Žü Ê ô p §8 ý üV Æ U ؎ Ò ÞS ë s w ‹ò & ÿ X N Ë Ç U Ø ì Åò & ÿ; c 6 “ Ö «3 ûÀ W ¥ W ë s 4 ô p §

w

Š ¹ Å  – ¥ø m É 4 ; c 6 “ Ö «3 ûÀ W ¥  W ë s” X ¢ W ë s   – ¥ø m É 4 ô p §Ê Ý

§

Žü  Ê ô p §8 ý  üV  Æ U ؎ Ò ÞS ë s w ‹ò & ÿ X N Ë Ç U Ø
ì Åò & ÿ; c 6 “ Ö «3 ûÀ W ¥ W ë s 4 ô p §

a :

@¦ % · n

Ø

 æ· ¡ ¤ @ /† < Ɠ § Ó ü t o † < Æõ , ' õ AÅ Ò 361-763

(2012¸   3 Z 4 14{ 9  ~ à Î6 £ §, 2012¸   4 Z 4 24{ 9  à º& ñ ‘ : r ~ à Î6 £ §, 2012¸   5 Z 4 7{ 9  > F  S X ‰& ñ )

ô

 Ç  Ä »{ 9  _  “ ¦„   î  r1 l x ~ ½ Ó& ñ d ” `  ¦ Šҍ  H Á ºÃ ºy  ´ ú §“ É r Š © œs  d ” _  K x 9 ž Ðm î ß –\  @ /6 £ x ÷ &  H € ª œ  K  x 9

ž Ðm î ß – > \  ¦  ê  r  . 0 Au ü < Ó ü t o  î  r1 l x | ¾ ÓÜ ¼– Ð s À Ò# Q”   € ª œ  l Î . ° ú כ“ É r “ ¦„   Ó ü t o | ¾ Ó% ƒ! 3  K x 9 ž Ðm  î

ß –_  ‚  × þ ˜\  Á º › ' a t ë ß – 0 Au ü < & ñ ï  r î  r1 l x | ¾ Ó, — ¸¿ º\  ¦ Ÿ í† < Êô  Ç ƒ  í ß – _  € ª œ  l Î . ° ú כ“ É r K x 9 ž Ðm î ß –_ 

‚

 × þ ˜\  _ ” > r † < Ê`  ¦ ˜ Г   . “ ¦„  & h Ü ¼– Ð 0 Au ü < î  r1 l x | ¾ Ós  “ § ¨ 8 Š ÷ &  H & ñ ï  r   ¨ 8 Š \  @ /6 £ x ÷ &  H € ª œ  Ä »m   o

   ¨ 8 Š • ¸  ê  r  .

Ù þ

˜d ” # Q: Š © œs   K x 9 ž Ðm î ß –, 0 Au  î  r1 l x | ¾ Ó  À D K & ñ ï  r   ¨ 8 Š, 0 Au  î  r1 l x | ¾ Ó  À D K Ä »m  o    ¨ 8 Š > 

Quantum Systems Corresponding to Classical Free-particle Systems and the Transformations between Canonical Position and Momentum within

Those Systems

Kyu Hwang Yeon ^∗

Department of Physics, Chungbuk National University, Cheonju 361-763 (Received 14 March 2012 : revised 24 April 2012 : accepted 7 May 2012)

Quantum Hamiltonian systems corresponding to innumerable classical quadratic Hamiltonians which give classical equations of motion will be considered. While the expectation values of the quantum operators that consist of the position and the physical momentum operators do not de- pend on the selection of a Hamiltonian like that for a classical system, the expectation values of the quantum operators including both of the canonical variables depend on the selection of the Hamil- tonian. A quantum unitary transformation corresponding to the canonical exchange transformation between the canonical momentum and the position will also be treated.

PACS numbers: 03.65.Ge, 03.65.Fd, 03.65.Ca

Keywords: Quadratic Hamiltonian system, Canonical Transformation interchanging momentum and coor- dinate, Unitary Transformation between systems interchanging momentum and coordinate

I. " e  ] Ø

˜

Д > r > , q ˜ Д > r >  — ¸¿ º\ " f K x 9 ž Ðm î ß –s  Å Ò# Qt €   >  _

 î  r1 l x ~ ½ Ó& ñ d ” `  ¦ % 3 `  ¦ à º e ” `  ¦ ÷  r ë ß –  m  , >   ^ ‰

∗

E-mail: yeonkh@chungbuk.ac.kr

_

  â Ä º{ 9 t  • ¸ > _  % i † < Æ& h  ½ ¨› ¸\  ¦ s K  >  K ï  r  .

Õ

ªA " f K x 9 ž Ðm î ß – / B Nd ” “ É r : Ÿ x > % i † < Æ_   „@ /\  ¦ ] j/ B N K Å Ò 9,  ^ ‰ë  H ] j\  ¦ s K  >    H, : Ÿ x ¹ 1 ϧ 4 `  ¦ ï  r   [1–3].

ô

 Ç “ ¦„   î  r1 l x ~ ½ Ó& ñ d ” “ É r ô  Ç K x 9 ž Ðm î ß –Ü ¼– Ð Â Ò' ë ß – ½ ¨ K

t   H  כ s   m  . \ V\  ¦ [ þ t€  , ô  Ç  Ä » { 9  
 › ¸ o”  

-464-

1 l

x  _  “ ¦„   î  r1 l x ~ ½ Ó& ñ d ” `  ¦ % 3 >  K Šҍ  H K x 9 ž Ðm î ß –“ É r Á

ºô  Çy  ´ ú § . Õ ª s Ä »  H K x 9 ž Ðm î ß –“ É r 0 Au ü < & ñ ï  rî  r1 l x

|

¾ ÓÜ ¼– Ð s À Ò# Q4 R e ”   H X <, î  r1 l x ~ ½ Ó& ñ d ” “ É r 0 Au \  ¦ ¹ 1 ԍ  H p  ì

 r ~ ½ Ó& ñ d ” s Ù ¼– Ð { 9  _  0 Au ü < 0 Au  p ì  r[ þ t – Ð s À Ò# Q

&

’ l  M :ë  H s   [4–7].

