(
a Ö כ Ç « m U ê s0 n É8 ý M ] K ¡X ì Äß Ã Å ø m Ç m× D
î m Ú ∗
© t @ / < Æ § ( É Ó' Ó ü t o < Æõ , " é ¶ Å Ò 220-702 (2003¸ 8 Z 4 2{ 9 ~ Ã Î6 £ §)
(
J $ [ > / B Nç ß _ l < Æ& h @ /g A` ¦ s 6 x # Û ¼º ú - 7 ' -J $ " f + þ AI _ s : r \ " f ¢ - a K \ ¦ ½ ¨ H { 9
ì ø Í& h ~ ½ ÓZ O ` ¦ 7 H_ % i . Õ ªo ¦ Õ ª ~ ½ ÓZ O ` ¦ & h 6 x # & ñ & h / B Nç ß \ " f à » -} Û ¼R / ÷ s : r _
» ¡ ¤ @ /g A K \ ¦ ½ ¨ H \ V\ ¦ [ þ t% 3 .
PACS numbers: 04.20.Jb, 04.40.Nr, 04.50.+h Keywords: ( J $ [ > / B Nç ß , » ¡ ¤ @ /g A, Ã » -} Û ¼R / ÷ s : r
I. " e  ] Ø
à » ~ ½ Ó& ñ d _ ¢ - a K H ½ ¨+ þ A @ /g Aõ ° ú É r ¦
¸_ @ /g A$ í s > r F H â Ä º s ü @\ H % 3 l j Ë µ[ þ t . : £ ¤ y
, r H ^ ¦Ï þ f . Ë \ @ /ô Ç Kerr K H Õ ª × æ כ ¹$ í \ ¸ Ô ¦
½
¨ ¦ " é ¶ r / B Nç ß _ : £ ¤Z > ô Ç @ /Ã º& h $ í | 9 ` ¦ & ñ
#
% 6 £ § Ü ¼ Ð % 3 # Q& ` ¦ & ñ ¸s [1]. s z ´ É r þ j H \
7 H_ ÷ & H ¦ " é ¶ : x{ 9 s : r í× æ§ 4 , í H s : r, M s
: r \ " f ¸ ð ø Ít Ð, ¦ " é ¶ \ " f_ ½ ¨+ þ A @ /g A` ¦ & ñ
í@ /g As $ í w n H : £ ¤Z > ô Ç â Ä º, Kerr K ÐÂ Ò' Ä
» ¸ ) a â Ä º 1 p x` ¦ @ /Â Òì r À Ò ¦ e [2].
¦ " é ¶ : x{ 9 s : r_ $ \ -t ³ ð & ³ É r ª ô Ç Û ¼º ú
© õ 7 ' © s " é ¶ × æ§ 4 ` ¦ ¬ ¹ H J $ " f © õ © ñ
6 x H Û ¼º ú - 7 ' -J $ " f s : r Ü ¼ Ð ^ ¦ à º e . Õ ª X <
r
/ B Nç ß s r ç ß ~ ½ Ó ¾ ÓÜ ¼ Ð_ @ /g A` ¦ ° ú H â Ä º H { 9 ì ø Í& h
Û ¼º ú - 7 ' -J $ " f s : r` ¦ " é ¶ / B Nç ß \ " f_ Û ¼º ú - J $
" f s : r Ü ¼ Ð " é ¶ » ¡ ¤ è½ + É Ã º e [3,4]. s Qô Ç " é ¶
\
" f_ Û ¼º ú © [ þ t É r ( J $ [ > / B Nç ß s H Æ Ò © / B Nç ß ` ¦
½
¨$ í ô Ç [5,6]. ( J $ [ > / B Nç ß _ × æ כ ¹$ í É r s / B Nç ß _ l
<
Æ& h @ /g As " é ¶ A _ î r1 l x ~ ½ Ó& ñ d s t ¦ e H @ /g A s
H כ s . s z ´` ¦ s 6 x s p · ú 9 ç ß é ß ô Ç K
ÐÂ Ò' D h Ðî r K \ ¦ ¹ 1 Ô` ¦ Ã º e [2,7]. z ´ r / B Nç ß s
¿
º > h_ " f Ð § ¨ 8 ÷ & H ~ ´a A(Killing) @ /g A` ¦ ° ú H â Ä º
à » -} Û ¼R / ÷ s : r, Û ¼à Ôa A s : r_ $ \ -t ³ ð & ³ 1
p
x É r s " é ¶ Ü ¼ Ð " é ¶ » ¡ ¤ è÷ & ¦ & h ì r 0 p x(integrable) s
: r s ÷ &# Q [8], e _ _ K \ ¦ · ú 9 ç ß é ß ô Ç K ÐÂ Ò' " é ¶ o
& h Ü ¼ Ð ë ß [ þ t à º e . Õ ª Q z ´| 9 & h 3 l q& h Ü ¼ Ð Õ ª ] X
H -Á º 4 ¤¸ ú # þ j7 á x& h Ü ¼ Ð % 3 # Q K _ Ó ü t o & h K
$
3 ` ¦ # Q§ > > ë ß H .
