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1. 돌림힘

2. 회전관성

3. 강체의 회전관성과 각운동량 보존

4. 미끄러지지 않고 구르는 강체

5. 일과 회전운동에너지

6. 평형

제9장. 강체의 회전운동과 평형

목차

개념흐름도

고전역학 한 입자의 운동 직선운동 여러 입자의운동 평면운동 뉴턴의 운동법칙 에너지 보존 질량 중심의 운동 (선)운동량 보존 등속 원운동 구심 가속도 돌림힘 회전 관성 연속적인 물체의 운동 강체의 운동 구르는 운동 고체의 탄성 유체의 압력과 밀도 회전운동 각운동량 보존

세부개념흐름도-9장

회전관성

회전운동에 관한 뉴턴의 운동법칙

돌림힘

각운동량

질량 (관성)

힘

선운동량

일과 에너지

일과 회전(운동)에너지

뉴턴의 운동법칙

(직선 운동에 관한)

고전역학

한 입자

여러 입자

질량중심

직선운동

회전운동

직선운동

회전운동

들어서며

물체 → 여러 입자의 모임

부피, 모양을 가짐

물체 위의 임의의 두 지점 사이의 거리가 변하지 않는 단단

한 물체 = 강체

강체의 회전운동

회전관성: 회전운동에 대한 관성??

회전운동을 변화시키는 힘 = 돌림힘

회전운동에 대한 운동량 = 각운동량

뉴턴의 운동법칙 : 직선운동 + 회전운동

돌림힘 (Torque, 회전력)

F

r

τ

=







=

r

F

sin

F

r

F

r

=

_t

=

(

sin



)

t

rF

=

t

r

_{: moment arm}

1. 돌림힘

F  O P r x y z  F⊥ F_r

: 돌림힘

(Torque)

물체의 회전을 변하게 하는 원인 돌림힘의 크기 돌림힘 벡터의 방향 - 반시계 방향회전 : +

예제 9.1 돌림힘 구하기

m]

[N

24

.

1

)

25

)(sin

m/s

8

.

9

)(

3

.

0

)(

m

1

(

sin

sin

2



=



=

=

=







rmg

rF

1 m 300 g mg 25O 길이가 1 m인 질량이 없는 막대 끝에 300 g의 질량의 입자가 매달려 있으며 막대의 다른 끝은 자유롭게 회전할 수 있는 회전축에 고정되어 있다. 막대가 수직선과 25o 를 이룰 때, 입자의 무게가 막대의 회전축에 작용하는 돌림힘의 크기를 구하여라. 풀이] 돌림힘의 정의에 의해

a

F

=

m

t t

m

a

F =

F

r

τ

=



t

rF

rF

=

=





sin



r

a

_t

=







=

rm

(

r

)

=

(

mr

2

)

2

mr

I =

: 회전관성(moment of inertia)

2. 회전관성

회전관성

입자의 돌림힘

α

τ

=

I

: 회전운동의 뉴톤의 운동법칙

α

α

α

α

τ

τ

τ

τ













=

+







+

+

=

+







+

+

=



= n i i i n n n

r

m

r

m

r

m

r

m

1 2 2 2 2 2 2 1 1 2 1

: 입자계의 회전관성

2. 회전관성

입자계의 돌림힘 총돌림힘

α

τ

=

I

: 회전운동의 뉴톤의 운동법칙



=

=

n i i i

r

m

I

1 2

예제 9.2 회전관성 계산

질량 20 kg인 두 쇠공이 길이 1.0 m인 질량을 무시할 수 있는 막대 끝에 달려 있다. (a) 두 쇠공의 중심을 관통하는 축에 대한 회전관성을 구하여라. (b) 두 쇠공 중 한 쇠공의 중심을 지나는 축에 대한 회전관성을 구하여라. 풀이] (a) 질량중심에 대한 회전관성 2 2 2 2 1 1

r

m

r

m

I

=

+

(

)(

) (

2

)(

)

2 2

m

kg

10

m

50

.