{

Œ

—˜ 2 ³> _  € ª œ % i † < Ɠ É r K x 9 ž Ðm î ß – ƒ  í ß – \  _  # Œ   À

Ò# Qt “ ¦ e ” 6 £ §`  ¦ Ä ºo   H · ú ˜“ ¦ e ”  . 7 £ ¤, { Œ —˜ 2 ³> \ " f € ª œ 



© œI _  r ç ß – „  > h  H > _  K x 9 ž Ðm î ß –Ü ¼– Ð s À Ò# Q”   / ' ø

@` ç   ~ ½ Ó& ñ d ” Ü ¼– Ð % 3 `  ¦ à º e ”  . \ P  2 ; € ª œ > 
 r ç ß –_ 

”

> r € ª œ  > \ " f• ¸ > \  ¦ é ß –\ P & h Ü ¼– Ð 2 [/ å L ÷ &  H  â Ä º  H K  x 9

ž Ðm î ß – ƒ  í ß – _   6   x Ü ¼– Ð p A _  € ª œ   © œI \  ¦ % 3   H



. “ ¦„   > \ " f  H — ¸Ž  H Ó ü t o | ¾ Ós  0 Au ü < 0 Au _  p ì  r“   5

Å

q • ¸ † < Êà º– Ð Å Ò# Qt t ë ß – € ª œ  > \ " f  H 0 Au ü < & ñ ï  r î  r 1

l

x | ¾ Ó_  † < Êà º– Ð Å Ò# Q”   .  =
 €   € ª œ % i † < Æ_  î  r1 l x | ¾ Ó

ƒ

 í ß –   H “ ¦„   % i † < Æ_  & ñ ï  r î  r1 l x | ¾ Ó\  @ /6 £ x ÷ &l  M :ë  H s 



. 0 Au ü < î  r1 l x | ¾ Ó ƒ  í ß – – Ð s À Ò# Q”   \ V  H Õ ª ¿ º ƒ  í ß –



_  Ô  ¦S X ‰& ñ $ í • ¸\  ¦ [ þ t`  ¦ à º e ”  .

Ó ü

t o > _  ½ ¨Z > “ É r ( J $ ™[ >  \  -t – Ð ½ ¨Z >  ½ + É Ã º e ”  . “ ¦

„

  % i † < Æ& h Ü ¼– Ð ô  Ç ( J $ ™[ >  \  -t   H ô  Ç “ ¦„   î  r1 l x ~ ½ Ó& ñ d ” 

`

 ¦ ï  r  . € ª œ % i † < Æ & h Ü ¼– Е ¸ 
_  € ª œ > \  ¦ ½ ¨Z >  ½ + É  ± p (

J $ ™[ >  \  -t \  _ K " f s À Ò# Q”   . V = kx ² /2 – Ð s À Ò

#

Q”   › ¸ o”  1 l x  _  ( J $ ™[ > “ É r › ¸ o”  1 l x  _  î  r1 l x ~ ½ Ó& ñ d ” 

`

 ¦ % 3 >  K Šғ ¦ ¢ ¸ô  Ç › ¸ o”  1 l x  _  € ª œ  “ ¦Ä » © œI \  ¦ % 3 

>

 K ï  r  . Ä ºo   H s   â Ä º “ ¦„   › ¸ o ”  1 l x  \  @ /6 £ x ÷ &



 H € ª œ  › ¸ o”  1 l x     ҏ É r  . s  Qô  Ç ³ ð‰ & ³`  ¦  6   x €   ô

 Ç “ ¦„  > \  @ /6 £ x   H € ª œ  >  e ”  “ ¦ ½ + É Ã º e ”  .

· ú

¡\ " f ƒ  / å LÙ þ ¡× ¼r  ô  Ç “ ¦„   î  r1 l x ~ ½ Ó& ñ d ” `  ¦ Šҍ  H Á ºÃ º y

 ´ ú §“ É r K x 9 ž Ðm î ß –s  e ”  “ ¦ Ù þ ¡  H X < [4–6], s [ þ t \  @ /6 £ x

÷

&  H € ª œ  K x 9 ž Ðm î ß – ƒ  í ß –   H ½ ¨Z > ÷ & 9 y Œ •   É r € ª œ



 K x 9 ž Ðm î ß –> [ þ t“  ,  m €   ° ú  “ É r € ª œ  © œI \  ¦ Å Ò# Q

—

¸¿ º\  ¦ 
_  € ª œ > – Ð 2 [/ å L K     H _  _ ë  H s  Ò q t|  



.

Ó ü

t o † < Æ\ " f  Ä »{ 9   ë  H ] j  H “ ¦„  & h “    â Ä º
 € ª œ % i 

†

< Æ& h “    â Ä º — ¸¿ º  ^ ‰ë  H ] j t  & ñ S X ‰ y  Û  ¦ 2 ;  [1,8].  

 É

r ( J $ ™[ >  >  ë  H ] j˜ Ð  l ‘ : r& h s “ ¦ ~ 1 >  2 [/ å L ½ + É Ã º e ”  Ü

¼Ù ¼– Ð @ / Òì  r œ í˜ Ð& h “   Ó ü t o † < Æ “ §F \ " f 2 [/ å L ÷ &“ ¦ e ” 



. Ä ºo   H  Ä » { 9  \  ¦ s 6   x # Œ “ ¦„  & h Ü ¼– Ð ô  Ç î  r1 l x ~ ½ Ó

&

ñ d ” `  ¦ Šҍ  H Á ºô  Çy  ´ ú §“ É r K x 9 ž Ðm î ß –s  @ /6 £ x ÷ &  H K x 9 

ž

Ðm î ß – ƒ  í ß – \  _  # Œ € ª œ % i † < Æ& h Ü ¼– Ð ½ ¨Z >  ÷ &  H _  ë

 H ] j\  ¦  Ò  ¦  כ s  .

Ä

ºo _  ×  æ כ ¹ô  Ç 3 l q ³ ð  H & ñ ï  r  ¨ 8 Š Ü ¼– Ð ƒ     ) a ¿ º > \ 

@

/6 £ x   H € ª œ  >   H # Qb  G>  ƒ     ÷ &  H _  ë  H ] js  . s 



Qô  Ç & ñ ï  r  ¨ 8 Š \ " f & h    ¨ 8 Š Ü ¼– Ð s À Ò# Q”     ¨ 8 Š“ É r s p  t

è ß –  7 Hë  H[ þ t \ " f  À Ò% 3   [9]. Õ ª Q
 0 Aü < î  r1 l x | ¾ Ós  ™ D ¥

½

+ ËK " f s À Ò# Q”   & ñ ï  r   ¨ 8 Šë  H ] j\  @ /6 £ x ÷ &  H € ª œ % i † < Æ& h  2

[/ å L“ É r Õ ªo  ç ß –é ß – t  · ú § . Ä ºo   H s  ƒ  ½ ¨\ " f 0 Au ü <

î

 r1 l x | ¾ Ós   7   H & ñ ï  r  ¨ 8 Š \  @ /6 £ x ÷ &  H € ª œ % i † < Æ& h  2 [/ å L

•

¸ # Œl \ " f  À Ò 9 ô  Ç .

II. ” X ¢ Æ U ؎ Ò Þ U ê sX N ËÅ k Ä ù p § — ¤À W ¥ w Š ¹ ÅW Ä] K ¡ A

0õ m ǂ ºN Ž ˜ m ô p §

>

_  K x 9 ž Ðm î ß –s  & ñ ï  r   à º[ þ t _  Š © œs  d ” , H(q, p) = 1

2 (ap ² + 2abqp + cq ² ) + f p + gp, (1) Ü

¼– Ð Å Ò# Qt   H  â Ä º\  ¦  À Ò# Q ˜ Ð . # Œl \ " f a, b, c, f Õ ª o

“ ¦ g   H z  ´Ã º“    © œÃ ºs  . K x 9 — : r ~ ½ Ó& ñ d ” `  ¦ s 6   x # Œ, (1)d ” Ü ¼– РÒ'  î  r1 l x ~ ½ Ó& ñ d ” `  ¦ ½ ¨ €  

¨

q + (ac − b ² )q = bg − af, (2) s

  ) a  . # Œl \ " f ac − b ² õ  bg − af { 9 & ñ €   (2) ~ ½ Ó

&

ñ d ” “ É r 
_  “ ¦„   î  r1 l x ~ ½ Ó& ñ d ” s  . Õ ª QÙ ¼– Ð ô  Ç “ ¦„   î

 r1 l x ~ ½ Ó& ñ d ”  (2)\  ¦ Šҍ  H K x 9 ž Ðm î ß – (1)“ É r Á ºô  Çy  ´ ú § .

