 서로 독립이면 확률의 곱셈정리에 의하여 P(A;B)=P(A)P(B|A)=P(A)P(B) 가 성립한다.

역으로 P(A)>0이고 P(A;B)=P(A)P(B)이면

P(B|A)= = =P(B)

이므로 두 사건 A, B는 서로 독립이다.

P(A)P(B) P(A) P(A;B)

P(A)

첫 번째 뽑은 카드를 다시 넣을 때, P(B|A), P(B)를 각각 구해 보자.

1

첫 번째 뽑은 카드를 다시 넣지 않을 때, P(B|A), P(B)를 각각 구해 보자.

2

하트 그림이 그려진 카드가 3장, 스페이드 그림이 그려 진 카드가 4장이 있다. 이 카드 중에서 차례로 2장을 뽑을 때, 첫 번째로 뽑은 카드가 하트 그림이 그려진 카드인 사건을 A, 두 번째로 뽑은 카드가 스페이드 그림이 그려 진 카드인 사건을 B라고 하자. 다음 물음에 답해 보자.

P(A|B)=P(A)일 때에 도 두 사건 A, B는 서로 독립이다.

이상을 정리하면 다음과 같다.

독립인 사건의 곱셈정리

두 사건 A, B가 서로 독립이기 위한 필요충분조건은

P(A;B)=P(A)P(B) (단, P(A)>0, P(B)>0)

한 개의 주사위를 던질 때, 소수의 눈이 나오는 사건을 A, 2 이하의 눈이 나오는 사건을 B라고 하자. 이때 두 사건 A, B가 서로 독립인지 종속인지 말하시오.

1

함께 해결 하기

두 사건 A, B가 서로 독립일 조건은 무엇인 가?

P(A;B)=P(A)P(B)이면 두 사건 A, B가 서로 독립 이다.

P(A), P(B), P(A;B)를 각각 구 한다.

A={2, 3, 5}, B={1, 2}, A;B={2}이므로 P(A)=;2!;, P(B)=;3!;, P(A;B)=;6!;

한 개의 주사위를 2번 던질 때, 첫 번째 나온 눈의 수가 4인 사건을 A, 두 눈의 수의 합이 6인 사건을 B라고 하자. 이때 두 사건 A, B가 서로 독립인지 종속인지 말하시오.

문제

1

두 양궁 선수 A, B가 표적을 향해 한 발씩 쏠 때, 10점 영 역을 맞힐 확률이 각각 0.8, 0.9이다. 두 양궁 선수 A, B가 표적을 향해 한 발씩 쏠 때, 적어도 한 명이 10점 영역을 맞힐 확률을 구하시오.

문제

2

사건 A와 B가 서로 독립이면 사건 A와 BÇ 도 서로 독립임을 보이시오.

또 사건 AÇ 와 BÇ 도 서로 독립임을 보이시오. (단, 0<P(A)<1, 0<P(B)<1)

문제

3

추론

P(A;B)

=P(A)P(B) 인지 확인한다.

P(A;B)=;6!;=;2!;_;3!;=P(A)P(B) 이므로 두 사건 A와 B는 서로 독립이다.

독립

생각의 싹

독립시행의 확률

오른쪽 그림과 같이 회전하는 원판 위의 10등분된 영역 중 한 곳에

‘당첨’이 적혀 있다. 이 원판의 회전이 멈추었을 때‘당첨’이 적힌 영역이 가장 위에 있으면 영화 관람권 1매를 지급하는 행사를 실시 한다. 이 회전판을 3번 돌릴 때, 다음 물음에 답해 보자.

당 첨

주사위나 동전을 여러 번 던지는 경우와 같이 같은 조건에서 어떤 시행을 반복 하는 경우 각 시행마다 일어나는 사건이 서로 독립일 때, 이러한 시행을독립시행 이라고 한다.

예를 들어 한 개의 주사위를 4번 던질 때, 1의 눈이 2번 나올 확률을 구해 보자.

