Ç m× Dc Ü R m Ò Þà Ã Å õ u § Þ X ¢ Ò Å Æ U Ø Ò ÞS ë sÊ Ý P c l Æ U Ø Ò ÞS ë s | ºÇ X Ø ì Å

(1)

ø m

Ç m× Dc Ü R m Ò Þà Ã Å õ u § Þ X ¢ Ò Å Æ U Ø Ò ÞS ë sÊ Ý P c l Æ U Ø Ò ÞS ë s | ºÇ X Ø ì Å

»ª <# Ü · L | Ú' å

â

· ¡ ¤ @ / < Æ § Ó ü t o §¹ ¢ ¤ / B N, @ /½ ¨ 702-701

(2010¸ 4 Z 4 2{ 9 ~ Ã Î6 £ §, 2010¸ 6 Z 4 9{ 9 Ã º& ñ : r ~ Ã Î6 £ §, 2010¸ 7 Z 4 13{ 9 > F S X & ñ )

:

r ½ ¨\ " f H N > h { 9 Ð ½ ¨$ í ) a { 9 ì ø Í o ) a ò ø Í1 l x ü < ò ø Í ¨ 8 s _ ¢ - a q ò ø Í$ í Ø æ[ t \ ' a K ¸

% i . : £ ¤ y , Ø æ[ t f Ê ê ò ø Í1 l x _ 5 Å q ¸ü < y 5 Å q ¸\ @ /ô Ç { 9 ì ø ÍK \ ¦ ½ ¨ % i . Ø æ[ t f õ f Ê ê

\

y î r1 l x | ¾ Ó É r ½ Ó © Ð > r ÷ & H ì ø Í , î r1 l x | ¾ Ó É r ¿ º Ó ü t ^ _ Ø æ[ t s : £ ¤& ñ ô Ç t & h \ " f s À Ò# Q| 9 â Ä º\ ë

ß Ð > rH d` ¦ · ú ? /% 3 . ò ø Í ¨ 8 s ò ø Í1 l x _ n P : { 9 \ Ø æ[ t H â Ä º, î r1 l x | ¾ Óõ y î r1 l x | ¾ Ós 1

l

x r \ Ð > r ÷ & H Ø æ[ t ¸| É r 3n = 2N + 1 (n ≤ N )e ` ¦ ¹ 1 Ô ? /% 3 . ¢ ¸ô Ç s Ø æ[ t ¸| ` ¦ ë ß 7 á ¤ H t

& h s { 9 ì ø Í o ) a ò ø Í1 l x _ Ø æ _ × æd s H z ´` ¦ 7 £ x" î % i .

Ù þ

d # Q: { 9 ì ø Í o ) a ò ø Í1 l x , î r1 l x | ¾ Ó, Ø æ | ¾ Ó, Ø æ _ × æd

Study of Linear and Angular Momentum Conservations in the Generalized Ballistic Pendulum

Eun-Kyung Kim · Ho-Meoyng Choi ^∗

Department of Physics Education, Kyungpook National University, Daegu 702-701 (Received 2 April, 2010 : revised 9 June, 2010 : accepted 13 July, 2010)

We study a perfectly inelastic collision between a moving bullet and a generalized ballistic pen- dulum consisting of particles. We obtained the general solutions for the linear and the angular velocities of the ballistic pendulum just after the collision. While the angular momentum is always conserved just before and after the collision, the linear momentum is found to be conserved only when the collision occurs at a very specific point. If the bullet collides with the nth particle of the ballistic pendulum, the collision condition satisfying both the linear and the angular momentum conservations is found to be 3n = 2N + 1 (n ≤ N ). We also proved that the point satisfying this collision condition corresponds to the center of percussion of the generalized ballistic pendulum.

PACS numbers: 01.40.Fk, 01.50.Wg

Keywords: Generalized ballistic pendulum, Momentum, Impulse, Center of percussion

I. " e Â ] Ø

Ó ü

t o < Æ\ " f © × æ כ ¹r H Z O g Ë : × æ H Ð > r Z O g Ë

: (conservation law)s . Ð > r Z O g Ë :s ê ø Í ¦w n > \ " f # Q

"

8 £ ¤& ñ 0 p x ô Ç Ó ü t o | ¾ Ós r ç ß o\ t · ú § H

∗

E-mail: [email protected]

H כ ` ¦ _ p ô Ç . Ð > r Z O g Ë :\ H \ -t Ð > r Z O g Ë :,

î r1 l x | ¾ Ó Ð > r Z O g Ë :, y î r1 l x | ¾ Ó Ð > r Z O g Ë :, Ð > r Z O g Ë

: 1 p x s e . s [ þ t × æ © Å Ò 6 x ÷ & H Ð > r Z O g Ë :

É

r ¸ \ -t Ð > r Z O g Ë :õ î r1 l x | ¾ Ó Ð > r Z O g Ë :{ 9 כ s

. \ -t Ð > r Z O g Ë : É r # Q " > (system)ü < > \ ¦ Ñ ü t

Qø ß Å Ò (surroundings)_ íl © I ü < × æ © I s

_ 8 ú x \ -t o ∆E sys + ∆E sur H 0e ` ¦ _ p ô Ç .

-702-

(2)

Fig. 1. Ballistic pendulum.

7 £ ¤, \ -t H ½ Ó ¸÷ & èY > ÷ &t · ú §Ü ¼ 9 o < Æ \ -t

\

" f % i < Æ& h \ -t Ð_ ¨ 8 õ ° ú s é ß t ô Ç + þ AI \ " f

É r + þ AI Ð ¨ 8 H d` ¦ _ p ô Ç . Õ ª Q ë ß { 9 Ä ºo : £ ¤

&

ñ ô Ç > _ \ -t o ∆E sys ë ß ` ¦ ¦ 9 H â Ä º\ H Õ

ª ° ú כs 0{ 9 Ã º ¸ u ´ Ã º ¸ e . Ó ü t o < Æ\ " f © Å

Ò 6 x ÷ & H % i < Æ& h \ -t _ â Ä º\ ¦ \ V Ð [ þ t # Q Ð . % i

< Æ& h \ -t E H # Q " > _ î r1 l x \ -t Kü < ( J $ [ > \

-t U_ ½ + ËÜ ¼ Ð & ñ _ ) a . íl © I ü < × æ © I s _

> _ % i < Æ& h \ -t o ∆E = ∆K + ∆U H Ð > r§ 4 (conservative force) s 6 x H â Ä º\ H 0 s t ë ß q Ð

> r§ 4 (nonconservative force)s 6 x H â Ä º\ H 0 s

m . Ð > r§ 4 s ê ø Í # Q " Ó ü t ^ \ ¦ ô Ç t & h \ " f É r t & h Ü

¼ Ð ` l H X < j Ë µs ô Ç { 9 s â Ð\ Á º ' a ô Ç â Ä º, 6 x ô

Ç j Ë µ` ¦ ´ ú ô Ç . 8 ú x \ -t \ ¦ ¦ 9½ + É M :, Ð > r§ 4 (q Ð > r

§

4 )s 6 x H â Ä º > \ ¦ Ñ ü t Qø ß Å Ò _ \ -t o H

∆E sur = 0 (∆E sur 6= 0)` ¦ _ p ô Ç . 7 £ ¤, % i < Æ& h \ -t

H ½ Ó © Ð > r ÷ & H כ s m Ð > r§ 4 s 6 x H â Ä º

\

ë ß Ð > r ) a .

ô

Ç¼ # , î r1 l x | ¾ Ó Ð > r Z O g Ë : É r \ -t Ð > r õ © ' a\ O s · ú

ü @§ 4 s 6 x t · ú § H ô Ç ½ Ó © & h 6 x ÷ & H Ð¼ # & h Ð > r Z O

g Ë :s . î r1 l x | ¾ Ó É r ß ¼> # î î r1 l x H â Ä º_ î r1 l x

|

¾ Óõ r î r1 l x H â Ä º_ y î r1 l x | ¾ ÓÜ ¼ Ð Ð ü t Ã º e .

¿

º Ó ü t ^ Ø æ[ t H â Ä º\ ¦ \ V Ð [ þ t , ò ø Í$ í Ø æ[ t _ â Ä

º Ø æ[ t õ Ê ê_ % i < Æ& h \ -t H Ð > r ÷ &t ë ß q ò ø Í$ í Ø

æ[ t _ â Ä º\ H Ð > r ÷ &t · ú § H . Õ ª Q ¿ º Ó ü t ^ Ø æ [

t H í H ç ß \ 6 x- ì ø Í 6 x Z O g Ë :\ _ ô Ç ? /Â Ò_ j Ë µë ß s

6 x ¦ ü @Â Ò j Ë µ É r 6 x t · ú § H â Ä º , Ø æ[ t _ 7 á x À

Ó(ò ø Í$ í ¢ ¸ H q ò ø Í$ í )ü < © ' a\ O s Ø æ[ t õ Ê ê_ î r1 l x

|

¾ Ó É r ½ Ó © Ð > r ) a .

{ 9

ì ø Í& h Ü ¼ Ð # î î r1 l x õ r î r1 l x` ¦ ¸¿ º # î ' H y

© ^ _ Ø æ[ t` ¦ À Ò H â Ä º, î r1 l x | ¾ Óõ y î r1 l x | ¾ Ó Ð > r

`

¦ ¸¿ º ¦ 9K ô Ç [1,2]. ô Ç \ V Ð, Fig. 1õ ° ú s 8 ú x

· ú

_ 5 Å q§ 4 ` ¦ 8 £ ¤& ñ l 0 AK ¦î ß ô Ç ò ø Í1 l x (ballistic pendulum) ë H ] j\ ¦ Ò q ty K Ð [3–5]. Figure 1 É r | 9 | ¾ Ó

`

¦ Á ºr ½ + É Ã º e H z ´\ ) a | 9 | ¾ Ó M Ó ü t ^ \ | 9 | ¾ Ó

Fig. 2. Experimental setup for ballistic pendulum [6,7].

m 8 ú x · ú s ¢ - a q ò ø Í$ í Ø æ[ t ô Ç Ê ê þ j ¦ Z } s \ ¸² ú ô

Ç ¸_ þ v` ¦ · p כ s .

