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V. G. Minogin



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PACS numbers: 32.80.Pj, 42.50.Vk

Keywords: Y Us $  F  g , 2-ï  r0 A " é ¶  ,   H] X  © œ, 4 Ÿ ¤  § 4 , Š © œF G  § 4 , 0 Au \  -t 

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E-mail: [email protected]

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-235-

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E L (r j , t) = E 0L cos(k · r j − ωt) (1) ü

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 © œ 7 ˜'   H

E(r, t) = E L (r, t)+ 1 4π 0

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2 (E 0 (r)e ^−iωt + (E ^∗ ₀ (r)e ^iωt ) (2) ü

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dt ρ ^(j) _ee = i

2~ d · [E 0 (r _j )ρ ^(j) _ee e ^−iδt − E ^∗ 0 (r _j )ρ ^(j) _eg e ^iδt ] − 2γρ ^(j) ee , d

dt ρ ^(j) _eg = i

2~ d · E 0 (r j )[ρ ^(j) _gg − ρ ^(j) ee ]e ^−iδt − γρ ^(j) eg , d

dt ρ ^(j) _gg = i

2~ d · [E ^∗ 0 (r j )ρ ^(j) _eg e ^iδt − E 0 (r j )ρ ^(j) _ge e ^−iδt ] + 2γρ ^(j) _ee (3) s

  ) a   [2,3]. 0 A d ” \ " f " é ¶  _  / B N" î ”  1 l x à º ω 0 \  › ' aô  Ç F 

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dt ρ ^(j) _lm =  ∂

∂t + v j · ∇ j



ρ lm (r j , v j , t) (4) ü

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Ÿ § > =כ ¹™ è ρ ^(j) lm   H " é ¶   0 Au ô  Ç / B M \ " f „  l  © œ_  ”  ; Ÿ ¤ 7 ˜ '

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ρ ^(j) _eg = σ _eg ^(j) e ^−iδt (6) ü

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dt ρ ^(j) _ee = i

2~ d · [E 0 (r _j )σ ^(j) _ge − E ^∗ 0 (r _j )σ ^(j) _eg ] − 2γρ ^(j) ee , d

dt σ ^(j) _eg = i

2~ d · E 0 (r j )[ρ ^(j) _gg − ρ ^(j) ee ] − (γ − iδ)σ ^(j) eg , d

dt ρ ^(j) _gg = i

2~ d · [E ^∗ 0 (r j )σ ^(j) _eg − E 0 (r j )σ ^(j) _ge ] + 2γρ ^(j) _ee .(7) Ü

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σ ⁽²⁾ _eg (t) ∇ × ∇ ×  de ^ikR

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E ₀ (r ₁ ) = E _0L e ^{ik ·r}

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+ 1 2π 0

σ ⁽²⁾ _eg (t)k ³ e ^ikR Q · d, E 0 (r 2 ) = E 0L e ^{ik ·r}

²

+ 1

2π 0

σ ⁽¹⁾ _eg (t)k ³ e ^ikR Q · d (10) ü

< ° ú  s 
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ρ ^(j) _ee = |d · E 0 (r j ) | ² /4~ ² δ ² + γ ² + |d · E 0 (r _j ) | ² /2~ ² , σ _eg ^(j) = σ _ge ^{(j) ∗} = − (δ − iγ)d · E 0 (r j )/2~

δ ² + γ ² + |d · E 0 (r _j ) | ² /2~ ² , ρ ^(j) _gg = δ ² + γ ² + |d · E 0 (r j ) | ² /4~ ²

δ ² + γ ² + |d · E 0 (r j ) | ² /2~ ² (12) s

  ) a  . 0 Ad ” `  ¦ d ”  (10)\  @ /{ 9  €  , & ñ t ô  Ç " é ¶   Z  ~

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E 0 (r 1 ) = E 0L e ^{ik ·r}

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(δ − iγ)d · E 0 (r 2 )/2~

δ ² + γ ² + |d · E 0 (r ₂ ) | ² /2~ ² k ³ Q · de ^ikR , E ₀ (r ₂ ) = E _0L e ^{ik ·r}

²

− 1

2π 0

(δ − iγ)d · E 0 (r ₁ )/2~

δ ² + γ ² + |d · E 0 (r 1 ) | ² /2~ ² k ³ Q · de ^ikR

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σ ^(j) _eg = − (δ − iγ)d · E 0 (r _j )/2~