∗
E-mail: [email protected]
(
J $ [ > / B Nç ß _ l < Æ& h @ /g A` ¦ s 6 x î r1 l x ~ ½ Ó
&
ñ d ` ¦ f ] X & h ì r H כ s 0 p x [4,9]. Õ ª Q f
t ½ ¨+ þ A @ /g As e ¸ " é ¶ Kaluza-Klein s : r ° ú
É
r : £ ¤Z > ô Ç â Ä ºë ß ¦ 9÷ &% 3 [4,10]. : r 7 Hë H \ " f H { 9 ì
ø Í& h Û ¼º ú - 7 ' -J $ " f + þ AI _ s : r \ " f ¢ - a K \ ¦ ½ ¨
H l < Æ ~ ½ ÓZ O ` ¦ ] jr ½ + É כ s ¦, ç ß é ß ô Ç 6 £ x6 x Ü ¼ Ð
à » -} Û ¼R / ÷ s : r_ » ¡ ¤ @ /g A K \ ¦ % 3 H õ & ñ ` ¦ © Õ
ü
t½ + É כ s . s \ ¦ 0 A # II] X \ " f H ( J $ [ > / B Nç ß _ > h
¥ Æ
` ¦ { 9 ì ø Í o % i ¦, III] X \ " f H Ã » -} Û ¼R / ÷ s
: r \ " f & ñ & h r / B Nç ß \ @ /ô Ç » ¡ ¤ @ /g A K \ ¦ % 3 H õ & ñ ` ¦ l
Õ ü t % i . = å Q Ü ¼ Ð IV] X \ " f : r x 9 Ð : r` ¦ % i .
II. ( a Ö כ Ç « m U ê s0 n É8 ý ø m Ç m× DÑ ÷ º× D ] K ¤ ¤
" é ¶ r / B Nç ß \ @ /ô Ç ô Ç > h_ ~ ´a A @ /g A\ _ K
"
é
¶» ¡ ¤ è ) a " é ¶ / B Nç ß Σ\ " f N> h_ Û ¼º ú © ϕ A (A = 1, . . . , N ) " é ¶ × æ§ 4 õ © ñ 6 x H Õ ª| ½ Ót î ß ` ¦
¦ 9 :
L = − 1
κ 2 p|γ|[R 3 + G AB γ ij ∂ i ϕ A ∂ j ϕ B ]. (1)
#
l " f κ 2 = 16πG, γ ij H " é ¶ / B Nç ß _ > | ¾ Ó J $ " f, R 3 H γ ij _ Û ¼º ú / B GÒ ¦, Õ ªo ¦ G AB H Û ¼º ú © ϕ A \ ¦ ý a³ ð
Ð H N " é ¶ ( J $ [ > / B Nç ß V _ > | ¾ Ó J $ " fs . s Õ
ª| ½ Ót î ß _ î r1 l x ~ ½ Ó& ñ d É r
R ij = −G AB ∂ i ϕ A ∂ j ϕ B (2)
∇ 2 ϕ A + Γ BC A ∂ i ϕ B ∂ i ϕ C = 0 (3)
-218-
s
. # l " f ∇ i H γ ij \ _ ô Ç / B N ¸ < ÊÃ ºs ¦, Γ AB C H G AB \ _ ô Ç ß ¼o Û ¼ Ð: \ l ñs .
Û
¼º ú © ϕ A N Ð ° ú É r n > h_ ( J $ [ > λ α (α = 1, . . . , n) \ ë ß _ > rô Ç ¦ & ñ :
ϕ A = ϕ A (λ 1 , . . . , λ n ). (4) Õ
ª Q ϕ A H λ α \ ¦ ý a³ ð Ð H n " é ¶ / B Nç ß W \ " f ( J $ [ >
/ B Nç ß V Ð_ © s ¦, λ α H " é ¶ / B Nç ß Σ\ " f W Ð _ © Ü ¼ Ð ^ ¦ Ã º e . / B Nç ß W _ ß ¼o Û ¼ Ð: \ l ñ Γ αβ γ H © λ α : Σ → W \ _ K / B Nç ß Σ\ 6 £ § õ ° ú
É r { 9 ì ø Í o ) a / B N ¸ < ÊÃ º ˜ D i \ ¦ Ä » ¸ô Ç [11]:
D ˜ i λ α j = ∇ i λ α j + Γ βγ α λ β i λ γ j , λ α i = ∂ i λ α . (5) ë
ß { 9 λ α 6 £ § + þ AI _ ~ ½ Ó& ñ d
D ˜ i λ α i = ∇ 2 λ α + Γ βγ α ∂ i λ β ∂ i λ γ = 0 (6)
`
¦ ë ß 7 á ¤ λ α \ ¦ ¸ o ( J $ [ > s & ñ _ ô Ç . Ä » > ,
© ϕ A : Σ → V ü < Γ AB C ¸ / B Nç ß Σ\ { 9 ì ø Í o ) a / B N ¸
<
ÊÃ º\ ¦ Ä » ¸ ¦, Õ ª כ \ _ ô Ç ϕ A _ ¸ o ¸| É r Ð î r 1
l
x ~ ½ Ó& ñ d (3) ) a . 7 £ ¤, ϕ A H î r1 l x ~ ½ Ó& ñ d \ _ K ¸
o ( J $ [ > s ) a .
& ñ (4) É r / B Nç ß W \ > | ¾ ÓJ $ " f
e αβ = G AB ξ α A ξ β B , ξ α A = ∂ϕ A
∂λ α (7)
\
¦ Ä » ¸ô Ç . " f î r1 l x ~ ½ Ó& ñ d (2) H " é ¶ \ " f × æ
§
4 õ Û ¼º ú © λ α © ñ 6 x H à » ~ ½ Ó& ñ d s
) a :
R ij = −e αβ ∂ i λ α ∂ j λ β . (8) :
£
¤ y , ¸ H α, β \ @ /K " f e αβ = 0 s R ij = 0 s ) a .