한 개의 주사위를 4번 던질 때, 1의 눈이 2번 나오는 경우의 수는 ¢C™이 고, 각 경우와 각각의 사건이 일어날 확률은 오른쪽 표와 같다.

이때 각 시행마다 일어나는 사건은 모두 독립이므로 각 경우의 확률은 모 두 {;6!;}2 {;6%;}2 임을 알 수 있다.

또 이들은 서로 배반사건이므로 구

하는 확률은 확률의 덧셈정리에 의하여 ¢C™ {;6!;}2 {;6%;}2 =;2™1∞6;이다.

일반적으로 독립시행에 대하여 다음의 정리가 성립한다.

첫 번째 두 번째 세 번째 확률

당첨 당첨 탈락 ;1¡0;_;1¡0;_;1ª0;

영화 관람권이 꼭 2매가 당첨되는 모든 경우와 각각의 사건이 일어날 확률을 오른쪽 표에 나타내어 보자.

1

영화 관람권이 꼭 2매가 당첨될 확률 을 구해 보자.

2

1회 2회 3회 4회 확률

× ×

× ×

× ×

× ×

× ×

× ×

;6!;_;6!;_;6%;_;6%;

;6!;_;6%;_;6!;_;6%;

;6!;_;6%;_;6%;_;6!;

;6%;_;6!;_;6!;_;6%;

;6%;_;6!;_;6%;_;6!;

;6%;_;6%;_;6!;_;6!;

독립시행의 확률

어떤 시행에서 사건 A가 일어날 확률이 p(0<p<1)일 때, n번의 독립시행에서 사 건 A가 r번 일어날 확률은

«C®p® q« —® (단, q=1-p, r=0, 1, 2, y, n)

a+0일 때, a‚ =1로 정의 한다.

어떤 테니스 선수의 서브(serve) 성공률이 60 %라고 한다.

이 선수가 4번 서브를 시도할 때, 3번 이상 성공할 확률을 구하시오.

2

함께 해결 하기

주어진 확률을 구하기 위해 무엇을 이용할 수 있는가?

동일한 시행이 반복되고 각 시행마다 일어나는 사건이 서로 독립이므로 독립시행의 확률을 이용할 수 있다.

서브를 4번 시도하여 3 번 성공할 확률과 4번 시도하여 모두 성공할 확률을 구하여 더한다.

서브 성공률이 60 %이므로 서브를 시도하여 성공할 확률이

;5#;, 실패할 확률이 ;5@;이다.

서브를 4번 시도하여 3번 성공할 확률은

¢C£ {;5#;}3 {;5@;}1 =;6@2!5^;

서브를 4번 시도하여 모두 성공할 확률은

¢C¢ {;5#;}4 {;5@;}0 =;6•2¡5;

따라서 구하는 확률은

;6@2!5^;+;6•2¡5;=;6@2(5&; ;6@2(5&;

총 5회로 구성된 어떤 강좌에 4회 이상 참석하면 수료할 수 있다. 어떤 학생이 이 강 좌에 참석할 확률이 ;4#;일 때, 수료할 확률을 구하시오.

문제

4

추론 의사소통

추론

골턴(Galton, F., 1822~1911)은[그림 1]과 같이 일정한 간격으로 못을 박고 구슬을 내려 보 내면 아래쪽 홈에 도달하도록 되어 있는 실험 장치를 고안하였다. 각 갈림길에서 구슬이 왼쪽과 오른쪽으로 이동할 확률은 각각 ;2!;이라고 할 때, 각 홈에 구슬이 도착할 확률을 구해 보자. 또 각 홈에 구슬이 도착할 확률과[그림 2]의 파스칼의 삼각형이 어떤 관계가 있는지 토의해 보자.

1

1 2 1 1 3 3 1 1 4 6 4 1 1 5 10 10 5 1 1 6 15 20 15 6 1

1 1

[그림 1] [그림 2]

3. 사건의 독립과 종속

❶두 사건 A, B에 대하여 P(B|A)=P(B) 일 때, 두 사건 A, B는 서로 이라고 한다.