8 ú

x · ú s Ó ü t ^ \ ¢ - a q ò ø Í$ í Ø æ[ t ô Ç f Ê ê ô Ç é # Qo

)

a Ó ü t ^ _ þ j ¦ Z } s \ ¦ s 6 x # Ø æ[ t f 8 ú x · ú _ 5 Å q

§ 4 ` ¦ ½ ¨ H ë H ] j H @ / < Æ § { 9 ì ø ÍÓ ü t o §F \ " f _ f

\ O s À Ò H \ V] j [3–5]s . s ë H ] j H î r1 l x | ¾ Ó < Ê É r y

î r1 l x | ¾ Ó Ð > r Z O g Ë :` ¦ & h 6 x # Û ¦ Ã º e . t ë ß , Ø æ [

t õ Ê ê_ î r1 l x | ¾ Ó Ð > r Z O g Ë :` ¦ & h 6 x H é ß > \ " f _

¸ H §F H î r1 l x | ¾ Ó Ð > r Z O g Ë :` ¦ & h 6 x ¦ e . Õ ª s

Ä » H ¸ s ò ø Í1 l x \ ¦ À Ò H é ß " é ¶ s î r1 l x | ¾ Ó, Ø

æ | ¾ Ó, Õ ªo ¦ Ø æ[ t é ß " é ¶ s l M :ë H{ 9 כ s . ¸ H { 9 ì

ø Í Ó ü t o < Æ §F r î r1 l x õ y î r1 l x | ¾ Ó\ @ /K î r1 l x

|

¾ Ó é ß " é ¶ s Ê ê\ À Ò ¦ e 6 £ §` ¦ S X ½ + É Ã º e .

Figure 2 H @ / < Æ Ó ü t o < Æ z ´+ « >\ " f 6 x H ò ø Í1 l x _

¢ - a q ò ø Í$ í Ø æ[ t z ´+ « > © u [Fig. 2(a)]ü < é ß ¸[Fig.

2(b)]\ ¦ y y · p כ s [6,7].

Figure 2 \ " f Ð1 p w z ´] j ò ø Í1 l x _ z ´+ « > © u H é ß Â

Ò_ | 9 | ¾ Ós 100 ∼ 200 g & ñ ¸ ò ø Í1 l x \ 60 ∼ 70g

&

ñ ¸_ F K5 Å q ½ ¨ ò ø Í ¨ 8 ` ¦ 6 x ¦ e [6, 7]. ¢ ¸ô Ç

H × ¦ s Ö ¼ ê ø Í } @ / Ð ½ ¨$ í ÷ &# Q e Ü ¼ 9

} @ /_ | 9 | ¾ Ó É r é ß Â Ò\ q K B Ä º H & ñ

\ z ´+ « >` ¦ Ã º' ô Ç . z ´+ « > © u H µ 1 Ï ^ Y U! Q\ ¦ : x K µ

1 Ï ) a F K5 Å q ½ ¨\ ¦ µ 1 Ï ^ · ú ¡ é ß Â Ò_ Õ ªÓ ü t } © H %

Ð ~ Ã Î ? / ¸2 ¤ ½ ¨$ í ÷ &# Qe . s ò ø Í1 l x z ´+ « > % i r Ø æ [

t õ Ê ê_ F K5 Å q ½ ¨_ î r1 l x | ¾ Ó Ð > r Z O g Ë :` ¦ & h 6 x H é ß

>

\ " f î r1 l x | ¾ Ó Ð > r Z O g Ë :` ¦ & h 6 x ¦ e [6,7]. t ë

ß } @ /\ ¦ s 6 x # ] j ) a z ´] j ò ø Í1 l x z ´+ « > © u

H Fig. 1 õ ° ú É r s © & h (7 £ ¤, z ´\ B ² ú 2 ;) ò ø Í1 l x ü

< q §½ + É M :, 6 £ § õ ° ú É r B Ä º É r Ó ü t o & h : £ ¤$ í ` ¦ ° ú

H . Fig. 1õ ° ú s | 9 | ¾ Ós \ O H z ´\ ) a ò ø Í1 l x _

â Ä º\ H ¢ - a q ò ø Í$ í Ø æ[ t © S ! \ " f r » ¡ ¤ s } @ /

\

6 x H ü @§ 4 (Ø æ § 4 )s > r F t · ú §Ü ¼Ù ¼ Ð î r1 l x

|

¾ Ó Ð > rZ O g Ë :s ½ Ó © $ í w n ô Ç . ì ø Í \ Fig. 2ü < ° ú s Ö

¼ ê ø Í } @ / Ð ½ ¨$ í ) a z ´] j ò ø Í1 l x z ´+ « >_ â Ä º

(3)

\

H Ø æ[ t © S ! \ " f r » ¡ ¤ s } @ /\ ² ú H ü @§ 4 s

> r F ½ + É Ã º e . r » ¡ ¤ \ _ ô Ç ü @§ 4 s > r F H â Ä º\

H î r1 l x | ¾ Ó Ð > r Z O g Ë : É r $ í w n ÷ &t · ú § H . ì ø Í \ ü @§ 4

É

r r » ¡ ¤ \ ë ß 6 x Ù ¼ Ð y î r1 l x | ¾ Ó Ð > r Z O g Ë : É r ü @§ 4 _

> r F # Â Òü < ' a > \ O s ½ Ó © $ í w n ô Ç . 7 £ ¤, Fig. 2 \

"

f } @ /_ | 9 | ¾ Ós Á ºr ) a ¦ 8 ¸ Ø æ[ t t & h _

0 Au \ r » ¡ ¤ s } @ /\ 6 x H ü @§ 4 _ ´ òõ

> r F ½ + É Ã º e H & h s z ´\ B ² ú 2 ; ò ø Í1 l x _ â Ä º ü

< 2 £ § \ Ä »_ K ô Ç . t ë ß s Qô Ç Ä »_ ½ Ó É r # Q

"

z ´+ « > « Ñ\ " f ¸ S X ½ + É Ã º \ O % 3 .

ò

ø Í1 l x _ ¢ ¸ É r 6 £ x6 x \ V Ð ¦1 p x < Æ § < ÆÒ q t[ þ t` ¦ 0 A ô

Ç Ã Ð ¦ ë H ³ [8]\ " f H “| 9 | ¾ Ó` ¦ Á ºr ½ + É Ã º e H }

@

/\ | 9 | ¾ Ós ° ú É r ¿ º Ó ü t ^ \ ¦ B ² ú 8 ú x · ú s ¿ º Ó ü t ^ × æ

\ ¢ - a q ò ø Í$ í Ø æ[ t f Ê ê ô Ç é # Qo ) a ò ø Í1 l x

= å

Q s ;& ñ \ ² ú ¢l 0 Aô Ç ò ø Í ¨ 8 _ þ j è 5 Å q§ 4 ”` ¦ ½ ¨ H ë H ]

j\ ¦ ] jr % i ¦ & ñ S X ô Ç K ² ú É r ] j/ B N t · ú § ¤ . s ë H ]

j H Fig. 1 _ â Ä ºü < H ² ú o , 8 ú x · ú s ¿ º Ó ü t ^ × æ

\

q ò ø Í$ í Ø æ[ t f Ê ê ô Ç é # Qo ) a Ó ü t ^ _ 5 Å q§ 4 É r 8 ú x · ú s

Y > P : Ó ü t ^ \ Ø æ[ t H \ © ' a\ O s î r1 l x | ¾ Ó Ð

> r Z O g Ë :õ y î r1 l x | ¾ Ó Ð > r Z O g Ë :` ¦ & h 6 x ô Ç õ Ø Ô>

è ß . 7 £ ¤, î r1 l x | ¾ Ó Ð > r Z O g Ë : É r 6 x ½ + É Ã º \ O . Õ ª s

Ä » H r » ¡ ¤ \ ² ú ÷ & H ü @§ 4 s ½ Ó © > r F l M :ë H s

. y î r1 l x | ¾ Ó\ @ /ô Ç > h¥ Æ ` ¦ < Æ_ þ v t · ú § H ¦1 p x < Æ §

< ÆÒ q t[ þ t _ â Ä º, s ë H ] j\ @ /ô Ç K ² ú ` ¦ ¸Ø ¦ l H B Ä º

#

Q 9Ö ¦ כ s .

: r ½ ¨\ " f H Fig. 2 _ ò ø Í1 l x z ´+ « >` ¦ 6 £ x6 x ô Ç { 9 ì ø Í

o ) a ò ø Í1 l x , 7 £ ¤, | 9 | ¾ Ó` ¦ Á ºr ½ + É Ã º e H Ö ¼ ê ø Í }

@

/\ { 9 & ñ ô Ç ç ß Ü ¼ Ð B ² ú 2 ; N > h_ Ó ü t ^ Ð ½ ¨$ í ) a

\ ¦ ¦î ß # { 9 ì ø Í o ) a ò ø Í1 l x _ ¢ - a q ò ø Í$ í Ø æ[ t r

î r1 l x | ¾ Ós Ð > r ÷ & H ¸| \ @ /K · ú Ð ¤ . N> h Ó

ü

t ^ { 9 & ñ ô Ç ç ß Ü ¼ Ð Ô ¦ 5 Å q& h Ü ¼ Ð B ² ú 2 ; { 9 ì ø Í o ) a ò

ø Í1 l x _ â Ä º, r » ¡ ¤ \ ² ú ÷ & H ü @§ 4 _ > r F # Â Ò

\

' a > \ O s Ø æ[ t õ Ê ê_ y î r1 l x | ¾ Ó É r ½ Ó © Ð > r ÷ & H ì ø

Í , r » ¡ ¤ \ ² ú ÷ & H ü @§ 4 s 0s ÷ & H B Ä º : £ ¤ Ã ºô Ç Ø

æ[ t t & h \ " fë ß î r1 l x | ¾ Ós Ð > r ) a . : r ½ ¨\ " f Ä º o

H { 9 ì ø Í o ) a ò ø Í1 l x _ ¢ - a q ò ø Í$ í Ø æ[ t` ¦ : x K î

r1 l x | ¾ Óõ y î r1 l x | ¾ Ós 1 l x r \ Ð > r ÷ & H Ø æ[ t t & h \ @ / ô

Ç { 9 ì ø ÍK \ ¦ ½ ¨ % i ¦, s { 9 ì ø ÍK H Ó ü t ^ 5 Å q& h Ü ¼ Ð ì

r í ) a y © ^ _ â Ä º\ ¸ & h 6 x ½ + É Ã º e 6 £ §` ¦ Ð% i . q 2

¤ y © ^ _ q ò ø Í$ í Ø æ[ t \ ' a ô Ç ë H ] j H # Q Ó ü t o < Æ §F [1–8] x 9 Ã Ð ¦ ë H ³ [9–16]\ ¦ : x K ´ ú §s À Ò# Q4 R M ® o t ë ß ,

