몇가지 위상공간 I
분리가능공간
Definition 0.1. 위상공간 X가 다음 조건을 만족할 때 X를 분리가능(separable) 이라 한다.
조건 : X는 가산인 조밀부분집합을 포함한다. 즉,
∃ A ⊂ X such that ¯A = X, A는 가산집합
Example 0.2. 실수집합 R이 보통위상을 가질 때 유리수집합 Q는 R의 가산조밀 부분집합이다. 따라서 이 때 R 은 분리가능이다.
Example 0.3. 실수집합 R에서 이산위상 D를 생각하자. 그러면 R의 모든 부분집 합은 열린집합인 동시에 닫힌집합이다. 따라서 R의 조밀부분집합이 되는 것은 R 자신뿐이다. 그런데 R은 비가산집합이므로 결국 (R, D) 은 분리가능이 아니다.
Theorem 0.4. 위상공간 X가 제2가산공리를 만족하면 X는 분리가능이다.
Proof. X는 가산기저 B = {Bn| n ∈ N}를 가진다고 하자. 그리고 각 n ∈ N에 대해 점 an ∈ Bn을 택하자. 그러면 집합 A = {an | n ∈ N}은 가산이다. 이제 p ∈ Ac 라 하자. 만일 Ac = φ이면 A = X이므로 증명된다. G를 p를 포함하는 임의의 열린집합이라 하자. 그러면 정의에 의해
∃Bn0 such that p ∈ Bn0 ⊂ G, Bn0 ∈ B
이다. 따라서 an0 ∈ Bn0 ⊂ G이 성립한다. 그리고 an0 6= p이다. 그러므로 p는 A의 집적점이 된다. 결국 Ac의 임의의 점은 집합 A의 집적점이 되므로
A = A ∪ A¯ 0 = A ∪ Ac= X 가 성립한다.
Theorem 0.5. 분리가능 거리공간은 제2가산공간이 된다.
Proof. X는 분리가능이므로 정의에 의해 가간조밀부분집합을 포함한다. 이것을 A라 하자. A의 원소에 중심을 가지고 반지름이 유리수인 모든 열린구족을 B라 하자. 즉,
B = {S(a, δ) | a ∈ A, δ ∈ Q}.
A와 Q는 가산집합이므로 B도 가산집합임을 알 수 있다. 이제 B가 X상의 위상의 기저가 됨을 밝혀 보자. p ∈ X에 댛 G를 p를 포함하는 임의의 열린집합이라 하자.
그러면
∃ > 0 such that p ∈ S(p, ) ⊂ G
이 된다. 그리고 ¯A = X이므로
∃ a0 ∈ A such that d(p, a0) < 1 3 이 성립한다. 이제 δ0을
1
3 < δ0 < 2 3 를 만족하는 유리수로 택하면
p ∈ S(a0, δ0) ⊂ S(p, ) ⊂ G
가 됨을 알 수 있다. 그런데 S(a0, δ0) ∈ B이므로 결국 B는 X상의 위상의 기저가 된다.
Example 0.6. C[0, 1]을 닫힌구간 [0, 1]에서 정의된 모든 연속인 실함수족이라 하자.(이것은 선형공간이 된다) 그리고
||f || := sup{|f (x)| | 0 ≤ x ≤ 1}
을 C[0, 1]에서 정의된 노름이라 하자. Weierstrass의 근사정리에 의하면 임의의 함수 f ∈ C[0, 1]와 임의의 > 0에 대하여 ||f − p|| < 을 만족하는 유리계수를 가지는 다항식 p가 존재함을 알 수 있다. 그러므로 유리계수를 가지는 모든 다항 식족 P는 C[0, 1]에서 조밀함을 알 수 있다. 그런데 P 는 가산집합이므로 C[0, 1]는 분리가능이고 결국 위 정리에 의해 제2가산집합임을 알 수 있다.