" é ¶ / B Nç ß \ " f_ / B GÒ ¦ J $ " f H o u J $ " f\ _ K & ñ
÷
&Ù ¼ Ð, e αβ = 0 s " é ¶ / B Nç ß É r / B GÒ ¦ s \ O > ) a .
s
] j λ α \ ¦ ¸ o ( J $ [ > s ¦ & ñ [6,11]. Õ ª Q
î r1 l x ~ ½ Ó& ñ d (3) H
D α ξ β A = ∂ α ξ β A − Γ αβ γ ξ γ A + Γ BC A ξ B α ξ β C = 0 (9) s
) a . 7 £ ¤, ( J $ [ > / B Nç ß V \ " f_ ¢ - a 8 £ ¤ t ~ ½ Ó& ñ d (to- tally geodesic) s ) a . # l " f D α H © ϕ : W → V \ _ K / B Nç ß W \ Ä » ¸ ) a { 9 ì ø Í o / B N ¸ < ÊÃ ºs . Ä » ¸ ) a /
B
N ¸ < ÊÃ º D α H ( J $ [ > / B Nç ß _ > | ¾ Ó J $ " f G AB ü < " f
Ð ñ ¨ 8 H d` ¦ Å Ò3 l q :
D α G AB = ∂ α G AB − Γ CA D G DB ξ C α − Γ CB D G AD ξ α C = 0.
" f e αβ H D α \ @ /K / B N © Ã ºs :
D α e βγ = 0. (10) s
כ \ _ K & ñ (4) É r n " é ¶ / B Nç ß W \ " f N " é ¶ ( J $ [ >
/ B Nç ß Ü ¼ Ð_ 1 p x o z 0 >V , l (isometric imbedding)
)
a [12]. % i Ü ¼ Ð, ~ ½ Ó& ñ d (10) $ í w n ô Ç " é ¶
à » ~ ½ Ó& ñ d (8)_ Bianchi ½ Ó1 p xd \ _ K ~ ½ Ó& ñ d (6) ë ß 7 á ¤ ÷ &# Q λ α H ¸ o ( J $ [ > s ) a .
(
J $ [ > / B Nç ß _ ~ ´a A 7 ' K A \ ¦ s 6 x # 6 £ § d ` ¦
&
ñ _ :
C α = G AB ξ α A K B . (11) Õ
ª Q ~ ½ Ó& ñ d (9)õ K A \ @ /ô Ç ~ ´a A ~ ½ Ó& ñ d \ _ K C α H / B Nç ß W \ " f_ ~ ´a A ~ ½ Ó& ñ d
D α C β + D β C α = 0 (12)
`
¦ ë ß 7 á ¤ô Ç . 7 á § 8 { 9 ì ø Í& h Ü ¼ Ð, ~ ´a A J $ " f K A ···B > r F
H â Ä º, s כ ` ¦ s 6 x # C α ···β = K A ···B ξ A α · · · ξ β B \ ¦
&
ñ _ ½ + É Ã º e . Õ ª Q C α ···β H / B Nç ß W _ ~ ´a A J $ " f
)
a : D (α C β ···γ) = 0.
(
J $ [ > ϕ\ ¦ p ì r © ϕ : W → V Ð Ð , ( J $ [ > / B N ç
ß V _ K = K A dϕ A \ ¦ ϕ ∗ Ð ÷ &{ © ^ (pullback) r כ
É r ϕ ∗ K = C α dλ α ) a . 7 £ ¤, C α = ξ A α K A H ϕ ∗ \ _ ô
Ç K A _ ÷ &{ © ^ s . n " é ¶ / B Nç ß \ " f þ j@ / 0 p xô Ç ~ ´ a A 7 ' _ Ã º H n(n + 1)/2 s Ù ¼ Ð, ë ß { 9 ( J $ [ > / B Nç ß s n(n + 1)/2 Ð ´ ú § É r ~ ´a A 7 ' \ ¦ t Õ ª כ [ þ t_ ÷ &{ ©
^
C α H ¸¿ º 1 l qw n & h s u ´ כ s . Õ ª Q 1 l qw n & h
~
´a A 7 ' C α _ Ã º þ j@ /° ú כ n(n + 1)/2s ÷ & ¸2 ¤ ( J $ [ >
/ B Nç ß _ ~ ´a A @ /g As Ø æì r , / B Nç ß W H { 9 & ñ / B GÒ ¦ / B N ç
ß s ) a . " f þ j@ /ô Ç_ l < Æ& h @ /g As > r F
H â Ä º ~ ½ Ó& ñ d (12)` ¦ & h ì r # C α \ ¦ % 3 ` ¦ Ã º e ¦, s
כ
É r Ð ¢ - a 8 £ ¤ t ~ ½ Ó& ñ d (9)_ { 9 & h ì r s .