: r ½ ¨ Å Ò] j { 9 ì ø Í o ) a ò ø Í1 l x _ q ò ø Í$ í Ø æ[ t` ¦ : x ô

Ç î r1 l x | ¾ Óõ y î r1 l x | ¾ Ó_ & h 6 x s 1 l x r \ ë ß 7 á ¤ ÷ & H Ø æ [

t t & h \ ' a ô Ç { 9 ì ø ÍK H # Qn \ " f ¸ ¹ 1 Ô ^ ¦ Ã º \ O % 3 .

Fig. 3. Many particle system.

s

7 Hë H _ ½ ¨$ í É r 6 £ § õ ° ú . $ II © \ " f H : r

½

¨ü < ' aº ) a { 9 > \ " f î r1 l x | ¾ Óõ y î r1 l x | ¾ Ó_ & ñ _

\ @ /ô Ç s : r& h C â ` ¦ ç ß | Ä Ìy & ñ o % i . III © \ " f

H : r ½ ¨_ Å Ò] j | 9 | ¾ Ó` ¦ Á ºr ½ + É Ã º e H Ö ¼ ê ø Í }

@

/\ ) a N > h_ Ó ü t ^ Ð ½ ¨$ í ) a { 9 ì ø Í o ) a ò ø Í1 l x \ ¦

¦î ß # ¢ - a q ò ø Í$ í Ø æ[ t f Ê ê_ 5 Å q ¸ü < y 5 Å q ¸ 1 p x _ { 9

ì ø Í o ) a K \ ¦ ½ ¨ % i . : £ ¤ y , q ò ø Í$ í Ø æ[ t õ & ñ \ " f î

r1 l x | ¾ Óõ y î r1 l x | ¾ Ós 1 l x r \ Ð > r ÷ & H { 9 ì ø Í o ) a ¸| , 7

£ ¤, r » ¡ ¤ \ ² ú ÷ & H ü @§ 4 s 0s ÷ &> H Ø æ[ t t & h

`

¦ ¹ 1 Ô ? /% 3 . ¢ ¸ô Ç | 9 | ¾ Ós 5 Å q& h Ü ¼ Ð ì r í ) a y © ^ _ Ø

æ[ t ë H ] jü < q §\ ¦ : x K : r ½ ¨\ " f ½ ¨ô Ç K ` H

z ´` ¦ 7 £ x" î % i . = å Q Ü ¼ Ð IV\ " f H : r ½ ¨_ õ \ ¦

&

ñ o % i .

II. T Â ] ØX ì Ä 9 0ß O Ë

s

© \ " f H : r ½ ¨ü < ' aº ) a { 9 > \ " f î r1 l x

|

¾ Óõ y î r1 l x | ¾ Ó_ & ñ _ \ @ /K ç ß | Ä Ìy & ñ o % i .

Figure 3 \ " fü < ° ú s n> h { 9 Ð ½ ¨$ í ) a { 9 > _ 8

ú x | 9 | ¾ Ó M É r

M =

n

X

i=1

M _i (1)

s

¦ > _ | 9 | ¾ Ó× æd (Center of Mass:CM) ~ R cm É r R ~ cm = 1

M X

i

M i R ~ i (2)

Ð & ñ _ ) a . # l " f M i H i P : { 9 _ | 9 | ¾ Ós ¦ ~ R _i H ý

a³ ð_ " é ¶& h O ÐÂ Ò' i P : { 9 t _ 0 As . | 9 | ¾ Ó

(4)

s

5 Å q& h Ü ¼ Ð ì r í÷ &# Q e ` ¦ â Ä º\ H d (2)_ ½ + Ë É r & h ì

r Ü ¼ Ð @ /u ) a .

s

{ 9 > _ 8 ú x î r1 l x | ¾ Ó É r P = ~ d

dt X

i

M _i R ~ _i = M ~ V _cm (3)

s

. # l " f ~ V cm É r > _ CM_ 5 Å q ¸ Ð V ~ cm = 1

M X

i

M i V ~ i (4)

s

¦ ~ V i H ý a³ ð_ " é ¶& h O\ @ /ô Ç i P : { 9 _ 5 Å q ¸s .

ü

@§ 4 s 6 x t · ú §` ¦ â Ä º\ > _ 8 ú x î r1 l x | ¾ Ó É r Ð > r

)

a . d (3) É r > _ 8 ú x î r1 l x | ¾ Ó ~ P H CM \ | 9 | ¾ Ó M é

ß { 9 { 9 Z ~ # 5 Å q ¸ ~ V _cm Ü ¼ Ð î r1 l x ½ + É M :_ î r1 l x | ¾ Ó õ

° ú 6 £ §` ¦ _ p ô Ç .

ý a³ ð_ " é ¶& h Oü < CM s _ 0 Aü < 5 Å q ¸_ ' a > H y

y

R ~ _i = ~ R _cm + ~ r _i , V ~ _i = ~ V _cm + ~ v _i , (5) s

. # l " f ~r ⁱ H CM Ü ¼ ÐÂ Ò' i P : { 9 t _ 0 A s

¦, ~v ⁱ H CM \ @ /ô Ç i P : { 9 _ 5 Å q ¸s . d (5)\ ¦ d

(2)ü < d (4)\ y y & h 6 x X

i

M i ~ r i = 0 , X

i

M i ~ v i = 0 , (6)

e

` ¦ · ú Ã º e . d (5) ∼ (9)\ ¦ s 6 x # ý a³ ð_ " é ¶& h O \ @ /ô Ç { 9 > _ y î r1 l x | ¾ Ó É r CM _ / B N î r1 l x õ CM \ @ /ô Ç î r1 l x _ ½ + ËÜ ¼ Ð 6 £ § õ ° ú s è q Ã º e

.

L = ~

n

X

i=1

R ~ i ×M i V ~ i = ( ~ R cm ×M ~ V cm )+( X

i

~

r i ×M i ~ v i ) (7)

s

. d (7)_ ¸ É rA á ¤ ' Í P : ½ Ó É r ý a³ ð_ " é ¶& h O\ @ / K

/ B N H CM _ y î r1 l x | ¾ Ó\ K { © ¦, ¿ º P : ½ Ó É r CM \ @ /K H > h> h { 9 [ þ t _ y î r1 l x | ¾ Ó_ ½ + Ë` ¦ _

p ô Ç . CM\ @ /ô Ç y î r1 l x | ¾ Ó` ¦ ~ L cm s & ñ _ ½ + É M :, L ~ cm É r ½ ¨$ í { 9 _ © @ / o ¢ - a y ¦& ñ ) a y © ^ \ ¦ + þ A

$ í

H â Ä º 8¹ ¡ ¤ é ß í H o | ¨ c Ã º e . 7 £ ¤, y © ^ _ CM` ¦ :

x õ # y 5 Å q ¸ ~ω Ð r H e _ _ r » ¡ ¤ ˆ n(Fig. 3

Ã

Ð ¸)\ Ã ºf Ü ¼ Ð ~r ⁱ \ 0 Au ô Ç i P : { 9 _ 5 Å q ¸ ~v ⁱ H

~

v i = ~ ω × ~ r i (8) s

. s â Ä º ~L ^cm s ß ¼l H

L _cm = X

i

M _i r ² _i

!

ω = I _cm ω (9) s

¦, I cm É r CM` ¦ : x õ H r » ¡ ¤ ˆ n \ @ /ô Ç y © ^ _ ' a

$ í

¸F ' pà Ôs . CM` ¦ : x õ t · ú § H ¢ ¸ É r e _ _ r

» ¡ ¤ \ @ /ô Ç y © ^ _ ' a$ í ¸F ' pà Ô\ ¦ I ½ + É M :, Iü < I ^cm s

_ ' a > H ¨ î ' » ¡ ¤ & ñ o (Parallel axes theorem) [1,2]\ ¦ s

6 x # 6 £ § õ ° ú s ½ ¨½ + É Ã º e .

