‡ ˜ m-U Ž ì Åc Ü R € ¾w Š’ Ò × 7 _T $ [ 3 n Ç­ Ž; c 8 ý” X ¢ ‚ º€ ¾  ¹ Å ’ Ò ×8 ý P c l Æ U ؎ Ò ÞS ë s < 0Ä Z ؃ º

 7 Z 4, pp. 675∼679

S

‡ ˜ m-U Ž ì Åc Ü R € ¾w Š’ Ò × 7 _T $ [ 3 n Ç­ Ž; c 8 ý” X ¢  ‚ º€ ¾  ¹ Å   ’ Ò ×8 ý P c l Æ U ؎ Ò ÞS ë s < 0Ä Z ؃ º

L

| ‘ š† ~ x

F

K š ¸/ B N õ @ /† < Ɠ §  ƒ  õ † < Æ Ò, ½ ¨p  730-701

(2011¸   4 Z 4 18{ 9  ~ à Î6 £ §, 2011¸   5 Z 4 2{ 9  à º& ñ ‘ : r ~ à Î6 £ §, 2011¸   6 Z 4 30{ 9  > F  S X ‰& ñ )



ž М í ` O Û ¼\ P õ  œ í“ ¦5 Å q & h ü @‚   Y Us $  ` O Û ¼\  ¦  6   x ô  Ç * 3 á Ô-á Ԗ ÐÚ Ô ~ ½ ÓZ O \  e ” # Q" f,  ž М í ` O Û ¼\ P 

\

 _ K  " é ¶  – РÒ'  µ 1 ÏÒ q t ) a „     5 Å q s  + 's # Q { 9  ÷ &  H Y Us $  ` O Û ¼\  ” ¸Ø  ¦| ¨ c M :   >  ÷ &  H y Œ •î  r 1

l

x | ¾ Ó ì  r Ÿ í_     o\  ¦ K $ 3 & h Ü ¼– Ð
 ? /  H ^  ¦  ïÚ Ô   H  d ” _   { © œ$ í `  ¦ › ¸  % i  . s \  ¦ 0 AK " f r ç ß – _

” > r à »ø @` ç   ~ ½ Ó& ñ d ” `  ¦ à ºu & h Ü ¼– Ð & h ì  r # Œ % 3 # Q”   „     5 Å q _  y Œ •î  r1 l x | ¾ Ó ì  r Ÿ íü < ^  ¦  ïÚ Ô   H  d ” 

` 

¦ & h 6   x # Œ % 3 # Q”   y Œ •î  r1 l x | ¾ Ó ì  r Ÿ í\  ¦ q “ §ô  Ç   õ , ^  ¦  ïÚ Ô   H  d ” s  & ñ S X ‰ ô  Ç   õ \  ¦ ï  r    H  כ `  ¦ S X ‰

“

 ½ + É Ã º e ” % 3  .

Ù þ

˜d ” # Q: * 3 á Ô-á Ԗ ÐÚ Ô z  ´+ « >, ^  ¦  ïÚ Ô   H  d ” , „     5 Å q,  ž М í ` O Û ¼\ P , œ í“ ¦5 Å q & h ü @‚   Y Us $  ` O Û ¼, r ç ß –_ ” > r à »ø @

` ç

  ~ ½ Ó& ñ d ” 

Angular Momentum Redistribution of an Attosecond Electron Wave Packet Induced by Time-delayed Ultrashort Laser Pulses

Nark Nyul Choi ^∗

School of Natural Science, Kumoh National Institute of Technology, Gumi 730-701 (Received 18 April 2011 : revised 2 May 2011 : accepted 30 June 2011)

In a pump-probe experiment with an atom exposed to an attosecond pulse train and a time- delayed ultrafast laser pulse, the angular mometum distribution of the electron wave packet gener- ated by the attosecond pulse train can be altered by the laser pulse. The Volkov approximation, from which we can obtain an analytical expression of the angular momentum redistribution, is ex- amined for its validity. Comparing the results obtained by applying the Volkov approximation with those obtained by using a numerical integration of the time-dependent Schroedinger equation, we confirm the validity and the accuracy of the approximation.