❷두 사건 A, B가 서로 독립이 아닐 때, 두 사건 A, B는 서로 이라고 한다.

중단원 마무리

생각의 나무

오른쪽 표는 어느 리조트의 객실 보유 현황을 조사한 것이다. 이 리조트의 객실 가운데 임의로 선택한 한 개가 콘도형일 때, 5인 정원의 객실일 확률을 구하시오.

1

스스로 확인하기

조건부확률 p.64 기초 문제

크기와 모양이 같은 감귤 맛 초콜릿 5개와 녹차 맛 초콜릿 3개가 있다.

이 중에서 차례로 두 개의 초콜릿을 먹을 때, 두 개 모두 감귤 맛 초콜릿 일 확률을 구하시오.

2

조건부확률 p.64

두 사건 A, B가 서로 독립이고 P(A)=;5#;, P(B)=;6%;일 때, P(A;B) 를 구하시오.

3

사건의 독립과 종속 p.68 1. 조건부확률

사건 A가 일어났을 때의 사 건 B의 조건부확률은 P(B|A)=

(단, P(A)>0) P(A)

5. 독립시행의 확률

어떤 시행에서 사건 A가 일어날 확률이 p (0<p<1)일 때, n번의 독립시행에서 사건 A가 r번 일어날 확률은

(단, q=1-p, r=0, 1, 2, y, n) 4. 사건의 독립

두 사건 A, B가 서로 독립이기 위한 필요충분조건은

P(A;B)=

(단, P(A)>0, P(B)>0)

정원 콘도형 호텔형 2인 30 28 5인 60 10 10인 20 2 2. 확률의 곱셈정리

두 사건 A, B에 대하여

P(A;B)=P(A) =P(B)

(단, P(A)>0, P(B)>0)

[단위: 개]

조건부확률

기본 문제

조건부확률 p.64

어떤 영화에 대해 관람 여부를 조사하였더니 남학생 16명 중 6명, 여학 생 18명 중 12명이 이 영화를 관람하였다고 한다. 전체 34명의 학생 중 에서 임의로 선택한 한 명이 이 영화를 보지 않은 학생이었을 때, 그 학 생이 여학생일 확률을 구하시오.

4

2. 조건부확률

조건부확률 p.66

한 개의 주사위를 던져 다음 규칙에 따라 점수를 얻는 시행을 한다.

시행의 결과로 얻은 점수가 20점 이상일 때, 주사위를 한 번만 던졌을 확률을 구하시오.

5

(가) 한 번 던져 나온 눈의 수가 5 이상이면 나온 눈의 수의 4배를 점수 로 한다.

(나) 한 번 던져 나온 눈의 수가 5보다 작으면 한 번 더 던지고 나온 눈 의 수 2개를 곱하여 점수로 한다.

심화 문제

조건부확률 p.64

어떤 디스플레이 회사가 A, B 두 공장에 서 제품을 생산하고 있다. 총생산량을 차 지하는 비율은 A공장이 70 %, B공장이 30 %이고, 불량품이 생산되는 비율은 A 공장이 0.1 %, B공장이 0.2 %이다. 두 공

장에서 생산되는 제품 중 임의로 한 개를 선택하였더니 불량품이었을 때, 이 제품이 A공장에서 생산된 제품일 확률을 구하시오.

7

사건의 독립과 종속 p.68

두 사건 A, B에 대하여 명제

‘두 사건 A, B가 서로 배반사건이면 두 사건은 서로 독립이다.’

가 참인지 거짓인지 말하고, 그 까닭을 설명해 보시오.

(단, P(A)>0, P(B)>0)

8

추론

어떤 학생은 탁구 경기에서 서브(serve)를 할 때, 성공할 확률이 ;1ª0;라고 한다. 이 학 생이 3번의 서브를 할 때, 2번 이상 성공할 확률을 구하시오.

6

사건의 독립과 종속 p.70

‘스스로 확인하기’를 한 결과 부족한 부분은 무엇인가요?