I = I cm + M R ² _cm (10)

#

l " f R cm É r ¿ º r » ¡ ¤ s _ o s . ¨ î ' » ¡ ¤ & ñ o ê

ø Í “e _ _ » ¡ ¤ \ @ /ô Ç y © ^ _ ' a$ í ¸F ' pà Ô H CM` ¦ t

" f e _ _ » ¡ ¤ õ ¨ î ' » ¡ ¤ \ @ /ô Ç ' a$ í ¸F ' pà Ôü < y © ^ _

| 9 | ¾ Ó\ ¿ º » ¡ ¤ s o _ ] jY L` ¦ Y L ô Ç כ _ ½ + Ëõ ° ú 6

£ §”` ¦ ´ ú K ï r .

s

X O > & ñ _ ) a î r1 l x | ¾ Óõ y î r1 l x | ¾ Ó_ @ /³ ð& h & h 6 x

\

V H y © ^ \ ¦ í < Êô Ç Ø æ[ t ë H ] js . { 9 ì ø Í& h Ü ¼ Ð ¿ º y © ^

Ø æ[ t H â Ä º, Ø æ[ t H 1 l x î ß Ñ ü t s \ 6 x H Ø æ

§ 4 É r ß ¼l ° ú ¦ ~ ½ Ó ¾ Ós ì ø Í@ /s . " f, Ø æ[ t t

&

h s ü @_ É r # Q " t & h \ " f ü @§ 4 s 6 x t · ú § H

î r1 l x | ¾ Ó Ð > r Z O g Ë :õ y î r1 l x | ¾ Ó Ð > r Z O g Ë :_ & h 6 x s

¸¿ º 0 p x . t ë ß ô ÇA á ¤ s e _ _ » ¡ ¤ \ ¦& ñ ) a y © ^ _

Ø æ[ t \ _ ô Ç r ë H ] j H # y y î r1 l x | ¾ Ó Ð > r Z O g Ë :

`

¦ & h 6 x ½ + É Ã º e Ü ¼ , î r1 l x | ¾ Ó Ð > r Z O g Ë : É r Ø æ[ t í H ç ß

r » ¡ ¤ _ ì ø Í6 £ x # Â Ò\ & h 6 x 0 p x$ í s ² ú | 9 Ã º e

. s \ @ /ô Ç [ O " î É r : r 7 Hë H _ Å Ò] j { 9 ì ø Í o ) a ò ø Í1 l x

_ \ V\ ¦ : x K 6 £ § © \ " f [ jy À Ò ¦ ô Ç .

III. ø m Ç m× Dc Ü R m Ò Þà Ã Å

Figure 4 H U ´s l Ð { 9 & ñ ¦ | 9 | ¾ Ó` ¦ Á ºr ½ + É Ã º e

H } @ /ü < | 9 | ¾ Ó M Ó ü t ^ N> h\ ¦ §@ / Ð # ;& ñ

\

B é ß { 9 ì ø Í o ) a ò ø Í1 l x \ ¦ · p כ s .

ë

H ] j\ ¦ é ß í H o l 0 AK } @ /\ B ² ú 2 ; y Ó ü t ^ _ | 9

|

¾ Óõ 8 ú x · ú _ | 9 | ¾ Ó É r M Ü ¼ Ð ° ú Ü ¼ 9, Ó ü t ^ ü < 8 ú x · ú ¸¿ º ß ¼ l

\ ¦ Á ºr ½ + É Ã º e H { 9 Ð 2 [/ å L % i . ë ß n(≤ N) P

: Ó ü t ^ \ 8 ú x · ú s v_ 5 Å q§ 4 Ü ¼ Ð ¢ - a q ò ø Í$ í Ø æ[ t ½ + É M : Ø

æ[ t f Ê ê ô Ç é # Qo ) a (N +1){ 9 > _ CM` ¦ R ⁽ⁿ⁾ cm s

, R cm ⁽ⁿ⁾ É r

R ⁽ⁿ⁾ _cm = P N

i=1 (il)M i

P N i=1 M i

= 2n + N (N + 1)

2(N + 1) l (11) s

) a . # l " f i = n\ " f M i = 2M s ¦ i 6= n\ " f M i = M e ` ¦ s 6 x % i . ¢ ¸ô Ç R ⁽ⁿ⁾ cm _ 0 A' n É r 8 ú x · ú s

n P : Ó ü t ^ \ Ø æ[ t % i 6 £ §` ¦ _ p ô Ç . · ú ¡Ü ¼ Ð è

q Ó ü t o | ¾ Ó\ 1 l x{ 9 ô Ç 0 A' n` ¦ 6 x H â Ä º H ‘8 ú x · ú s

n P : Ó ü t ^ \ Ø æ[ t % i 6 £ §ï` ¦ _ p ô Ç .

(5)

Fig. 4. Generalized ballistic pendulum.

8 ú

x · ú s n P : Ó ü t ^ \ q ò ø Í$ í Ø æ[ t f Ê ê, ô Ç é # Qo

)

a > _ r » ¡ ¤ \ @ /ô Ç ' a$ í ¸F ' pà Ô\ ¦ I _N ⁽ⁿ⁾ s ½ + É M :, I _N ⁽ⁿ⁾ É r

I _N ⁽ⁿ⁾ =

N

X

i=1

M i (il) ²

n ² + N (N + 1)(2N + 1) 6

M l ²

(12) s

. d (10)_ ¨ î ' » ¡ ¤ & ñ o \ _ K n P : Ó ü t ^ \ ¢ - a q

ò ø Í$ í Ø æ[ t f Ê ê ô Ç é # Qo ) a > _ CM\ @ /ô Ç ' a$ í

¸F ' pà Ô I ^cm ⁽ⁿ⁾ É r I cm ⁽ⁿ⁾ = I _N ⁽ⁿ⁾ − (N + 1)M R ⁽ⁿ⁾² cm s .

$ , 8 ú x · ú s n P : Ó ü t ^ \ ¢ - a q ò ø Í$ í Ø æ[ t õ Ê ê

\

î r1 l x | ¾ Ós Ð > r ) a ¦ & ñ . s M :, Ø æ[ t f Ê ê ô Ç é # Qo ) a (N + 1){ 9 > _ CM_ 5 Å q§ 4 v _cm ^P É r î r1 l x

|

¾ Ó Ð > r Z O g Ë :\ _ K

M v = (N + 1)M v _cm ^P (13) s

Ù ¼ Ð v ^P cm H

v _cm ^P = 1

N + 1 v (14) s

. ¢ ¸ô Ç > _ y 5 Å q ¸\ ¦ ω ⁽ⁿ⁾ _P d (11)õ d (14) \ _ K

ω _P ⁽ⁿ⁾ = v ^P _cm R ⁽ⁿ⁾ cm

= 1 n + ^{N (N +1)} ₂

v

l (15) s

.

s

\ H 8 ú x · ú s n P : Ó ü t ^ \ ¢ - a q ò ø Í$ í Ø æ[ t õ

Ê ê\ y î r1 l x | ¾ Ó Ð > r Z O g Ë :` ¦ & h 6 x # Ð . s M :, Ø æ [

t f Ê ê ô Ç é # Qo ) a > _ y 5 Å q ¸\ ¦ ω ⁽ⁿ⁾ _L s , ω _L ⁽ⁿ⁾ É r y î r1 l x | ¾ Ó Ð > r Z O g Ë :\ _ K

M (nl)v = I _N ⁽ⁿ⁾ ω ⁽ⁿ⁾ _L (16) s

Ù ¼ Ð ω L ⁽ⁿ⁾ H

ω _L ⁽ⁿ⁾ = n

n ² + N (N +1)(2N +1) 6

v

l (17)

) a . y î r1 l x | ¾ Ó Ð > r Z O g Ë :Ü ¼ ÐÂ Ò' ½ ¨ô Ç CM_ 5 Å q ¸

\

¦ v cm ^(n)L s , v ^(n)L cm É r d (11)õ d (17)\ _ K v ^(n)L _cm = R ⁽ⁿ⁾ _cm ω _L ⁽ⁿ⁾ = 3n[2n + N (N + 1)]

(N + 1)[6n ² + N (N + 1)(2N + 1)] v (18) s

. 7 £ ¤, î r1 l x | ¾ Ó Ð > r Z O g Ë :Ü ¼ ÐÂ Ò' ½ ¨ô Ç Ø æ[ t f Ê ê ô

Ç é # Qo ) a > _ CM_ 5 Å q ¸(< Ê É r y 5 Å q ¸) H y î r1 l x

|

¾ Ó Ð > r Z O g Ë :Ü ¼ ÐÂ Ò' ½ ¨ô Ç õ ü < { 9 ì ø Í& h Ü ¼ Ð 2 £ §` ¦

· ú

Ã º e .

t ë ß ¿ º ] X H ~ ½ ÓZ O Ü ¼ ÐÂ Ò' ½ ¨ô Ç õ " f Ð ° ú >

÷

& H B Ä º : £ ¤ Ã ºô Ç â Ä º > r F ô Ç . 7 £ ¤, î r1 l x | ¾ Ó Ð > r Z O

g Ë :Ü ¼ ÐÂ Ò' ½ ¨ô Ç ω ⁽ⁿ⁾ _P (< Ê É r v _cm ^P ) ü < y î r1 l x | ¾ Ó Ð > r Z O g Ë

:Ü ¼ ÐÂ Ò' ½ ¨ô Ç ω _L ⁽ⁿ⁾ (< Ê É r v ^(n)L cm ) s ° ú l 0 Aô Ç ¸| s 3n = 2N + 1(n ≤ N ) (19) s

H d` ¦ · ú Ã º e . # l " f nõ N É r ¸¿ º Ã ºs .