PACS numbers: 33.60.-q, 32.80.Qk, 42.50.Hz

Keywords: Pump-probe experiment, Volkov approximation, Electron wave packet, Attosecond pulse train, Ultrafast IR laser pulse, Time-dependent Schroedinger equation

I. " e ] Ø

y

© œ§ 4 ô  Ç & 7 ›ž М í ` O Û ¼\  ¦ Ô  ¦ Ö ¸$ í l ^ ‰" é ¶  \  { 9  r v   H

~

½ ÓZ O Ü ¼– Ð  ž М í ` O Û ¼\ P `  ¦ ë ß –[ þ t à º e ” >  ÷ &€  " f Ò'  [1,

∗

E-mail: [email protected]

2],  ž М í ` O Û ¼\ P õ  œ í“ ¦5 Å q & h ü @‚   Y Us $  ` O Û ¼\  ¦ y Œ •y Œ •

*

3 á Ôü < á Ԗ ÐÚ Ô– Ð  6   x   H z  ´+ « >[ þ t s  r  Œ •÷ &% 3   [3,4].

þ

j   H \  [ þ t # Q" f  H : £ ¤ y   ž М í ` O Û ¼\ P \  _ K  " é ¶   ¢ ¸  H ì

 r  – РÒ'  Ò q t$ í  ) a „     5 Å q _  0 A © œ& ñ ˜ Ð\  ¦ % 3 # Q? /l  0 A K

, Õ ªa Ë > 1\  > h| Ä Ì& h Ü ¼– Ð Û ¼H u ô  Ç  כ õ  ° ú  s  Y Us $  ` O  Û

¼  ž М í ` O Û ¼\ P õ    u t  · ú §  H  © œ S ! \ " f, Y Us $  ` O 

-675-

Û

¼_  t ƒ   r ç ß –`  ¦    or &  9 F  g„   _  \  -t  Û ¼& 7 ˜ à

Ô! 3 `  ¦ 8 £ ¤& ñ   H z  ´+ « >[ þ t s  à º' Ÿ ÷ &“ ¦ e ”   [5–8]. s    7

á

x À Ó_  z  ´+ « >\ " f  H : Ÿ x  © œ& h Ü ¼– Ð  ž М í ` O Û ¼\ P s  " é ¶  
 ì

 r  \  ¦ # Œl r v   H 1 l x r \  s “ : r  o• ¸ r v >  ÷ &“ ¦, + 's 

#

Q ¥ ¸# Œt   H y © œô  Ç Y Us $  ` O Û ¼  H s “ : r  o  ) a " é ¶  
 ì  r   _

 „     5 Å q`  ¦    or ( ” õ  1 l x r \  # Œl   ) a " é ¶  
 ì  r  

\

 ¦ s “ : r  or & " f D h– Ðî  r „     5 Å q`  ¦ ë ß –[ þ t # Q · p . " é ¶  

 ì  r  – РÒ'  " f– Ð   É r  ⠖ Ð\  ¦    b  # Q4 R
“ : r „  



  5 Å q[ þ t“ É r  g Ë >? /  Ž Ø  ¦ l \  • ¸² ú ˜ €  " f " f– Ð ç ß –[ O  

#

Œ F  g„    \  -t  Û ¼& 7 ˜à Ô! 3 \  Á º] (\  ¦ ë ß –[ þ t >   ) a  . s  ç ß – [ O