Example 0.7. R2사의 유클리드 노름을 || · · · ||이라 하자. 그리고 d를 이 노름에서 유도된 R2상의보통거리라 하자. 임의의 두 점 p, q ∈ R2에 대해 거리
e(p, q) :=
||p|| + ||q||, ||p|| 6= ||q||
d(p, q), ||p|| = ||q||
를 정의하자. p 6= (0, 0) 이고 δ < ||p||이면 e-열린구 S(p, δ)는 원주 P := {x ∈ R2 | ||x|| = ||p||}
상의 점만으로 이루어진다. 즉, S(p, δ) ⊂ P 이다. 이제 집합 A ⊂ R2를 생각하자. A 가 P 상의 점을 포함하지 않는 한 p는 A의 집적점이 될 수 없다. 그러나 P 는 가산 이 아닌 무한집합이므로 결국 가산인 집합 A ⊂ R2는 R2에서 조밀 할 수가 없다.
그러므로 거리공간 (R2, e)는 분리가능이 아니다.
<연습1> (X, T )을 여유한 위상공간이라 하자. 그러면 (X, T )는 분리가능이다.
(풀이) 만일 X가 가산집합이면 증명은 끝난다. 이제 X가 가산집합이 아니라고 하자. 그러면 X는 가부번집합을 포함한다. 이것을 A라고 하자. 그러면 ¯A는 닫힌 집합이므로 유한집합이든지 X 자신이 되어야 한다. 그런데 A는 무한집합이므로 결국 ¯A = X일 수 밖에 없다.
<연습2> 이산공간 X가 분리가능이기위한 필요충분조건은 X가 가산집합임을 보 여라.
(풀이) 이상공간에서 모든 부분집합은 열린집합인 동시에 닫힌집합이다. 따라서 조밀한 부분집합이 될 수 있는 것은 X 자신뿐이다. 그러므로 조밀한 가산부분집 합을 포함한다는 것은 X 자신이 가산인 것이다.
Definition 0.8. 위상공간 X가 어떤 위상적 성질 P 를 가질 때 X의 모든 부분공간 또한 성질 P 를 가지면 이 성질 P 를 유전적 (hereditary) 성질이라 한다.
Example 0.9. (1) 제1가산공리와 제2가산공리는 유전적 성질이다.
(2) 분리가능은 유전적 성질이 아니다.
[분리가능 성질, 제1가산공리, 제2가산공리와의 관계]
분리가능 ⇐= 제2가산 =⇒ 제1가산
10. 분리공리
T 1 공간
Definition 0.10. 위상공간 X가 다은 성질을 만족할 때 T1-공간이라 한다.
성질 : 서로 다른 임의의 두 점 a, b ∈ X에 대해
∃ 열린집합 G, H such that a ∈ G, b /∈ G, a /∈ H, b ∈ H 이다.
Theorem 0.11. 위상공간 X가 T1-공간 ⇐⇒ X의 모든 한 원소 부분집합은 닫힌 집합
Proof. (=⇒) p ∈ X이라 하자. x ∈ {p}c이면 x 6= p이므로 가정에 의해
∃ 열린집합 Gx such that x ∈ Gx, x /∈ Gx
이 성립한다. 따라서 x ∈ Gx ⊂ {p}c이므로 {p}c= [
x∈{p}c
Gx
가 성립한다. 그러므로 {p}c은 열린집합이고 결국 {p}은 닫힌집합이다.
(⇐=) a, b ∈ X이고 a 6= b라 하자. 그리고 G := {a}c, H := {b}c라 하자.그러면 G, H 는 열린집합이고 a ∈ H, a /∈ G, b /∈ H, b ∈ G이다. 따라서 X는 T1-공간이다.
Corollary 0.12. 위상공간 (X, T )는 T1-공간 ⇐⇒ T 는 X의 여유한 위상을 포함 한다.
Proof. 학생들 연습으로 해 볼 것.
Example 0.13. 거리 공간의 모든 유한부분집합은 닫힌집합이다. 따라서 한 원소 집합도 닫힌집합이다. 그러므로 거리공간은 T1-공간이다.
Example 0.14. 집합 X = {a, b}상의 위상 T = {X, φ, {a}를 생각하자. 그러면 b 를 포함하는 여린집합은 X가 유일하다. 그러나 항상 a ∈ X이므로 (X, T )는 T10- 공간이 될 수 없다.
Example 0.15. 여유한 위상은 위상공간이 T1-공간이 되게하는 가장 거친위상이 다. 이런면에서 여유한 위상을 T1-위상이라고도 부른다.
<연습1> T1-공간 X의 유한부분집합은 집적점을 가지지 않는다.