7 £ ¤, d (19)_ ¸| ` ¦ ë ß 7 á ¤ H â Ä ºë ß s y î r1 l x | ¾ Ó Ð > r Z O

g Ë : ÷ r ë ß m î r1 l x | ¾ Ó Ð > r Z O g Ë :_ & h 6 x s ¸¿ º 0

p

x . ë ß d (19)\ ¦ ë ß 7 á ¤ t · ú § H â Ä º\ H î r1 l x

|

¾ Ó Ð > r Z O g Ë :` ¦ & h 6 x ½ + É Ã º \ O . \ V Ð, Ð: x _ ò ø Í1 l x

N = 1 â Ä º, n = 1 K > r F Ù ¼ Ð î r1 l x | ¾ Ó

Ð > r Z O g Ë :õ y î r1 l x | ¾ Ó Ð > r Z O g Ë :_ & h 6 x s ¸¿ º 0 p x

. t ë ß N = 2 â Ä º\ H d (34)\ ¦ ë ß 7 á ¤ H Ã

º n É r > r F t · ú §Ü ¼Ù ¼ Ð î r1 l x | ¾ Ó Ð > r Z O g Ë : É r & h 6 x

½

+ É Ã º \ O .

s

% ! 3 ô ÇA á ¤ = å Q s ¦& ñ ) a { 9 ì ø Í o ) a ò ø Í1 l x \ " f î

r1 l x | ¾ Ó Ð > r Z O g Ë :õ y î r1 l x | ¾ Ó Ð > r Z O g Ë :_ & h 6 x \ ' a ô Ç

½

¨5 Å q ¸| s Ò q tl H s Ä » H 6 £ § õ ° ú . 8 ú x · ú s \ Ø

æ[ t H ¸| \ Ó ü t ^ \ ¦ B é ß | 9 | ¾ Ó` ¦ Á ºr ½ + É Ã º e

H Ö ¼ ê ø Í } @ / r » ¡ ¤ \ ² ú H Ø æ | ¾ Ó(< Ê É r Ø æ

§ 4 )s Ò q tU ´ Ã º ¸ e ¦ Ò q tl t · ú §` ¦ Ã º ¸ e . ë ß \ }

@ / r » ¡ ¤ \ ô Ç Ø æ | ¾ Ós > r F t · ú § H , î

r1 l x | ¾ Ó Ð > r Z O g Ë :õ y î r1 l x | ¾ Ó Ð > r Z O g Ë :s ¸¿ º & h 6 x ) a

. t ë ß } @ / r » ¡ ¤ \ Ã º¨ î Ø æ | ¾ Ó P \ ¦ ² ú ½ + É â Ä

º, } @ / r » ¡ ¤ \ 6 x ô Ç Ø æ § 4 _ ì ø Í 6 x§ 4 s } @ /

\

6 x < ÊÜ ¼ Ð î r1 l x | ¾ Ó Ð > r Z O g Ë : É r $ í w n t · ú § H .

ì

ø Í \ s Ø æ § 4 É r r » ¡ ¤ \ ë ß 6 x < ÊÜ ¼ Ð r Ø æ

(6)

|

¾ Ó(= P l)_ & ñ _ \ _ K j Ë µ_ 6 x Ü ¼ ÐÂ Ò' o ls 0 â Ä º\ K { © ô Ç . 7 £ ¤, r Ø æ § 4 É r ½ Ó © 0s ÷ &# Q y

î r1 l x | ¾ Ó Ð > r Z O g Ë : É r ½ Ó © $ í w n ô Ç .

s

\ ¦ 0 AK { 9 ì ø Í o ) a ò ø Í1 l x \ ² ú ÷ & H Ø æ | ¾ Ó\ @ / K

7 á § 8 [ jy · ú Ð . 8 ú x · ú s n P : Ó ü t ^ \ q ò ø Í$ í Ø

æ[ t H í H ç ß Ã º¨ î ~ ½ Ó ¾ ÓÜ ¼ Ð P = Mvë ß p u _ Ø æ | ¾ Ós

K | 9 M :, Ö ¼ ê ø Í } @ / r » ¡ ¤ \ ² ú H Ã º¨ î Ø æ

| ¾ Ó` ¦ P ⁽ⁿ⁾ s . s â Ä º, > \ ² ú ÷ & H Ã º¨ î ~ ½ Ó ¾ Ó Ü

¼ Ð_ · ú Ø æ | ¾ Ó ∆P = P − P ⁿ É r q ò ø Í$ í Ø æ[ t õ Ê

ê > _ CM î r1 l x | ¾ Ó_ o| ¾ Óõ ° ú Ü ¼Ù ¼ Ð

P − P ⁽ⁿ⁾ = (N + 1)M v cm (20) s

. y î r1 l x | ¾ Ó Ð > r Z O g Ë :Ü ¼ ÐÂ Ò' ½ ¨ô Ç | 9 | ¾ Ó× æd _ 5 Å q

¸ v ^(n)L ^cm ` ¦ d (20)\ & h 6 x ½ + É â Ä º, } @ / r » ¡ ¤ \

² ú

ô Ç Ã º¨ î Ø æ | ¾ Ó` ¦ P _L ⁽ⁿ⁾ s , P _L ⁽ⁿ⁾ É r

P _L ⁽ⁿ⁾ = N (N + 1)(2N + 1 − 3n)

6n ² + N (N + 1)(2N + 1) P (21) s

) a . d (21) É r { 9 ì ø Í o ) a ò ø Í1 l x _ ¢ - a q ò ø Í$ í Ø æ [

t \ " f, } @ / r » ¡ ¤ \ ² ú H Ã º¨ î Ø æ | ¾ Ó\ @ /ô Ç { 9

ì ø ÍK s . ì ø Í \ î r1 l x | ¾ Ó Ð > r Z O g Ë :Ü ¼ ÐÂ Ò' ½ ¨ô Ç

| 9

| ¾ Ó× æd _ 5 Å q ¸ v ^P cm H } @ / r » ¡ ¤ \ ² ú ô Ç Ã º¨ î Ø

æ | ¾ Ós 0 â Ä º\ ë ß & h 6 x ½ + É Ã º e .

ô

Ç¼ # , y î r1 l x | ¾ Ó Ð > r Z O g Ë :Ü ¼ ÐÂ Ò' ½ ¨ô Ç P _L ⁽ⁿ⁾ s 0s

÷

& H ½ ¨5 Å q ¸| É r 3n = 2N + 1(n ≤ N ) Ð d (19)ü < ° ú 6

£

§` ¦ ~ 1 > · ú Ã º e . 7 £ ¤, 3n = 2N + 1(n ≤ N ) _ ½ ¨5 Å q

¸| ` ¦ ë ß 7 á ¤ H â Ä º H î r1 l x | ¾ Ó Ð > r Z O g Ë :õ y î r1 l x

|

¾ Ó Ð > r Z O g Ë : × æ # QÖ ¼ ] X H ~ ½ Ód ` ¦ × þ # ¸ ` É r õ

° ú

כ` ¦ % 3 ` ¦ Ã º e t ë ß , s ¸| ` ¦ ë ß 7 á ¤ t · ú § H â Ä º\

H y î r1 l x | ¾ Ó Ð > r Z O g Ë :_ & h 6 x \ _ ô Ç ] X H ~ ½ Ód ë ß s `

É

r õ ° ú כ` ¦ % 3 ` ¦ Ã º e H כ ` ¦ Ð# Å Ò ¦ e .

Figure 5 H Ø æ[ t t & h \ } @ / r » ¡ ¤ \

² ú

H Ã º¨ î Ø æ | ¾ Ó P L ⁽ⁿ⁾ _ ~ ½ Ó ¾ Ó` ¦ · p כ s .

8 ú

x · ú _ Ø æ[ t t & h s 3n < 2N + 1` ¦ ë ß 7 á ¤ Fig.

5(a) \ " fü < ° ú s 8 ú x · ú s > \ ô Ç Ø æ | ¾ Ó P ü < ° ú É r ~ ½ Ó ¾ Ó Ü

¼ Ð P L ⁽ⁿ⁾ _ Ø æ | ¾ Ós r » ¡ ¤ \ ² ú ) a . ì ø Í \ 3n >

2N + 1 s Fig. 5(b)\ " fü < ° ú s 8 ú x · ú s > \ ô Ç Ø æ

| ¾

Ó P ü < ì ø Í@ / ~ ½ Ó ¾ ÓÜ ¼ Ð P L ⁽ⁿ⁾ _ Ø æ | ¾ Ós r » ¡ ¤ \ ² ú

)

a . ¢ ¸ô Ç > \ ² ú ÷ & H Ã º¨ î ~ ½ Ó ¾ ÓÜ ¼ Ð_ í H Ã º Ø æ | ¾ Ó

`

¦ ¦ 9½ + É M : 3n = 2N + 1 ¸| ` ¦ ë ß 7 á ¤ H (n, N ) \

"

f n P : Ó ü t ^ Ð r » ¡ ¤ \ î r Ó ü t ^ \ 8 ú x · ú s ~ Ã Ì y

CM_ 5 Å q§ 4 s y è ¦ A á ¤ _ Ó ü t ^ \ 8 ú x · ú s ~ Ã Ì y

CM_ 5 Å q§ 4 s 7 £ x ô Ç H כ ` ¦ · ú Ã º e .

= å

Q Ü ¼ Ð | 9 | ¾ Ós Ô ¦ 5 Å q& h Ü ¼ Ð ì r íô Ç { 9 ì ø Í o ) a ò ø Í1 l x

Fig. 5. Horizontal impulse P _L ⁽ⁿ⁾ delivered to the pivot by the suspended rod.

Ä

º\ ¸ & h 6 x ÷ & H t \ @ /K · ú Ð ¦ ô Ç . { 9 ì ø Í o ) a ò

ø Í1 l x \ " f r » ¡ ¤ Ü ¼ ÐÂ Ò' 8 ú x · ú s ~ Ã Ìy H n P : Ó ü t

^

t _ o \ ¦ a(= ln) Ð ¿ º ¦ r » ¡ ¤ Ü ¼ ÐÂ Ò' N P

: Ó ü t ^ t _ o \ ¦ b(= lN ) . Õ ªo ¦ r » ¡ ¤

\

² ú ÷ & H Ã º¨ î Ø æ | ¾ Ó P L ⁽ⁿ⁾ s 0s ÷ & H ¸| d 3n = 2N + 1 \ a = ln, b = lN\ ¦ @ /{ 9

a = 2 3 b + l

3 (22)

s

) a . ë ß l → 0 F G ô Ç_ â Ä º, 7 £ ¤, { 9 ì ø Í o ) a ò ø Í1 l x

\ ¦ | 9 | ¾ Ós 5 Å q& h Ü ¼ Ð ç H{ 9 > ì r í ) a Ö ¼ ê ø Í }

@

/ Ð Ò q ty ½ + É M :,

a = 2

3 b (23)

e

` ¦ · ú Ã º e . s õ H Fig. 6(a) \ " fü < ° ú s U ´s

b Ö ¼ ê ø Í } @ /_ ô ÇA á ¤ = å Q` ¦ ¦& ñ r v ¦ ¦& ñ ) a

r » ¡ ¤ Ü ¼ ÐÂ Ò' o a÷ & H t & h \ Ø æ | ¾ Ó P \ ¦ ½ + É M

:, } @ / r » ¡ ¤ \ ² ú H Ø æ | ¾ Ó P ⁰ É r 0 s H d` ¦ _ p

ô Ç . s M :, r » ¡ ¤ Ü ¼ ÐÂ Ò' o a÷ & H t & h ` ¦ r

» ¡ ¤ \ @ /ô Ç Ø æ _ × æd (Center of Percussion)s ô Ç

|

¾ Ó` ¦ H â Ä º, î r1 l x | ¾ Óõ y î r1 l x | ¾ Ó É r 1 l x r \ Ð > r

) a .

