2.4 상대론적 운동량과 에너지 보존

(1)

2장 상대론 II

2.1 상대론적 운동량과 뉴턴 법칙의 상대론적 형태 2.2 상대론적 에너지

2.3 에너지 척도로서의 질량

2.4 상대론적 운동량과 에너지 보존

2.5 일반 상대론

(2)

2.1 상대론적 운동량

 선운동량 보존

•

두 물체가 충돌할 때 이 물체들이 고립되어 있다면 총운동량은 보존된다

 관성기준틀 S

 다른 관성기준틀

before ( ) 0

p



mv



m

 

v

after

0 p 

S

2

mv

p

 

p

^after  2

mv

(3)

상대론적 운동량

 상대론적 운동량

• 고유질량 m

입자에 대해 정지해 있는 관찰자가 측정한 질량

• 입자의 속력 u

• 로렌츠 변환에서의 γ는

두 기준틀 간의 상대속력 v를 포함한다

2 2

1 / p mu

u c

 

 

p

 

 mu



2 2

1

u

/

c







(4)

상대론적인 뉴턴의 제2법칙

 상대론적인 뉴턴의 제 2법칙

• 고립계 에서의 운동량은

고전적으로뿐만 아니라 상대론적으로도 보존된다

 일정한 힘이 의 방향으로 주어지면

•

u  c 이면 a  0 이다

• 어떤 입자도 정지상태로부터 c보다 크거나 같은 속력으로 가속시키는 것은 불가능하다

 

dp d

F mu

dt dt 

  

 

(

 F

^  0)

u

2 3/2

1 2

du F u a dt m c

 

    

 

(5)

2.2 상대론적 에너지

 일 -에너지 정리

• 입자가 정지상태에서 최종 상태 u로 가속되었으므로

 전체 에너지

2 2 2

1 1 1 2 2 3/2 0 2 2 3/2

2 2

( )

(1 / ) (1 / ) 1 / Δ

x x x du u

dt

x x x

m udt

dP udu

W Fdx dx m

dt u c u c

mc mc K

u c

   

 

  



   

2 2

1 /

K mc mc

u c

 



2 2

E   mc   K mc

(6)

에너지-운동량 관계

 에너지 -운동량 관계

•

p = 0이면

• 전체 에너지는 정지 에너지와 같다

 질량이 0인 입자

• 항상 빛의 속력으로 움직이는 광자에 대해 에너지와 운동량을 관련시키는 정확한 표현

2 2 2 2 4

E  p c  m c

E



mc

2

E  pc

(7)

로렌츠 불변량

 질량 m

• 운동과 무관한 물리량

• 모든 기준틀에서 항상 같은 값을 가져야 한다

• 전자

• 양성자

 입자의 전체 에너지와 운동량

• 속도에 의존

• 측정되는 기준틀에 의존

 로렌츠 불변량

• 모든 기준틀에서 같은 값을 가진다

2 2 2

E  p c

2 0.511 MeV

m c

e 

2 938 MeV

m c

p 

(8)

2.3 에너지 척도로서의 질량

 질량-에너지 보존

•

상호작용 전의 입자계 질량-에너지의 합이

반응 후의 입자계 질량-에너지의 합과 같아야 한다

•

총에너지

•

합쳐진 덩어리의 질량 증가분

2 2 2

1 1

before 2 2

K  mu  mu  mu K

_after



¹₂

MV

²

 0

before after

E  E

2 2

1 /

M m m

u c

 



2

2 2 2 2

2 2

2 1 /

mc K

M M m mc

c u c c



   ^  ^ 

  

운동에너지가 질량으로 변한다

(9)

예제 2.5 상대론적 운동량



2 2

1 /

p mu mu

u c



 



관성틀

before ( ) 0

p



 mu



 m

 

u

after (0) 0

p



 MV



 M



S

S

2 2

before 1 2 2 2 2 2 2

(0) (1 / )

1 0 / 1 ( 2 / (1 / ) /

m m v c

p mv mv

c v v c c

  ^

      

   

2 2

2 1 /

mv v c

  

after 2 2 2 2 2 2

( ) 2

1 / 1 ( ) / 1 /

M v Mv mv

p MV

v c

v c v c



^

     

   

2 M  m

(10)

핵분열

 질량 -에너지 보존의 가장 직접적인 증거

• 정지해 있는 무거운 방사성 핵이 큰 운동에너지를 갖는 몇 개의 가벼운 입자로 붕괴되는 과정

 붕괴에너지 Q

2 2 2

2 1 2 3

2 2 2 2 2 2

1 2 3

1 / 1 / 1 /

M c

M c M c

Mc

u c u c u c

  

  

1 2 3

M



M



M



M

1 2 3

Δ

m



M

 (

M



M



M

)

질량의 손실분은 생성물의 움직임에 의한 에너지로 나타난다

2 2

1 2 3

( ( )) Δ

Q



M



M



M



M c



mc

(11)

결합에너지

 모든 핵의 질량

• 그를 구성하는 중성자 및 양성자의 질량의 합보다 만큼 작다

 결합에너지 BE

• 속박계에서 해리시켜 각각의 구성 부분이 어떠한 인력 도 느끼지 않고 정지해 있도록 하는데 필요한 에너지

Δm

2 2

1

BE

ⁿ _i

i

Mc m c



  