 Á º] (– РÒ'  * 3 á Ô ` O Û ¼\  _ K  Ò q t$ í  ) a „     5 Å q _  0 A



© œ & ñ ˜ Ð 4 Ÿ ¤ ½ ¨\  ¦ 0 AK " f  H Õ ª „     5 Å q s  s Ê ê\  Y Us $ 

` O

Û ¼\  _ K  ~ à Î>  ÷ &  H % ò † ¾ Ó`  ¦ & ñ | ¾ Ó& h Ü ¼– Ð \ V8 £ ¤   H  כ s

 B Ä º • ¸¹ ¡ § s   ) a   [9]. 7 £ ¤ Y Us $  ` O Û ¼ ¥ ¸# Œt t 

· ú

§€ Œ ¤ €   ‚  î  r1 l x | ¾ Ó k ⁰ \  ¦ t “ ¦  Ž Ø  ¦ l \  • ¸‚ à ̽ + É „   

 Y Us $  ` O Û ¼\  _ K  ‚  î  r1 l x | ¾ Ó k “    © œI – Ð  Ž Ø  ¦ l \ 

•

¸‚ Ã Ì >  | ¨ c „  s  ”  ; Ÿ ¤ M kk

⁰

`  ¦ Y Us $  ` O Û ¼\  ¦
 ? /



 H Ó ü t o | ¾ ÓÜ ¼– Ð ³ ð‰ & ³   H  כ s  € 9 כ ¹  .  ž М í ` O Û ¼\ P 

\

 _ K  " é ¶  
 ì  r  \ " f ì  r o   ) a „     H Õ ª " é ¶  
 ì  r  

–

РÒ'  j Ë µ`  ¦ ~ à ÎÜ ¼Ù ¼– Ð ¢ - a„  y   Ä »– Ðî  r „     H  m t  ë

ß –, Y Us $ _  [ jl  y © œ €    A _  d ” \ " f
  · p  כ õ 

° ú

 s  " é ¶  \  _ ô  Ç j Ë µ`  ¦ Á ºr    H ^  ¦  ïÚ Ô   H   ~ ½ ÓZ O s  Ä »

´

ò >  | ¨ c  כ Ü ¼– Ð l @ /½ + É Ã º e ”   [9–11].

M kk

⁰

≈ δ(k − k ⁰ ) exp (

−i

Z τ +τ

L

/2 τ

X

/2

1

2 (k + A(t)) ² dt )

. (1)

#

Œl " f τ ^X   H  ž М í ` O Û ¼\ P _  t 5 Å q r ç ß –s  9, A ü < τ ^L

“ É

r y Œ •y Œ • Y Us $  ` O Û ¼_  7 ˜'  © œõ  t 5 Å q r ç ß –`  ¦
  · p  ( Õ ªa Ë > 1 ‚ à Л ¸). Ä ºo   H s   7 Hë  H \ " f d ”  (1)– Ð
  · p ^  ¦  ï Ú

Ô   H   ~ ½ ÓZ O s  · ú ¡\ " f ƒ  / å L ô  Ç * 3 á Ô-á Ԗ ÐÚ Ô z  ´+ « >\ " f z  ´ ]

j– Ð Õ ª & ñ S X ‰ • ¸ ’  ø @½ + Éë ß – ô  Çt \  @ /K  › ¸   9“ ¦ ô  Ç



. d ”  (1)\ " f ~ 1 >  · ú ˜ à º e ” 1 p w s , ^  ¦  ïÚ Ô   H  \  _  

€

  „     5 Å q _  \  -t ü < ‚  î  r1 l x | ¾ Ó ì  r Ÿ í  H Y Us $  ` O Û ¼

\

 _ K     t  · ú §Ü ¼Ù ¼– Ð,  ž М í ` O Û ¼\ P \  _ K  " é ¶  – Ð Â

Ò'  b  # Q4 R
ç ß – „    Y Us $  ` O Û ¼\  ” ¸Ø  ¦ ) a Ê ê\   t

>  ÷ &  H y Œ •î  r1 l x | ¾ Ó ì  r Ÿ í\  ¦ ¶ ú ˜( R^  ¦  כ “  X <, ½ ¨^ ‰& h Ü ¼– Ð

^

 ¦  ïÚ Ô   H  d ” \  _ K  \ V8 £ ¤ ÷ &  H  כ õ  * 3 á Ô-á Ԗ ÐÚ Ô z  ´+ « >

`

 ¦ r Ð 3 x   H r ç ß –_ ” > r à »ø @` ç   ~ ½ Ó& ñ d ” `  ¦ à ºu & h ì  r # Œ

%

3 # Qt   H  כ `  ¦ q “ §† < ÊÜ ¼– Ð+ ‹ ^  ¦  ïÚ Ô   H  d ” _  & ñ S X ‰ • ¸\  ¦ ó

ø Íé ß –½ + É  כ s  .