Fig. 6(b) õ ° ú s Ö ¼ ê ø Í } @ /_ É r A á ¤ = å Q \ Ø æ

|

¾ Ó P \ ¦ ½ + É M :, } @ / r » ¡ ¤ \ ² ú H Ø æ | ¾ Ó P ⁰ É r

P ⁰ = −P/2 ) a H z ´ É r s p · ú 94 R e [1,2]. s

(7)

Fig. 6. Thin rod suspended from a frictionless pivot.

¢

¸ô Ç Ä ºo Ô ¦ 5 Å q& h | 9 | ¾ Ó ì r í ÐÂ Ò' ½ ¨ô Ç d (21) Ð Â

Ò' Ä » ¸ 0 p x . 7 £ ¤, d (21)\ " f (N, n) → ∞ â Ä

æ | ¾ Ó É r

lim

N →∞ P _L ^{(N )} = − 1

2 P (24)

IV. + s Ç Â ] Ø õ m Í < g ¹ Å

: r ½ ¨ H ô ÇA á ¤ s e _ _ » ¡ ¤ \ ¦& ñ ) a Ó ü t ^ _ Ø æ[ t \ _

ô Ç r ë H ] j H î r1 l x | ¾ Ó Ð > r Z O g Ë :õ y î r1 l x | ¾ Ó Ð

> r Z O g Ë :` ¦ & h 6 x ô Ç õ Ø Ô> ± ú Ã º e 6 £ §` ¦ d

¦ N> h { 9 Ð ½ ¨$ í ) a { 9 ì ø Í o ) a ò ø Í1 l x ü < 8 ú x · ú

s _ ¢ - a q ò ø Í$ í Ø æ[ t` ¦ : x K î r1 l x | ¾ Ó Ð > r õ y î r 1

l

x | ¾ Ó Ð > r \ e # Q ` ¦ É r ] X H ~ ½ Ód É r Á º% Á s 9 Õ ª s Ä »

H Á º% Á \ @ /K · ú Ð ¤ . | 9 | ¾ Ó` ¦ Á ºr ½ + É Ã º e

H Ö ¼ ê ø Í } @ /\ { 9 & ñ ô Ç ç ß Ü ¼ Ð ¦& ñ ) a N > h { 9 [

þ

t Ð ½ ¨$ í ) a ò ø Í1 l x \ ¦ ¦î ß # e _ _ n P : { 9 \ 8

ú

x · ú s ¢ - a q ò ø Í$ í Ø æ[ t H â Ä º, î r1 l x | ¾ Ó Ð > r Z O g Ë : õ

y î r1 l x | ¾ Ó Ð > r Z O g Ë :_ & h 6 x õ \ @ /K ì r$ 3 ` ¦

%

i . { 9 ì ø Í o ) a ò ø Í1 l x \ î r1 l x | ¾ Ó Ð > rZ O g Ë :õ y î r 1

l

x | ¾ Ó Ð > rZ O g Ë :` ¦ y y & h 6 x # % 3 É r Ø æ[ t f Ê ê ô Ç é

#

Qo ) a > _ 5 Å q ¸, y 5 Å q ¸, Õ ªo ¦ Ø æ | ¾ Ó_ { 9 ì ø ÍK

\

¦ : x K y î r1 l x | ¾ Ó Ð > r Z O g Ë : É r Y > P : { 9 \ Ø æ[ t H

É

r : £ ¤& ñ ô Ç t & h \ " f Ø æ[ t H â Ä º\ ë ß Ð > rH d` ¦ · ú

?

/% 3 . s H 8 ú x · ú s ò ø Í1 l x _ n P : { 9 \ ¢ - a q ò

ø Í$ í Ø æ[ t H â Ä º î r1 l x | ¾ Óõ y î r1 l x | ¾ Ós 1 l x r \ Ð

> r| ¨ c Ã º e H ¸| s > r F < Ê` ¦ _ p 9 s Ø æ[ t ¸| É r 3n = 2N + 1(n ≤ N ) s # Q ô Ç H z ´` ¦ · ú ? /% 3 .

s

Ø æ[ t ¸| ` ¦ ë ß 7 á ¤ H t & h s { 9 ì ø Í o ) a ò ø Í1 l x _ Ø

æ _ × æd s H z ´ ¢ ¸ô Ç 7 £ x" î % i .

@

B ² ú 2 ; Ð: x _ ò ø Í1 l x _ ¢ - a q ò ø Í$ í Ø æ[ të H ] j\

@

/ô Ç Û ¦ s õ & ñ É r @ /Â Òì r î r1 l x | ¾ Ó Ð > r Z O g Ë :` ¦ s 6 x

#

½ ¨ô Ç . Õ ª s Ä » H Ó ü t ^ | 9 | ¾ Ó` ¦ Á ºr ½ + É Ã º e H z ´

\

B ² ú 9 e l M :ë H s 9, s â Ä º Ø æ[ t \ _ K ò ø Í1 l x

\ 6 x H ü @§ 4 s > r F t · ú §Ü ¼Ù ¼ Ð Ø æ[ t õ Ê ê _

î r1 l x | ¾ Ós Ð > r ÷ &l M :ë H s . t ë ß Fig. 2\ " fü <

° ú

s Ö ¼ ê ø Í } @ /\ ) a ò ø Í1 l x z ´+ « >_ â Ä º\

H } @ /_ | 9 | ¾ Ós 0s | ¨ c Ã º \ O ¦ } @ /_ | 9 | ¾ Ó` ¦ Á ºr ô Ç

¦ # ¸ } @ /\ B ² ú 2 ; Ó ü t ^ _ ß ¼l Á ºr

| ¨

c Ã º \ O Ü ¼Ù ¼ Ð r » ¡ ¤ \ ² ú ÷ & H ü @§ 4 s 0s â Ä

º > r F ½ + É Ã º e . " f ò ø Í1 l x z ´+ « >_ â Ä º\ H q

ò ø Í$ í Ø æ[ t z ´+ « > \ ò ø Í1 l x _ Ø æ _ × æd ` ¦ ¹ 1 Ô É r Ê

\ O

s $ í w n H y î r1 l x | ¾ Ó Ð > r Z O g Ë :` ¦ & h 6 x K ô Ç .

= å

Q Ü ¼ Ð, r » ¡ ¤ \ " f ü @§ 4 _ > r F # Â Ò x 9 y î r1 l x | ¾ Ó > h

¥ Æ

[ þ t # Q Ö ¼ ê ø Í } @ /\ 2> h_ Ó ü t ^ B ² ú 2 ; ò ø Í1 l x

_ q ò ø Í$ í Ø æ[ të H ] j [8] H < ÆÒ q t[ þ t \ > B ² ú 2 ; Ó ü t ^ _

>

x ½ + É Ã º e H ¸> h¥ Æ ` ¦ Ä »µ 1 Ïr ~ ´ Ã º e Ü ¼Ù ¼ Ð §Ã º _

t ¸ ] X @ / 9 כ ¹ . { 9 ì ø Í o ) a ò ø Í1 l x _ q ò ø Í$ í Ø

æ[ t \ @ /ô Ç : r ½ ¨ Ø æ[ t r ü @§ 4 _ > r F # Â Òü < î

r1 l x | ¾ Ó Ð > r Z O g Ë :_ & h 6 x \ ' a K Ò q t ± ú Ã º e H < ÆÒ q t[ þ t _

¸> h¥ Æ ` ¦ Ð ¸ ú ` ¦ Ã º e H èF Ð Ö ¸6 x ÷ &% 3 Ü ¼ ô Ç

.

P

c p 8 ý ò k >

s

7 Hë H É r 2010 â · ¡ ¤ @ / < Æ § õ < Æ §¹ ¢ ¤ ½ ¨ è_ t " é ¶` ¦

~ Ã

Î Ã º' ) a ½ ¨e .

Y

c p w Ã U Ø ô

[1] J. B. Marion and S. T. Thornton, Classical Dynam- ics of Particles and Systems, 5th ed. (Brooks/Cole, CA, 2004).

[2] G. R. Fowles and G. L. Cassiday, Analytical Me-

chanics, 7th ed. (Brooks/Cole, CA, 2005).

(8)

[3] D. Halliday, R. Resnick and J. Walker, Fundamen- tals of Physics, 8th ed. (Wiley, NJ, 2008).

[4] R. A. Serway and J. W. Jewett, Physics for Sci- entist and Engineers with Modern Physics, 6th ed.

(Brooks/Cole, CA, 2004).

[5] H. D. Young and R. A. Freedman, University Physics, 12th ed. (Addison Wesley, CA, 2008).

[6] Physics Laboratory Manual, Seoul Scientific Instru- ments Com Corp. (Bookshill, Seoul, 2008).

[7] Physics Laboratory Manual, Yonsei Uni- versity (http://phylab.yonsei.ac.kr); Physics Laboratory Manual, Hoseo University (http://www.hoseo.ac.kr/ physics).

[8] J. -R. Choi and B. -H. Shin, Physics (Cheongmoon- gak, Seoul, 2008), p. 140.

[9] R. Cross, Am. J. Phys. 72, 622 (2004).

[10] H. Brody, Am. J. Phys. 47, 482 (1979).

[11] H. Brody, Am. J. Phys. 49, 816 (1981).

[12] G. W. Ficken, Am. J. Phys. 44, 789 (1976).