© ç ß é ß ô Ç \ V Ð, ( J $ [ > ϕ A ô Ç > h_ ( J $ [ > λë ß _
< ÊÃ º ¦ & ñ [4, 6]: ϕ A = ϕ A (λ). Õ ª Q ~ ½ Ó
&
ñ d (9) É r λ\ ¦ B > h à º Ð H ( J $ [ > / B Nç ß _ 8 £ ¤ t ~ ½ Ó
&
ñ d s ) a . Õ ªo ¦ ~ ´a A 7 ' K A \ _ K & ñ _ ) a C = G AB ξ A K B H Õ ª 8 £ ¤ t _ î r1 l x © Ã º ) a . ~ ´a A J $ " f K A ···B > r F K A ···B ξ A · · · ξ B ¸ 8 £ ¤ t ~ ½ Ó& ñ d _ î r 1
l
x © Ã º{ 9 כ s . ¢ ¸ô Ç, ε = G AB ξ A ξ B ¸ î r1 l x © Ã ºs .
(
J $ [ > / B Nç ß _ ~ ´a A 7 ' à ºü < 1 l x{ 9 ô Ç Ã º_ î r1 l x © à º C > r F Ù ¼ Ð, ~ ´a A @ /g As Ø æì r 8 £ ¤ t ~ ½ Ó& ñ d ` ¦
¢ -
a & h ì r½ + É Ã º e . ô Ǽ # , " é ¶ à » ~ ½ Ó& ñ d (8) õ ¸ o ¸| ∇ 2 λ = 0_ K H © @ /& h Ü ¼ Ð ~ 1 > % 3
`
¦ Ã º e [4]. : £ ¤ y , ε = 0 y n Cg 1 J(light-like) 8 £ ¤ t É r
γ ij = δ ij \ K { © Ù ¼ Ð / B Nç ß @ /g A\ @ /ô Ç Á º & ñ \ O s
^ > K \ ¦ % 3 ` ¦ Ã º e .
(
J $ [ > / B Nç ß ` ¦ s 6 x # î r1 l x ~ ½ Ó& ñ d _ K \ ¦ ½ ¨ H { 9
ì ø Í& h ~ ½ ÓZ O ` ¦ כ ¹ . r / B Nç ß s & ñ © © I s » ¡ ¤
@
/g A` ¦ ° ú H â Ä º Õ ª @ /g A$ í ` ¦ s 6 x # Õ ª| ½ Ót î ß ` ¦
" é ¶» ¡ ¤ è ¦ ~ ½ Ó& ñ d (1) + þ AI Ð ³ ð & ³ô Ç . s РÒ' ( J $
[ > / B Nç ß _ > | ¾ Ó J $ " f\ ¦ % 3 ¦, Õ ª כ _ ~ ´a A 7 ' \ ¦ ½ ¨ ô
Ç . Õ ª Ê ê, / B Nç ß W _ > | ¾ Ó J $ " f\ ¦ & ñ # W \ " f_
~
´a A ~ ½ Ó& ñ d (12)` ¦ ó r . ( J $ [ > / B Nç ß _ ~ ´a A @ /g As Ø æ ì
r s כ É r ¢ - a 8 £ ¤ t ~ ½ Ó& ñ d (9)_ K \ ¦ Å Ò ¦,
"
f ϕ A \ ¦ λ α Ð ³ ð & ³½ + É Ã º e . = å Q Ü ¼ Ð, " é ¶ Ã »
~ ½ Ó& ñ d (8)` ¦ Û ¦ # Q γ ij ü < λ α _ / B Nç ß ³ ð & ³` ¦ % 3 H .
III. ß Ã Å ¥ ß Ã Å-T c l 4 w T Â ] Ø8 ý ×6 È S Ë A 0
#
l " f H II] X \ " f 7 H_ ô Ç { 9 ì ø Í& h ~ ½ ÓZ O ` ¦ Ã »
-} Û ¼R / ÷ s : r \ & h 6 x # & ñ & h r / B Nç ß \ @ /ô Ç » ¡ ¤ @ /g A K
\ ¦ ½ ¨ H \ V\ ¦ [ þ t` ¦ כ s . & ñ & h r / B Nç ß _ > | ¾ ÓJ $ " f
\
¦
g µν dx µ dx ν = −fdt 2 + 1
f γ ij dx i dx j (13)
¦ . # l " f fü < γ ij H / B Nç ß ý a³ ð\ ë ß _ > rô Ç . Õ ª
Q Ã » -} Û ¼R / ÷ s : r \ K { © H ( J $ [ > / B Nç ß _ > | ¾ ÓJ $ " f H l ( J $ [ > u\ ¦ κF it / √
2 = ∂ i u Ð Z ~ Ü ¼
G AB dϕ A dϕ B = − 1
f du 2 + 1
2f 2 df 2 (14) s
) a [4]. s > | ¾ ÓJ $ " f_ ~ ´a A 7 ' H
K 1 = ∂ u , K 2 = (f + u 2
2 )∂ u + 2f u∂ f
K 3 = u∂ u + 2f ∂ f (15) s
¦, sl(2, R) @ /Ã º\ ¦ ë ß 7 á ¤ô Ç . Õ ªo ¦ & h H& h Ü ¼ Ð ¨ î ¨ î ô
Ç â > ¸| É r G = 1 é ß 0 A> \ " f f → 1 − 2M
r , u → − √ 2 Q
r (16) s
. # l " f M É r | 9 | ¾ Ós ¦ Q H l s .
