2018학년도 수시 전공적성평가 문제정답 및 해설(오전)
1. 정답 : ② 풀이 : , 이므로 이고 이다.
-출제의도 : 대응과 함수 -교육과정범위 : 수학Ⅱ-함수
2. 정답 : ③
풀이 : 무리함수 를 축의 방향으로 만큼, 축의 방향으로 만큼 평행이동하면 이므로 이다.
-출제의도 : 무리함수의 그래프 -교육과정범위 : 수학Ⅱ-무리함수
3. 정답 : ②
풀이 :
,
이므로 이 정수가 되려면 은 과 의 배수이어야 한다.
따라서 자연수 의 최솟값은 과 의 최소공배수 이다.
-출제의도 : 거듭제곱근의 성질 -교육과정범위 : 수학Ⅱ-지수
문제 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
정답 ② ③ ② ③ ③ ④ ① ④ ② ④
문제 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20
정답 ② ④ ③ ① ③ ④ ② ③ ① ②
문제 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30
정답 ① ② ④ ① ② ③ ④ ① ① ③
풀이 :
lim
→ ∞
lim
→∞
lim
→∞
이므로
이고
이다.
따라서 × ×
이다.
-출제의도 : 수열의 극한에 대한 기본성질 -교육과정범위 : 수학Ⅱ-수열의 극한
5. 정답 : ③
풀이 :
∞
이 수렴하므로 →∞lim
이고,
lim
→∞
lim
→∞
lim
→∞
lim
→∞
이므로
lim
→∞
lim
→∞
이다.
-출제의도 : 급수와 수열의 극한 사이의 관계 -교육과정범위 : 미적분Ⅰ-급수
6. 정답 : ④ 풀이 :
의 전개식의 일반항은
이다. 상수항은 일 때이므로 이다. 따라서 상수항은 × 이다.-출제의도 : 이항계수의 활용
-교육과정범위 : 확률과 통계-분할과 이항정리
7. 정답 : ①
풀이 : 두 사건 가 서로 독립이므로
이고
∩
이다. 따라서
이고
이다.
-출제의도 : 독립사건
-교육과정범위 : 확률과 통계-조건부 확률
8. 정답 : ④
풀이 : 그림에서 이고 이므로 이다.
O
-출제의도 : 역함수의 성질과 그래프 -교육과정범위 : 수학Ⅱ-함수
9. 정답 : ②
풀이 : log 이므로 이고 log log
이다.
따라서 log
이다.
-출제의도 : 상용로그의 성질 -교육과정범위 : 수학Ⅱ-로그
풀이 : 등비수열
이 수렴하려면 ≤ 이므로
≤ 이다.
의 최솟값이
이므로 이다.
따라서
∞
∞
이다.
-출제의도 : 급수의 수렴과 발산 -교육과정범위 :미적분Ⅰ-급수
11. 정답 : ②
풀이 : 모든 실수 에 대하여 연속이므로
lim
→
lim
→
,
lim
→
lim
→
에서 , 이다. 따라서 이므로 이다.
-출제의도 : 연속함수의 성질
-교육과정범위 : 미적분Ⅰ-함수의 연속
12. 정답 : ④
풀이 : 다항함수가 연속이므로
lim
→
이고 ′ 이다.
′ ′ 이므로 ′ 이다.
-출제의도 : 곱의 미분법
-교육과정범위 : 미적분Ⅰ-미분계수와 도함수
13. 정답 : ③ 풀이 :
lim
→
lim
→
이다.
-출제의도 : 정적분과 미분의 관계
-교육과정범위 : 미적분Ⅰ-부정적분과 정적분
14. 정답 : ①
풀이 : 함수 가 에서 로의 일대일 대응이므로 이다.
조건 (가)와 (나)에서 이고 이므로 , 이다. 따라서 이다.
-출제의도 : 대응과 함수 -교육과정범위 : 수학Ⅱ-함수
15. 정답 : ③
풀이 : 이항분포에서 이므로
이다.
따라서 ⋅ 이다.
-출제의도 : 이항분포의 평균과 분산 -교육과정범위 : 확률과 통계-이산확률분포
16. 정답 : ④
풀이 : 점 P 의 의 좌표를 라 하자.
그림에서 보면 P
, Q , R
이므로 PQ , QR
이다.
따라서 PQ× QR
≥
× 이다.단, 등호가 성립하는 경우는
즉, 일 때 이다.
따라서 일 때, P Q × Q R는 최솟값 을 갖는다.
O
P a a
Qa a
R a
a
⦁
⦁ ⦁
-출제의도 : 유리함수의 성질과 연산
-교육과정범위 : 수학Ⅱ-유리함수와 무리함수
풀이 :
이 정수가 되려면 은 의 약수이어야 한다.
가 자연수이므로 은 자연수이고 의 양의 약수이다.
이므로 이다. 따라서 모든 자연수 의 합은 이다.
-출제의도 : 유리식의 성질과 연산
-교육과정범위 : 수학Ⅱ-유리함수와 무리함수
18. 정답 : ③ 풀이 :
lim
→
,
lim
→
이 존재하므로
lim
→
,
lim
→
이다.
이때 는 구간 에서 연속이므로
lim
→
,
lim
→
이다.
따라서 ①, ②는 모두 옳다.
