파(波)와 해안수리

파(波)와 해안수리

파(wave) 또는 파동

 매질의 진동으로 인한 어느 특정한 형상이 매체 중을 전파하는 현상.

 수파(water wave)는 물을 매질로 하여 수변 변동이 전파되는 현상.

파에 대한 이해가 중요한 이유

1. 해안에서의 수리현상을 지배하는 가장 큰 영향인자

2. 해안구조물의 계획•설계 및 시공을 위해 반드시 파악해야 할 필수자료 3. 연안방재 및 연안보전에 필요한 기초 자료

 여기서는 파에 대한 일반적인 정의와 미소진폭파 이론을 통하여 파의 기 본량을 살펴본다.

파의 정의

 파장(wave length) : 파봉(wave crest)으로부터 인접하는 파봉까지의 수평거리(L)

 파속(celerity) : 파의 전파속도 (C)

 주기(wave period) : 어떤 한 점에서 한 파봉이 오고 다음 파봉이 올 때까지의 시간간격

 파고(wave height) : 파봉과 파곡(wave trough)사이의 연직거리

CT

L =

임의의 위치에서의 수위변동 는 다음과 같이 쓸 수 있다. η

) sin(

) ,

( σ δ

η x t = a kx − t +

 여기서, a는 파의 진폭(wave amplitude), K는 파수(wave number), σ는 각주파수(wave angular frequency)로 다음과 같이 나타낸다.

L k = 2 π /

(2)

T / 2 π σ =

파의 특성을 나타내는 양

1. 파형경사(wave steepness) : 파장에 대한 파고비, 즉 H/L 2. 상대수심(relative depth) : 파장에 대한 수심비, 즉 h/L

파형경사와 상대수심은 파를 분류하는데 큰 역할을 하는 매개변수 이다.

예제-파형의 산정

파고가 H=1.6m, 주기가 T=10sec인 정현파가 파속 C=4m로 진행하고 있다. 파형 ( η) 을 구하라. 위상각 δ=0으로 둔다.

m m

CT

L = = 4 / sec × 10 sec = 40

1

40 2

2 = ₋

= m

k Lπ π

sec 1

10 2

2 = ₋

= π π

σ T

m m

a H 0.8

2 6 . 1

2 = =

=

10) (40

2 sin 8 . 0

10 ) 2 40

sin(2 8

. 0

) sin(

t x

t x

t kx

a

−

=

−

=

−

=

π

π π

σ

η

파의 분류

주기에 따른 분류

중력파는 주기가 1초에서 30초 사이의 파로서 원인력(발생력)은 바람에 의한 에너지이며, 이 중에서도 해안공학상 주대상이 되는 파는 주기가 대략 5초에서 약 15초 사이의 파임.

파의 형상에 의한 분류

1. 규칙파(regular wave) : 주기와 파고가 일정한 파가 한 방향으로 무한히 계속 진행하는 파

2. 불규칙파(irregular wave) : 주기와 파고가 일정하지 않고 다양한 방향으로 진행되는 파

상대수심에 의한 분류

 심해파(deep water wave) : 2

> 1 L h

 중간수심파 또는 천해파 :

2 1 25

~ 1 20

1 < <

L h

 극천해파 또는 장파 :

25

~ 1 20

< 1

L

h

이론적 취급에 의한 분류

1. 선형파이론 : 수면변동량 및 수면의 경사가 매우 작아서 입자속도의 제곱 항이나 속도와 수면경사의 곱을 나타내는 항을 무시할 수 있다고 가정하여 기초방정식을 선형화하여 유도한 파의 이론(미소진폭파)

2. 유한진폭파 : 파고가 크고 파장이 짧게될 때 미소진폭파에서 무시한 양들 을 고려하여 유도한 파의 이론(트로코이드 파, 스톡스 파, 크노이드 파, 고 립파)

현상(現象)상의 분류

1. 진행파 : 파동이 일정한 방향으로 진행하는 파

2. 반사파 : 진행파가 연직 장애물 등에 의해서 반사되어 진행방향의 반대 방향으로 되어 진행하는 파

3. 중복파 : 반사파가 뒤이어 진행해 온 진행파와 중첩되어 생기는 파, 이때 파는 수면이 상하로 진동할 뿐 파형은 진행하지 않는다.