중단원의 학습 계획을 잘 실천하였나요?

탐구 학습

몬티 홀 문제

수학 역량

쑥 쑥 쑥 쑥

쑥 쑥 쑥 쑥

위의 표를 참고하여 참가자가 선택한 문을 바꾸지 않는 경우와 선택한 문을 바꾸는 경우 어느 쪽이 유리한지 말해 보자.

2

다음은 미국 오락 프로그램인「Let’s Make A Deal」의 진행자 몬티 홀(Monty Hall)의 이름에서 유래된 문제이다.

안이 보이지 않는 세 개의 닫힌 문이 있다. 한 개의 문 뒤에는 자동차, 나머지 두 개의 문 뒤에는 염소가 있다. 이 중에서 하나의 문을 선택하면 그 문 뒤에 있는 상 품을 받는 게임을 한다. 게임에 참가한 사람이 한 개의 문을 선택하면 자동차가 놓 인 문을 알고 있는 게임의 진행자가 나머지 두 개의 문 중에서 하나를 열어 그 뒤 에 염소가 있음을 보여 준 후, 참가자에게 선택을 바꿀 것인지 바꾸지 않을 것인지 를 묻는다. 이 상황에서 참가자는 선택을 바꾸는 것이 유리할까, 바꾸지 않는 것이 유리할까?

세 개의 문을 A, B, C라고 할 때, 문 뒤에 자동차 또는 염소 가 있는 모든 경우를 오른쪽 표에 나타내어 보자.

1 _{A B C}

[출처: Bennet, D. J.(박병철 역), “확률의 함정”]

대단원 마무리

오른쪽 그림은 10세부터 59세까 지 1200명을 대 상으로 주로 음 악 감상을 하는 장소를 조사하여

그래프로 나타낸 것이다. 이 중 임의로 한 명을 선택할 때, 주로 음악 감상을 하는 장소가 집일 확률을 구하시오.

학교/직장 216명

공공장소 24명 기타 12명

이동 시 540명 집

408명

01

서 2개의 공을 동시에 꺼낼 때, 같은 색의 공이 나올 확률을 구하시오.

05

각 면에 1, 2, 3, 4의 숫자 가 하나씩 적힌 정사면체 모양의 주사위가 있다. 이 주사위를 3번 던질 때, 밑 면에 적혀 있는 수의 평균 이 2 이상이 될 확률은?

① ;4!; ② ;1∞6; ③ ;8#;

④ ;3@2%; ⑤ ;3@2&;

1 2

4 3

06

어느 학교의 문화 체험의 날 행사에 1, 2학년 학생 100명이 참가하였다. 이 행사에 참가한 학 생은 사진전과 음악회 중 반드시 하나를 골라야 하는데, 각 학생이 고른 결과는 다음 표와 같다.

이 행사에 참가한 학생 중에서 임의로 뽑은 한 명이 사진전을 고른 학생이었을 때, 그 학생이 1학년 학생일 확률을 구하시오.

07

정답 및 풀이 p.145

사진전을 고르는 사건과 1학년 학생일 사건은 서로 종속이다. 이 두 사건이 서로 독립이 되도록 인원수를 수정해 보시오. (단, 각 인원수의 합계는 수정하지 않는다.)

문제 해결

1학년 2학년 합계 24 16 40 46 14 60 70 30 100 사진전

음악회 합계 1, 2, 3, 4, 5가 하나씩 적힌 5개의 상자가 있

다. 이 상자에 1, 2, 3, 4, 5의 숫자가 하나씩 적 힌 5장의 카드를 임의로 각각 한 장씩 넣을 때, 상자에 적힌 숫자와 같은 숫자가 적힌 카드가 들어간 상자가 3개일 확률을 구하시오.

02

밑줄 친 부분을 바꾸어 확률을 구해 보시오.

문제 해결

네 개의 숫자 0, 3, 6, 9에서 서로 다른 3개를 사용하여 세 자리의 자연수를 만들 때, 그 수가 3의 배수일 확률은?