③
lim
→
lim
→
⋅
⋅
이므로 옳지 않다.
④ , 이므로 방정식 은 구간 에서 적어도 하나의 실근을 가진다.
-출제의도 : 연속함수의 성질
-교육과정범위 : 미적분Ⅰ-함수의 연속
19. 정답 : ①
풀이 : 직선
와의 교점이 An 이고 직선 와의 교점이 B
이므로 삼각형 OAB의 무게중심 G
이다.따라서
이고
lim
→ ∞
lim
→ ∞
이다.
-출제의도 : 유리수열의 그간에 대한 기본 성질 -교육과정범위 : 미적분Ⅰ-수열의 극한
O
Bn
An
Gn
•
20 정답 : ②
풀이 : 라 하면 로그의 진수 조건에 의해 이다.
log
의 값이 자연수가 되는 실수 의 개수가 이므로 의 그래프는 직선 에서 개의 점에서, 직선 에서 개의 점에서 만나고 ( ≥ )와는 만나 지 않는다. 즉,
이다. 따라서 가 자연수이므로 이다.
-출제의도 : 로그의 정의 조건 -교육과정범위 : 수학Ⅱ-로그
21. 정답 : ①
풀이 : ′ 에서 ′ ′ ′ ′이고 ′ ……㉠
라고 하면 ′ 이다.
이것을 ㉠에 대입하면 이다.
위의 식은 에 대한 항등식이므로 , 이므로 이다.
따라서 이고 ′ 이므로 ′ 이다.
-출제의도 : 곱의 미분법
-교육과정범위 : 미적분Ⅰ-미분계수와 도함수
22. 정답 : ②
풀이 : 그림과 같이 와 로 둘러싸인 부분의 넓이는 와 직선 로 둘러싸인 넓이의 두 배와 같다.
넓이
이므로 이다.따라서
이다.
-출제의도 : 두 곡선사이의 넓이
-교육과정범위 : 미적분Ⅰ-정적분의 활용
O
정답 : ④ 풀이:
lim
→∞
→∞lim
이므로 이다. 즉, 이다.
이므로 이다. 따라서 이다.-출제의도 : 정적분과 급수
-교육과정범위 : 미적분Ⅰ-도함수의 활용
24. 정답: ①
풀이: 에서 삼차함수 의 최고차항의 계수가 이고,
함수 의 최고차항의 계수가 이므로 이차함수 의 최고차항의 계수는
이다.
함수 는 에서 인수를 갖고 에서 극솟값을 가지므로 이다. 이차함수는 는
이고 ′
이다.
따라서 ′ 이다.
-출제의도 : 함수의 그래프
-교육과정범위 : 미적분Ⅰ-도함수의 활용
25. 정답: ②
풀이: ′ 이므로 함수 의 증가와 감소를 표로 나타내면 다음과 같다.
⋯
⋯
⋯
′
↘ 극소 ↗ 극
대 ↘
ㄱ. 함수 는 에서 극솟값을 갖는다.
ㄴ. 함수 는 에서 극댓값을 갖는다.
ㄷ.
′
이다.따라서 옳은 것은 ㄱ , ㄴ이다.
-출제의도 : 함수의 극대와 극소 및 정적분 -교육과정범위 : 미적분Ⅰ-도함수의 활용, 정적분
26. 정답 : ③
풀이 : 주어진 조건에 의하면 삼차함수의 그래프가 아래와 같다. 최고차항의 계수가 인 삼차함수 가 일 때 극솟값 을 가지므로 이다.
′ 이므로 함수 는
에서 극댓값 을 갖는다. 즉,
이다.
이므로 이다.
따라서
이고 이다.
-출제의도 : 함수의 극대와 극소
-교육과정범위 : 미적분Ⅰ-도함수의 활용
27. 정답 : ④
풀이 : 에서 ′ 이고, 곡선 위의 두 점 A B 에서의 접선이 평행하므로 ′ ′ 즉, 이다.
에서 ≠ 이므로 이다.
선분 AB 의 중점 M 이 곡선 위의 점이므로 M 의 좌표는 이다.
′ 이므로 중점 M 에서 접선의 방정식은 이고 절편은
, 절편은 이다.
따라서 중점 M 에서 접선과 축 및 축으로 둘러싸인 삼각형의 넓이는
이다.
-출제의도 : 접선의 방정식
-교육과정범위 : 미적분Ⅰ-도함수의 활용
O
O
M
풀이 : (단, 는 상수)라 하면 조건 (가)에 의하여 이다.
′ 에서 조건 (나)에 의하여 이다.
′ 에서 조건 (다)에 의하여 즉, 이다.
따라서 이다.
-출제의도 : 함수의 그래프
-교육과정범위 : 미적분Ⅰ-도함수의 활용
29. 정답 : ①
풀이 :
이므로 이다.
≤ ≤
이다.-출제의도 : 확률 및 도함수 -교육과정범위 : 확률과 통계
30. 정답 : ③
풀이 : 입학시험 점수를 확률변수 라 하면 는 정규분포 N 을 따른다.
≥ ≥
이므로 표준정규분포표에 의해
이다.
따라서 이다.
-출제의도 : 정규분포와 표준정규분포의 관계 -교육과정범위 : 확률과 통계-정규분포