δ ² + γ ² + |d · E 0 (r j ) | ² /2~ ² ' d · E 0 (r _j ) 2~(δ + iγ) (15) ü

< ° ú  s  é ß –í  H o| ¨ c à º e ” l  M :ë  H \  d ”  (13)“ É r E ₀ (r ₁ ) = E _0L e ^{ik ·r}

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− d · E 0 (r ₂ )

~ (δ + iγ) βk ³ e ^ikR Q · d, E 0 (r 2 ) = E 0L e ^{ik ·r}

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− d · E 0 (r ₁ )

~ (δ + iγ) βk ³ e ^ikR Q · d (16) s

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d · E 0 (r 1 ) = 2~g e ^{ik ·r}

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− De ^{ikR+ik ·r}

²

1 − D ² e ^2ikR , d · E 0 (r 2 ) = 2~g e ^{ik ·r}

²

− De ^{ikR+ik ·r}

¹

1 − D ² e ^2ikR (17)

`

 ¦ % 3   H  . # Œl " f   ½ + Ë> à º g = d · E 0L

2~ (18)

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D = k ³ d · Q · d

4π 0 ~ (δ + iγ) = 3γ 2(δ + iγ)

d ˆ · Q · ˆ d (19)

  6   x ÷ &% 3  . 0 Ad ” \ " f ˆ d  H Š © œF G   — ¸F ' pà Ô ' Ÿ § > =כ ¹™ è

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–

Ð & ñ _  ) a  .   " f > _  0 Au  \  -t   H

U = − < d ⁽¹⁾ > (t) · E(r 1 , t) − < d ⁽²⁾ > (t) · E(r 2 , t) (20) ü

< ° ú   . · ú ¡ ] X \ " f % 3 “ É r   õ \  ¦ 0 Ad ” \  @ /{ 9 ô  Ç Ê ê, r ç ß –

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2~(δ ² + γ ² ) |d · E 0 (r ₁ ) | ² + |d · E 0 (r ₂ ) | ²

= 2~γG δ/γ (δ/γ) ² + 1

 1 − 2Re{De ^ikR } cos(k · R) + |D| ² 1 − 2Re{D ² e ^2ikR } + |D| ⁴



(21) ü

< ° ú  s  ³ ð‰ & ³ ) a  . # Œl " f Ÿ í o  à º G = 2g ² /γ ²   6   x

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&% 3 Ü ¼ 9, R = r ² − r 1 õ  R = |R|s “ ¦, D  H d ”  (19)\ 

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D →0 U = 2~γG δ/γ

(δ/γ) ² + 1 (22) s

 . ¢ ¸ô  Ç ”  1 l x à º ¼ #  _  ß ¼l  |δ|  γs €  , Y Us $  F  g

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 9, < d ^(j) > i ü < E _i (r j , t)  H y Œ •y Œ • < d ^(j) > ü < E(r _j , t)_  i~ ½ ӆ ¾ Ó $ í ì  r`  ¦
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" f ¨ î ç  H # Œ & ñ o  €  , ¿ º   P : " é ¶   ~ à ΍  H Š © œF G  

§

4  F  H „  l  © œs  ° ú   H 0 A © œ_  p ì  r ° ú כ\  q Y V   H F  g· ú š

§

4 (radiation pressure force) F _rp õ  ”  ; Ÿ ¤_  p ì  r ° ú כ\  q 

Fig. 1. Configuration of two atoms irradiated by a laser light. The second atom is located at r ₂ = (R, θ ₂ , φ ₂ ) in the coordinate system which is relative to the position of the first atom. The wave vector of an incident light is oriented toward the z axis and the light polarization in the xy plane makes an angle θ p relative to the y axis.

Y

V   H  â  § 4 (gradient force) F gr _  ½ + ËÜ ¼– Ð
 è ­ q à º e ”

 . 7 £ ¤,

F = F rp + F gr , (24)

F rp = ~kγGRe

 1 i − δ/γ

 e ^−ik·R − D ^∗ e ^−ikR 1 − D ^∗2 e ^−2ikR



×

 −iDe ^ikR

1 − D ² e ^2ikR + 2iD ² (e ^{ikR cos θ}

²

− De ^ikR )e ^2ikR (1 − D ² e ^2ikR ) ²

 R ˆ

+

 ie ^{ik ·R} 1 − D ² e ^2ikR

 k ˆ



,

F gr = ~kγGRe

 1 i − δ/γ

 e ^−ik·R − D ^∗ e ^−ikR 1 − D ^∗2 e ^−2ikR



×

 −e ^−ikR

1 − D ² e ^2ikR + 2D(e ^{ik ·R} − De ^ikR )e ^2ikR (1 − D ² e ^2ikR ) ²



×

 R ˆ ∂D

k∂R + ˆ θ ₂ ∂D k∂Rθ 2

+ ˆ φ ₂ ∂D kR sin θ 2 ∂φ 2



(25) ü

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§ 4 _  ß ¼l  Ÿ í o  à º 7 £ ¤, { 9   F  g_  [ jl \  q Y V† < Ê`  ¦