① 0 ② ;3!; ③ ;2!;

④ ;3@; ⑤ 1

03

어느 놀이공원을 방문한 학생 500명에게 이용 한 놀이 기구에 대한 설문 조사를 실시하였더니 롤러코스터를 이용한 학생이 125명, 관람차를 이용한 학생이 80명, 롤러코스터와 관람차를 모 두 이용한 학생이 45명이었다. 이 학생들 중 임 의로 한 명을 뽑을 때, 뽑힌 학생이 롤러코스터 나 관람차를 이용한 학생일 확률은?

① ;1£0; ② ;2•5; ③ ;5!0&;

④ ;2ª5; ⑤ ;5!0(;

04

두 사건 A, B에 대하여 P(A|B)=;4#;, P(B|A)=;3!;, P(A'B)=;3@;일 때, P(A;B)는?

① ;1¡0; ② ;5!; ③ ;1£0;

④ ;5@; ⑤ ;2!;

0 8

않은 것은? (단, 0<P(A)<1, 0<P(B)<1)

① P(AÇ |B)=1-P(A|B)

② P(A|B)=1이면 P(BÇ |AÇ )=1이다.

③ A와 B가 독립이면

P(A'B)=P(A)+P(B)-P(A)P(B) 이다.

④ A와 B가 독립이면 P(A|B)=P(B|A) 이다.

⑤ A와 B가 독립이면

P(AÇ |BÇ )=1-P(A|B)이다.

11

다음 그림과 같은 4개의 사물함을 남학생 2명 과 여학생 2명에게 각각 1개씩 임의로 배정하 려고 한다. 이때 같은 층에서는 남학생의 사물 함과 여학생의 사물함이 서로 이웃하지 않도록 배정할 확률을 구하고, 그 풀이 과정을 서술하 시오.

12

어떤 병의 감염 여 부를 진단하는 키 트(kit)가 새로 개 발되었다. 이 키트 로 검사를 할 때,

병에 걸린 사람을 병에 걸렸다고 정확하게 진단 할 확률은 98 %, 병에 걸리지 않은 사람을 병 에 걸렸다고 잘못 진단할 확률은 7 %라고 한 다. 병에 걸린 사람의 비율이 1 %인 어느 집단 에서 임의로 한 명을 선택하여 이 방법으로 검 사를 한 결과 병에 걸렸다고 진단하였을 때, 그 사람이 실제로 병에 걸렸을 확률을 구하시오.

10

10개의 제비 중 3개의 당첨 제비가 들어 있는 상자가 있다. A, B 두 사람이 차례로 한 개씩 제비를 뽑을 때, B가 당첨 제비를 뽑을 확률을 구하시오. (단, 뽑은 제비는 다시 넣지 않는다.)

0 9

II

A가 당첨 제비를 뽑을 확률을 구해 보고, A 서술형

와 B 중에서 누가 더 당첨될 확률이 높은지 말해 보시오.

문제 해결

II

이 단원의 학습 계획을 잘 실천하였다.

이 단원의 수업에 적극적으로 참여하였다.

틀린 문제를 다시 확인하고 복습하였다.

이 단원을 공부한 후 부족한 부분에 대하여 보충 계획을 세워 실천하였다.

확률과 관련된 여러 가지 문제를 해결할 수 있는 자신감을 갖게 되었다.

☆☆☆☆☆

☆☆☆☆☆

☆☆☆☆☆

☆☆☆☆☆

☆☆☆☆☆

평가 평가 기준

이 단원을 배우는 과정에서 나의 태도와 실천에 대하여 스스로 평가해 보자.

표본공간 S={1, 2, 3, 4, 5, 6}의 두 사건 A, B에 대하여 다음 조건을 만족시키는 사건 B의 개수를 구하고, 그 풀이 과정을 서술하시오.

(단, P(B)+0)

13

아래 그림과 같이 둘러앉아 주사위 한 개를 사 용하여 다음 규칙을 따르는 시행을 한다.