II] X \ " f  H ^  ¦  ïÚ Ô   H   ~ ½ ÓZ O `  ¦  6   x # Œ Y Us $  ` O Û ¼

\

 _ ô  Ç „     5 Å q _  y Œ •î  r1 l x | ¾ Ó F ì  r Ÿ í\  @ /ô  Ç K $ 3 & h  Ä »

•

¸ õ & ñ `  ¦ ˜ Ðs “ ¦, III] X \ " f  H Õ ªX O >  K $ 3 & h  ~ ½ ÓZ O `  ¦ : Ÿ x K

 % 3 # Q”     õ ü < à ºu & h Ü ¼– Ð r ç ß –-_ ” > r à »ø @` ç   ~ ½ Ó& ñ d ”

_  K \  ¦ > í ß – # Œ % 3 # Q”     õ \  ¦ q “ §  9, IV] X \ " f

 

 : r`  ¦ ? / 2 ; .

Fig. 1. (Color online) Schematic of diagram representing the attosecond pulse train and the infra-red laser pulse in pump-probe experiments. E _X (t) and E _L (t − τ ) are respectively the attosecond pump field and the infra-red laser field with time-delay τ . The durations of attosecond pulse train and laser pulse are respectively denoted by τ X and τ L . Note that the pump and probe pulses are non-overlapping.

II. 7 _T $ [ 3 n Ç­ Ž; c 8 ý” X ¢ P c l Æ U ؎ Ò ÞS ë s < 0Ä Z ؃ º



ž М í ` O Û ¼\ P \  _ K  " é ¶  – РÒ'  b  # Q”   „     5 Å q _

  © œI \  ¦ Ψ – Ð
 ? / .  ž М í ` O Û ¼\ P _  ” ¸Ø  ¦ s  = å Q




 H r ç ß –\  Ψ(τ ^X /2) “    © œI “   „     5 Å q s  Y Us $  ` O Û ¼ _

 ” ¸Ø  ¦ s  = å Q
  H r ç ß –\  # Q‹ "   © œI – Ð    >  ÷ &  H \  ¦

^

 ¦  ïÚ Ô   H  d ”  (1)`  ¦  6   x # Œ  A  d ” õ  ° ú  s 
 è ­ q à º e ”

 .

|Ψ(τ + τ _L 2 ) >≈

Z

k ² dkdˆ k|k > exp[−i

Z τ +τ

L

/2 τ

_X

/2

1

2 (k + A(t)) ² dt] < k|Ψ(τ _X /2) > . (2)



Ä » / B N ç ß –\ " f & ñ K ”   \  -t  Eü < y Œ •î  r1 l x | ¾ Ó L`  ¦ t   H „   _   1 l x † < Êà º\  ¦ \  -t ½ ©   + þ AI – Ð
 ? /€  

< r|Elm >=

r 2k E

π i ^l j l (k E r)Y lm (ˆ r) (3)

s

 9 [12], s – РÒ' 

< Elm|k >= k ^−3/2 δ(k − k E )Y _lm ^∗ (ˆ k), (4) e ”

`  ¦ ~ 1 >  · ú ˜ à º e ”  . # Œl " f k E = √

2E s  . Õ ªo “ ¦ Â

Òì  r   „  > hd ” `  ¦ & h 6   x €   [13]

exp[−ik ·

Z τ +τ

L

/2 τ

_X

/2

A(t)dt] = exp[iku cos θ _k ]

= X

L

(2L + 1)i ^L j _L (ku)P _L (cos θ _k ) (5) e ”

`  ¦ ~ 1 >  · ú ˜ à º e ”  . # Œl " f

u = −

Z τ +τ

_L

/2 τ −τ

_L

/2

A(t)dt (6)

s

 9, j ^L “ É r ½ ¨€  Z …! s q† < Êà º, θ ^k   H k ü < u  s À ҍ  H  s  y

Œ

•s  . s ] j d ”  (4)ü < (5) \  ¦  6   x # Œ d ”  (2)\  ¦  6 £ § õ 

° ú

 s   r  j þ t à º e ”  .