(풀이) A = {a1, a2, · · · , an}을 X의 유한부분집합이라 하자. 그러면 A는 닫힌집합 이고 따라서 A의 도집합은 A 에 포함된다. 이제 G := {a2, a3, · · · , an}c은 열린집합 이고 a1을 포함한다. 그러나 G ∩ A = {a1}이다. 그러므로 a1은 A의 집적점이 될 수 없고 같은 원리로 ak들은 A의 집적점이 될 수 없다. 따라서 A는 집적저을 가지지 않는다.
<연습2> 모든 유한 T1-공간 X는 이산 위상공간이다.
(풀이) X의 모든 부분집합은 유한이므로 닫힌집합이다. 따라서 그 여집합은 열 린집합이다. 그러므로 X의 모든 부분집합은 열린집합이 된다. 결국 X는 이산 위상공간이다.
<연습3> X는 T1-공간일 때 다음 두 조건은 동치이다.
(1) p ∈ X는 A의 집적점이다
(2) p를 포함하는 모든 열린집합은 A의 점을 무한히 많이 포함한다.
(풀이) ((1)⇐=(2)) 학생들이 직접 해 볼 것.
((1)=⇒(2)) G를 p를 포함하는 열린집합이라 하고
B := (G − {p}) ∩ A = {a1, a2, · · · , an}
이라 하자. 그러면 B는 유한집합이므로 닫힌집합이고 따라서 Bc은 열린집합이다.
이제 H; = G ∩ Bc이라 두면 H는 열린집합이고 p ∈ H이다. 그런데 H는 p 이외의 A의 점을 포함하지 않으므로 p는 A의 집적점이 될 수 없다.
하우스도르프 공간
Definition 0.16. 위상공간 x가 다음 성질을 만족할 때 X를 하우스도르프 공간 (Hausdorff space) 또는 T2-공간이라 한다.
성질 : 서로 다른 두 점 a, b ∈ X에 대하여
∃ 열린집합 G, H such that a ∈ G, b ∈ H, G ∩ H = φ 이 성립한다.
Example 0.17. X를 거리공간이라 하자. 그리고 서로 다른 두 점 a, b ∈ X를 생각하자. d(a, b) = > 0이라 두자. 중심을 a와 b에 가지는 열린구
G := S
a,1
3
, H := S
a,1
3
를 생각하자. 그러면 G ∩ H = φ이고 a ∈ G, b ∈ H이다. 따라서 거리공간 X는 하우스도르프 공간이다.
Theorem 0.18. 모든 거리공간은 하우스도르프 공간이다.
Example 0.19. (R, T )을 여유한 위상공간이라 하자. 즉, (R, T )는 T1-공간이다.
임의의 공집합이 아닌 두 열린집합 G, H에 대하여 G ∩ H = φ이면 G ⊂ Hc이고 Hc는 유한집합이므로 G도 유한집합이 된다. 그러나 Gc는 유한집합이므로 G는 무 한집합이다. 따라서 모순이 발생한다. 그러므로 (R, ct)에서 임의의 공집합이 아닌 두 열린집합의 교집합은 공집합이 될 수 없다. 결국 어떠한 두 점을 택하더라도 그 두점을 각각 포함하는 서로소인 열린집합은 존재할 수가 없다. 이것은 (R, T ) 이 하우스도르프 공간이 아님을 말해준다.
Theorem 0.20. X가 하우스도르프 공간이면 X의 모든 수렴열은 유일한 극한을 가진다.
Proof. X의 점렬 < an >이 두 점 a, b에 수렴한다고 하자. 만일 a 6= b이면 정의에 의해
∃ 열린집합 G, H such that a ∈ G, b ∈ H, G ∩ H = φ 이 성립한다. 이제 < an>이 a에 수렴한다는 사실에서
∃ n0 ∈ N such that n > n0 =⇒ an ∈ G
임을 알 수 있다. 그런데 G와 H는 서로소이므로 H는 G에 속하지 않는 < an >
의 항들만 포함한다. 즉, H는 < an >의 항들 중에 유한개의 항만 포함할 수 있다.
이것은 < an >이 b에 수렴한다는 가정에 모순이다. 그러므로 a = b일 수 밖에 없다.
Theorem 0.21. X를 제1가산공간이라 하자. 이 때 X가 하우스도르프 공간이 될 필요충분조건은 X내의 모든 수렴열이 유일한 극한을 가지는 것이다.
