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1. 각운동량과 각운동량 보존

2. 뉴턴의 중력법칙

3. 케플러의 법칙

제8장. 회전운동과 중력

개념흐름도

고전역학 한 입자의 운동 직선운동 여러 입자의운동 평면운동 뉴턴의 운동법칙 에너지 보존 질량 중심의 운동 (선)운동량 보존 등속 원운동 구심 가속도 돌림힘 회전 관성 연속적인 물체의 운동 강체의 운동 구르는 운동 고체의 탄성 유체의 압력과 밀도 회전운동 각운동량 보존

세부개념흐름도-8장

회전운동

각속도

각가속도

접선속력

구심가속도

각운동량

구심력

접선가속도

뉴턴의 중력법칙

(만유인력)

케플러의 법칙

행성운동 법칙

들어서며

직선운동: 선운동량, 역학적 에너지

회전운동: 각운동량, 역학적 에너지, 라플라스-룽게-렌츠 벡터

운동 총량 (motion of integral): 물체가 운동하는 시스템에

서 보존되는 물리량

뉴턴의 자연철학의 수학적 원리(Principia,

1687) 제 3권 : 만유인력

케플러의 법칙 (행성운동에 관한 3가지 법칙)

:뉴턴이 자신의 물리 법칙으로 설명함

지구를 포함한 행성의 운동 = 회전운동

각운동량

: moment of linear momentum

p

r

pr

rp

rp

l

=

sin



=

_t

=

sin



=

_t



sin mvr =

p

r

l

=



=

m

r



v

Newton’s second law of motion : _

     ₌ t d dp F 

F

r

a

r

v

r

v

r

l



=



=













_

₊

_

=

m

t

t

m

t

d

d

d

d

d

d

t

d

d l

=

τ

3. 각운동량과 각운동량 보존

각운동량 보존 (동영상) 0 = 



F r





=

r

F

l

t

d

d

3. 각운동량과 각운동량 보존

알짜 F = 0 이면

0

d

d

=



=

r



F

l

t

각운동량 보존 예] 0 =  F_c r r

4. 뉴턴의 중력법칙

만유인력의 법칙(중력법칙) (

동영상

)

거리 r 만큼 떨어진 질량 m, M 인 두 물체 사이에 작용하는 힘은 인력이고 두 물체의 중심을 연결하는 직선을 따라서 작용한다. 2 2 11 /kg m N 10 67 . 6 G =  − 예) 지구 위의 물체

kg

10

98

.

5

M

_E

=



24

=

M

r = R_E = 6.37106 m 2 6 24 2 2 11 2 ) m 10 37 . 6 ( kg 10 98 . 5 /kg m N 10 67 . 6 G = =    = − E R M 2

G

r

mM

F

=

−

(

)(

)(

)

(

)

N 10 1 . 2 m 10 8 . 3 kg 10 4 . 7 kg 10 0 . 6 /kg m N 10 67 . 6 G 20 2 8 22 24 2 2 11 2  =     = = − r Mm F

예제 8.1 지구와 달 사이의 중력

지구와 달을 균일한 구라고 가정하고, 지구와 달 사이의 중력의 크기를 계산하라. (단, 지구 질량 M = 6.0  1024 _{kg, 달 질량 7.4  10}22 _{kg, 지구 중심과 달 중심 사이} 의 거리 r = 3.8  108 _{m )} 풀이] 지구와 달 사이의 중력

2 G m m m R M g = 2 e

G

g

e e

R

M

=

2 earth mars R R = 10 earth mars M M = 4 10 = = = =  Mm Me M e

예제 8.2 화성에서 물체의 가속도

화성의 질량은 지구 질량의 1/10이고, 화성의 반지름은 지구 반지름의 1/2이다. 화 성의 표면에서 떨어지는 물체의 가속도의 크기는 지구 표면에서의 중력가속도의 크기 g의 몇 배인가? 풀이] 지구의 중력가속도 화성의 중력가속도

4. 뉴턴의 중력법칙

중력 위치에너지

(Gravitational Potential Energy)









=



−

=

−



=



r r

F

x

r

U

U

U

(

)

(

)

F

d

x

d

r

Mm

x

Mm

x

x

Mm

r r

G

G

d

G

₂

=

−

=

=

 







U

(



)