Õ

ª Q
 & ñ ï  r î  r1 l x | ¾ ӓ É r

p = q − bq − g ˙

a , (3)

Ü

¼– Ð ½ ¨ # Œ f ” Ü ¼– Ð, ° ú  “ É r “ ¦„   î  r1 l x ~ ½ Ó& ñ d ” `  ¦ Å Ò 8 • ¸ K

x 9 ž Ðm î ß –“ É r & ñ ï  r î  r1 l x | ¾ Ó\  _  # Œ ½ ¨Z >   ) a  .

Ä

ºo  › ' a d ” `  ¦ ¿ º“ ¦ e ”   H   ¨ 8 Š“ É r — ¸† < Êà º

F ₁ = q _i Q _i , (4) Ü

¼– Ð ‚  × þ ˜÷ &  H   ¨ 8 Š s   [1]. s    ¨ 8 Š“ É r p _i = ∂F ₁

∂q i

= Q _i , P _i = − ∂F ₁

∂Q i

= −q _i ,

K(Q, P ) = H(q, p), (5) Ü

¼– Ð   ¨ 8 Š „  Ê ê & ñ ï  r 0 Au ü < & ñ ï  rî  r1 l x | ¾ Ó`  ¦ y Œ •y Œ • “ § ¨ 8 Š ô  Ç

&

ñ ï  r  ¨ 8 Š s   ) a  . K x 9 ž Ðm î ß – (1)`  ¦ s    ¨ 8 Š Ü ¼– Ð & ñ ï  r  

¨ 8

Š r v €  ,   ¨ 8 Š Ê ê > _  K x 9 ž Ðm î ß –“ É r K(Q, P ) = 1

2 (cP ² − 2bQP + aQ ² ) + gQ − f P, (6) s

  ) a  . # Œl \ " f y Œ • > à º[ þ t _  à ºu [ þ t“ É r (1) _  ° ú  “ É r Â Ò  

ñ[ þ t õ  1 l x{ 9 ô  Ç ° ú כs t ë ß – " é ¶“ É r  2 £ §`  ¦ Ä »_ K  ô  Ç .

\

V\  ¦ [ þ t€   (1)d ” _  a_  " é ¶“ É r (6)d ” _  a_  " é ¶ õ   H   Ø

ԓ ¦ c_  " é ¶ õ  ° ú   . s  > _  î  r1 l x ~ ½ Ó& ñ d ” “ É r

Q + (ac − b ¨ ² )Q = bf − cg, (7)

s

 ÷ &“ ¦ & ñ ï  r î  r1 l x | ¾ ӓ É r

P =

Q + bQ + f ˙

c , (8)

s

  ) a  . ë ß –€  • f = 0Õ ªo “ ¦ g = 0 s €   (2)ü < (7)_  î  r1 l x p

ì  r ~ ½ Ó& ñ d ” “ É r ° ú   . Õ ª Q
 & ñ ï  r î  r1 l x | ¾ ӓ É r  Ø Ô . K  x 9

ž Ðm î ß –s  (1)– Ð Å Ò# Qt   H @ /³ ð& h “   Ó ü t o > “  ,  Ä » { 9 



, { 9 & ñ ô  Ç  © œs  K ”    Ä » { 9  , Õ ªo “ ¦ › ¸ o”  1 l x  

\

 ¦ [ þ t à º e ”   H X <,  Ä » { 9  \  ¦ ‚  × þ ˜ # Œ € ª œ  % i † < Æ& h Ü ¼

–

Ð ¶ ú ˜( R ˜ Ð 9ô  Ç .

III.  – ¥ø m É 8 ý Æ U ؎ Ò Þ U ê sX N ËÅ k Ä ù p § — ¤À W ¥ # b [ A

0õ m ǂ ºN Ž ˜ m ô p § § ŽP w Š § Žü  Ê ô p §8 ý  üV  Æ U ؎ Ò ÞS ë s w

‹ò & ÿ
ì Åò & ÿ



Ä »{ 9    H î  r1 l x ~ ½ Ó& ñ d ” s 

¨

q = 0, (9)

Ü

¼– Ð Å Ò# Q”   . K x 9 ž Ðm î ß – (1)\ " f

ac − b ² = 0, bg − af = 0, (10)

`

 ¦ ë ß –7 á ¤   H — ¸Ž  H K x 9 ž Ðm î ß –“ É r  Ä » { 9  _  K x 9 ž Ðm  î

ß –s   ) a  . s   â Ä º K x 9 ž Ðm î ß –“ É r

H(q, p) = 1 2 a

 p + b

a q

 2

+ g

 p + b

a q



, (11) s

 . & ñ ï  r 0 Au ü < & ñ ï  rî  r1 l x | ¾ Ó_  “ § ¨ 8 Š   ¨ 8 Š Ê ê î  r1 l x ~ ½ Ó& ñ d ”

 (7)“ É r

Q = 0, ¨ (12) s

 ÷ & 9, K x 9 ž Ðm î ß –“ É r (10)d ” `  ¦ ë ß –7 á ¤ r v   H (6)d ” \  _ 

# Œ Å Ò# Q”   . 7 £ ¤,

K(Q, P ) = 1 2 c

 p − b

c Q

 2

− f

 P − b

c Q



, (13) s

 . ë ß –€  • b = 0, c = 0 ,f = 0, g = 0 s   Z  ~ Ü ¼€   K x 9 

ž

Ðm î ß – (11)d ” õ  (6)d ” “ É r y Œ •y Œ • H p (q p , p p ) = 1

2 ap ² _p , (14) õ



K _p (Q _p , P _p ) = 1

2 aQ ² _p , (15) s

  ) a  . # Œl \ " f ' ‘   p  H (11),(13)d ” õ  (14), (15)d ” _ 

>

\  ¦ ½ ¨ì  r l  0 A # Œ V , “ É r  כ s  . (14)d ” _  K x 9 ž Ðm  î

ß – > _  & ñ ï  r î  r1 l x | ¾ ӓ É r

p p = q ˙ p

a , (16)

s

“ ¦, (15)d ”  K x 9 ž Ðm î ß – > _  & ñ ï  r î  r1 l x | ¾ ӓ É r

P p = −aQ p t + P p (0), (17) s

  ) a  . Q 0 Au / B N ç ß –_  ý a³ ð €   (15)d ” _  K x 9 ž Ðm î ß –

>

  H { 9   › ¸ o§ 4 `  ¦ ~ à ÎÜ ¼ 9 & ñ t K  e ”   H  â Ä º“  X < “ ¦

„

 % i † < Æ & h Ü ¼– Ð $ í w n ½ + É Ã º \ O   H > s  . Õ ª Q
 Q î  r1 l x

|

¾ Ó / B N ç ß – ý a³ ð €   “ ¦„  & h Ü ¼– Ð { © œƒ  y  e ” `  ¦ à º e ”   H “ ¦„  

%

i † < Æ& h  ° ú כs  .