< Elm|Ψ(τ + τ _L 2 ) > ≈

Z

k ² dkdˆ k < Elm|k > exp[−i

Z τ +τ

_L

/2 τ

_X

/2

1

2 (k + A(t)) ² dt]

× X

l

⁰

m

⁰

Z

dE ⁰ < k|E ⁰ l ⁰ m ⁰ >< E ⁰ l ⁰ m ⁰ |Ψ(t ⁰ ) > (7)

= exp[−iE(τ + τ L /2 − τ X /2)] exp[−i 1 2

Z τ +τ

L

/2 τ −τ

L

/2

A ² (t)dt]

× X

Ll

⁰

m

⁰

(2L + 1)i ^L j L (k E u)C(lm, L, l ⁰ m ⁰ ) < El ⁰ m ⁰ |Ψ(τ X /2) > . (8)

#

Œl " f

C(lm, L, l ⁰ m ⁰ ) = Z

dˆ kY _lm ^∗ (ˆ k)P L (cos θ k )Y l

⁰

m

⁰

(ˆ k). (9) s

 . 0 A_  d ”  (8)s   – Ð ’r ç ß –-t ƒ   ) a Y Us $  ` O Û ¼\  _  ô

 Ç  ž М í „     5 Å q _  y Œ •î  r1 l x | ¾ Ó F ì  r Ÿ í’\  ¦ ½ ¨ l  0 AK 

"

f ^  ¦  ïÚ Ô   H  \  ¦ & h 6   x # Œ % 3 # Q”   F ì  r Ÿ í ”  ; Ÿ ¤ \  @ /ô  Ç

 

õ s  .

s

] j ½ ¨^ ‰& h “   \ V\  @ /K  d ”  (8)`  ¦ & h 6   x K ˜ Ðl – Ð  .

l

$   © œI \  Z  ~ # Œe ”   H ó ¡ šµ ¢ §" é ¶  \   ž М í ` O Û ¼\ P `  ¦ ¥ ¸ s

÷ & ± ú “ É r à º_  — ¸_ ” “ É r — ¸¿ º ] j ô  Ç Ê ê\  ¥ ¸e ” Ü ¼– Ð +

‹ ó ¡ šµ ¢ §" é ¶   ½ ¨5 Å q ) a # Œl   © œI – Ð „  s ÷ &  H  כ `  ¦ } Œ •“ ¦

š

¸f ”  s “ : r  o÷ &  H õ & ñ ë ß –s  0 p x • ¸2 Ÿ ¤ ô  Ç . s X O >  



 H s Ä »  H Y Us $  ` O Û ¼\  _ K  # Œl   © œI – РÒ'  s “ : r  o

÷

&  H õ & ñ s  Ò q tl t  3 l w • ¸2 Ÿ ¤ † < ÊÜ ¼– Ð+ ‹ ’ ž М í ` O Û ¼\ P 

\

 _ K  " é ¶  
 ì  r   s “ : r  o÷ &# Q Ò q t|   „     5 Å q s  Y U s

$  ` O Û ¼\  _ K    > ÷ &  H    o’   H ë  H ] j_  Ù þ ˜d ” ë ß –   À

ҕ ¸2 Ÿ ¤ õ & ñ `  ¦ é ß –í  H  o l  0 AK " fs  . z-» ¡ ¤ Ü ¼– Ð ‚  ¼ # F  g

 )

a  ž М í ` O Û ¼\ P \  _ K  ó ¡ šµ ¢ §" é ¶  – РÒ'  µ 1 ÏÒ q t÷ &  H „  



  5 Å q“ É r < El ⁰ m ⁰ |Ψ(τ X /2) >∝ δ l

⁰

1 δ m0 \  ¦ ë ß –7 á ¤ ô  Ç . Õ ª o

“ ¦ s   â Ä º C(lm, L, l ⁰ m ⁰ )   H  6 £ § õ  ° ú  s  j þ t à º e ” Ü ¼ 9

C(lm, L, 10) = δ m0

p3(2l + 1) 2

Z

dxP l (x)P L (x)x (10)