0

kg

20

m

50

.

0

kg

20

+

=



=

I

(



r

₁

= r

₂

=

0

.

5

m

)

(b) 한 쇠공를 관통하는 축에 대한 회전관성

(

)(

) (

2

)(

)

2 2

m

kg

20

m

0

.

1

kg

20

m

0

kg

20

+

=



=

I

m

0

.

1

,

0

₂ 1

=

r

=

r

r₁ r₂

강체

물체를 이루고 있는 구성부분 모두가 고정된 관계를 갖는 물체 강체내의 모든 입자가 중심을 회전축이라는 직선에 두고 원을 그리면 강체는 순수한 회전운동을 한다.

3. 강체의 회전관성과 각운동량 보존

P₂ P₁ r 회전축(axis of rotation)

3. 강체의 회전관성과 각운동량 보존

회전관성

정의 - 회전운동에서 관성의 정도 - 회전운동에서 각속도 변화에 대한 저항 단일 질점 2

mr

I =



= 2 i ir m I 입자계(다질점) α α τ τ =



_i = (



m_ir_i2) = I





= = →  m r r dm I _{i i} m_i 2 2 0 lim 연속 질량분포 - N개의 작은 질량소 m_i α α τ τ =



_i = (



m_ir_i2) = I

3. 강체의 회전관성과 각운동량 보존

고리의 회전관성 원통의 회전관성 m R I d d = 2 2 2 dm MR R I =



= L r r V 2 d d =   : 단위부피당 질량 r r L V m d 2 d d =  = 



= R r m I 0 2 d =



R Lr r 0 3 d 2 4 0 4 2 1 4 1 2 L r LR R   = = ) ( M =  R2L 2 2 1 MR I = 

2

MD

I

I

=

_cm

+

2 2 2 c c y x D = + x = x_c + x', y = y_c + y' ) ( 2 2 2 y x m r m I =  =  + 



2 2



) ' ( ) ' (x x y y m _c + + _c +  =



(x2 y2) 2(x x' y y') (x'2 y'2 )



m _c + _c + _c + _c + +  = ) ' ' ( 2 ) ' ' ( 2 2 2 y y x x m y x m mD +  + +  _c + _c  =









 =  +  + +  + = I mD2 m(x'2 y'2 ) 2 m(x x' y y') I _{c c}



 2 = 2 MD mD



m(x'2+ y'2 ) = I_cm 0 ' 2 ' 2 =



 =



mx_cx x_c mx 2 MD I I = _cm +  ( 질량중심의 좌표)

3. 강체의 회전관성과 각운동량 보존

평행축 정리 (Parallel axis theorem)

3. 강체의 회전관성과 각운동량 보존

강체의 회전관성

예제 9.3 원판의 회전관성 계산

반지름이 R, 질량이 M인, 속이 꽉 찬 원판에서 그림과 같이 반지름 R/2인 원판을 잘 라내었을 때, 지면에서 수직 방향으로 원판의 중심 O를 지나는 축에 대한 회전관 성을 구하여라. 풀이] 전체 회전관성 – 도려낸 부분 회전관성 - 전체질량 M, 남은 질량 M₁, 도려낸 질량 M₂ 2 1 M M M I I I = − 2 2 2 2 1 2 ) 2 / ( ] ) 2 / ( [ R M R R M R M      = − = = 균일하다면  = 일정 M M R R M 4 1 ) 2 / ( 2 2 2 = =   2 2 2 2 2 32 15 32 1 2 1 2 4 2 1 2 1 1 MR MR MR R M MR I_M  = − =            − = 

입자계(강체)

z-축을 회전축으로 하는 강체의 총각운동량 : L



2 i i i i i iz m rv m r l = =







= = = _iz ( _{i i}2 ) ( _{i i}2) z l m r m r L





ω

L

=

I

m₁ m₂ r₁ r₂ F21 F₁₂ y  + + = l₁ l₂ L



+

+

=

dt

d

dt

d

dt

d

L

l

₁

l

₂ 1e 1 12 1 1 1 1 _{r F r F r F} l  +  =  = t d d 2e 2 21 2 2 2 2 F r F r F r l  +  =  = t d d