Proof. (=⇒) 위의 정리를 활용한다.
(⇐=) X가 하우스도르프 공간이 아니라고 하자. 그러면 서로 다른 두 점 a, b ∈ X가 존재해서 a를 포함하는 모든 열린집합과 b를 포함하는 모든 열린집합은 공집합이 아닌 교집합을 가진다. 이제 {Gn}과 {Hn}을 각각 a, b의 단조감소인 축소국소기 저라고 하자. 모든 n에 대하여 Gn∩ Hn6= φ이므로
a1 ∈ G1∩ H1, a2 ∈ G2∩ H2, · · ·
을 만족하는 점렬 < an >을 만들 수 있다. 결국 < an >은 두 점 a, b에 동시에 수렴한다.
<연습1> 하우스도르프 공간의 부분공간은 하우스도르프 공간임을 보여라.
(풀이) (X, T )를 하우스도르프 공간, (Y, TY)을 부분공간이라 하자. 그리고 서로 다른 두 점 a, b ∈ Y 를 생각하자. (X, T )는 하우스도르프 공간이므로
∃ G, H ∈ T such that a ∈ G, b ∈ H, G ∩ H = φ 이다. 부분공간의 정의에 의해
Y ∩ G ∈ TY 이고 Y ∩ H ∈ TY 이다. 그리고
a ∈ Y ∩ G, b ∈ Y ∩ H, (Y ∩ G) ∩ (Y ∩ H) = Y ∩ (G ∩ H) = Y ∩ φ = φ 이 된다. 따라서 (Y, TY)도 하우스도르프 공간이 된다.
문제 풀이
1. T1-공간의 부분공간은 T1-공간이다.
(풀이) (X, T )를 T1-공간, (Y, TY)를 부분공간이라 하자. p ∈ Y 라 하자. 그러면 X − {p} ∈ T 이다. 따라서 상대위상의 정의에 의해 Y ∩ (X − {p}) ∈ TY이다. 그러 므로 (Y, TY)도 T1-공간이다.
2. X는 제1가산공간이며 또한 T1-공간이다. p ∈ X가 A ⊂ X의 집적점이면 p로 수렴하는 A의 서로 다른 항을 가지는 점렬이 존재한다.
(풀이) B = {Bn}을 p의 축소국소기저라 하자. 그리고 Bi1 := B1이라 두자. p는 A 의 집적점이므로
∃ a1 ∈ A such that a1 ∈ Bi1, a1 6= p
이다. 그리고 a1 ∈ B/ i2가 되는 Bi2 ∈ B가 존재한다. 그러면 같은 원리로
∃ a2 ∈ A such that a2 ∈ Bi2, a2 6= p
이다. 그리고 a2 ∈ B/ i3가 되는 Bi3 ∈ B가 존재한다. 또한 축소성에 의해 a2 ∈ Bi2, a2 ∈ B/ i3 =⇒ Bi2 ⊃ Bi3
이다. 이 방법을 계속 적용하면 A의 서로 다른 항을 가지는 점렬 < an >을 얻는 다. 그리고 {Bin}은 단조감소하는 p에서으이 축소기저를 이루고 있으므로 결국
< an>이 p에 수렴함을 알 수 있다.
3. T 를 닫힌-열린 구간(a, b] 전체에 의하여 생성된 R상의 위상이라 하자. 그러면 (R, T )은 하우스도르프 공간임을 보여라.
(풀이) a, b ∈ R이고 a 6= b, a < b라 하자. G := (a − 1, a], H := (a, b]라 두면 G, H ∈ T , a ∈ G, b ∈ H, G ∩ H = φ
이 성립한다. 따라서 (X, T )는 하우스도르프 공간이다.
4. (학생들 풀이) X는 적어도 서로 다른 두 점을 포함하는 T1-공간이다. B가 X의 기저이면 B − {X}도 X의 기저가 됨을 보여라.
5. (학생들 풀이) 위상공간 X에서 하우스도르프 공간 Y 로의 두 함수 f : X → Y 와 g : X → Y 는 연속이다. 이 때 집합 A := {x ∈ X | f (x) = g(x)} 는 닫힌집합임을 보여라.
6. (학생들 풀이) X는 무한 하우스도르프 공간이다. 이 때 X에는 서로소인 무한 개의 열린부분집합족이 존재함을 보여라.