$ ϕ A ô Ç > h_ ( J $ [ > λë ß _ < ÊÃ º â Ä º\ ¦ ¦ 9
. s â Ä º [ j > h_ ~ ´a A 7 ' (15)\ _ ô Ç 8 £ ¤ t _
© Ã º H
C (1) = − 1 f
du
dλ , C (2) = −(1 + u 2 2f ) du
dλ + u f
df dλ
C (3) = − u f
du dλ + 1
f df
dλ (17)
s
. â > ¸| (16)\ ¦ 0 A_ d \ @ /{ 9 ¦ λ & h H& h Ü
¼ Ð λ → √
2/r ÷ & ¸2 ¤ [ O & ñ C (1) = Q = C (2) , C (3) = − √
2M (18)
`
¦ % 3 H . ¢ ¸ô Ç
ε = G AB dϕ A dλ
dϕ B
dλ = M 2 − Q 2 (19)
¸ 8 £ ¤ t _ î r1 l x © Ã ºs . s כ [ þ t` ¦ s 6 x # ~ ½ Ó& ñ d (17)\ ¦ F C \ P
f = ( u
√ 2 + M Q ) 2 − ε
Q 2 , du
dλ = −Qf (20)
\
¦ % 3 H . s d É r ~ 1 > & h ì r½ + É Ã º e ¦, " f u = u(λ) ü < f = f (λ)\ ¦ % 3 H . : £ ¤ y ε = 0, 7 £ ¤ M 2 = Q 2
â
Ä º H × æ§ 4 õ l § 4 s & ñ S X y © W÷ & H ^ > K
) a .
f t H r / B Nç ß _ r ç ß \ @ /ô Ç @ /g Aë ß ¦ 9 % i ¦, /
B
Nç ß @ /g A É r ¦ 9 t · ú § ¤ . ë ß { 9 r / B Nç ß s ½ ¨+ þ A@ /g A s
" é ¶ Ã » ~ ½ Ó& ñ d
R ij = −ε ∂ i λ∂ j λ (21) _ { 9 ì ø ÍK H ~ 1 > % 3 ` ¦ Ã º e ¦,
γ ij dx i dx j = dr 2 + (r 2 − ε)dΩ 2 , √
2ε λ = ln r + √ ε r − √
ε s
) a [4]. ~ ½ Ó& ñ d (20)` ¦ & h ì r # λ\ @ /ô Ç 0 A_ ³ ð
&
³` ¦ @ /{ 9 õ & h Ü ¼ Ð Reissner-Nordstr¨om K \ ¦ % 3
H . ô Ǽ # r / B Nç ß s » ¡ ¤ @ /g A` ¦ ° ú H ~ ½ Ó& ñ d (21) Ð Â
Ò' R φφ = 0 s ÷ &Ù ¼ Ð " é ¶ > | ¾ Ó J $ " f H ½ Ó © Lewis- Papapetrou + þ AI Ð ³ ð & ³½ + É Ã º e :
γ ij dx i dx j = e 2h (dρ 2 + dz 2 ) + ρ 2 dφ 2 . (22) s
כ ` ¦ ~ ½ Ó& ñ d (21)\ @ /{ 9 1
ρ ∂ ρ h = ε
2 [(∂ ρ λ) 2 − (∂ z λ) 2 ], 1
ρ ∂ z h = ε ∂ ρ λ ∂ z λ
\
¦ % 3 H . s â Ä º λ_ ¸ o ¸| É r + þ A ~ ½ Ó& ñ d s ÷ &Ù ¼
Ð { 9 ì ø ÍK \ ¦ ½ ¨½ + É Ã º e ¦ [6], s כ ` ¦ 0 A_ ~ ½ Ó& ñ d \ @ / { 9
# % 3 H ¢ - a K H Ð & ñ & h » ¡ ¤ @ /g A` ¦ ° ú H Weyl >
\ P
_ K s [6]. " f ϕ A ô Ç > h_ ( J $ [ > λë ß _ < Ê Ã
º â Ä º H r / B Nç ß s ½ ¨+ þ A @ /g As » ¡ ¤ @ /g A â Ä º { 9
ì ø ÍK \ ¦ # Q§ > t · ú §> % 3 ` ¦ Ã º e .
s
] j ϕ A ¿ º > h_ ( J $ [ > λ 1 õ λ 2 _ < ÊÃ º â Ä º\ ¦
¦ 9 . s â Ä º s " é ¶ / B Nç ß W \ Ä » ¸ ) a > | ¾ Ó J $ " f e αβ H ½ Ó ©
e αβ dλ α dλ β = e 2ρ ε 2 1 (ε 2 dλ 2 1 + dλ 2 2 )
Ð Z ~` ¦ Ã º e . # l " f ε 1 = 0 â Ä º H y n Cg 1 J ³ ð , ε 2 = 1 â Ä º H o s ë ß + þ A ³ ð , ε 2 = −1 â Ä º H ÐE $ Þ
Ô+ þ A ³ ð s . / B Nç ß W { 9 & ñ / B GÒ ¦ ³ ð s ~ ´a A 7 '
C α _ Ì Ã º H þ j@ /° ú כ ! Ó s ¦, ρ H Liouville ~ ½ Ó& ñ d
∇ ~ 2 ρ = −ke 2ρ ` ¦ ë ß 7 á ¤ô Ç . # l " f k H Ä ºÛ ¼ / B GÒ ¦ s .