(11) ü < (14)d ” _  K x 9 ž Ðm î ß – > ü < (13)õ (15)d ” _  K x 9 

ž

Ðm î ß –>   H y Œ •y Œ •





 q p = q,

p p = p + ^b _a q + ^g _a , H p = H + ^g _2a

²

,

(18)

ü

<







Q p = Q,

P _p = P + ^b _c Q + ^f _c , K _p = K + ^f _2c

²

= H _p ,

(19)

_

 & ñ ï  r   ¨ 8 Š Ü ¼– Ð ƒ      ) a  . Ä ºo  › ' a d ” “ É r & ñ ï  r 0 Au  ü

< & ñ ï  r î  r1 l x | ¾ Ós  “ § ¨ 8 Š ÷ &  H   ¨ 8 Š s  € ª œ  % i † < Æ& h Ü ¼– Ð # Q

‹

"

 › ' a >  ÷ &  H s  . € ª œ % i † < Æ\  @ /6 £ x ÷ &  H (18)d ” õ  (19) _  › ' a ¹ 1 ϖ РÒ'  Õ ª כ `  ¦ % 3 Ü ¼ 9 ô  Ç .

IV.  – ¥ Œ Ÿ «‡ ˜ m; c" e w Š ¹ Å  – ¥ø m É 4 ; c 6

“ Ö «3 ûÀ W ¥  W ë s” X ¢ W ë s 4 ô p §

{

Œ

—˜ 2 ³ ˜ Д > r € ª œ > _  € ª œ   © œI   H & ñ ï  r   à º[ þ t`  ¦ @ /6 £ x

÷

&  H ƒ  í ß – [ þ t – Ð @ /u r &  ë ß –[ þ t # Q”   K x 9 ž Ðm î ß – ƒ  í ß –  _

 “ ¦Ä »  © œI – Ð Å Ò# Q”    [3,8]. ˜ Д > r > \ " f ô  Ç “ ¦„   î  r1 l x

~

½ Ó& ñ d ” \  @ /6 £ x ÷ &  H  € ª œô  Ç € ª œ  > _  K x 9 ž Ðm î ß –“ É r " f

–

Ð “ § ¨ 8 Š ÷ &t  · ú §“ ¦ & ñ ï  r î  r1 l x | ¾ Ó[ þ t  s • ¸ Ô  ¦S X ‰& ñ $ í `  ¦ ° ú 



 H  . y Œ •y Œ •_  \  -t  ³ ð‰ & ³ € ª œ   © œI – Ð" f Õ ª  כ [ þ t _  › ' a

>

\  ¦ · ú ˜ ˜ Ð .



 ¨ 8 Š„  _  € ª œ   © œI \  ¦ (14)d ” \  @ /6 £ x ÷ &  H € ª œ  K x 9 ž Ð m

î ß – > – Ð ¸ ú š“ ¦   ¨ 8 Š Ê ê_  € ª œ   © œI \  ¦ (11)d ” \  @ /6 £ x ÷ &



 H K x 9 ž Ðm î ß – ƒ  í ß – – Ð Å Ò# Qt   H > – Ð ¸ ú š . (11)d ” _  K

x 9 ž Ðm î ß –\  @ /6 £ x ÷ &  H € ª œ  K x 9 ž Ðm î ß – >   H (12)d ” `  ¦ ë

ß –7 á ¤   H  Ä » { 9  _  — ¸Ž  H  â Ä º\  ¦ Ÿ í† < Ê   H € ª œ   © œI 

s

“ ¦, # Œl \ " f b = 0, c = 0, g = 0, f = 0  Z  ~ Ü ¼€     

¨ 8

Š „   € ª œ   © œI – Ð [  t  ç ß – .

(14)d ” _  “ ¦„    Ä »{ 9   K x 9 ž Ðm î ß –\  @ /6 £ x ÷ &  H € ª œ 



Ä »{ 9  > _  € ª œ   © œI   H hq|ψ _p i = 1

√ 2π~ exp 

±i pq

~



, (20) s

  [8].

&

ñ ï  r   ¨ 8 Š (18)d ” s  ‚  + þ A s Ù ¼– Ð (14)d ” \  @ /6 £ x ÷ &  H

€

ª œ  K x 9 ž Ðm î ß – ˆ H _p > _  “ ¦Ä » € ª œ  © œI  ψ p = hq|ψ _p i ü <

(11)d ” \  @ /6 £ x ÷ &  H € ª œ  K x 9 ž Ðm î ß – ˆ H > _  “ ¦Ä » € ª œ  © œ I

 ψ(q) = hq|ψi  s _  › ' a >   H

hq|ψi = ˆ U hq|ψ p i, (21)

–

Ð ƒ      ) a  . s  M : ˆ U   H “ ¦„   & ñ ï  r   ¨ 8 Š (18)d ” \  @ /6 £ x

÷

&  H Ä »m  o  ƒ  í ß – – Ð



 

 

U ˆ ˆ q ˆ U ^† = ˆ q,

U ˆ ˆ p ˆ U ^† = ˆ p + ^b _a q + ˆ ^g _a , H ˆ p = ˆ H + ^g _2a

²

,

(22)

\

 ¦ ë ß –7 á ¤  9   ¨ 8 Š „  Ê ê > _  / 'ø @` ç   ~ ½ Ó& ñ d ” \  _  # Œ U = exp ˆ  i

~

 b 2a q ˆ ² − g

a q ˆ



e ⁻

^~i

 E+

^g2_2a



(t−t

0

)

, (23) Ü

¼– Ð % 3 # Q”   . (20), (21) Õ ªo “ ¦ (23)d ” \  _  # Œ   ¨ 8 Š Ê

ê > _  € ª œ   © œI , 7 £ ¤ (11)d ” _  “ ¦„   K x 9 ž Ðm î ß –\  @ /6 £ x

÷

&  H € ª œ  K x 9 ž Ðm î ß –Ü ¼– Ð s À Ò# Q”   / 'ø @` ç   ~ ½ Ó& ñ d ” _  K

  H

hq|ψ(t)i = 1

√

2π~ e

^~i

[

_2a^b

^q

²

− (

^g_a

±p ) ^q ]e ⁻

^~i

^{ E+}

^g22a

^{ (t−t}

⁰

⁾ , (24) Ü

¼– Ð % 3 # Q”   .



 ¨ 8 Š„   > _  „   “     H K(q ⁰⁰ , t; q ⁰ , t ₀ ) = 1

p2πai~(t − t ⁰ ) exp  i(q ⁰⁰ − q ⁰ ) ² 2a~(t − t ⁰ )

 , (25)

–

Ð Å Ò# Qf ” “ É r @ / Òì  r “ §F \ " f > í ß –÷ &# Q e ”   [8].