3. 강체의 회전관성과 각운동량 보존

ω

3. 강체의 회전관성과 각운동량 보존

강체의 각운동량 보존 (

동영상

)

회전운동 방정식 만일 물체에 작용하는 외력에 의한 토오크가 없으면 각운동량은 일정하게 유지된다. 0 d d = = _ext t τ L constant = L = I ω i i I L =



= I _f  _f i i f I I





=

예제 9.4 각운동량 보존

수직축에 대하여 자유롭게 회전할 수 있는 회전의자에 앉아 있는 한 학생이 양손 에 아령을 들고서 팔을 벌린 채 초기 각속도 _i로 반시계 방향으로 회전하고 있다. 팔을 벌린 학생의 회전관성은 I_i이다. 이 학생이 팔을 움츠려서 회전관성이 I_f가 되 었다. 각속도 _f는 얼마인가? 풀이] 각운동량 보존 f f i i I I L =



=



i f i f I I





= 팔을 움츠리면 더 빨리 회전(회전관성의 감소)

예제 9.5 회전 동역학

한 소년이 질량 10 kg인 문을 20 N의 힘으로 연다. 힘은 문에 수직하게 가해지고, 문손잡이는 돌쩌귀에서 0.90 m 떨어져 있다. 문의 높이가 2.0 m이고 너비는 1.0 m 이다. 문의 각가속도는 얼마인가? 풀이] 문의 회전관성 2 3 1 ML I = rF Iα τ = =



2 2 2 2 rad/s 4 . 5 ) m 1 )( kg 10 ( ) N 20 )( m 9 . 0 ( 3 3 3 1 = = = = = ML rF ML rF I rF  H =2.0 m L = 1.0 m x dx  N = 20 N 0.9 m dm 회전운동의 운동방정식

예제 9.6 원판의 돌림힘

회전관성이 I인 원판이 있다. 이 원판을 정지 상태에서 일정한 돌림힘을 작용시켜 서 시간 T동안 돌리면 각속도 를 얻는다. 이때, 이 원판에 작용한 돌림힘의 크기 는 얼마인가? 풀이] 돌림힘 ) ( T t T I    =   = = ω  τ   = I 회전관성 I ₀ = 0 T _final = 

4. 미끄러지지 않고 구르는 강체

강체의 일반적 운동

순수한 병진운동 - 강체 내의 모든 입자가 같은 순간속도 순수한 회전운동 - 강체 내의 모든 입자가 회전축에 대하여 같은 순간각속도 구름운동 - 회전운동과 병진운동의 결합

4. 미끄러지지 않고 구르는 강체

미끄러지지 않고 구르는 바퀴



R

s =





R

t

R

t

s

v

_cm

=





=





=



R

v

_cm

=

- 원호길이 = 질량 중심이 움직인 거리 - 질량 중심의 선속도 ( = 바퀴의 병진 속도) - 물체가 미끄러지지 않고 굴러갈 조건 - 바퀴의 a와 의 관계



R

a =

예제 9.7 굴러가는 굴렁쇠

반지름이 30 cm인 굴렁쇠의 굴러가는 속도가 일정한 율로 감소하고 있다. 초기의 병진속도는 0.6 m/s이며, 30초 후에 정지하였다. 굴렁쇠의 회전 각가속도를 구하 여라. 풀이] 2가지 방법이 가능 2. 병진운동 ) ( rad/s 15 s 30 rad/s 2 0 2 t       = − = −  = + rad/s 2 m 3 . 0 m/s 0.6    = = = r v_cm 1. 회전운동 ) ( m/s 02 . 0 s 30 m/s 0.6 0 2 t a v v a = −  = −   = + ) ( rad/s 15 m 3 . 0 m/s 02 . 0 2 ₂     = − = − a = r