" f
e ρ = 1
1 + k 4 ε 2 1 (ε 2 λ 2 1 + λ 2 2 ) s
) a . # l " f τ ± = λ 1 ∓ i √ ε 2 λ 2 Ð Z ~ . Õ ª Q > | ¾ Ó J $
" f H
e αβ dλ α dλ β = εdτ + dτ −
(1 + k 4 ετ + τ − ) 2 , ε = ε 2 1 ε 2 (23) s
) a . o s ë ß + þ A ³ ð \ " f τ + ü < τ − H " f Ð 4 ¤ è / B NÓ o e
` ¦ Å Ò3 l q . s > | ¾ Ó J $ " f\ @ /ô Ç ß ¼o Û ¼ Ð: \ l ñ Γ αβ γ H
Γ ±± ± = −
k 2 ετ ∓ 1 + k 4 ετ + τ − s
Ù ¼ Ð, / B Nç ß W _ ~ ´a A ~ ½ Ó& ñ d (12)_ K H C ± = 1
(1 + k 4 ετ + τ − ) 2 (a ± ± bτ ∓ + k
4 εa ∓ τ ∓ 2 ) (24) s
) a . # l " f a + , a − , b H [ j > h_ ~ ´a A 7 ' C α \ @ /6 £ x
H & h ì r © Ã ºs . o s ë ß + þ A ³ ð \ " f H C + ü < C −
"
f Ð 4 ¤ è / B NÓ os Ù ¼ Ð a + ü < a − H z ´Ã º © Ã ºs ¦ b H ) Ã
º © Ã ºs . s [ j > h_ © Ã º H & h H& h Ü ¼ Ð ¨ î ¨ î ô Ç â
>
¸| τ ± → O(1/r)` ¦ s 6 x #
a ± = C ± ( ∞), b = ∂ − C + ( ∞) (25)
РÒ' & ñ ½ + É Ã º e . ô Ǽ # , ¸ o ¸| (6) H
∇ 2 τ ± =
k 2 ετ ∓
1 + k 4 ετ + τ − (∂ i τ ± ) 2 (26) s
) a . = å Q Ü ¼ Ð, ~ ½ Ó& ñ d (7)Ü ¼ ÐÂ Ò' G AB ξ ± A ξ ± B = 0, 2G AB ξ + A ξ − B = ε
(1 + k 4 ετ + τ − ) 2 (27)
`
¦ % 3 H . : £ ¤ y , Á ºô Ç@ /\ " f ε = 2G AB ξ + A ξ − B
∞ $ í w n ô
Ç .
(
J $ [ > / B Nç ß _ > | ¾ ÓJ $ " f (14)\ ¦ E ± = √
2f ± u Ð ³ ð & ³
G AB dϕ A dϕ B = 1
f d E + d E − (28)
÷ & ¦, ~ ´a A 7 ' H
K 1 = ∂ E
+− ∂ E
−, K 2 = E + 2
2 ∂ E
+− E − 2 2 ∂ E
−K 3 = E + ∂ E
++ E − ∂ E
−(29)
) a . s â Ä º H ( J $ [ > / B Nç ß ^ { 9 & ñ / B GÒ ¦ ³ ð s
¦, ~ ½ Ó& ñ d (27)\ _ K E ± = E ± (τ ± ) ) a . " f [
j > h_ ~ ´a A 7 ' (29) ÐÂ Ò'
C ± (1) = ∓ 1
2f ∂ ± E ± , C ± (2) = ∓ E ∓ 2 4f ∂ ± E ±
C ± (3) = E ∓
2f ∂ ± E ± (30)
\
¦ % 3 H . s כ É r ¢ - a 8 £ ¤ t ~ ½ Ó& ñ d (9)_ { 9 & h ì r s
. # l \ ~ ½ Ó& ñ d (25)õ â > ¸| (16)\ ¦ & h 6 x a (1) ± = ±M + Q
2 = a (2) ± = ∓ 1
√ 2 a (3) ±
b (1) = ε 2 √
2 = −b (2) , b (3) = 0
`
¦ % 3 H . # l " f τ ± H & h H& h Ü ¼ Ð τ ± → √
2/r ÷ & ¸ 2
¤ [ O & ñ % i ¦, ε = M 2 − Q 2 s . s © Ã º[ þ t` ¦ ~ ½ Ó& ñ d (24) \ @ /{ 9 # { 9 & h ì r (30)` ¦ & h ì r õ & h Ü ¼ Ð
E ± = √ 2 2 √
2 − (M ± Q)τ ± 2 √
2 + (M ± Q)τ ± , k = − 1
2 (31)
`
¦ % 3 H .
s
] j (M ± Q)τ ± = 2 √
2κ ± /ξ ± Ð Z ~ . # l " f κ ± H '
¸(scale) B > h © Ã ºs . Õ ª Q E ± H E ± = √
2 ξ ± − κ ±
ξ ± + κ ± (32) s
÷ & ¦, ¸ o ¸| (26) H
∇ 2 ξ ± = 2ξ ∓
ξ + ξ − − κ + κ − (∂ i ξ ± ) 2 (33) s
) a . ¢ ¸ô Ç " é ¶ Ã » ~ ½ Ó& ñ d (8) É r R ij = 2
k
κ + κ −
(ξ + ξ − − κ + κ − ) 2 (∂ i ξ + ∂ j ξ − + ∂ i ξ − ∂ j ξ + ) (34)
s
) a . ~ ½ Ó& ñ d (33) É r & ñ © © I r / B Nç ß \ " f_ Ernst ~ ½ Ó
&
ñ d õ B Ä º Ä » < Ê\ Å Ò3 l q [13]. Õ ª Q ξ ± H z ´Ã º (
J $ [ > s H כ \ s e .