Õ

ªo “ ¦   ¨ 8 Š Ê ê_  > _  „   “     H (24)d ” `  ¦ s 6   x €   K(q ⁰⁰ , t ; q ⁰ , t 0 ) = 1

p2πai~(t − t 0 )

×e

i 2a~



(q00 −q0 )2

(t−t0)

+b(q

⁰⁰²

−q

⁰²

)+2g(q

⁰⁰

−q

⁰

)



, (26)

–

Ð % 3 # Q”   . 7 £ ¤, s  כ “ É r K x 9 ž Ðm î ß –s  (11)d ” Ü ¼– Ð Å Ò

#

Qt   H — ¸Ž  H “ ¦„    Ä »{ 9  _  „   “   \  ¦
  · p . 0 A u

 î  r1 l x | ¾ Ó “ § ¨ 8 Š & ñ ï  r   ¨ 8 Š _  : £ ¤Z > ô  Ç  â Ä º“   K x 9 ž Ðm î ß – (15) \  @ /6 £ x ÷ &  H € ª œ  K x 9 ž Ðm î ß – > _  € ª œ   © œI   H

hq|Ψ p i = δ(q − q 0 ), (27) s

 ÷ &  H X <, s  כ “ É r (20)d ” _  á Ôo \    ¨ 8 Š   õ ü < ° ú   .

s

 > _  „   “     H

K(q ⁰⁰ , t; q ⁰ , t ₀ ) = δ(q ⁰⁰ − q ⁰ ) exp



− icq ⁰² (t − t ₀ ) 2~

 , (28)

s

  ) a  . s    õ   H (25)d ” _  „   “   \  ¦ q ⁰⁰ õ  q ⁰ Ü ¼– Ð 2×  æ á

Ôo \    ¨ 8 Š ô  Ç   õ ü < ° ú   . (27)d ” õ  (28)d ” _  q ⁰⁰ õ  q ⁰ “ É r î

 r1 l x | ¾ Ó " é ¶`  ¦ ”     à º– Ð (24)ü < (25)_  q ⁰⁰ õ  q ⁰ õ   H ½ ¨ Z >

H † d`  ¦ Å Ò_   .

(15)d ” \  @ /6 £ x ÷ &  H € ª œ  K x 9 ž Ðm î ß – ˆ K _p > _  € ª œ  © œI  Ψ p (q) ü < (11)d ” \  @ /6 £ x ÷ &  H € ª œ  K x 9 ž Ðm î ß – ˆ K > _  € ª œ



 © œI  Ψ(q)  s _  › ' a >   H

hq|Ψi = ˆ U hq|Ψ p i, (29)

–

Ð ƒ      ) a   [5]. s  M : ˆ U   H “ ¦„   & ñ ï  r   ¨ 8 Š (19)d ” \  @ / 6

£

x ÷ &  H Ä »m  o  ƒ  í ß – – Ð



 

 

U ˆ ˆ q ˆ U ^† = ˆ q,

U ˆ ˆ p ˆ U ^† = ˆ p − ^b _c q − ˆ ^f _c , H ˆ _p = ˆ H + ^f _2c

²

,

(30)

\

 ¦ ë ß –7 á ¤  9   ¨ 8 Š „  Ê ê > _  / 'ø @` ç   ~ ½ Ó& ñ d ” \  _  # Œ U = exp ˆ  i

~

 b 2c q ˆ ² − f

c q ˆ



e ⁻

i

~

 E+

^{f 2}_2c

 (t−t

₀

)

, (31) Ü

¼– Ð % 3 # Q”   . (27), (29) Õ ªo “ ¦ (31)d ” \  _  # Œ   ¨ 8 Š Ê

ê > _  € ª œ   © œI , 7 £ ¤ (13)d ” _  “ ¦„   K x 9 ž Ðm î ß –\  @ /6 £ x

÷

&  H € ª œ  K x 9 ž Ðm î ß –Ü ¼– Ð s À Ò# Q”   / 'ø @` ç   ~ ½ Ó& ñ d ” _  K

  H

hq|Ψ(t)i = δ(q − q 0 )e

^~i

[

_2c^b

^q

²

−

^f_c

q ]e ⁻

^~i

^{ E+}

^{f 22c}

^{ (t−t}

⁰

⁾ , (32)

–

Ð % 3 # Q”   .

(32)\  ¦ s 6   x €   (15)d ” \  @ /6 £ x ÷ &  H € ª œ  K x 9 ž Ðm î ß –

>

_  „   “     H

K(q ⁰⁰ , t ; q ⁰ , t 0 ) = δ(q ⁰⁰ − q ⁰ )

×e ⁻

^2~ic

[ ^q

⁰²

^(t−t

0

)+b(q

⁰⁰²

−q

⁰²

)+2g(q

⁰⁰

−q

⁰

) ], (33) Ü

¼– Ð > í ß –  ) a  .

V. “ ¤” X ¢ ( a• Ö כ  Ç X ê sä Ä5 ; c P c n) nÆ k Ó À W ¥  W ë s” X ¢



– ¥ ø m É 4 

(

J $ ™[ > s 

v(x) =  0 , 0 ≤ x ≤ L,

∞ , x < 0, L < x, (34)

–

Ð Å Ò# Qt   H Á ºô  Ç ( J $ ™[ >   © œ# 4 ? /\ " f “ ¦„    Ä » { 9  > 

\

 @ /6 £ x ÷ &  H € ª œ > [ þ t _  € ª œ   © œI ü < € ª œ  o \  -t , Ô  ¦ S X

‰& ñ $ í › ' a > , Õ ªo “ ¦ 0 Au  î  r1 l x | ¾ Ó & ñ ï  r   ¨ 8 Š ) a / B N ç ß –\  @ / 6

£

x ÷ &  H € ª œ  > \ " f Õ ª כ [ þ t`  ¦ ¶ ú ˜x  .

(24)d ” _   1 l x † < Êà º  H ( J $ ™[ >   © œ# 4 _   â >  x = 0õ  x = L \ " f  H 0 s  ÷ &# Q  † < ÊÜ ¼– Ð ½ ©   o  ) a  1 l x † < Êà º  H

ψ n (x, t) = r 2

L sin  nπ L x 

e

^~i

[

_2a^b

^x

²

−

^g_a

x ]e ⁻

^~i

^{ E}

ⁿ

⁺

^g22a

^{ (t−t}

⁰

⁾ , (35)

–

Ð % 3 # Qt “ ¦, \  -t  E n , (n = 1, 2, · · · ) “ É r

E n = an ² π ² ~ ²

2L ² , (36)

–

Ð % 3 # Q”   .