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7

£ ¤,

D lim →0 F = ~kγ G

(δ/γ) ² + 1 (26)

Fig. 2. Normalized interaction energy U/~γG as a func- tion of detuning δ when the first atom is at r ₁ = (0, 0, 0) and the second atom at r ₂ = (0.459, 90 ^◦ , 90 ^◦ ). The in- cident light is coming along the z axis. The polarization angles θ _p are 0 ^◦ (solid line), 30 ^◦ (dashed line), 45 ^◦ (dotted line), 60 ^◦ (dot-dashed line) and 90 ^◦ (dot-dot-dashed line).

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VII. • ¤V  Ä Z ØV Ä + s ÇÊ Ý õ m Í À X Ø8 ý

z» ¡ ¤   " f { 9  ô  Ç Y Us $  F  g õ  ¿ º> h_  2-ï  r0 A " é ¶  – Ð s

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 (21)õ  d ”  (24)\    H   # Œ { 9   F  g_  ¼ # F G  © œI  θ p ü <

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 1 l x à º ¼ #   δ Õ ªo “ ¦ " é ¶  _  0 Au \  ¦    or v €  " f à ºu  ì

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Fig. 2  H ' Í   P : " é ¶   " é ¶& h \  Õ ªo “ ¦ ¿ º   P : " é ¶  

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• θ p = 0 ^◦ (z  ´‚  ), 30 ^◦ ( W‚  ), 45 ^◦ (& h ‚  ), 60 ^◦ (& h  W‚  ) Õ ª o

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 0 Au \  -t   H 6 £ § à º(−)s # Q ô  Ç . " é ¶  _  0 Au  “ ¦

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•y Œ • δ = −34 γ(z  ´‚  ), −22 γ( W‚  ), −10 γ(& h ‚  )\ " f

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W‚  ) Õ ªo “ ¦ 90 ^◦ (2& h  W‚  )s  . > _  0 Au \  -t   H ”   1

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x à º ¼ #   6 £ § à º(7 £ ¤, δ < 0){ 9  M : † ½ Ó © œ 6 £ § à º(−)° ú כ`  ¦ 

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 " f ² ú ˜ ”   . ¼ # F  gy Œ •s  θ p = 60 ^◦ (& h  W‚  ), 90 ^◦ (2& h  W

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Œ

•y Œ • kR = 0.716(z  ´‚  ), 0.614( W‚  ), 0.459(& h ‚  )_   o 

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  / B G‚    © œ_  y Œ • & h “ É r yz¨ î €  \ " f 3 " é ¶ 0 Au \  -t  Ä º Ó

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  · p . s \  ¦ S X ‰ “   l  0 AK " f, ' Í

  P : " é ¶   " é ¶& h \  e ” “ ¦ ¿ º   P : " é ¶   Fig. 4_  / B G

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(& h ‚  )  © œ\  e ”   H e ” _ _  ô  Ç & h `  ¦ ‚  × þ ˜ # Œ Š © œF G  § 4  õ

 0 Au \  -t \  ¦ ì  r$ 3 K ˜ Ѐ Œ ¤ . Fig. 5  H ¿ º   P : " é ¶  

 kR = 0.3, θ 2 = 60 ^◦ , φ 2 = 90 ^◦ (7 £ ¤, Fig. 4_  & h ‚    © œ_  ô 

Ç & h )\  e ” `  ¦ M :, / B Nç ß – ý a³ ð_  † < Êà º– Ð > í ß – ) a Š © œF G  § 4  _

 $ í ì  r õ  0 Au \  -t _     o\  ¦ ˜ Ð# Œï  r  . { 9   F  g_  ¼ # 

Fig. 3. Normalized interaction energy U/~γG as a func-

tion of distance kR between the two atoms for a linearly

polarized light propagating along the z axis at detuning

δ = −10 γ. The polarization angles θ p are 0 ^◦ (solid line),

30 ^◦ (dashed line), 45 ^◦ (dotted line), 60 ^◦ (dot-dashed line)

and 90 ^◦ (dot-dot-dashed line).