(12)

핵융합

 핵융합

• 작지만 양성자 반발을 극복할 만한 충분한 크기의 운동 에너지를 가지고 핵입자를 충돌시켜 질량이 더 작은 새 로운 원소를 만드는 반응

• 두 중수소핵으로부터 하나의 헬륨 핵은 만드는 과정

2 2 4

1H  1H  2He 23.9 MeV

(13)

2.5 일반상대론

 질량의 두 가지 특성

• 다른 질량에 대한 중력 끌림

• 가속에 대한 저항을 나타내는 관성의 특징

• 중력 상수 G는 m

_g

와 m

_i

값이 동일하도록 선택

• 중력질량과 관성질량은 정확히 비례

2

g g

g

F G m m r

 

F



m a

i



(14)

가속계의 동등성

 아인슈타인의 관점

• 질량의 이중적 행태가 두 행태간의 아주 상세하고도 기본적인 결합의 증거

• 상대적으로 가속되고 있는 두 기준틀은 서로 구별할 수 없으므로, 이는 서로에 대해 나란히 가속되고 있는 기 준틀들이 물리적으로 완전히 동등하다

(15)

가속계에서의 빛

 역학이나 그 어떤 실험도 이 두 경우를 구별할 수 없다

 중력장 내에서는 빛이 아래로 굽어야 한다

• 수평으로 보내진 레이저는 6,000 km를 여행한 후

(16)

일반 상대성 이론의 가설

 시간이 중력에 의해 변화된다

• 중력이 있는 곳의 시계는 중력이 무시할 만한 곳에 있 는 시계보다 느리게 간다

• 강한 중력장 내에 있는 원자에서 방출된 빛의 진동수는 약한 중력장 내에서의 같은 빛보다 낮은 진동수 쪽으로 적색 이동되어 있다

• 무거운 별의 원소들로부터 방출된 스펙트럼선에서 관찰

• 수직 방향으로 20 m 정도 떨어진 핵으로부터 방출되는 감마선 의 진동수

1. 자연의 법칙은 가속되거나 아니거나 모든 기본 틀의 관찰자들에게 동일한 형태를 가진다 .

2. 모든 점의 부근에서 중력장은 중력 효과가 없는

곳에서의 가속계와 동등하다  등가원리

(17)

시공간의 곡률

 두 번째 가설

• 우리가 적당한 가속 기준틀 (자유낙하하는 기준틀)을 선택하면 모든 곳에서 중력장을 “변화시켜 없앨” 수 있을지도 모른다

 시공간의 곡률

• 뉴턴의 중력이론을 완전히 대체

• 중력이란 것은 없으며, 질량의 존재가 그 질량 주위의 시공간의 곡률을 만들며, 이 곡률이 모든 자유로이 움 직이는 물체가 따라야 하는 시공간의 경로를 결정한다.

(18)

휘어진 시공간의 예

 일반 상대성이론은 힘을 개념을 휘어진 시공간을 따르는 물체의 운동으로 대체

• 태양 근처를 지나는 빛이 태양에 의해 생긴 시공간의 휘어짐 속으로 굽어져야 한다.

• 블랙홀에서의 시공간의 휘어짐이 극히 커서 블랙홀의 중심으로부터 일정 거리 안에 있는 모든 물질과 빛은 갇히게 된다.

(19)

중력복사

 일반 상대론의 장 방정식의 해가 전자기 이론의 해와 유사한 파동 형태를 가진다

• 손잡이에 직각인 축을 중심으로 회전하는 아령은 빛의 속력으로 전파하는 중력파를 방출한다.

 중력파는 아령으로부터 에너지를 가져간다.

• 중력파도 파동의 이중성을 보인다.

• 중력입자(중력자)

• 질량이 0이다

• 빛의 속력으로 움직인다

• 상대론적 방정식 E = pc를 만족한다

• 중력파는 전자기파보다 검출하기가 훨씬 어렵다

• 중력은 전자기파보다 훨씬 더 약하다

(20)

중력파의 검출

 같은 위상을 갖는 중력파는 용수철을 진동시키지 않는다

 만일 중력파 검출기가 검출되는 파동의 파장과 같은 크기 이면 파는 두 질량에 반대 위상을 가지고 도달하고 계는 진 동하기 시작한다

 LIGO (레이저-간섭 중력파 관측소)

•

중력파가 장비를 지나갈 때 팔 길이는 변해야 한다.

(21)

중력파의 존재

 중력파는 직접 검출되지 않았지만 , 중력파가 존재 한다는 사실을 쌍성 펄서의 관측을 통해 증명

• 1974년, 헐스와 테일러가 발견한 쌍성 펄서

• 하나의 펄서(빠르게 회전하는 중성자별)와 서로를 돌고 있는 짝별로 이루어진 계

• 궤도를 이루는 쌍성계

• 중력파를 반드시 방출  궤도 에너지의 일부를 잃는다

• 에너지의 손실은 펄서와 그 짝별이 서로를 향해 나선 운동을 하게 하며, 그 결과로 궤도의 주기가 짧아진다.

• 궤도 주기 감소분의 관측은

• 중력파의 존재

• 이를 설명하는 일반 상대론적 방정식을 확증