 ¨ 8 Š„   K x 9 ž Ðm î ß – (14)\ " f î  r1 l x | ¾ Ó (16)d ” , p p   H & ñ ï  r î

 r1 l x | ¾ Ós t ë ß –   ¨ 8 Š Ê ê > _  & ñ ï  r î  r1 l x | ¾ ӓ É r  m  . Õ ª Q

 p ^p   H   ¨ 8 Š „  Ê ê — ¸¿ º_  Ó ü t o  î  r1 l x | ¾ Ós  | ¨ c à º e ”  . 7 £ ¤, p p   H  Ä »{ 9  _  5 Å q • ¸ü <ë ß – › ' a >   ) a  . (24)d ” \ " f E  H   

¨ 8

Š„   K x 9 ž Ðm î ß –“   (14)d ”  K x 9 ž Ðm î ß –_  “ ¦Ä »u s  . & ñ ï

 r î  r1 l x | ¾ Ós   m “ ¦ > _  5 Å q • ¸ë ß –Ü ¼– Ð & ñ _   ) a % i † < Æ& h  \ 



-t \  @ /6 £ x ÷ &  H ƒ  í ß – \  ¦ \  -t  ƒ  í ß – – Ð ¸ ú š  H  €  ,



 ¨ 8 Š „  Ê ê_  \  -t  ƒ  í ß – _  “ ¦Ä »u   H   ¨ 8 Š „  Ê ê — ¸¿ º

° ú

 s  (36)d ” Ü ¼– Ð % 3 # Q ”   . s  \  -t ü < ° ú  s  “ ¦„   % i † < Æ

\

" f 0 Au ü < Ó ü t o  î  r1 l x | ¾ Ó_  † < Êà º– Ð ³ ðr ÷ &  H — ¸Ž  H Ó ü t o 

|

¾ Ó[ þ t \  @ /6 £ x ÷ &  H € ª œ  ƒ  í ß – _  € ª œ  ¨ î ç  H ° ú כ“ É r — ¸Ž  H € ª œ



  Ä » { 9  > [ þ t \ " f ° ú  “ É r ° ú כÜ ¼– Ð % 3 # Q”   .

Õ

ª Q
 ë ß –€  • > _  K x 9 ž Ðm î ß – ƒ  í ß – \  ¦ \  -t  ƒ  í ß –



  & ñ _  ô  Ç €     ¨ 8 Š Ê ê € ª œ   Ä » { 9  > _  \  -t  “ ¦ Ä

»u   H (36)d ” s   m “ ¦ K x 9 ž Ðm î ß –_  ‚  × þ ˜\  _ ” > r   H

° ú

כs  % 3 # Q”   .

{ 9

ì ø Í& h Ü ¼– Ð 0 Au , î  r1 l x | ¾ Ó — ¸¿ º\  _ ” > r   H ƒ  í ß – _ 

€

ª œ  l Î . ° ú כ“ É r K x 9 ž Ðm î ß –_  ‚  × þ ˜\  _ ” > r ô  Ç . Ô  ¦S X ‰& ñ

•

¸ Õ ª×  æ ô  Ç \ Vs  . (35)d ” `  ¦ s 6   x < x > ü < < x ² >,

< p > Õ ªo “ ¦ < p ² >`  ¦ ½ ¨ # Œ 0 Au ü < î  r1 l x | ¾ Ó ƒ  í ß – _  Ô

 ¦S X ‰& ñ $ í `  ¦ ½ ¨ €   σ x σ p = ~

2

s  π ² n ² 3 − 2

 

1 + L ² b ² 12a ² π ² ~ ² n ²

 1 − 6

π ² n ²



, (37)

s

  ) a  . s  כ “ É r ì  r" î y  K x 9 ž Ðm î ß –_  ‚  × þ ˜\  _ ” > r ô  Ç .

7

£ ¤, & ñ ï  r î  r1 l x | ¾ Ó_  ‚  × þ ˜\  _ ” > r   H ° ú כs  .

0

Au ü < î  r1 l x | ¾ Ós  “ § ¨ 8 Š ) a ¿ º > _  “ ¦„   K x 9 ž Ðm î ß –“   (14) ü < (15)d ” \  @ /6 £ x ÷ &  H € ª œ  K x 9 ž Ðm î ß –> _   1 l x † < Ê Ã

º  H  Ä » / B N ç ß –\ " f y Œ •y Œ • (24)õ  (27)s  ÷ &# Q " f– Ð á Ôo 

\

   ¨ 8 Š › ' a >  $ í w n Ù þ ¡ .  ð ø Ít – Ð, Á ºô  Ç ( J $ ™[ >   © œ

#

4 ? /\  y Œ —) €e ”   H  Ä » { 9  >   H  â >  › ¸| ë ß –  8  Ò  ) a

 כ

s Ù ¼– Ð ¿ º > _   1 l x † < Êà º• ¸ Ô  ¦ƒ  5 Å q É Òo \    ¨ 8 Š › ' a > 

 $ í w n ½ + É  כ s  .  1 l x † < Êà º_  Å Òl   H ( J $ ™[ >   © œ# 4 _  U  ´ s

 Ls t ë ß – 0 Au ü < î  r1 l x | ¾ Ó ¢ ¸  H 0 Au ü < 5 Å q • ¸ / B N ç ß –\ " f /

B

N ç ß – Å Òl   H 2L s  . Õ ª QÙ ¼– Ð  1 l x † < Êà º ψ(x)\  ¦

ψ(x) = 1

√ 2L

∞

X

r=−∞

c r e ⁱ

^πrL

^x , (38)



 Z  ~ Ü ¼€   á Ôo \  > à º c r “ É r

c r = 1

√ 2L Z L

−L

ψ(x)e ⁻ⁱ

^πrL

^x dx, (39)

  ) a  . ( J $ ™[ >  Ä ºÓ ü t ? /_   1 l x † < Êà º ψ(x) ½ ©   o ÷ &% 3 



€   (38)õ  (39)d ” Ü ¼– РÒ'  Z L

0

ψ ^∗ (x)ψ(x)dx = 2

∞

X

r=−∞

c r c ^∗ _r = 1, (40)

s

 H † d`  ¦  Û ¼µ 1 Ï_  & ñ o – РÒ'  · ú ˜ à º e ”   [10]. (38)d ” õ  (39)d ”  Õ ªo “ ¦ s  d ” [ þ t % ƒ! 3  φ(x)ü < γ ^r s  á Ôo \    ¨ 8 Š› ' a

>

 { 9 M :, s  ¿ º á Ôo \    ¨ 8 Š`  ¦ s 6   x €   Z L

−L

φ ^∗ (x)f (x)ψ(x)dx =

∞

X

r=−∞

γ _r ^∗  iL π

∂

∂r

 c _r = 1,

(41) s

 $ í w n  “ ¦ Z L

−L

φ ^∗ (x)f  L iπ

∂

∂x



ψ(x)dx =

∞

X

r=−∞

γ _r ^∗ f (r)c _r = 1, (42) s

 H † d`  ¦ ~ 1 >  7 £ x" î ½ + É Ã º e ”  .

(41)d ” õ  (42)d ” \ " f  6 £ §`  ¦ s K  ½ + É Ã º e ”  .  Ä » { 9 



_  0 Au / B N ç ß –s  ` …J $ ™[ >   â > › ¸| \  _  # Œ Ä »ô  Çô  Ç / B N ç

ß –Ü ¼– Ð ô  Ç& ñ ÷ &€   “ ¦„  & h Ü ¼– Ð { 9    H Õ ª Ä »ô  Çô  Ç / B N ç ß –\ 

¿ º# Q t   H X <, € ª œ % i † < Æ& h Ü ¼– Ѝ  H î  r1 l x | ¾ Ó / B N ç ß –s  Ô  ¦ƒ   5

Å q& h “   à º / B N ç ß –Ü ¼– Ð H † d`  ¦ s K  ½ + É Ã º e ”  . 7 £ ¤, 0 Au  / B N ç ß –

\

" f 0 Au  ƒ  í ß –  x  H î  r1 l x | ¾ Ó/ B N ç ß –\ " f ^iL π

∂

∂r – Ð
 ? /t 

“

¦, 0 Au  / B N ç ß –\ " f î  r1 l x | ¾ Ó ƒ  í ß –  p = ^~ i

∂

∂x   H î  r1 l x | ¾ Ó / B N ç

ß –\ " f  H ^π~ _L r – Ð
  ? /f ” `  ¦ · ú ˜ à º e ”  .