예제 9.8 회전 동역학 II

그림과 같이 질량 M, 반지름 R인 원반형 도르래에 질량 m인 물체가 감긴 줄에 매 달려 초기 정지 상태로부터 움직이고 있다(단, 도르래의 회전관성은 MR2_{/2, 중력} 가속도는 g이고, 도르래의 마찰과 줄의 질량은 무시한다). 물체의 가속도와 줄에 작용하는 장력을 구하여라. 풀이] 운동 방정식(질점별) mg T T a r R a I I RT =  = ma T mg − = (물체 m : 병진운동) (도르레 : 회전운동) Ma R a MR T 2 1 2 1 2 2 =       = mg mg = =  1 연립

예제 9.9 소행성 위 어린이의 회전운동

그림과 같이 반지름이 R이고 질량이 M인 구형의 소행성에 질량이 m인 어린이가 서 있다. 소행성과 어린이는 모두 정지해 있다. 이제, 어린이가 소행성 위에서 특정 방향으로 일정한 속력 v로 이동하여 소행성을 한 바퀴 도는 원운동을 한다(단, 이 경우 어린이의 속력 v는 외부에 정지한 관측자가 본 속력이다). 풀이] (1) 소행성의 중심을 지나는 원운동의 회전축에 대해 어린이가 회전하는 각속도의 크기와 어린이의 회전관성을 구하여라(단, 소행성의 반지름에 비해 어린이의 키는 무시할 수 있을 정도로 작다고 가정한다). R v R v = ,  = 2 mR I = (2) 어린이가 속력 v로 움직일 때 위의 회전축에 대한 어린이의 각운동량 의 크기를 구하여라. mvR R v mR I L =



= 2 =

예제 9.9 소행성 위 어린이의 회전운동

(3) 초기에 정지해 있던 어린이가 속력 v로 움직일 때 어린이와 소행성을 합한 전체의 각운동량은 얼마인가? 초기에 모두 정지 f i L L = 0 = 각운동량 보존 0 5 2 ₂ = + = + = I_{m m} I_{M M} mvR MR _M L    (4) 어린이가 속력 v로 움직이는 동안 소행성도 회전한 다면 소행성의 회전 각속도의 크기는 얼마인가? (단, 소행성도 그 중심을 지나는 축으로 회전한다고 가정하고, 이 경우 소행성의 회전관성은 2MR2_/5이다.) 소행성의 회전 각속도 MR mv MR mvR M 2 5 2 | | 2 = =  MR mv MR mvR M 2 5 2 ₂ = − − =  _or v m M R

예제 9.9 소행성 위 어린이의 회전운동

(5) 어린이가 소행성을 한 바퀴 돌아 처음 출발했던 소행성 위의 지점(예를 들어 처음 출발했던 소행성의 분화구 위치)까지 왔을 때 소행성이 회전한 각도는 얼마인가? M m m T _M M m M 5 2 2 2 + = + =  =         T M   =      ) 2 ( _m + _M T = M m T    + =  2

5. 일과 회전운동에너지

회전운동에서 일

물체에 힘 가 가해져 ds=rd

_F

 만큼 움직였을 경우 힘 가 한일







d

sin

d

sin

d

d

W

=

F



s

=

F

s

=

F

r





d

=



=



2 1

d

 





W

회전운동에서 일률







=

=

=

t

t

W

P

d

d

d

d



P =

Fv

F

r

τ

=







=

rF

sin



F

3. 일과 회전운동에너지

K I I I t I I W i f f i f i f i  = − = =       = =







2 2 1 2 2 1 d d d d d

















      (일과 에너지 정리) 회전운동에서 일 _{– 에너지 정리} 회전운동 에너지 2 2 2 2 2 1 2 1 2 1 ) ( _i



_{i i}



i i i i m v m r m r K = = = 2 2 2 1 i i i m r K K =



= 



2 2 1  I K = K W_net = 

3. 일과 회전운동에너지

굴림운동의 에너지

정지한 관측자의 관점에서 운동에너지 - 순간 회전축에 의한 순수한 회전 운동 2 2 1  P I K = 2 MR I I_P = _com + 2 2 ) ( 2 1  MR I K = _com + 2 2 2 2 1 2 1   MR I_com + = 2 2 2 1 2 1 com com Mv I + =  미끄러지지 않고 굴러가는 물체 물체의 질량중심의 병진운동 + 질량중심에서 본 순수한 회전운동