r
/ B Nç ß s » ¡ ¤ @ /g A` ¦ ° ú H â Ä º, ~ ½ Ó& ñ d (34) ÐÂ Ò' R φφ = 0 s ÷ &Ù ¼ Ð s â Ä º\ ¸ " é ¶ > | ¾ Ó J $ " f H Lewis-Papapetrou + þ AI (22)s ) a . # l \ z ´ 2 ; 8 ý a
³
ð> (ρ, z)ü < 6 £ § ' a > e H r " é ¶(spheroidal) ý a
³
ð> (x, y)\ ¦ ¸{ 9 :
ρ = p
x 2 − µ p
1 − y 2 , z = xy. (35)
#
l " f µ H ' ¸ B > h © Ã ºs . Õ ª Q ~ ½ Ó& ñ d (33)_ ç ß é
ß ô Ç K H © Ã º pü < q\ ¦ s 6 x #
ξ ± = px ± qy, µp 2 − q 2 = κ + κ − (36)
Ð ³ ð & ³½ + É Ã º e . s כ ` ¦ ~ ½ Ó& ñ d (34)\ @ /{ 9
e −kh = c 2 p 2 x 2 − q 2 y 2 − κ + κ −
x 2 − µy 2 (37)
\
¦ % 3 H . # l " f c H ý a³ ð_ ' ¸\ ¦ Ë ¨# Q" f Ä »\ v
>
× þ ½ + É Ã º e H & h ì r © Ã ºs .
Boyer-Lindquist ý a³ ð> H r " é ¶ ý a³ ð> ü < x = r − M , y = cos θ ' a > e . " f © Ã º pü < q\ ¦ 2κ ± /p = M ± Qü < q/p = a Ð Z ~ Ü ¼
f =
"
x 2 − µ + a 2 (1 − y 2 ) (x + M 2 ) 2 − (ay + Q 2 ) 2
# 2
→ 1 − 2M r
u = − √
2 Qx − May
(x + M 2 ) 2 − (ay + Q 2 ) 2 (38)
→ − √ 2( Q
r − M a cos θ r 2 )
\
¦ % 3 H . # l " f µ = −kε/2 + a 2 s . 7 £ ¤, M a H l
© F G ¸F ' pà Ôs . õ & h Ü ¼ Ð Boyer-Lindquist ý a³ ð>
Ð ³ ð & ³ ) a " é ¶ > | ¾ Ó J $ " f H
ds 2 = − (∆ + a 2 sin 2 θ) 2
Σ 2 dt 2 + Σ 2 (∆ + a 2 sin 2 θ) 2 [(r − M) 2 − µ cos 2 θ] 3
× ( dr 2
∆ + dθ 2 ) + Σ 2
(∆ + a 2 sin 2 θ) 2 ∆ sin 2 θdφ 2 (39) s
) a . # l " f
∆ = (r − M) 2 − µ, Σ = (r − M
2 ) 2 − (a cos θ + Q 2 ) 2 s
. s ¢ - a K H [ j > h_ 1 l qw n ) a B > h © Ã º M, Q, a\ ¦
° ú
H Bonnor K s [14]. : £ ¤ y µ = a = 0 â Ä º H ½ ¨ + þ
A@ /g As ÷ &# Q F G @ /_ (extremal) Reissner-Nordstr¨ om K
) a .
l ( J $ [ > v\ ¦ κF ij / √
2 = ijk ∂ k v/f Ð Z ~ ¦, l
© _ s × æ$ í u ↔ v\ ¦ s 6 x 0 A_ K ÐÂ Ò' l
P ü < l © F G ¸F ' pà Ô Ma\ ¦ ° ú H K \ ¦ % 3 ` ¦ Ã º e
. ¢ ¸ H s × æ r (dual rotation)` ¦ s 6 x W 1 > h_ 1
l qw n ) a B > h © Ã º M, Q, P , a\ ¦ ° ú H K ¸ % 3 ` ¦ Ã º e .
IV. + s Ç Â ] Ø õ m Í º Â ] Ø
{ 9
ì ø Í& h Û ¼º ú - 7 ' -J $ " f s : r \ & h 6 x½ + É Ã º e H ( J $
[ > / B Nç ß ~ ½ ÓZ O ` ¦ { 9 ì ø Í o % i ¦, ¢ - a K \ ¦ % 3 H ] X \ ¦
"
î Ñ þ y Ðl 0 A # © @ /& h Ü ¼ Ð ç ß é ß ô Ç Ó ü t o > Ã
» -} Û ¼R / ÷ s : r \ " f & ñ & h r / B Nç ß _ » ¡ ¤ @ /g A K \ ¦ % 3
H õ & ñ ` ¦ © Õ ü t % i . õ & h Ü ¼ Ð % 3 É r Weyl > \ P s
K (39) É r l ¢ ¸ H l © F G ¸F ' pà Ô\ ¦ ° ú H K s
. Õ ª Q s K H ~ ½ Ó& ñ d (33)_ ç ß é ß ô Ç K (36)_ õ s
. ë ß { 9 ~ ½ Ó& ñ d (36) Ð 7 á § 8 { 9 ì ø Í& h Tomimatsu- Sato + þ AI [15]_ K \ ¦ ¦ 9 × æF G ¸F ' pà Ô\ ¦ ° ú H K
\ ¦ % 3 ` ¦ Ã º e ` ¦ כ s .