(14) Ü ¼– Ð “ ¦„   K x 9 ž Ðm î ß –s  Å Ò# Qt   H  â Ä º U  ´s  L“   (

J $ ™[ >  Ä ºÓ ü t \ " f  1 l x † < Êà º  H

ψ n (x, t) = r 2

L sin  nπ L x 

, (43) s

 . s   â Ä º (39)d ” Ü ¼– РÒ'  á Ôo \  > à º\  ¦ ½ ¨ €   c r = −i ^|r|/r δ r,n , (44) s

  ) a  . (42)d ” õ  (44)d ” Ü ¼– РÒ'  \  -t  “ ¦Ä »u   H,

E _n = a 2

∞

X

r=−∞

 π~

L r

 ²

δ _r,n = an ² π ² ~ ²

2L ² , (45)

–

Ð (36)d ” õ  ° ú   .

VI. + s ÇÊ Ý õ m Í À X Ø8 ý

K

x 9 ž Ðm î ß –s  (1)d ” % ƒ! 3  & ñ ï  r 0 Au ü < & ñ ï  r î  r1 l x | ¾ Ó_ 

Š

© œ s  d ” Ü ¼– Ð Å Ò# Q”    â Ä º, s  K x 9 ž Ðm î ß –\  K x 9 — : r ~ ½ Ó

&

ñ d ” `  ¦ s 6   x €  ,  Ä » { 9  , { 9 & ñ ô  Ç  © œ? /\ " f î  r1 l x   H { 9

 , › ¸ o”  1 l x  , › ¸ o§ 4 Ü ¼– Ð í ß –ê ø Í   H { 9   ×  æ 
_  î

 r1 l x ~ ½ Ó& ñ d ” `  ¦ % 3 `  ¦ à º e ”  . # Q‹ "  î  r1 l x ~ ½ Ó& ñ d ” • ¸ % 3 # Q

˜

Ѐ   Õ ª î  r1 l x ~ ½ Ó& ñ d ” `  ¦ Šҍ  H Á ºÃ ºy  ´ ú §“ É r K x 9 ž Ðm î ß –s  e ”

`  ¦ à º e ”    H  כ `  ¦ (2)d ” Ü ¼– РÒ'  s K  ½ + É Ã º e ”  . # Œ l

\ " f ô  Ç î  r1 l x ~ ½ Ó& ñ d ” `  ¦ Šҍ  H à º ´ ú §“ É r K x 9 ž Ðm î ß –“ É r & ñ ï

 r î  r1 l x | ¾ Ó\  _  # Œ ½ ¨Z > H † d`  ¦ (3)d ” Ü ¼– РÒ'  · ú ˜ à º e ”  .



Ä » { 9  _  K x 9 ž Ðm î ß –“ É r ˜ Ð: Ÿ x “ §] j\ " f î  r1 l x \  - t

 † ½ Ó 
– Ð s À Ò# Q”   (14)d ” Ü ¼– Ð ÷ &# Qe ” t ë ß – z  ´] j– Ð (11)d ” _  + þ AI _  — ¸Ž  H K x 9 ž Ðm î ß –“ É r (9)d ” _   Ä »{ 9  

“

¦„   î  r1 l x ~ ½ Ó& ñ d ” `  ¦ ï  r  .

° ú

 “ É r “ ¦„    Ä » { 9   î  r1 l x ~ ½ Ó& ñ d ” `  ¦ Šҍ  H ¿ º K x 9 ž Ð m

î ß – (11)d ” õ  (14)d ” “ É r (18)d ” _  & ñ ï  r   ¨ 8 Š Ü ¼– Ð ƒ     ÷ &

#

Qe ”  . s  ¿ º K x 9 ž Ðm î ß – > \  @ /6 £ x ÷ &  H € ª œ > _  “ ¦Ä »



© œI   H (21)d ” _  Ä »m  o    ¨ 8 Š Ü ¼– Ð ƒ     H † d`  ¦ ˜ Ð% i “ ¦,

ƒ

    r & Šҍ  H Ä »m  o  ƒ  í ß –   H (24)d ” Ü ¼– Ð % 3 # Q& ’  .

Õ

ªo “ ¦ y Œ •y Œ • > _  “ ¦Ä »  1 l x † < Êà º  H (20) õ  (24)d ” Ü ¼– Ð % 3 

#

Q& ’  . y Œ •y Œ • Õ ª > [ þ t _  „    “   • ¸ (25)ü < (26)d ” Ü ¼– Ð

% 3 # Q& ’  .

"

f : r \ " f ƒ  / å L Ù þ ¡1 p w s  0 Au ü < î  r1 l x | ¾ Ós   7   H & ñ ï  r



 ¨ 8 Š (5)d ” \  @ /6 £ x ÷ &  H € ª œ % i † < Æ& h    ¨ 8 Š \  › ' a d ” s  e ”  .

s

M : “ ¦„   K x 9 ž Ðm î ß –“ É r (6)d ” s “ ¦, Õ ª > _  î  r1 l x ~ ½ Ó& ñ d ”

“ É r (7)d ” Ü ¼– Ð % 3 # Q”   . (11)d ” _   Ä » { 9  _  K x 9 ž Ð m

î ß –`  ¦ s 6   x 0 Au ü < î  r1 l x | ¾ Ó`  ¦  õ  H > _  K x 9 ž Ðm î ß –“ É r (13)d ” Ü ¼– Ð % 3 # Q”   . ° ú  “ É r   ¨ 8 Š Ü ¼– Ð (14)d ” \  @ /6 £ x ÷ &  H K

x 9 ž Ðm î ß –“ É r (15)d ” s  . (15)d ” _  K x 9 ž Ðm î ß –Ü ¼– Ð Å Ò

#

Qt   H “ ¦„   K   H 0 Au / B N ç ß –\ " f  H e ” `  ¦ à º \ O “ ¦ î  r1 l x

|

¾ Ó / B N ç ß –\ " fë ß – K \  ¦ % 3 `  ¦ à º e ” 6 £ § • ¸ [ O " î Ù þ ¡ . (13)õ  (15) K x 9 ž Ðm î ß – > _  & ñ ï  r   ¨ 8 Š“ É r (10)d ” s  . (13)d ” õ  (15)d ” \  @ /6 £ x ÷ &  H € ª œ  K x 9 ž Ðm î ß – > _  “ ¦Ä »  1 l x † < Êà º



 H (27)d ” õ  (28)d ” s “ ¦ ¿ º  1 l x † < Êà º\  ¦ ƒ     K Šҍ  H Ä » m

 o  ƒ  í ß –   H (31)d ” s  . s [ þ t y Œ •y Œ • > _  „   “   



 H (28)d ” õ  (33)d ” s  .