= δ m0

p3(2l + 1) 2

2

2l + 1 [δ l+1,L

l + 1

2l + 3 + δ l−1,L

l

2l − 1 ], (11) s

– РÒ' 

< Elm|Ψ(τ + τ _L /2) > = exp [−iE(τ + τ _L /2 − τ _X /2)] exp

"

−i 1 2

Z τ +τ

_L

/2 τ −τ

_L

/2

A ² (t)dt

#

× r 3

2l + 1 [lj _l (ku) − (l + 1)j _l+1 (ku)] < E10|Ψ(τ _X /2) > (12)

Fig. 2. (Color online) (a) Numerical result of the normalized angular momentum distribution of the electron wave packet that was produced from helium by an attosecond pulse train and then affected by an IR laser pulse with intensity 2 × 10 ¹² W/cm ² , duration τ L = 5 fs, and time-delay τ = 6T 0 . Here T 0 denotes the period of single oscillation of the laser. The lines show the relative contributions of the angular momenta denoted by the numbers on the lines. (b) The normailized angular momentum distribution that is predicted by Eq. (13) induced from the Volkov approximation.

All the parameters for the pulses are the same as those in (a).

`

 ¦ % 3 >  ÷ &“ ¦,   ² D G Y Us $  ` O Û ¼\  _ K  „     5 Å q _ y Œ •î  r1 l x | ¾ Ó ì  r Ÿ í      H  כ `  ¦  A ü < ° ú  “ É r d ” Ü ¼– Ð
 è ­ q à º e ” 



.

| < Elm|Ψ(τ + τ L /2) > | ² = 3

2l + 1 [lj l (ku) − (l + 1)j l+1 (ku)] ² | < E10|Ψ(τ X /2) > | ² . (13)

0

A_  d ”  (12)ü < (13)\ " f  H ¼ # _ \  ¦ 0 AK  k ^E \  ¦ Õ ªz ª œ k– Ð

&

h

% 3 Ü ¼ 9 · ú ¡Ü ¼– Ð > 5 Å q s  ³ ðr  ~ ½ ÓZ O `  ¦  6   x  ’ x .

III. 4  ˜ m + s ÇÊ Ý



 © œ 800 nm“   & 7 ›ž М í Y Us $ \  ¦ Ô  ¦ Ö ¸$ í l ^ ‰\  ¥ ¸# Œ" f

%

3 # Qt   H [ jl  2 × 10 ¹³ W/cm ² s  9 FWHM r ç ß –; Ÿ ¤ 4.5 fs“    ž М í ` O Û ¼\ P \ " f 17  › ¸ o ë ß – Y  J  " f ó ¡ šµ ¢ §" é ¶  

\

 { 9  r ( ” Ü ¼– Ð+ ‹ „     5 Å q`  ¦ ë ß –Ž  H  6 £ § τ = 6T 0 “   r  ç

ß –-t ƒ  `  ¦ ¿ º“ ¦   © œ 800 nm, FWHM r ç ß –; Ÿ ¤ 5 fs, [ jl  2 × 10 <sup>12</sup> W/cm <sup>2</sup> “   sin — ¸€ ª œ_  Y Us $  ` O Û ¼\  ¦ { 9  r & 

"

f þ j7 á x& h Ü ¼– Ð % 3 # Qt   H F  g„   _  y Œ •î  r1 l x | ¾ Ó ì  r Ÿ í\  ¦ \ V– Ð [

þ

t # Q ¶ ú ˜( R˜ Ð ’ x . # Œl " f T 0   H Y Us $ _  „  l  © œs  ”  1 l x

  H r ç ß – Å Òl \  ¦
  · p . s  Y Us $  ` O Û ¼  H d ”  (6)\ 



  > í ß – €   u = 6.25“   á Ԗ ÐÚ Ô ` O Û ¼\  K { © œ  ) a  .