4. 쇄파 : 심해에서 천해로 진행해 온 파가 수심이 감소함에 따라 파고는 증 대하고 파장이 감소하여 파형경사가 증가하여 공기를 혼입하면서 파의 앞부분이 부서지는 파

미소진폭 표면파

 Airy(1845)에 의해 발표되어 Airy 파 이론으로도 불림

 기본식 및 경계조건을 선형화하여 다룬 파 이론-수학적으로 가장 간단

 파에 관련된 제반문제에 적용할 수 있고, 완전한 해답을 얻지 못하더라도 문제해결의 단서를 얻을 수 있음

 수학적으로는 1차 근사식 정도이지만, 공학적 실용도 면에서는 매우 유 용함.

미소진폭파의 가정

- 수심이 h로 일정한 해역에 주기가 T이고 파고가 H인 파가 수면을 한 방향 으로 가는 연직 2차원 파동의 해를 구하는 것을 목적으로 함.

1. 해수는 균질(homogeneous), 비압축성(incompressible), 표면장력은 무시함.

= 0

∂ + ∂

∂

∂

z w x

u

여기서, u, w는 각각 x, z 방향의 수립자 속도이며, 주기 1초 이상, 파장 3cm 이 상인 파를 대상으로 함.

2. 흐름은 비회전류(irrotational flow)로 가정.-속도포텐셜 함수 Φ 가 존재 Euler 방정식 적용가능.

w y u x

∂

− ∂

∂ =

− ∂

= φ φ

,

3. 해저바닥은 불투수층으로 구성되어 있어, 바닥을 통한 물의 유출입은 없 음. 즉, 해저바닥에 수직한 방향으로의 속도성분이 존재하지 않는다.

4. 수표면에서 압력은 대기압으로서 일정하다. 따라서 바람에 의해서 유발되는 풍압이나 수면변동으로 인한 압력차는 무시함.

5. 파의 진폭은 파장과 수심에 비해서 작다.

h a

L

a << , <<

수립자 속도가 파의 전파속도 C보다 아주 미소하다는 것을 의미함.

C w

u , <<

가정5는 수면변동량 η가 작아서 근사적으로 η≒0으로 놓을 수 있고 운 동이 완만하하여 수립자 속도 u, w의 제곱항은 무시할 수 있으며, 수면경 사 ∂η/∂x 또한 작아서 이것과 속도와의 곱도 무시할 수 있다는 것을 의 미함.

기본식과 경계조건 기본식

φ η

φ _{= − ≤ ≤}

∂ + ∂

∂

∂ h z

y

x ₂ 0,

2 2

2

경계조건 1)바닥경계조건

= 0

∂

−∂

=

−

= h

z z

w φ

2)자유표면경계조건

 운동학적 자유표면경계조건

η η

η

η φ η

η φ

=

=

= ∂

∂

∂

− ∂

∂

= ∂

∂ =

−∂

=

z z

z dt t x x

d w z

 동역학적 자유표면경계조건

0 )

2 (

1 ₂ + ₂ + =

∂ +

− ∂

=

=

φ η

η η

g w

t _z u _z

3)수평경계조건

) ,

( )

, (

) , (

) , (

T t

x t

x

t L x

t x

+

=

+

= φ φ

φ

φ

함하고 있어 해를 구하는 것은 어렵다.

 따라서 이러한 식들을 선형화하여 Φ의 해석해를 구할 수 있다.

(7)

(8)

(9)

(10)

기본식 및 경계조건의 선형화 1.기본식(연속방정식)

0

,

2 0

2 2

2 = − ≤ ≤

∂ + ∂

∂

∂ h z

y x

φ φ

2. 바닥경계조건

= 0

∂

− ∂

−

= h

z z

φ

3. 자유표면경계조건 1) 운동학적 경계조건

t z _z ∂

= ∂

∂

− ∂

=

η φ

0

2) 동역학적 경계조건

0

1

∂

= ∂

t

g η φ

4. 수평경계조건

) ,

( )

, (

) , (

) , (

T t

x t

x

t L x

t x

+

=

+

= φ φ

φ φ

(11) (12)

(13)

(14)

(15)

미소진폭 표면파의 해

기본방정식을 풀면 다음과 같은 속도 포텐셜 함수 Φ를 구할 수 있다.