Ä

»ô  Çô  Ç / B N ç ß –\  ¿ º# Q4 R e ”   H { 9  > \  @ /6 £ x ÷ &  H € ª œ



> _   1 l x † < Êà º  H Ô  ¦ƒ  5 Å q& h “    © œI – Ð
 è ­ q à º e ”  .

K

x 9 ž Ðm î ß –s  (11)d ” Ü ¼– Ð
 ? /t   H Á ºô  Ç ( J $ ™[ >   © œ# 4 

?

/\  ° ú  ) € e ”   H  Ä »{ 9  _   1 l x † < Êà ºü < \  -t  “ ¦Ä »u 



 H y Œ •y Œ • (35)d ” õ  (36)d ” s  . # Œl \ " f \  -t   H > _  5

Å

q • ¸ü < › ' aº   ) a Ó ü t o  î  r1 l x | ¾ Óõ  › ' aº  ÷ &# Q Á ºÃ ºy  ´ ú §“ É r K  x 9

ž Ðm î ß – ×  æ # Q‹ "  K x 9 ž Ðm î ß –> \  5 Å q   H  1 l x † < Êà º\  ¦

t “ ¦ ½ ¨ # Œ• ¸ \  -t  l Î . ° ú כ“ É r ° ú   . 7 £ ¤, \  -t  l  Î .

° ú כ“ É r K x 9 ž Ðm î ß –_  ‚  × þ ˜\  _ t  t  · ú §  H  . Õ ª Q
 (37)d ” _  Ô  ¦S X ‰& ñ ° ú כ% ƒ! 3  & ñ ï  r î  r1 l x | ¾ Ó\  @ /6 £ x ÷ &  H ƒ  í ß – 

\

 ¦ Ÿ í† < Ê   H Ó ü t o ƒ  í ß – _  € ª œ  l Î . ° ú כ`  ¦ “ ¦ 9   H  â Ä

º  H K x 9 ž Ðm î ß –_  ‚  × þ ˜\  _ ” > r ô  Ç .    : r& h Ü ¼– Ð s   l

  €   ô  Ç “ ¦„   î  r1 l x ~ ½ ӄ  d ” `  ¦ Šҍ  H Á ºÃ ºy  ´ ú §“ É r € ª œ  K

x 9 ž Ðm î ß –`  ¦ ° ú   H >   H “ ¦„  & h Ü ¼– Ѝ  H 
_  > s t ë ß –

@

/6 £ x ÷ &  H € ª œ % i † < Æ& h  >   H ½ ¨Z > ÷ &  H >   ½ + É Ã º e ”  .

Á

ºô  Ç ( J $ ™[ >   © œ# 4 ? /\  ° ú  ) € e ”   H  Ä »{ 9  > \ " f 0 A u

ü < î  r1 l x | ¾ Ó`  ¦  Ë ¨  H & ñ ï  r   ¨ 8 Š \  @ /6 £ x ÷ &  H € ª œ  % i † < Æ

&

h

   ¨ 8 Š`  ¦  À Ò% 3  . s  Ä »ô  Ç % ò % i ë ß –`  ¦ Ÿ í† < Ê   H >   H  â

>

 ë  H ] j M :ë  H \  î  r1 l x | ¾ Ó / B N ç ß –\ " f î  r1 l x | ¾ Ó ƒ  í ß – _  € ª œ 



© œI   H à º  © œI – Ð ½ ¨ # Œ ”   . Õ ªA " f 0 Au / B N ç ß –õ  î  r1 l x

|

¾ Ó / B N ç ß –\ " f_   1 l x † < Êà º_  › ' a >   H (40)d ” e ” `  ¦  Û ¼µ 1 Ï_ 

&

ñ o _  Ò'  % 3 `  ¦ à º e ”  . (41)d ” õ  (41)d ” “ É r 0 Au / B N ç ß – õ

 î  r1 l x | ¾ Ó / B N ç ß –\ " f y Œ •y Œ • 0 Au ü < î  r1 l x | ¾ Ó ƒ  í ß – _  › ' a > 

\

 ¦ s K ½ + É Ã º e ”  . (45)d ” “ É r î  r1 l x | ¾ Ó/ B N ç ß –\ " f \  -t  l  Î .

° ú כ`  ¦ ½ ¨ô  Ç  כ Ü ¼– Ð 0 Au / B N ç ß –\ " f ½ ¨ô  Ç (36)d ” _    õ ü <

° ú

 6 £ §`  ¦ · ú ˜ à º e ”  .

s

   õ [ þ t`  ¦  „ ½ ÓÜ ¼– Ð Ä ºo   H K x 9 — : r   ïq  ~ ½ Ó& ñ d ” ,



Œ

•6   x- y Œ •   ¨ 8 Š`  ¦ Ÿ í† < Ê   H { 9 ì ø Í& h “   & ñ ï  r   ¨ 8 Š \  @ /6 £ x ÷ &



 H € ª œ % i † < Æ& h  ë  H ] j[ þ t`  ¦  À ҍ  H ƒ  ½ ¨\  › ' a d ” `  ¦ Ñ ü t  כ s 



.

P

c p 8 ý ò k >

s

  7 Hë  H“ É r 2011 † < Ƹ  • ¸ Ø  æ· ¡ ¤ @ /† < Ɠ § † < ÆÕ ü t t " é ¶ ƒ  ½ ¨ \ O  _

 ƒ  ½ ¨q  t " é ¶ \  _  # Œ ƒ  ½ ¨ ÷ &% 3 _ þ v m  .

Y

c p w Š à U Ø ”  ô

[1] H. Goldstein, Classical Mechanics, 2nd Edt.

(Addison-Wesley Publishing Company, London, 1980).

[2] E. C. G. Sudarshan and N. Mukunda, Classical Dynamics; Mordern perspective (Wiley, New York, 1974).

[3] W. Dittrich and M. Reuter, Classical and Quantum Dynamics (Springer-Verlag, Berlin, 1993).

[4] C. I. Um, K. H. Yeon and T. F. George, Phys. Rep.

362, 63 (2002).

[5] K. H. Yeon, D. Walls, C. I. Um, T. F. George and L. N. Pandey, Phys. Rev. A 58, 1765 (1998).

[6] K. H. Yeon, C. I. Um and T. F. George, Phys. Rev.

A 68, 052108 (2003).

[7] K. H. Yeon, S. S. Kim, Y. M. Moon, S. K. Hong, C.

I. Um and T. F. George, J. Phys. A: Math. Gen. 34, 7719 (2001).

[8] J. J. Sakurai, Modern Quantum Mechanics Revised Edition (Addison-Wesley Publishing Company New York, 1994).

[9] K. H. Yeon, New Physics: Sae Mulli 62, 19 (2012).

[10] K. F. Riley, M. P. Hobson and S. J. Bence, Math-

ematical Methods for Physics and Enginerring, 3rd

Edt. (Cambridge University Press, UK, 2006).