=

0



( )

r

Mm

r

U

=

−

G

4. 뉴턴의 중력법칙

위성의 운동(질량 m, 속력 v) - 힘의 평형 r Mm mv r U K E G 2 1 ) ( = 2 − + = - 총 역학적 에너지 r M v r Mm r v m G ₂ 2 G 2 =  = v M m r 0 2 G  − = r Mm 지구에 구속되어 운동 0  E - 탈출 조건

0

G

2

1

₂ min

=

−

=

r

Mm

mv

E

_esc

4. 뉴턴의 중력법칙

예제)

지구 위의 물체 에너지

r

Mm

G

r

)

=

−

(

U

h

r

r

=

R

_E

→

=

R

_E

+

)

R

(

)

R

(

_E

h

U

_E

U

U

=

+

−



      − + − = + + − = E E E E E E E R 1 R 1 GM R M G R M G h m m h m

























−











 +

−

=

E E E E

R

1

R

1

R

1

GM

h

m

  E R  h If

예제 8.3 계를 이루기 위한 위치 에너지

한 변의 길이가 a인 정삼각형의 3개의 꼭지점에 질량이 m인 물체가 하나씩 놓여 있다. 물체 사이에는 만유인력이 작용하고 있다. 그 중 하나의 물체를 무한히 먼 곳 으로 이동시키는 데 외부에서 해 주어야 하는 일은 얼마인가? 풀이] 외부에서 해 주어야 할 일 = 나중과 처음의 위치에너지의 차이 - 계의 총 중력 위치에너지 a a a a m a m a m a m U_tot 2 2 2 2 G 3 G G G − − = − − = - 꼭지점 물체(적색)이 제거된 위치에너지 a m U_tot 2 ' G − = m m m2  2  2 - 외부에서 해 주어야 할 일

5. 케플러의 법칙

케플러의 법칙 (

동영상

)

제1 법칙(궤도의 법칙, 1609) - 태양주위의 모든 행성은 태양을 한 초점으로 하는 타원궤도 운동 제2 법칙(면적의 법칙, 1609) - 태양을 중심으로 행성이 휩쓸고 지나간 면적은 동일 t r t r t A t _d d 2 1 lim d d ₂1 2 ₂ 0





=   = →  일정

=

=

m

l

2

) (l = mr 2



제3 법칙(주기의 법칙, 1619) - 행성의 주기의 제곱은 태양 사이 거리의 세제곱에 비례 2 2 2 2 G       = = T mr r m r Mm   중력 = 구심력

예제 8.4 행성의 최대 선속력

어떤 행성이 태양을 초점으로 타원 궤도를 돌고 있다. 태양으로부터 가장 멀리 있 을 때의 거리가 가장 가까이 있을 때의 거리의 3배라고 한다. 이 행성의 최대 선속 력은 최소 선속력의 몇 배인가? 풀이] 행성이 휩쓸고 지나간 면적   d 2 1 ) d ( 2 1 d 2 1 dA = r s = r r = r2 - 면적속도 일정 3 d / d t rd r r2 r r r r v    t r t r d d 2 1 d d 2 1 2 ₂ 2 1 2 1





= _      ₌ t A t A d d d d _{1 2}  2 1 2 2 2 1 d d r r =   원일점 근일점 1 2 3r r = 1 r 2 v 1 v

예제 8.5 면적의 법칙 증명

케플러의 제2법칙(면적의 법칙)은 “같은 시간 간격 동안에 태양과 행성을 잇는 직선이 쓸고 지나간 면적은 행성의 위치에 상관없이 같다.”이다. 이 법칙을 증명하 여라. 풀이] 시간간격 동안 행성이 쓸고 지나간 면적





=   =  =  2 2 1 ) ( 2 1 2 1 r r r s r A ) ( L = rp = rmv = mr 2



- 면적속도(순간) 일정 2 2 1 d d 2 1 d d lim 2 2 0 = = = = =   →  _m L m m r t r t A t A t





dA

정리

각운동량과 힘

각운동량, 힘, 보존법칙

태양계 내 행성의 운동 = 타원 운동

p

r

l

=



p =

mv

선운동량과 힘

행성의 운동의 근원 = 만유인력이

구심력으로 작용

constant

0

d

d

=

=

=

F

p

p

외력

t

t d dp F =

각운동량 보존법칙

t

d

d l

=

τ

= 0

→ l = constant (상수)

✦ 비교

선운동량 보존법칙

→

t

d

d l

=

τ

2 2 11 /kg m N 10 67 . 6 G =  − 2

G

r

mM

F

=

−