Fig. 4. Configuration of the second atom in the yz plane where the interaction energy U is minimized. The first atom is fixed at r 1 = (0, 0, 0) and the incident light of detuning δ = −10 γ is coming along the z axis. The polarization angles θ p are 0 ^◦ (solid line), 30 ^◦ (dashed line) and 45 ^◦ (dotted line).

F

G ~ ½ ӆ ¾ ӓ É r Fig. 4_  & h ‚  õ   ð ø Ít – Ð θ p = 45 ^◦ – Ð ‚  × þ ˜

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 . Fig. 5(b)  H θ 2 '60 ^◦   H % ƒ\ " f 4 Ÿ ¤  § 4 _  ˆ θ 2 ~ ½ ӆ ¾ Ó $ í ì

 r õ  0 Au \  -t _     o\  ¦ ˜ Ð# Œï  r  . Š © œF G  § 4 _  ˆ θ 2 $ í ì

 r“ É r " é ¶  \  ¦ θ 2 = 60 ^◦ _  0 Au – Ð = å J # Q{ © œ^ ” `  ¦ · ú ˜ à º e ”  .

Fig. 5(c)  H φ 2 '90 ^◦   H % ƒ\ " f Š © œF G  § 4 _  ˆ φ 2 ~ ½ ӆ ¾ Ó $ í ì  r õ

 0 Au \  -t _     o\  ¦ ˜ Ð# Œï  r  . Š © œF G  § 4 _  ˆ φ ₂ $ í ì  r

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É r " é ¶  \  ¦ φ 2 = 90 ^◦ _  0 Au – Ð = å J # Q{ © œ^ ” `  ¦ · ú ˜ à º e ”  . # Œ l

" f Ä ºo   H Fig. 4 / B G‚  (& h ‚  )  © œ_  ô  Ç & h  kR = 0.3, θ 2

= 60 ^◦ , φ ₂ = 90 ^◦ “ É r 3 " é ¶ 0 Au \  -t  Ä ºÓ ü t \  y Œ —˜ 2 ³ ¿ º    P

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\  -t  Ä ºÓ ü t \  K { © œ† < Ê`  ¦ S X ‰ “   % i  .

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VIII. + s Ç Â ] Ø

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Us $  F  g 5 Å q \ " f ~ à ΍  H   H] X  © œ Š © œF G  § 4 õ   © œ  ñ  Œ •6   x \ 

Fig. 5. Components of light-induced dipole force and interaction energy which are plotted near a point (kR = 0.3, θ 2 = 60 ^◦ and φ 2 = 90 ^◦ ) in the dotted line of Fig. 4.

(a) The radial component of force F R /~kγG attracts the atom to the point kR = 0.3. (b) The polar component of force F θ /~kγG pulls the atom to the point θ 2 = 60 ^◦ . (c) The azimuthal component of force F φ /~kγG pulls the atom to the point φ 2 = 90 ^◦ . We see that a point (kR = 0.3, θ 2 = 60 ^◦ and φ 2 = 90 ^◦ ) corresponds to the configuration of the second atom in a three-dimensional potential well.



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[10] M. Born and E. Wolf, Principles of Optics (Perga- mon, Oxford, 1980), Chap. 2.

Near-Field Interaction of Two-Level Atoms Irradiated by Laser Light

S. Chang ^∗

Department of Physics, Han Nam University, 133 Ojungdong, Daejon 306-791 V. G. Minogin

Institute of Spectroscopy, Russian Academy of Sciences, 142190, Troitsk, Moscow Region, Russia (Received 8 January 2004)

We investigate the near-field interaction of two-level atoms irradiated by laser light. Two atoms in laser light influence each other through forces due to the dipole-dipole interaction. We discuss the properties of the near-field forces, including their dependences on the direction and the polarization of the laser light. We show that the light-induced dipole forces between the atoms play an important role for distances between the atoms of about the light’s wavelength or less. We conclude that the near-field forces can play a role in techniques for laser control of atomic motion. In particular, near-field forces may cause the formation of dimers in atomic gases.

PACS numbers: 32.80.Pj, 42.50.Vk

Keywords: Laser light, Two-level atom, Near-field, Radiation force, Dipole-dipole interaction, Potential energy

∗

E-mail: [email protected]