: r 7 Hë H \ " f H & ñ & h r / B Nç ß ` ¦ ¦ 9Ù þ ¡t ë ß , & ñ © © I r
/ B Nç ß \ @ /ô Ç Kerr-Newman K ¸ Ä » ô Ç ~ ½ ÓZ O Ü ¼ Ð % 3
#
Q [9]. 7 £ ¤, 4 ¤ è ( J $ [ > ` ¦ ¸{ 9 ¦ holomorphic` ¦
& ñ Û ¼X O > 4 ¤ è ( J $ [ > \ @ /ô Ç Ernst ~ ½ Ó& ñ d
`
¦ % 3 ¦, s ÐÂ Ò' r H K \ ¦ % 3 ` ¦ Ã º e . " f
¦ 9 H Û ¼º ú - 7 ' -J $ " f s : r \ @ /ô Ç ( J $ [ > / B Nç ß _
~
´a A @ /g Aë ß · ú , Õ ª\ K { © H » ¡ ¤ @ /g A K \ ¦ % 3 H כ
É
r _ l > & h s . \ V\ ¦ [ þ t , H s : r_ $ \ -t ³ ð
&
³ ¢ ¸ H í× æ§ 4 s : r_ r H ^ ¦Ï þ f . Ë K \ ¦ ^ > & h Ü ¼
Ð % 3 ` ¦ Ã º e ` ¦ כ s .
(
J $ [ > / B Nç ß ~ ½ ÓZ O _ é ß & h É r ³ ðï r ¸+ þ A_ j Ë ²Û ¼ © s Skyrme s : r õ ° ú É r q + þ A © ñ 6 x ½ Ó` ¦ ° ú H s : r \
H & h 6 x l # Q§ > ¦, ¢ ¸ô Ç ( J $ [ > / B Nç ß \ Ø æì rô Ç l < Æ
&
h @ /g As \ O Ü ¼ : r 7 Hë H \ " f l Õ ü tô Ç ~ ½ ÓZ O Ü ¼ Ð H ¢ - a
K \ ¦ % 3 ` ¦ Ã º \ O H כ s . s Qô Ç & h 6 xô Ç> \ ¦ ] jü @
( J $ [ > / B Nç ß ~ ½ ÓZ O É r > h¥ Æ & h Ü ¼ Ð ç ß é ß ¦ z ´| 9 & h Ü
¼ Ð Ä »6 x ¦ ó ø Íé ß ) a .
Y c
p w à U Ø ô
[1] R. P. Kerr, Phys. Rev. Lett. 11, 237 (1963).
[2] D. Youm, Phys. Rep. 316, 1 (1999).
[3] P. Breitenlohner, D. Maison, and G. Gibbons, Com- mun. Math. Phys. 120, 295 (1988); P. Breitenlohner and D. Maison, Commun. Math. Phys. 209, 785 (2000).
[4] D. H. Park, J. Korean Phys. 31, 894 (1997); D. H.
Park, J. Korean Phys. 37, 177 (2000).
[5] G. Neugebauer and D. Kramer, Ann. Phys. (Leipzig) 24, 62 (1969); T. Matos, G. Rodriguez, and R. Be- cerril, J. Math. Phys. 33, 3521 (1992).
[6] D. Kramer, H. Stephani, E. Herlt, and M. Mac- Callum, Exact Solutions of Einstein Field Equations (Cambridge University Press, Cambridge, England, 1980).
[7] B. K. Harrison, J. Math. Phys. 9, 1744 (1968); D. V.
Gal’tsov and O. V. Kechkin, Phy. Rev. D50, 7394 (1994).
[8] R. Geroch, J. Math. Phys. 13, 394 (1972); W. Kin- nersley and D. M. Chitre, J. Math. Phys. 18, 1538
(1977); I. Bakas, Nucl. Phys. B428, 374 (1994);
D. V. Gal’tsov, Phy. Rev. Lett. 74, 2863 (1995);
I. Bakas, Phys. Rev. D54, 6424 (1996).
[9] D. H. Park, to be published.
[10] T. Matos, D. Nunez, and M. Rios, Class. Quant.
Grav. 17, 3917 (2000).
[11] C. W. Misner, Phys. Rev. D18, 4510 (1978).
[12] H. Goenner, Local isometric embedding of Rieman- nian manifolds and Einstein’s theory of gravitation, in Held, A (Ed.), General Relativity and Gravita- tion one hundered years after the birth of Albert Einstein, Vol I, Plenum Press, New York.
[13] F. J. Ernst, Phys. Rev. 167, 1175 (1968).
[14] W. B. Bonnor, J. Phys. A12, 853 (1979).
[15] A. Tomimatsu and H. Sato, Phys. Rev. Lett. 29, 1344 (1972).
Geometric Generalization of the Potential Space Formalism
D. H. Park ∗
Department of Computer and Electronic Physics, Sangji University, Wonju 220-702 (Received 2 August 2003)
We discuss the generalized potential space formalism for obtaining exact solutions in scalar- vector-tensor theories. As examples, static axially symmetric solutions in the Einstein Maxwell theory are derived in detail.
PACS numbers: 04.20.Jb, 04.40.Nr, 04.50.+h
Keywords: Potential space, Axial symmetry, Einstein-Maxwell theory
∗