[13] R. Cross, Am. J. Phys. 66, 772 (1998).

[14] G. S. Sawicki, M. Hubbard and W. J. Stronge, Am.

J. Phys. 71, 1152 (2003).

[15] A. Nathan, Am. J. Phys. 68, 979 (2000).

[16] R. Adair, Am. J. Phys. 69, 229 (2001).

Ç  m× Dc Ü R   m  Ò Þà Ã Å õ u §  Þ X ¢  Ò Å Æ U Ø Ò ÞS ë sÊ Ý P c l Æ U Ø Ò ÞS ë s | ºÇ X Ø  ì Å 

ø m

Ç  m× Dc Ü R   m  Ò Þà Ã Å õ u §   Þ X ¢  Ò Å Æ U Ø Ò ÞS ë sÊ Ý P c l Æ U Ø Ò ÞS ë s | ºÇ X Ø  ì Å 

 »ª <# Ü  · L | Ú' å 

 â

· ¡ ¤ @ / < Æ § Ó ü t o  §¹ ¢ ¤  / B N, @ /½ ¨ 702-701

(2010¸  4 Z 4 2{ 9  ~ Ã Î6 £ §, 2010¸  6 Z 4 9{ 9  Ã º& ñ  : r ~ Ã Î6 £ §, 2010¸  7 Z 4 13{ 9  > F  S X & ñ )

 :

r   ½ ¨\ " f  H N > h { 9   Ð ½ ¨$ í  ) a { 9 ì ø Í o  ) a ò ø Í1 l x   ü < ò ø Í ¨ 8   s _  ¢ - a  q ò ø Í$ í Ø  æ[  t \   ' a K   ¸



 % i  . : £ ¤ y , Ø  æ[  t f  Ê ê ò ø Í1 l x   _  5 Å q  ¸ü < y  5 Å q  ¸\  @ /ô  Ç { 9 ì ø ÍK \  ¦ ½ ¨ % i  . Ø  æ[  t f    õ  f  Ê ê

\

 y  î  r1 l x | ¾ Ó É r  ½ Ó ©   Ð > r ÷ &  H ì ø Í  ,   î  r1 l x | ¾ Ó É r ¿ º Ó ü t ^ _  Ø  æ[  t s  : £ ¤& ñ ô  Ç t & h \ " f s À Ò# Q| 9   â Ä º\  ë

ß   Ð > rH  d`  ¦ · ú  ? /% 3  . ò ø Í ¨ 8  s  ò ø Í1 l x   _  n  P : { 9  \  Ø  æ[  t   H  â Ä º,   î  r1 l x | ¾ Óõ  y  î  r1 l x | ¾ Ós  1

l

x r \   Ð > r ÷ &  H Ø  æ[  t  ¸|  É r 3n = 2N + 1 (n ≤ N )e  `  ¦ ¹ 1 Ô ? /% 3  . ¢ ¸ô  Ç s  Ø  æ[  t  ¸| `  ¦ ë ß 7 á ¤   H t

& h s  { 9 ì ø Í o  ) a ò ø Í1 l x   _  Ø  æ  _  ×  æd  s    H  z ´`  ¦ 7 £ x" î % i  .

Ù þ

d  # Q: { 9 ì ø Í o  ) a ò ø Í1 l x   , î  r1 l x | ¾ Ó, Ø  æ  | ¾ Ó, Ø  æ  _  ×  æd  

Study of Linear and Angular Momentum Conservations in the Generalized Ballistic Pendulum

Eun-Kyung Kim · Ho-Meoyng Choi ∗

Department of Physics Education, Kyungpook National University, Daegu 702-701 (Received 2 April, 2010 : revised 9 June, 2010 : accepted 13 July, 2010)

PACS numbers: 01.40.Fk, 01.50.Wg

Keywords: Generalized ballistic pendulum, Momentum, Impulse, Center of percussion

I. " e Â ] Ø

Ó ü

t o  < Æ\ " f  ©  ×  æ כ ¹r    H Z O g Ë : ×  æ    H  Ð > r Z O  g Ë

: (conservation law)s  .  Ð > r Z O g Ë :s ê ø Í  ¦w n > \ " f # Q



"

8 £ ¤& ñ 0 p x ô  Ç Ó ü t o | ¾ Ós  r ç ß    o\       t  · ú §  H

E-mail: [email protected]

  H  כ `  ¦ _ p ô  Ç .  Ð > r Z O g Ë :\   H \  -t   Ð > r Z O g Ë :,



 î  r1 l x | ¾ Ó  Ð > r Z O g Ë :, y  î  r1 l x | ¾ Ó  Ð > r Z O g Ë :,     Ð > r Z O  g Ë

: 1 p x s  e   . s [ þ t ×  æ  ©   Å Ò   6 x ÷ &  H  Ð > r Z O g Ë :

 É

r    ¸ \  -t   Ð > r Z O g Ë :õ  î  r1 l x | ¾ Ó  Ð > r Z O g Ë :{ 9   כ s

 . \  -t   Ð > r Z O g Ë : É r # Q " >  (system)ü < > \  ¦ Ñ ü t



Qø ß  Å Ò  (surroundings)_   íl   © I ü < ×  æ  © I    s

_  8 ú x \  -t    o ∆E sys + ∆E sur   H 0e  `  ¦ _ p ô  Ç .

-702-

Fig. 1. Ballistic pendulum.

7

£ ¤, \  -t   H  ½ Ó ¸÷ &    èY > ÷ &t  · ú §Ü ¼ 9 o < Æ \  -t 

\

" f % i  < Æ& h \  -t  Ð_    ¨ 8  õ  ° ú s  é ß t  ô  Ç + þ AI \ " f

 É r + þ AI  Ð   ¨ 8 H  d`  ¦ _ p ô  Ç . Õ ª Q  ë ß { 9  Ä ºo  : £ ¤

&

ñ ô  Ç > _  \  -t    o ∆E sys ë ß `  ¦  ¦ 9   H  â Ä º\   H Õ

ª ° ú כs  0{ 9  Ã º ¸  u ´ Ã º ¸ e   . Ó ü t o  < Æ\ " f  ©    Å

Ò  6 x ÷ &  H % i  < Æ& h \  -t _   â Ä º\  ¦ \ V Ð [ þ t # Q Ð . % i



< Æ& h \  -t  E  H # Q " > _  î  r1 l x \  -t  Kü < ( J $ [ >  \ 



-t  U_  ½ + ËÜ ¼ Ð & ñ _   ) a .  íl   © I ü < ×  æ  © I   s  _

 > _  % i  < Æ& h \  -t    o ∆E = ∆K + ∆U  H  Ð > r§ 4 (conservative force) s    6 x   H  â Ä º\   H 0 s t ë ß  q  Ð



> r§ 4 (nonconservative force)s    6 x   H  â Ä º\   H 0 s 



m  .  Ð > r§ 4 s ê ø Í # Q " Ó ü t ^ \  ¦ ô  Ç t & h \ " f  É r t & h  Ü

¼ Ð `  l   H X < j Ë µs  ô  Ç { 9 s   â  Ð\  Á º  ' a ô  Ç  â Ä º,   6 x ô

 Ç j Ë µ`  ¦ ´ ú ô  Ç . 8 ú x \  -t \  ¦  ¦ 9½ + É M :,  Ð > r§ 4 (q  Ð > r

§

4 )s    6 x   H  â Ä º > \  ¦ Ñ ü t  Qø ß  Å Ò  _  \  -t    o  H

∆E sur = 0 (∆E sur 6= 0)`  ¦ _ p ô  Ç . 7 £ ¤, % i  < Æ& h \  -t 



 H  ½ Ó ©   Ð > r ÷ &  H  כ s   m    Ð > r§ 4 s    6 x   H  â Ä º

\

ë ß   Ð > r ) a .

ô

 Ç¼ # , î  r1 l x | ¾ Ó  Ð > r Z O g Ë : É r \  -t   Ð > r õ   ©   ' a\ O s  · ú 



 ü @§ 4 s    6 x t  · ú §  H ô  Ç  ½ Ó ©  & h 6 x ÷ &  H  Ð¼ # & h  Ð > r Z O

g Ë :s  . î  r1 l x | ¾ Ó É r ß ¼>  # î   î  r1 l x   H  â Ä º_    î  r1 l x

|

¾ Óõ  r  î  r1 l x   H  â Ä º_  y  î  r1 l x | ¾ ÓÜ ¼ Ð Ð ü t Ã º e   .

¿

º Ó ü t ^  Ø  æ[  t   H  â Ä º\  ¦ \ V Ð [ þ t  , ò ø Í$ í Ø  æ[  t _   â Ä

Ç m× Dc Ü R m Ò Þà Ã Å õ u § Þ X ¢ Ò Å Æ U Ø Ò ÞS ë sÊ Ý P c l Æ U Ø Ò ÞS ë s | ºÇ X Ø ì Å

Ç m× Dc Ü R m Ò Þà Ã Å õ u § Þ X ¢ Ò Å Æ U Ø Ò ÞS ë sÊ Ý P c l Æ U Ø Ò ÞS ë s | ºÇ X Ø ì Å

»ª <# Ü · L | Ú' å

â

· ¡ ¤ @ / < Æ § Ó ü t o §¹ ¢ ¤ / B N, @ /½ ¨ 702-701

(2010¸ 4 Z 4 2{ 9 ~ Ã Î6 £ §, 2010¸ 6 Z 4 9{ 9 Ã º& ñ : r ~ Ã Î6 £ §, 2010¸ 7 Z 4 13{ 9 > F S X & ñ )

:

r ½ ¨\ " f H N > h { 9 Ð ½ ¨$ í ) a { 9 ì ø Í o ) a ò ø Í1 l x ü < ò ø Í ¨ 8 s _ ¢ - a q ò ø Í$ í Ø æ[ t \ ' a K ¸

