Chapter 1. 극한과 변화율
이문배
건국대학교 수학과
Chapter 1. 극한과 변화율
Contents
1.4 극한의 엄밀한 정의
1.5 연속
Definition
함수 f 가 a를 포함하는 개구간(a는 제외될 수 있음 )에서 정의되어 있다고 하자. 만약 임의의 양수 ε에 대하여
0 < |x − a| < δ ⇒ |f (x) − L| < ε
을 만족하는 δ > 0가 존재하면, x가 a에 가까이 접근할 때 f (x)의 극한이 L 이라 정의하고 lim
x→af (x) = L로 나타낸다.
참고: http://archives.math.utk.edu/visual.calculus/1/limits.17/1.html
Chapter 1. 극한과 변화율 1.4 극한의 엄밀한 정의
Example
limx→32x = 6 임을 극한의 엄밀한 정의를 이용하여 증명하여라.
풀이.
Example
limx→3(4x − 5) = 7 임을 극한의 엄밀한 정의를 이용하여 증명하여라.
풀이.
Example
극한 limx→af (x), limx→ag(x)가 존재할 때
x→alim[f (x) + g(x)] = lim
x→af (x) + lim
x→ag(x) 가 성립함을 극한의 엄밀한 정의를 이용하여 증명하여라.
풀이.
Chapter 1. 극한과 변화율 1.4 극한의 엄밀한 정의
Definition (좌극한의 정의) 만약임의의 양수 ε에 대하여
a − δ < x < a ⇒ |f (x) − L| < ε 을 만족하는 δ > 0가 존재하면, lim
x→a−
f (x) = L이다.
Definition (우극한의 정의) 만약임의의 양수 ε에 대하여
a < x < a + δ ⇒ |f (x) − L| < ε 을 만족하는 δ > 0가 존재하면, lim
x→a+f (x) = L이다.
Example limx→0+
√x = 0 임을 극한의 엄밀한 정의를 이용하여 증명하여라.
풀이.
Definition (무한극한)
함수 f 가 a를 포함하는 개구간(a는 제외될 수 있음 )에서 정의되어 있다고 하자. 이때
x→alimf (x) = ∞ 는 임의의 양수 M 에 대하여
0 < |x − a| < δ ⇒ f (x) > M 을 만족하는 δ > 0가 존재함을 의미한다.
Example limx→0 1
x2 = ∞ 임을 극한의 엄밀한 정의를 이용하여 증명하여라.
풀이.
Chapter 1. 극한과 변화율 1.5 연속
Definition 만약
lim
x→af (x) = f (a) 이면 함수 f 는 a에서 연속이다.
Example
다음 그림은 함수 f 의 그래프를 나타낸다. f 가 불연속인 점은? 그 이유는?
Theorem
만약 f 와 g가 a에서 연속이고 c가 상수이면, 다음 함수들도 a에서 연속이다.
f + g, f − g, cf, f g, f /g, g(a) ̸= 0
Theorem
다음과 같은 형태의 함수들은 그들의 정의역상의 모든 점에서 연속이다:
다항식, 유리함수, 제곱근함수, 삼각함수
Theorem
만약 f 가 a에서 연속이고 limx→ag(x) = b이면 limx→af (g(x)) = f (b)이다.
즉,
x→alimf (g(x)) = f ( lim
x→ag(x))
Chapter 1. 극한과 변화율 1.5 연속
Theorem
만약 g가 a 연속이고 f 가 g(a)에서 연속이면 합성함수 f ◦ g는 a에서 연속이다.
▶ 연속함수의 합성함수는 연속이다.
Theorem (중간값 정리)
만약 g가 폐구간 [a, b]상에서 연속이고 N 이 f (a) 와 f (b)사이의 임의의 수라 하자. 이때 f (c) = N 을 만족하는 수 c가 (a, b)안에 존재한다.
Example
방정식 4x3− 6x2+ 3x − 2 = 0의 근이 1과 2사이에 존재함을 보여라.
풀이.