) cosh cos(

) (

cosh

2 kx t

kh z h k

Hg σ

φ = σ + − (16)

) sinh cos(

) (

cosh

2 kx t

kh z h k k

H σ σ

φ ^{= + − (17)}

식(16)과 식(17)은 모두 미소진폭파 이론에 이한 속도 포텐셜 함수를 나타내 며 이 두식은 다음과 같은 분산방정식에 의해서 변환할 수 있다.

kh gk tanh

2

=

σ

※ 분산방정식은 파수와 각주파수의 관계를 부여하는 식이다.

기본해의 적용

1. 파장과 파속 : 설계에 필요한 가장 기본적인 양으로 매우 중요함.

 분산방정식에 파수 k와 각주파수 σ를 대입하면 다음과 같다.

kh gk tanh

2

=

σ

h g L

T

π π

π 2

2 tanh 2 ²

 =



 





T L

k = 2 π / , σ = 2 π /

(19)

식(19)를 파장 L에 대해서 정리하면,

L h

L gT π

π

tanh 2 2

=

 이 식은 양변에 미지수인 파장 L이 들어 있는 음함수이다. 이 식을 풀기 위 해서는 수치적인 방법이 필요하지만, 수심이 아주 큰 경우와 아주 작은 경우 에는 간단한 형태를 갖는다.

L h

L gT π

π

tanh 2 2

= 2

먼저 쌍곡선 함수의 형태를 살펴보자.

sinh 2

kh

kh

e

kh e

−

=

cosh 2

kh

kh

e

kh e

+

=

kh kh

kh kh

e e

e e

kh

kh kh ₋

−

+

= −

= cosh tanh sinh

심해파의 파장( h ≫ 1)

2 1

tanh ₂

2

2 2

2 2

=

= +

= −

−

−

L h L

h

L h L

h

L h L

h

e e e

e

e e

L h

π π π

π

π

π π

L h

L gT π

π

tanh 2 2

=

1 . 56

2 T

L = gT =

π

L₀는 심해파의 파장을 의미하는데, 지형 등의 영향으로 파가 변형하는 경우에도 주기가 일정하므로, 기준길이로 사용하기에 적합하다.

심해파의 파속

gT T T

gT T

C L 1.56

2 2

2

0 = = =

= π π (m-sec 단위) (22)

극천해파의 파장 (h ≪ 1)

 수심이 매우 적은 극천해파인 경우에는 다음과 같은 관계가 성립한다.

) /

2 (

sinh

tanh kh ≅ kh ≅ kh = π h L

L h

L gT π

π

tanh 2 2

=

L h L gT

π

π

= 2

L

= ghT

T gh

L =

T gh T gh T

C = L = = ⁽²⁴⁾

중간수심파의 파장 및 파속

2 1 25

~ 1 20

1 < <

L

극천해파

h

중간수심파

L h

L gT π

π

tanh 2 2

=

중간수심파의 파장

L h gT

T

C L π

π

tanh 2

= 2

=

중간수심파의 파속

※두 식 모두 음함수의 형태를 나타내고 있으므로 수치적인 방법 또는 반복계산에 의해서 파장 및 파속을 구할 수 있다.

2.수립자 운동 (1)속도장

) sinh sin(

) (

cosh

2 kx t

kh z h

k H

u φ x σ + ₋ σ

∂ =

− ∂

=

) sinh cos(

) (

sinh

2 kx t

kh z h k H

w

φ

σ

σ

∂

− ∂

= ⁽²⁶⁾

) sinh sin(

) (

cosh

2 kx t

kh z h k H

u φx σ + ₋σ

∂ =

−∂

=

) sinh cos(

) (

sinh

2 kx t

kh z h k H

w φz σ + ₋σ

−

∂ =

− ∂

=

(2)가속도장

) sinh cos(

) (

cosh 2

2

t kh kx

z h k H

t

u u σ σ

+ −

−

∂ =

≅ ∂



) sinh sin(

) (

sinh 2

2

t kh kx

z h k H

t

w w σ σ

+ −

−

∂ =

≅ ∂



(3)수립자의 궤적

∫

= cos( )

sinh

) (

cosh

2 k x t

kh z h k

udt H

σ

ξ

∫

= sin( )

sinh

) (

sinh

2 kx t

kh z h k

wdt H

σ

ζ

(29)

(30)

수립자의 궤적을 구하기 위해서 위식을 고쳐쓰면

2

1

2 2

2

+ =

B A

ζ

ξ

kh z h k B H

kh z h k A H

sinh

) (

sinh 2

sinh

) (

cosh 2

= +

= +

(32)

수립자가 타원형의 궤도를 따라서 운동하고 있다.