% i . : £ ¤ y , Ø æ[ t f Ê ê ò ø Í1 l x _ 5 Å q ¸ü < y 5 Å q ¸\ @ /ô Ç { 9 ì ø ÍK \ ¦ ½ ¨ % i . Ø æ[ t f õ f Ê ê

y î r1 l x | ¾ Ó É r ½ Ó © Ð > r ÷ & H ì ø Í , î r1 l x | ¾ Ó É r ¿ º Ó ü t ^ _ Ø æ[ t s : £ ¤& ñ ô Ç t & h \ " f s À Ò# Q| 9 â Ä º\ ë

ß Ð > rH d` ¦ · ú ? /% 3 . ò ø Í ¨ 8 s ò ø Í1 l x _ n P : { 9 \ Ø æ[ t H â Ä º, î r1 l x | ¾ Óõ y î r1 l x | ¾ Ós 1

x r \ Ð > r ÷ & H Ø æ[ t ¸| É r 3n = 2N + 1 (n ≤ N )e ` ¦ ¹ 1 Ô ? /% 3 . ¢ ¸ô Ç s Ø æ[ t ¸| ` ¦ ë ß 7 á ¤ H t

& h s { 9 ì ø Í o ) a ò ø Í1 l x _ Ø æ _ × æd s H z ´` ¦ 7 £ x" î % i .

d # Q: { 9 ì ø Í o ) a ò ø Í1 l x , î r1 l x | ¾ Ó, Ø æ | ¾ Ó, Ø æ _ × æd

Eun-Kyung Kim · Ho-Meoyng Choi ^∗

t o < Æ\ " f © × æ כ ¹r H Z O g Ë : × æ H Ð > r Z O g Ë

: (conservation law)s . Ð > r Z O g Ë :s ê ø Í ¦w n > \ " f # Q

8 £ ¤& ñ 0 p x ô Ç Ó ü t o | ¾ Ós r ç ß o\ t · ú § H

H כ ` ¦ _ p ô Ç . Ð > r Z O g Ë :\ H \ -t Ð > r Z O g Ë :,

î r1 l x | ¾ Ó Ð > r Z O g Ë :, y î r1 l x | ¾ Ó Ð > r Z O g Ë :, Ð > r Z O g Ë

: 1 p x s e . s [ þ t × æ © Å Ò 6 x ÷ & H Ð > r Z O g Ë :

É

r ¸ \ -t Ð > r Z O g Ë :õ î r1 l x | ¾ Ó Ð > r Z O g Ë :{ 9 כ s

. \ -t Ð > r Z O g Ë : É r # Q " > (system)ü < > \ ¦ Ñ ü t

Qø ß Å Ò (surroundings)_ íl © I ü < × æ © I s

_ 8 ú x \ -t o ∆E sys + ∆E sur H 0e ` ¦ _ p ô Ç .

£ ¤, \ -t H ½ Ó ¸÷ & èY > ÷ &t · ú §Ü ¼ 9 o < Æ \ -t

" f % i < Æ& h \ -t Ð_ ¨ 8 õ ° ú s é ß t ô Ç + þ AI \ " f

É r + þ AI Ð ¨ 8 H d` ¦ _ p ô Ç . Õ ª Q ë ß { 9 Ä ºo : £ ¤

ñ ô Ç > _ \ -t o ∆E sys ë ß ` ¦ ¦ 9 H â Ä º\ H Õ

ª ° ú כs 0{ 9 Ã º ¸ u ´ Ã º ¸ e . Ó ü t o < Æ\ " f © Å

Ò 6 x ÷ & H % i < Æ& h \ -t _ â Ä º\ ¦ \ V Ð [ þ t # Q Ð . % i

< Æ& h \ -t E H # Q " > _ î r1 l x \ -t Kü < ( J $ [ > \

-t U_ ½ + ËÜ ¼ Ð & ñ _ ) a . íl © I ü < × æ © I s _

> _ % i < Æ& h \ -t o ∆E = ∆K + ∆U H Ð > r§ 4 (conservative force) s 6 x H â Ä º\ H 0 s t ë ß q Ð

> r§ 4 (nonconservative force)s 6 x H â Ä º\ H 0 s

m . Ð > r§ 4 s ê ø Í # Q " Ó ü t ^ \ ¦ ô Ç t & h \ " f É r t & h Ü

¼ Ð ` l H X < j Ë µs ô Ç { 9 s â Ð\ Á º ' a ô Ç â Ä º, 6 x ô

Ç j Ë µ` ¦ ´ ú ô Ç . 8 ú x \ -t \ ¦ ¦ 9½ + É M :, Ð > r§ 4 (q Ð > r

4 )s 6 x H â Ä º > \ ¦ Ñ ü t Qø ß Å Ò _ \ -t o H

∆E sur = 0 (∆E sur 6= 0)` ¦ _ p ô Ç . 7 £ ¤, % i < Æ& h \ -t

H ½ Ó © Ð > r ÷ & H כ s m Ð > r§ 4 s 6 x H â Ä º

ë ß Ð > r ) a .

Ç¼ # , î r1 l x | ¾ Ó Ð > r Z O g Ë : É r \ -t Ð > r õ © ' a\ O s · ú

ü @§ 4 s 6 x t · ú § H ô Ç ½ Ó © & h 6 x ÷ & H Ð¼ # & h Ð > r Z O

g Ë :s . î r1 l x | ¾ Ó É r ß ¼> # î î r1 l x H â Ä º_ î r1 l x

¾ Óõ r î r1 l x H â Ä º_ y î r1 l x | ¾ ÓÜ ¼ Ð Ð ü t Ã º e .

º Ó ü t ^ Ø æ[ t H â Ä º\ ¦ \ V Ð [ þ t , ò ø Í$ í Ø æ[ t _ â Ä

º Ø æ[ t õ Ê ê_ % i < Æ& h \ -t H Ð > r ÷ &t ë ß q ò ø Í$ í Ø

æ[ t _ â Ä º\ H Ð > r ÷ &t · ú § H . Õ ª Q ¿ º Ó ü t ^ Ø æ [

t H í H ç ß \ 6 x- ì ø Í 6 x Z O g Ë :\ _ ô Ç ? /Â Ò_ j Ë µë ß s

6 x ¦ ü @Â Ò j Ë µ É r 6 x t · ú § H â Ä º , Ø æ[ t _ 7 á x À

Ó(ò ø Í$ í ¢ ¸ H q ò ø Í$ í )ü < © ' a\ O s Ø æ[ t õ Ê ê_ î r1 l x

¾ Ó É r ½ Ó © Ð > r ) a .

ì ø Í& h Ü ¼ Ð # î î r1 l x õ r î r1 l x` ¦ ¸¿ º # î ' H y

© ^ _ Ø æ[ t` ¦ À Ò H â Ä º, î r1 l x | ¾ Óõ y î r1 l x | ¾ Ó Ð > r

¦ ¸¿ º ¦ 9K ô Ç [1,2]. ô Ç \ V Ð, Fig. 1õ ° ú s 8 ú x

_ 5 Å q§ 4 ` ¦ 8 £ ¤& ñ l 0 AK ¦î ß ô Ç ò ø Í1 l x (ballistic pendulum) ë H ] j\ ¦ Ò q ty K Ð [3–5]. Figure 1 É r | 9 | ¾ Ó

¦ Á ºr ½ + É Ã º e H z ´\ ) a | 9 | ¾ Ó M Ó ü t ^ \ | 9 | ¾ Ó

m 8 ú x · ú s ¢ - a q ò ø Í$ í Ø æ[ t ô Ç Ê ê þ j ¦ Z } s \ ¸² ú ô

Ç ¸_ þ v` ¦ · p כ s .

x · ú s Ó ü t ^ \ ¢ - a q ò ø Í$ í Ø æ[ t ô Ç f Ê ê ô Ç é # Qo

)

a Ó ü t ^ _ þ j ¦ Z } s \ ¦ s 6 x # Ø æ[ t f 8 ú x · ú _ 5 Å q

` ¦ ½ ¨ H ë H ] j H @ / < Æ § { 9 ì ø ÍÓ ü t o §F \ " f _ f

\ O s À Ò H \ V] j [3–5]s . s ë H ] j H î r1 l x | ¾ Ó < Ê É r y

î r1 l x | ¾ Ó Ð > r Z O g Ë :` ¦ & h 6 x # Û ¦ Ã º e . t ë ß , Ø æ [

t õ Ê ê_ î r1 l x | ¾ Ó Ð > r Z O g Ë :` ¦ & h 6 x H é ß > \ " f _

¸ H §F H î r1 l x | ¾ Ó Ð > r Z O g Ë :` ¦ & h 6 x ¦ e . Õ ª s

Ä » H ¸ s ò ø Í1 l x \ ¦ À Ò H é ß " é ¶ s î r1 l x | ¾ Ó, Ø

æ | ¾ Ó, Õ ªo ¦ Ø æ[ t é ß " é ¶ s l M :ë H{ 9 כ s . ¸ H { 9 ì

ø Í Ó ü t o < Æ §F r î r1 l x õ y î r1 l x | ¾ Ó\ @ /K î r1 l x

¾ Ó é ß " é ¶ s Ê ê\ À Ò ¦ e 6 £ §` ¦ S X ½ + É Ã º e .

Figure 2 H @ / < Æ Ó ü t o < Æ z ´+ « >\ " f 6 x H ò ø Í1 l x _

¢ - a q ò ø Í$ í Ø æ[ t z ´+ « > © u [Fig. 2(a)]ü < é ß ¸[Fig.

2(b)]\ ¦ y y · p כ s [6,7].

Figure 2 \ " f Ð1 p w z ´] j ò ø Í1 l x _ z ´+ « > © u H é ß Â

Ò_ | 9 | ¾ Ós 100 ∼ 200 g & ñ ¸ ò ø Í1 l x \ 60 ∼ 70g

ñ ¸_ F K5 Å q ½ ¨ ò ø Í ¨ 8 ` ¦ 6 x ¦ e [6, 7]. ¢ ¸ô Ç

H × ¦ s Ö ¼ ê ø Í } @ / Ð ½ ¨$ í ÷ &# Q e Ü ¼ 9