Ä

º‚   y Œ •î  r1 l x | ¾ Ó ì  r Ÿ í\  ¦ & ñ S X ‰ >  > í ß – l  0 AK " f 0 A

\

" f l Õ ü t ô  Ç \ V_   © œ S ! `  ¦ r Ð 3 x   H r ç ß –_ ” > r à »ø @` ç  

~ ½

Ó& ñ d ” _  K \  ¦ à ºu K $ 3 & h  ~ ½ ÓZ O `  ¦  6   x # Œ ½ ¨ô  Ç  [9, 14,15]. Õ ªa Ë > 2(a)  H s X O >  % 3 # Q”     õ \  ¦
  · p . s  Õ

ªa Ë >\ 
  · p Ó ü t o | ¾ ӓ É r Å Ò# Q”   ku ° ú כ\ " f F  g„   _  y Œ • î

 r1 l x | ¾ Ó ì  r Ÿ í\  ¦ Ñ þ ˜ì  rÖ  ¦ – Ð Õ ª 2 ;  כ s  . # Œl " f ô  Çt  ƒ   / å

L ½ + É & h “ É r ó ¡ šµ ¢ §" é ¶  _  l $   © œI \ " f 17  › ¸ o \  ¦ f  ¨ Ã

º €   1.7 < ku < 2.4 “   F  g„    ŠҖ Ð µ 1 ÏÒ q t| ¨ c à º e ”  Ü

¼ 9 s  % ò % i  µ 1 ړ É r s “ : r  oÖ  ¦ s   -Á º  Œ • " f à »ø @` ç  ~ ½ Ó

&

ñ d ” _  à ºu  & h ì  r   õ \  ¦ ’  ø @½ + É Ã º \ O >  ÷ &Ù ¼– Ð Ä ºo   H

š

¸f ”  1.7 < ku < 2.4 “   % ò % i \  @ /K " fë ß – ¶ ú ˜( R˜ Ѝ  H  כ s 



.



ž М í ` O Û ¼\ P \  _ K  Ò q t$ í ÷ &  H „     5 Å q _  y Œ •î  r1 l x

|

¾ ӓ É r 1 s t ë ß –, Õ ªa Ë > 2(a)\ " f ^  ¦ à º e ” 1 p w s , & 7 ›ž М í Y Us 

$

 ` O Û ¼\  _ K  y Œ •î  r1 l x | ¾ Ó_  F ì  r Ÿ í { 9 # Q
" f y Œ •î  r1 l x

|

¾ Ós  1“    Òì  r    H  Å Ò  Œ •“ É r  Òì  r Ü ¼– Ð „  | Ã Ì l • ¸   H

 כ

s  . s    & ñ • ¸_     o  H Y Us $  ` O Û ¼\  _ ô  Ç % ò † ¾ Ó`  ¦ [ O

1 l x : r& h  ~ ½ ÓZ O Ü ¼– Ѝ  H  À Ò# Q" f  H \ V8 £ ¤ ½ + É Ã º \ O   H  כ s 



. ^  ¦  ïÚ Ô   H   ~ ½ ÓZ O “ É r Õ ª ì ø Í@ /– Ð „   _  î  r1 l x \  Y Us $ 

` O

Û ¼  H % ò † ¾ Ó`  ¦ Šғ ¦ " é ¶  \  _ ô  Ç % ò † ¾ ӓ É r Á ºr    H  כ s

 . s ] j ^  ¦  ïÚ Ô   H   ~ ½ ÓZ O \  _ ô  Ç d ”  (13)\     \ V 8

£

¤ ÷ &  H y Œ •î  r1 l x | ¾ Ó ì  r Ÿ í\  ¦ Õ ªa Ë > 2(b)\ 
 ? /% 3  . Õ ªa Ë >

2(a) ü < q “ §K ˜ Ѐ  , ku ∈ [1.7 : 2.4]“   % ò % i \ " f y Œ •î  r1 l x

|

¾ Ó ì  r Ÿ í_   ⠆ ¾ Ós  ° ú  `  ¦ ÷  r  m  , ¿ º ì  r Ÿ í_  à ºu \  ¦ q 

“

§K ˜ Ѐ  , @ /| Ä Ì 10 %& ñ • ¸_  š ¸  # 3 0 A\ " f { 9 u    H  כ

`

 ¦ ^  ¦ à º e ”  .   É r [ jl _  Y Us $  ` O Û ¼\  @ /K  # Œ Q  â Ä

º\  ¦ › ¸ ô  Ç   õ  Õ ªa Ë > 2\ " f ˜ Ѝ  H  ü < ° ú  “ É r & ñ • ¸_  { 9  u

\  ¦ ˜ Ð% i  .

