제14장 분산에 대한 추정과 검정
분산에 대한 추정과 검정
모집단이 정규분포일 때
χ 2 분포를 이용
모집단이 정규분포가 아닐 때
표본자료의 변환(transform)을 통해 정규분 포와 유사한 형태로 변환한다.
비모수통계방법 사용: jackknife 방법
하나의 모집단의 분산에 대한 추정과 검정(1)
s 2 의 표본분포
모집단이 정규분포이고 분산이 σ 2 인 모집단에서 n개 의 표본을 무작위로 추출하면
χ 2 (n-1)은 자유도가 n-1인 χ 2 분포
연속확률분포로 모수는 자유도 v(누)
χ
2
(v)로 표기하고 χ2
값은 항상 양수 오른쪽 꼬리를 가진 비대칭분포
자유도가 커지면 정규분포에 접근
1 ) (
,
) 1 (
) ~ 1 (
1
2 2
2 2
2
n
X X
s
n s x
n
n
i
i
단
하나의 모집단의 분산에 대한 추정과 검정(2)
모집단분산 σ 2 에 대한 신뢰구간추정
모집단분산 σ 2 에 대한 가설검정
1 )
1 2 ;
( ) 1 (
) 1 2 ;
1 (
) 1 (
3 . 14 317
.
1 )
1 2 ;
1 ) (
1 ) (
1 2 ;
(
. )
1 ) (
1 (
2
2 2
2
2
2 2
2 2
2 2
2 2
n x
s n
n x
s P n
p
n s x
n n x
P
x n
s x n
참고 그림
있다 수
쓸 같이 다음과
따라 정의에
백분위수의
분포의 따르므로
분포를
두 모집단의 분산의 비교(1)
두 모집단의 분산이 같은지의 여부
두 모집단의 분산의 차이에 대해서가 아니라 비율에 의하여 추정과 검정(F분포)
두 모집단이 정규분포라는 가정
표본은 두 모집단에서 독립적을 추출되었다고 가정
F분포
F분포는 연속확률변수로서 두 가지 양의 비율로 나타나며, 분자와 분모에 해당하는 두 개의 자유도(df)를 가진다.
F분포는 항상 양의 값을 가지며 오른쪽 꼬리를 가진 비대칭 분포
) ,
; 1 ( ) 1
,
; (
: ,
: )
, (
:
1 2 2
1
2 1
2 1
2 1
2 2
a a F
F F
자유도 분모의
자유도 분자의
비율 모집단분산의
두
두 모집단의 분산의 비율에 대한 추정
. 1
. 1
. 1
1 1
, 1 2;
1 F 1
, 1 2;
F P
323 .
1 1
, 1 2;
1 / F
1 / ,
1 2;
F P
. 1
) (
,
) 1 ,
1 / (
/
2 2 2 1
2 2 2 2 1
2 2 1
2 2 2 1 1
2 2 2 2 1 2
2 2 1 1
2
2 2 1
2 2 2
2 1 2 1 2
1 1
2 2
2 2 1
2 2 2
2 1 2 1
2 1 2
2 2
1
없다 수
할 있다고 차이가
있으면 포함되어
이 신뢰구간에
작다 보다
이 나오면
작게 보다 모두
값이 양쪽 신뢰구간
크다 보다
이 나오면
크게 보다
모두 값이 양쪽 신뢰구간 대한
에
그림참조
있다 수
쓸 같이 다음과
따라 정의에 백분위수의
분포의 단
추출하면 독립적으로
표본을 개의
과 정규모집단으로부터 인
과 분산이
s n s
s n n s
n p
n s n
n s n
F
n X X s
n n
s F s
n n
n
i i
두 모집단의 분산의 비율에 대한 가설검정
단측검정의 예
선택 을
만약
선택 를
만약
같다 다음과
결정규칙은 그러므로
는 즉
때 일
계산 을
표본분산 먼저
위해서는 검정하기
을
있다 수
나타낼 같이
다음과 가설은
위
1 2
2 1 2 2 1
0 2
2 1 2 2 1
2 2 1
2 2 2 1
2 2
2 1 2 2 1
2 2 2 1 2
2 2 1
2 2 2 1 2 1
2 2 1 0
2 2 2
1 1 2
2 2
1 0
), 1 ,
1
; 1 (
), 1 ,
1
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1 (
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1 :
1 :
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:
H n
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