A부터 시작하여 이 시행을 4번 한 후 B가 주 사위를 가지고 있을 확률을 구하고, 그 풀이 과 정을 서술하시오.

14

통계적 확률과 수학적 확률의 의미를 이해한다.

확률의 기본 성질을 이해한다.

확률의 덧셈정리를 이해하고, 이를 활용할 수 있다.

여사건의 확률의 뜻을 알고, 이를 활용할 수 있다.

조건부확률의 의미를 이해하고, 이를 구할 수 있다.

사건의 독립과 종속의 의미를 이해하고, 이를 설명할 수 있다.

확률의 곱셈정리를 이해하고, 이를 활용할 수 있다.

성취도 좋음 보통 다소 미흡

대단원 마무리 성취 기준

대단원 마무리를 스스로 평가해 보자.

1,2,12 3 4,5 6 7,8,10 11,13 9,14

㈎ A={1, 2}

㈏ 사건 A와 B는 서로 독립이다.

주사위를 가진 사람이 주사위를 던져 나 온 눈의 수가 6의 약수이면 시계 방향으로, 6의 약수가 아니면 시계 반대 방향으로 이 웃한 사람에게 주사위를 준다.

B A

시계 방향

시계 반대 방향

창의・융합, 태도 및 실천 수

수학 학 역 역량 량

활

활용 용하 하기 기 활

활용 용하 하기 기 ^{경품 고르기}

민성이는 게임에서 이겨 4개의 상자에 든 경품 중 하나를 고르게 되었다. 4개의 상자 에는 각각 다른 가격의 경품이 들어 있고 어떤 경품이 들어 있는지는 알 수 없으며 어 느 상자에 어떤 경품이 들어 있는지도 알 수 없다. 민성이는 4개의 상자 중 하나를 임의 로 선택하여 열어 본 후 경품을 받을지 말지를 즉시 결정해야 한다. 받지 않기로 결정 하면 다음 상자를 열어 볼 수 있으며 이미 받지 않기로 결정한 경품은 다시 고를 수 없 다. 민성이는 4개의 상자에 든 경품 중 가장 비싼 경품을 고르기 위해 다음 두 가지 전 략을 생각하였다.

[전략 1] 가장 먼저 선택한 상자에 들어 있는 경품을 받는다.

[전략 2] ⁄ 가장 먼저 선택한 상자를 열어 확인만 하고 경품을 받지 않는다.

¤ 다음 상자부터는 앞에서 확인한 모든 경품들보다 비싼 경품이면 그 경품을 받고, 그렇지 않으 면 경품을 받지 않는다.

‹ 마지막 상자만 남게 되면 그 상자에 들어 있는 경품을 받는다.

두 가지 전략 중 어떤 전략이 유리한지 다음 시행을 통해 알아보자.

① 4개의 상자에 든 경품을 비싼 것부터 차례로 4, 3, 2, 1이라 하고 개인별로 1, 2, 3, 4가 적힌 카드 4장을 준비한다.

② 1, 2, 3, 4가 적힌 카드 4장을 잘 섞은 다음 책상 위에 한 장씩 차례로 펼쳐 놓는다.

③[전략 1]과[전략 2]를 이용하여 4가 적힌 카드가 골라지는지 각각 확인한다.

절차에 따라 시행을 반복하여 올바른 결과를 얻었다.

각 전략을 수학적으로 잘 분석하였다.

☆☆☆☆☆

☆☆☆☆☆

동료 평가 평가 기준

위의 시행을 개인별로 10회 반복하여 실시하고 각 전략별로 4가 적힌 카드가 골라지는 횟수를 센 후, 학급 전체의 결과를 모두 더해 보자. 이를 통해 각 전략별로 가장 비싼 경 품을 고를 통계적 확률을 구하고, 어떤 전략이 더 유리한지 말해 보자.

가장 비싼 경품을 고를 수학적 확률을 각 전략별로 구해 보자.

1

2

3 2 1 4