IV. + s Ç Â ] Ø



ž М í ` O Û ¼\ P \  _ K  Ò q t$ í ÷ &# Q " é ¶  – РÒ'  Y O # Qt “ ¦ e ”

  H „     5 Å q \  y © œ§ 4 ô  Ç œ í“ ¦5 Å q & h ü @‚   Y Us $ \  ¦ { 9  

½

+ É M :   >  ÷ &  H „     5 Å q _  y Œ •î  r1 l x | ¾ Ó ì  r Ÿ í    o\  ¦ ^  ¦



ïÚ Ô   H   ~ ½ ÓZ O Ü ¼– РÒ'  \ V8 £ ¤ ½ + É Ã º e ”  . Ä ºo   H r ç ß –_ 

”

> r à »ø @` ç   ~ ½ Ó& ñ d ” `  ¦ à ºu & h ì  r # Œ „     5 Å q _  y Œ •î  r 1

l

x | ¾ Ó    o\  ¦ & ñ S X ‰ >  ½ ¨Ù þ ¡Ü ¼ 9, ^  ¦  ïÚ Ô   H   ~ ½ ÓZ O Ü ¼– Ð

\

V8 £ ¤ ÷ &  H y Œ •î  r1 l x | ¾ Ó ì  r Ÿ í    o\  ¦ s  & ñ S X ‰ ô  Ç    o| ¾ Óõ  q 

“

§† < ÊÜ ¼– Ð+ ‹ ^  ¦  ïÚ Ô   H   ~ ½ ÓZ O _   { © œ$ í õ  & ñ S X ‰ • ¸\  ¦ S X ‰

“

  % i  .

P

c p 8 ý ò k >

$

   H à ºu > í ß – ~ ½ ÓZ O `  ¦ Ø Ô5 gï  r s     ñ ~ à Ì ü <   ‚ ½ Ó Ä

º ~ à Ì \ >  y Œ ™ \  ¦ ³ ðô  Ç . ‘ : r ƒ  ½ ¨  H F K š ¸/ B N õ @ /† < Ɠ §

†

< ÆÕ ü tƒ  ½ ¨q \  ¦ t " é ¶ ~ à Î  à º' Ÿ  ) a ( õ ] j    ñ 2008-104-111)

 7 Hë  H s  .

Y

c p w Š à U Ø ”  ô

[1] P. M. Paul et al., Science 292, 1689 (2001).

[2] P. Tzallas et al., Nature 426, 267 (2003).

[3] P. Johnsson et al., Phys. Rev. Lett. 95, 013001 (2005).

[4] T. Remetter et al., Nat. Phys. 2, 323 (2006).

[5] T. Remetter, Ph. D. thesis, Lund University, 2008.

[6] F. Kelkensberg et al., Phys. Rev. Lett. 103, 123005 (2009).

[7] J. Mauritsson et al., Phys. Rev. Lett. 105, 053001 (2010).

[8] K. T. Kim, D. H. Ko, J. Park, V. Tosa and C. H.

Nam, New J. Phys. 12, 083019 (2010)

[9] N. N. Choi, T. F. Jiang, T. Morishita, M. H. Lee and C. D. Lin, Phys. Rev. A 82, 013409 (2010).

[10] D. M. Volkov, Z. Phys. 94, 250 (1935).

[11] H. R. Reiss, Phys. Rev. A 22, 1786 (1980).

[12] H. Friedrich, Theoretical Atomic Physics (Springer, Berlin, 2006), p. 20, 29.

[13] C. J. Joachain, Quantum Collision Theory (North- Holland, Amsterdam, 1975), Chap. 4.

[14] J. L. Krause, K. J. Schafer, K. C. Kulander, Phys.

Rev. A 45, 4998 (1992).

[15] T. Morishita, Z. Chen, S. Watanabe, C. D. Lin,

Phys. Rev. A 75, 023407 (2007).