운동에너지 : 2 2 1

_

P I K = 2 2 2 2 1 2 1   MR I K = _cm + 2 2 2 1 2 1 cm cm Mv I + =  미끄러지지 않고 굴러가는 물체는 물체의 질량중심의 병진운동과 질량중심에서 본 순수한 회전운동의 합으로 볼 수 있다. (cycloid 운동: 동영상)

3. 일과 회전운동에너지

예제 9.10 회전운동 에너지

일정한 각속도로 회전하던 별이 붕괴하여 회전관성이 1/3로 줄어들었다. 붕괴 전 의 회전운동에너지를 K₁, 붕괴 후의 회전운동에너지를 K₂라고 할 때, 붕괴 전후의 회전운동에너지의 비 K₂/K₁는 얼마인가? 풀이] 각운동량 보존 0 0





I I L = = 1 2 0 0 2 2 (3 ) 3 3 2 1 2 1 K I I K =



=



= 0 0 0 3







= = I I 3 / ₁ 2 =  K K

예제 9.11 구름운동의 에너지

기울어진 각이 이고, 빗변의 길이가 L인 경사면의 꼭대기에서 강체구, 원판 그리 고 후프를 동시에 놓았다. 세 물체는 질량이 M으로 모두 같고, 반지름도 R로 모두 같다. 이 세 물체가 미끄러지지 않고 굴러내릴 때, 물체가 바닥에 도달하는 순서를 나열하여라. 풀이] 역학적에너지 보존 - 질량중심 속력이 도달시간 결정 H M E_i = g 2 2 2 1 2 1  CM CM f Mv I E = + (v_CM = R) 2 2 2 2 1 2 1 R v I Mv_CM + _CM CM = ) ( g 2 ₂ 2 1 R I M v H M = _CM + CM ) / ( g 2 2 2 R I M H M v CM CM + =        = 원판 링 고체구 ; ; ; 2 2 2 2 1 5 2 MR MR MR I_CM ) 5 / 7 /( g 2 H v = v = 2gH /(3/ 2) _v = _{2gH /(2)}

평형

정적평형 : 물체가 정지하고 있는 경우 동적평형 : 물체에 작용하는 외력과 토오크가 없을 경우 0 ω 0 v = , = 0 , 0 = = _ext ext τ F 0 P F = = t ext d d

P

=

M v =

constant 0 L τ = = t ext d d

L

=

I



= constant

4. 평형

예제 9.10 사다리의 평형

그림 9.5와 같이 질량이 20kg인 사다리를 마찰을 무시할 수 있는 벽에 기대 놓았다. 질량이 60kg인 남자가 그림과 같이 사다리에 서 있다. 사다리가 지면에서 미끄러 지지 않으려면, 사다리와 지면 사이에 작용하는 마찰력은 얼마인가? 풀이] 평형조건 0 , 0 = =





Fx Fy 0 =



τ (병진운동 평형) (회전 운동 평형) 0 g g , 0 − − = = − f N m M R 0 2 1 − = − mgx Mgx Ry 연립 N 203 ) m 0 . 1 )( m/s 8 . 9 )( kg 20 ( ) m 6 . 1 )( m/s 8 . 9 )( kg 60 ( 2 2 2 1 = + = + = = y Mgx mgx R f

강체의 운동

돌림힘

정리

F

r

τ

=



α

τ

=

I

ω

L

=

I

회전관성

각운동량

→

각운동량보존법칙

τ = L = 0 t ext d d

L

=

I



= constant



= 2 i ir m I

굴림운동: 직선운동 + 회전운동

회전운동에너지

일-에너지 정리

2 2 1  I K = K W_net = 