상대수심에 따라 수립자의 궤적을 살펴보자.

kh z h k B H

kh z h k A H

sinh

) (

sinh 2

sinh

) (

cosh 2

= +

= +

심해

) (

2 1

) (

sinh )

( cosh

z h

ek

z h k z

h k

= +

+

≅ +

e

kh 2 sinh ≅ 1

z k

z k

H e B

H e A

2 2

=

=

B A =

심해에서는 원의 궤 적을 그린다.

극천해

, 1 ) (

cosh k h + z ≅

sinh k ( h + z ) ≅ k ( h + z ) kh

kh ≅ sinh

) 1

2 (

4 1

2

h z B H

h HL kh

A H

+

=

=

= π ^{을 나타내며 장타원형 궤적}

축은 z에 관계 없이 일정하고 파장에 비례

3. 파동장의 압력분포

[ ] ^{( )}

2

1

t F p gz

w

t + u + + + =

∂

− ∂

ρ φ

다음과 같은 베르누이 방정식의 일반형으로부터 파동장에서 임의의 깊이에 서의 p를 구할 수 있다.

(33) 0 으로 둔다.

t gz p ρ φ − ρ

∂

= ∂

cosh

) (

cosh

2 kx t

kh z h k

Hg σ

φ σ + −

=

동압력

정수압

gz t

kh kx z h

k g H

p = ρ + sin( − σ ) − ρ

cosh

) (

cosh

2

gz K

g

p = ρ η

− ρ

kh z h

K

k

cosh

) (

cosh +

=

상대수심(h/L)을 매개변수로 하여 수심비 –z/h에 따른 Kp의 값을 계산하여 도시한 것임.

정수면(z=0)에서 Kp값은 1이고 수심이 클수록 또 상대수심(h/L)이증가할 수록 Kp의 값은 감소한다.

동압력(p_d)만을 분리해서 쓰면,

p d

gK p

η = ρ ₍₃₈₎ 동압력이 주어지면 파형η를 구 할 수 있고, 이것으로부터 파고의 산정도 가능함.

수압식 파고계를 해저 (z = -h)에 설치한 경우

) ( h gK

p

p d

= −

η ρ

h kh K_p

cosh ) 1

(− =

수심이 너무 깊으면 압력전달이 떨어져 파 고를 정확히 측정할 수 없음.

중복파와 반사 완전중복파 1. 파형과 속도장

진행파와 진행파가 연직벽에 부딪쳐 반사하는 경우를 생각해 보자.

) 2 sin(kx t H_I

I

σ

η

) 2 sin(kx t H_R

R

σ

η

입사파

반사파 (41)

 완전반사인 경우에 입사파고 H_I와 반사파고 H_R이 같다.

 입사파와 반사파를 중첩시키면 다음과 같이 된다.

t H kx

t H H kx

H_{I R I R}

R

I

η σ σ

η

η

2 cos 2

2 sin

2 



 



 +

 −



 



 −

= +

= ⁽⁴²⁾

H H

H_I = _R =

 완전중복파인 경우 :

t kx

H σ

η = − cos sin

이 되는 지점 즉 x=L/4, 3L/4,5L/4,…(2n+1)L/4에서는 시간 t에 관계없이 진폭이 0이 됨.

0 coskx =

인곳, 즉 x=0, L/2, L, 3L/2, nL/2에서는 진폭이 H로서 최대이며 진행파의 2배가 된다.

1 coskx = ±

 진폭이 0인 곳을 진동의 절(node)이라 하고, 진폭이 최대인 곳을 진동의 배 (antinode)라 부르며, 배와 절은 L/4마다 교대로 출현한다.

이와 같이 전진하지도 후진 하지도 않으며 제자리에서 연 직방향으로 상하운동을 하는 파를 중복파(clapotis) 또는 정상파(standing wave)라 한 다.